Diferentes Técnicas para el Alisado de Tensiones 3D

Transcripción

1 Información Tcnológica Difrnts Vol. 9(5), Técnicas -8 para (8) l Alisado d Tnsions 3D doi:.6/inf.tcnol.387it.7 Difrnts Técnicas para l Alisado d Tnsions 3D Mary J., Sbastián Provnzano, Carlos Blom y Rubén Chacón Univrsidad d Los Ands, Facultad d Ingniría, Escula d Ingniría Mcánica, Grupo d Disño y Modlado d Máquinas (DIMMA), La Hchicra, Mérida-Vnzula (-mail: vmary@ula.v, prs@ula.v, cblom@ula.v, rdchacon@ula.v) Rsumn S prsnta la aplicación combinada d dos técnicas mjoradas para l alisado d tnsions por zonas: la Rcupración Suprconvrgnt (Suprconvrgnt Patch Rcovry, SPR) y la Rcupración por Equilibrio (Rcovry by Equilibrium Patchs, REP). Estas técnicas mjoradas sobr hxadros n problmas con dominio tridimnsional, prmitn obtnr rsultados más xactos al utilizar l método d los lmntos finitos. Para analizar l comportaminto d la combinación d stas técnicas, s raliza un procdiminto h-adaptativo, utilizando l stimador d rror Zinkiwicz-Zhu para dtrminar l rror qu involucra l campo d tnsions alisado. Los rsultados d convrgncia índic d ctividad mustran qu ambas técnicas por sparado son análogas cuando las mallas tinn grados d librtad lvados. Palabras clav: alisado d tnsions, stimador d rror, suprconvrgnt patch rcovry, rcovry by quilibrium patchs Diffrnt Rcovry Procdurs for th Construction of Smoothd Strss in 3D Abstract Th combind application of two tchniqus improvd for zon tnsion smoothing: Suprconvrgnt Patch Rcovry (SPR) and Rcovry by Equilibrium Patchs (REP), ar analyzd. Th tchniqus ar improvd on hxahdrons for thr-dimnsional domain problms which allow obtaining mor xact rsults whn using th finit lmnts mthod. To analyz th combination bhavior of ths tchniqus, an h-adaptiv procdur is applid using th Zinkiwicz-Zhu stimator to dtrmin th rror that involvs th smoothd strss fild. Th convrgnc rsults and ficincy indx show that both tchniqus ar analogous whn th mshs hav high dgrs of frdom. Kywords: strss smoothing, rror stimator, suprconvrgnt patch rcovry, rcovry by quilibrium patchs Información Tcnológica Vol. - 9 Nº5-8

2 INTRODUCCIÓN Un progrso muy important hacia las técnicas icints d postprocsaminto qu mjorn la solución por lmntos finitos (EF) ha sido prsntada por Zinkiwicz y Zhu (99) con l procdiminto d rcupración d tnsions suprconvrgnt patch rcovry (SPR), l cual sta basado n l alisado d tnsions por zonas, n ést una xpansión polinómica dscrib las tnsions, usando un conjunto d lmntos contiguos dnominado patch, alrddor d los nodos dond s dsa ralizar l alisado d tnsions. Esta xpansión s hac usando mínimos cuadrados y las tnsions s calculan a partir d los valors d tnsión valuados mdiant EF n los puntos d intgración numérica. Dspués, varios autors prsntaron mjoras como las ralizadas por: L y Lo (993), Blackr y Blystschko (994), Wibrg y Abdulwahab (993), Wibrg t al. (994) y Ródnas (). Otra técnica qu busca quilibrar las tnsions mjoradas n l patch d la misma forma qu n l método d EF y con un procdiminto análogo al utilizado n l SPR, s l llamado Rcovry by Equilibrium Patchs (REP) propusto por Booromand y Zinkiwcz (997) y l cual mustra al igual qu l SPR una gran robustz sgún Boroomand y Mossaiby (5). El REP, también ha sido mjorado (REP-R) considrando las condicions d contorno y s ncuntra implmntado individualmnt igual qu l SPR-R n (). Adicionalmnt L t al. (997), prsntan otra técnica intrsant suprconvrgnt strss rcovry tchniqu with quilibrium constraint (LP), la cual s una combinación d las técnicas SPR y REP. Est trabajo prsnta la implmntación combinada d las técnicas REP a SPR mjoradas y vicvrsa como una continuación dl análisis prsntado n t al. (5), análogo a lo sugrido con la técnica LP, con la difrncia qu éstas s implmntan por sparado y n dominios tridimnsionals. Para dinir las bondads d la composición, s utiliza l procdiminto h-adaptativo prsntado n t al. (7a); l cual s mas sncillo d aplicar con hxadros qu otros, como l prsntado por Düstr t al. (7). Para aplicar l procdiminto h-adaptativo s utilizan técnicas para la stimación d rror d discrtización n subdivisión d hxadros dscritas n t al. (7b). Finalmnt s mustran los índics d ctividad y convrgncia n un modlo con solución suav y otro con solución singular para obtnr como rsultado cual d las combinacions d las técnicas studiadas prsnta mjors caractrísticas para cada problma analizado. IMPLEMENTACIÓN DE LAS TÉCNICAS SPR-R y REP-R Las técnicas SPR-R y REP-R mjoradas son rcints, n llas s cumpln xactamnt las rstriccions d tnsión impustas n los nodos dl contorno con un pquño cost computacional xtra rspcto a la técnica SPR y REP originals, y s ncuntran implmntadas con hxadros n (). Estas s basan n su formulación original, como s pud dtallar n Zinkiwicz y Zhu (99) y Booromand y Zinkiwcz (997), y su mjora pud rsumirs sgún: En l polinomio d intrpolación d tnsions n l patch ( ) cada uno d sus componnts,,,,, ) s xprsa sgún: ( x y z xy xz yz p = α x y z x y z i = x, i y, z, i xy, i 3 xz, yz i 4 i 5 i 6 i () dond: αi son los coicints a dtrminar dl polinomio por mínimos cuadrados. El cumpliminto xacto d las rstriccions d tnsión impustas n los nodos d nsamblado dl patch pud sr forzado incorporando n l sistma d cuacions a rsolvr los valors conocidos d dichas rstriccions. Para sto, n los patchs d nodos situados n l contorno los polinomios d intrpolación d tnsions ( ) srán plantados n un sistma d rrncia local d js ξ, η y ζ p con l orign n l nodo d nsamblado dl patch y con los js orintados sgún las dirccions normal y tangncials al contorno. Para plantar las cuacions d la técnica SPR n l nuvo sistma d coordnadas s raliza una traslación dl sistma d coordnadas y dos giros, uno n y y Información Tcnológica Vol. - 9 Nº5-8

3 lugo n x. Por lo tanto, las coordnadas locals ( ξ, η, ζ ) corrspondints a un punto d coordnadas globals ( x, y, z ) s valuarán, mdiant la xprsión: ξ x x η = Rot y y ζ z z n n n () dond ( x n, yn, z n ) son las coordnadas globals dl nodo d nsamblado dl patch y Rot s la matriz d rotación, qu vin dada por: cosφ snφ Rot = snθ snφ cosθ snθ cosφ (3) cosθsnφ snθ cosθ cosφ los ángulos φ, θ dinn la dircción normal al contorno rspcto a los js globals x, y, z. Las tnsions n cualquir punto dl patch xprsadas n l nuvo sistma d coordnadas s valuarán mdiant la xprsión: ξ ξη ξζ ξη η ηζ ξζ x ηζ = Rot xy ζ xz xy y yz xz yz Rot z T (4) La transformación invrsa para obtnr x, y, z, xy, xz, yz a partir d ξ, η, ζ, ξη, ξζ, ηζ s calcula ralizando una invrsión plantada n la Ecuación 4. El nuvo sistma d rrncia rsulta convnint para forzar l cumpliminto xacto d las rstriccions d tnsión impustas n los nodos d nsamblado dl patch, ya qu las tnsions normals al contorno son conocidas. En l polinomio d intrpolación d tnsions n l patch (cuación ) cada una d sus componnts n l nuvo sistma d coordnadas ( ξ, η, ζ, ξη, ξζ, ηζ ) y sus corrspondints drivadas con rspcto a dichas coordnadas pud sr xprsada, por jmplo para un polinomio d sgundo ordn, como: + = α ξ η ζ ξ η ζ ξη ηζ α ξζ (5) i i i 3 i 4 i 5 i 6 i 7 i 8 i 9 i ξ = i i 5 ξ i 8 η i ζ η = i 3 i 6 η ξ ζ i 8 i 9 (6) ζ = i 4 i = ξ, η, ζ, ξη, ξζ, ηζ i 7 ζ i 9 η i ξ Ahora s pud forzar l cumpliminto xacto d las rstriccions d tnsión impustas n los nodos d nsamblado considrando las xprsions (5) y (6) particularizadas n dicho nodo. Las xprsions antriors valuadas n l nodo d nsamblado dl patch, d coordnadas ξ =, η =, ζ = son: Información Tcnológica Vol. - 9 Nº5-8 3

4 ξ = α i = α, i η = α, i 3 ζ = α i 4 (7) Si l valor d alguna d las tnsions o d sus drivadas s conocido n l nodo d nsamblado dl patch, ntoncs s limina l corrspondint valor dl coicint α dl sistma d cuacions plantado, condnsando dicho sistma. Las situacions más habituals qu s pudn plantar para forzar las condicions d contorno son: Contorno con traccions impustas, si l nodo d nsamblado dl patch s ncuntra situado n un contorno dond s ha aplicado dtrminadas tnsions normals y tangncials al contorno, ntoncs los valors d tnsión normal y tangncial son conocidos n l nodo d nsamblado dl patch. Contorno con rstriccions d simtría, la condición d simtría n un contorno implica qu la tnsión tangncial ha d sr nula. En lo qu s rir a las tnsions n los casos studiados, la condición d simtría implica simtría d dichas tnsions con rspcto a la dircción normal al contorno, d tal forma qu la drivada d las tnsions rspcto a la dircción normal al contorno ha d sr nula y por lo tanto la condición d simtría n un contorno implica qu las rstriccions sobr dicho contorno son d sr d la forma dada n la cuación (7). Lo antrior s válido para todos los nodos vértics qu s ncuntran ubicados n l contorno dl dominio. Para incluir las cuacions d rstricción n stos nodos, s sustituy dirctamnt los valors d tnsión conocidos sobr un sistma d rrncia aproado, qu n st caso srá nuvamnt un sistma local ubicado n l nodo d nsambl dl patch. Una vz considradas las mjoras d las técnicas SPR y REP originals, s ncsario studiar los parámtros qu midn l comportaminto d la combinación d ambas n dos problmas con solución conocida, lo cual s prsnta n l siguint apartado. ÍNDICE DE EFECTIVIDAD Y CONVERGENCIA Para valuar cada uno d los parámtros ncsarios n la combinatoria d las técnicas SPR-R a REP-R y vicvrsa, s utilizan hxadros linals con intgración complta para dos problmas státicos, los cuals s dscribn a continuación: a. Esfra d pard grusa somtida a prsión intrna (vr Fig. ) con: radio intrno, R = 5 (m), radio xtrno R = (m), Prsión intrna P = (N/m ), módulo d lasticidad E = (N/m ), x = υ =.3 (adimnsional), y nrgía d dormación xacta u (Nm) /. Fig. : Esfra d pard grusa somtida a prsión intrna b. Placa cargada a tnsión con grita latral (vr Fig. ) con: = a =.6, n una placa d spsor = b, ancho c = 6,alto d =, (N/m ), longitud d grita d 7 E = (N/m ), 4 Información Tcnológica Vol. - 9 Nº5-8

5 υ =.333, u x =.7 (Nm) /. Para st problma sólo s analiza la combinación REP-R a SPR-R, dbido a qu al aplicar la técnica REP-R a ésta s obtin un mjor rsultado qu con SPR- R, sgún t al. (5). Fig. : Placa cargada a tnsión con grita latral Por otro lado, para studiar l comportaminto d la combinatoria, s db dtrminar l índic d ctividad y la vlocidad d convrgncia, sgún: imprsión θ = s x (8) dond x rprsnta l rror xacto y s dtrmina sgún cuación (9), s s l rror stimado. x u x u (9) u x rprsnta la norma nrgética d la solución xacta y u s la norma nrgética d la solución por lmntos finitos qu corrspond a la raíz cuadrada dl dobl d la nrgía d dormación, s dcir: u T = D dv () T = s ( ) D ( ) dv () V El valor d la nrgía d dormación xacta qu s ncsario para l cómputo dl rror ha sido obtnido n la grita como l rsultado d una malla muy rinada. Para studiar la convrgncia, s considra la formulación prsntada n (), dond ésta s ncuntra limitada por p y λ sgún l problma a valorar. Si la solución s suav, l valor d λ s grand y ntoncs la vlocidad d convrgncia stá limitada por l ordn polinómico d los lmntos, d tal manra qu para problmas tridimnsionals s válida la xprsión.a, mintras qu para l caso d la grita l coicint λ tin un pso significativo n la convrgncia y tin un valor d.5 para una fisura casi crrada. Considrando la singularidad n la solución s pud obtnr una xprsión para la vlocidad d convrgncia como s mustra n la cuación (.b). Información Tcnológica Vol. - 9 Nº5-8 5

6 a. ν = p b. ν = λ 3 3 () Finalmnt la vlocidad d convrgncia rprsnta la pndint d la curva η% = log η% contra = log, para la cual s ncsario dinir rror stimado rlativo n la norma nrgética a nivl global como: n% = u s + s (3) RESULTADOS Y DISCUSIÓN Al ralizar un análisis d la volución d la ctividad sgún la Fig. 3, s obsrva qu al aplicar la técnica REP-R inmdiatamnt dspués d la SPR-R (REP-R+SPR-R) los rsultados obtnidos hac qu s ncuntr l índic θ más crcano a la unidad hasta l trcr paso d malla, sin mbargo para l último rinaminto l índic d ctividad s casi l mismo. La magnitud d la vlocidad d convrgncia s similar n los primros rinamintos, sin mbargo al aumntar los grados d librtad aumnta hasta alcanzar un valor d.8, l cual s muy crcano a la magnitud tórica sprada. θ Índic d Efctividad η% Convrgncia SPR-R REP-R + SPR-R SPR-R REP-R + SPR-R Malla Intrmdia Malla Final Fig. 3: Combinación n sfra SPR-R a REP-R En la volución dl índic d ctividad n la Fig. 4, s obsrva qu al aplicar la técnica SPR-R dspués d la REP-R ésta no mjora, ya qu s suprior con SPR-R+REP-R n todos los rinamintos d malla, no obstant para l último rinaminto l comportaminto s similar qu l mostrado n la Fig.. La magnitud d la vlocidad d convrgncia s casi idéntica; n promdio s d.35 para todos los rinamintos. En l problma d la grita, l índic d ctividad tind al valor dsado, d forma más crcana cuando s aplica SPR-R lugo d REP-R, como s obsrva n la Fig. 5. Un comportaminto quivalnt lo xhib para la vlocidad d convrgncia, con un valor promdio d.3 para las trs últimas mallas. 6 Información Tcnológica Vol. - 9 Nº5-8

7 θ Índic d Efctividad η% Convrgncia REP-R SPR-R + REP-R REP-R SPR-R + REP-R Malla Intrmdia Malla Final Fig. 4: Combinación n sfra REP-R a SPR-R θ Índic d Efctividad REP-R SPR-R + REP-R η% Convrgncia REP-R SPR-R + REP-R Malla Intrmdia Malla Final Fig. 5: Combinación n grita REP-R a SPR-R CONCLUSIONES Los procdimintos combinados implmntados para la rconstrucción dl campo tnsional prsntan un comportaminto similar, ya qu para cada caso, las magnituds d los índics d ctividad tindn a la unidad cuando aumntan los. Un comportaminto análogo lo prsntan las vlocidads d convrgncia, las cuals tindn al valor tórico para cada caso studiado. Para las técnicas combinadas implmntadas n st trabajo, s concluy qu para l caso d la sfra, la técnica combinada REP-R a SPR-R no mjora l índic d ctividad ni aumnta la vlocidad d convrgncia significativamnt, mintras qu al aplicar la técnica SPR-R a REP-R s mjora l índic d ctividad sin afctar significativamnt la vlocidad d convrgncia. En l problma con solución singular, al aplicar la técnica SPR-R al procdiminto REP-R, s mjora l índic d ctividad, mintras qu la vlocidad d convrgncia s mantin casi constant. Es important rsaltar qu sgún los rsultados obtnidos, s indifrnt utilizar una técnica d alisado mjorada (SPR-R o REP-R) o la combinación d ambas cuando s tinn varios rinamintos h-adaptativos. Información Tcnológica Vol. - 9 Nº5-8 7

8 AGRADECIMIENTOS Al CDCHT por l financiaminto otorgado a st trabajo dsignado bajo l código: I-8-4--A. REFERENCIAS Blackr, T. y T. Blystschko, Suprconvrgnt patch rcovry with quilibrium and conjoint intrpolant nhancmnts, Intrnational Journal Numrical Mthods in Enginring: 37 (), (994). Boroomand, B. y O. Zinkiwicz; Rcovry by Equilibrium in patchs (REP), Intrnational Journal Numrical Mthods in Enginring: 4 (), (997). Boroomand B. y F. Mossaiby; Gnralization of robustnss tst procdur for rror stimators. Part II: tst rsults for rror stimators using SPR and REP, Int. J. Numr. Mth. Eng.: 64(), 46 5 (5) Düstr A., D. Scholz y E. Rank; pq -Adaptiv solid finit lmnts for thr-dimnsional plats and shlls, Computr Mthods in Applid Mchanics and Enginring: 97(4), (7). L, C.K. y S. Lo; Robust Implmntation of convrgnt patch rcovry tchniqu. Computational Mchanics; 34(), 75-8, (993). L, T., H. Park y S. L; A Suprconvrgnt Strss Rcovry Tchniqu with quilibrium Constrain, Intrnational Journal Numrical Mthods in Enginring: 4(), 39-6, (997). Ródnas, J. J.; Error d Discrtización n l cálculo d snsibilidads mdiant l método d los lmntos finitos, Ph.D. Thsis, Dpto. d Ingniría Mcánica y Matrials, Univrsidad Politécnica d Valncia-Spain ()., M.J.; H-Adaptatividad n lmntos finitos con rinaminto por subdivisión, Ph.D. Thsis, Dpto. d Ingniría Mcánica y Matrials, Univrsidad Politécnica d Valncia-Spain (). M. y otros cuatro autors; Técnicas para la Estimación d Error d Discrtización n Subdivisión d Hxadros, 8º Congrso Ibroamricano d Ingniría Mcánica, -5, Cusco, Prú, Octubr 3-5 (7a). M. y otros cuatro autors; H-Adaptatividad n Elmntos Finitos con Rinaminto por Subdivisión para Dominios 3D, r Congrso Intrnacional Cintífico/Técnico d Ingniría CICTILUZ- 7, 3-7, Maracaibo, Vnzula, Novimbr 4-9 (7b)., M.J., S. Provnzano, L. y F. Rivas; 3D Problms Analysis using Rcovry Strss, WSEAS Transactions on Computrs: 4(4), 44-47, (5). Wibrg, N. y F. Abdulwahab; Patch rcovry basd on suprconvrgnt drivats and quilibrium, Intrnational Journal Numrical Mthods in Enginring: 36(), 73-74, (993). Wibrg, N., F. Abdulwahab y S. Ziukas; Enhancd suprconvrgnt patch rcovry incorporating quilibrium and boundary conditions, Intrnational Journal Numrical Mthods in Enginring: 37(), , (994). Zinkiwicz O. y J.Z. Zhu; Th suprconvrgnt patch rcovry and a postriori rror stimats. Part. Th rcovry Tchniqu, Intrnational Journal Numrical Mthods in Enginring: 33(), , (99). 8 Información Tcnológica Vol. - 9 Nº5-8