Tema 8.1: Familias normales de funciones holomorfas. Teoremas de Montel y Vitali

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1 Tema 8.1: Familias ormales de fucioes holomorfas. Teoremas de Motel y Vitali Facultad de Ciecias Experimetales, Curso Erique de Amo, Uiversidad de Almería Este tema se dedica al estudio de la compacidad del espacio H () de las fucioes holomorfas de idas sobre u abierto del plao complejo C. Vuelve la topología de la covergecia uiforme sobre compactos a recuperar u papel cetral. El puto de partida será el cocepto de familia ormal de fucioes cotiuas e. La propiedad de Bolzao-Weierstrass la caracterizará e espacios métricos. Será esta la base de la prueba de que las familias ormales está putualmete acotadas y so putualmete equicotiuas. El teorema de Ascoli-Arzelà será el ecargado de probar que ambas codicioes so su cietes para la ormalidad de ua familia de fucioes; de este modo, se obtedrá ua caracterizació de la ormalidad muy útil, a posteriori, cuado itroduzcamos la holomorfía e el juego: como co Weierstrass teemos que el cierre para familias de fucioes coicide e los espacios de fucioes cotiuas y de fucioes holomorfas, cocluiremos que ua familia será ormal si, y sólo si, es u cerrado y acotado de H (). De ició. Ua familia F de fucioes cotiuas sobre u abierto del plao complejo C se dice ormal cuado e C () es u cojuto relativamete compacto. Es bie coocida la caracterizació de Bolzao-Weierstrass de los cojutos relativamete compactos e espacios métricos (que euciamos si demostració): Lema (Propiedad de Bolzao-Wierstrass). U cojuto F de u espacio métrico es relativamete compacto si, y sólo si, toda sucesió de elemetos de F admite ua parcial covergete (o ecesariamete e F ). A cotiuació damos dos codicioes ecesarias de ormalidad. Proposició A. Las familias F ormales de fucioes cotiuas sobre abiertos del plao complejo C está putualmete acotadas. (Es decir, para cada a 2 ; ff (a) : f 2 Fg está acotado.) Demostració. Basta co observar que para cada a 2 A, la aplicació f! f(a) de C () e C es cotiua. Q.E.D. 1

2 Proposició B. Las familias F ormales de fucioes cotiuas sobre abiertos del plao complejo C so putualmete equicotiuas: 8a 2 jz aj < 9 > 0 : ) jf (z) f (a)j < "; 8f 2 F 8" > 0 z 2 Demostració. Fijemos a e y " > 0. Ha de existir > 0 tal que K := D(a; ): Por otro lado, la familia U f; K; " o : f 2 F 3 es cubrimieto de F; luego podemos elegir u recubrimieto ito que lo cotega: 9f 1 ; :::; f 2 F : F [ k=1u f k ; K; " : 3 Razoamos por cotiuidad para cada k: 90 < k < : jz aj < k ) jf k (z) f k (a)j < " 3 ; y elegimos := mi f 1 ; :::; g. Ahora, tomemos cualesquiera f 2 F y jz aj <. Para algú k, f 2 U f k ; K; " 3. Así: jf(z) f(a)j jf(z) f k (z)j + jf k (z) f k (a)j + jf k (a) f(a)j < ": Q.E.D. Las dos codicioes ecesarias obteidas e las proposicioes A y B para que ua familia de fucioes cotiuas sea ormal so tambié su cietes: es lo que os dirá, más adelate, el teorema de Ascoli-Arzelá. Para poermos e la direcció de este resultado precisamos de dos lemas. Lema 1. Sea (f ) ua sucesió de fucioes cotiuas e u abierto del plao complejo C. Supogamos que la familia ff : 2 Ng es putualmete equicotiua. Supogamos que (f ) coverge putualmete e cada puto de u subcojuto A deso e. Etoces (f ) es uiformemete covergete sobre los compactos de. Demostració. Fijado u compacto arbitrario K, probaremos que la sucesió (f ) es uiformemete de Cauchy e él. Sea " > 0. Por argumetos de equicotiuidad putual, para cada z 2 ; existe = (z) > 0, tal que w 2 ; jw zj < ) jf (z) f (w)j < " ; 8 2 N: [1] 5 Por argumetos, ahora, de compacidad: 9z 1 ; :::; z m 2 K : K [ m j=1d (z j ; (z j )) ; lo que permite a rmar (justifícalo) que 9a 1 ; :::; a m 2 A : a j 2 D (z j ; (z j )) ; 8j 2 f1; :::; mg : 2

3 Como hay covergecia putual e los putos del cojuto deso A, la sucesió (f (a)) es, e particular, de Cauchy: j 2 f1; :::; mg ) 9 j 2 N : p; q j ) jf p (a j ) f q (a j )j < " 5 : [2] Sea 0 := max f 1 ; :::; m g y sea p; q 0 y z 2 K. Habrá de existir algú j 2 f1; :::; mg tal que z 2 D (z j ; (z j )) ; de modo que (usado ua vez [2] y dos veces [1]): jf p (z) f q (z)j jf p (z) f p (z j )j + jf p (z j ) f p (a j )j + + jf p (a j ) f q (a j )j + jf q (a j ) f q (z j )j + jf q (z j ) f q (z)j < 5"=5 = "; luego (f ) es uiformemete de Cauchy e K: Q.E.D. Para el siguiete lema, se avisa: estaremos e ua demostració de tipo diagoalizació de Cator, realmete espectacular. Disfrutémosla. Lema 2. Sea F ua familia de fucioes cotiuas sobre u abierto ; putualmete acotada e. Sea A u subcojuto (i ito) umerable de y ff : 2 Ng F. Etoces existe ua parcial f '() covergete e cada puto de A: Demostració. (Parte costructiva.) Aotemos A := fa : 2 Ng. Como la sucesió de complejos (f (a 1 )) está acotada, admitirá ua parcial covergete; llamémosla f 1() (a 1 ). Del mismo modo, la sucesió f 1() (a 2 ) está acotada: vamos a escribir como f 2() (a 2 ) la parcial covergete que admite. Observa que, de paso, y esto es lo importate, estamos garatizado que f 2() (a 1 ) coverge, pues f 2() es parcial de f 1() : Escribamos, para precisar la otació, como sigue: 9 1 : N! N estrictamete creciete tal que 2 = 1 1 : Procedemos por iducció: dadas aplicacioes k ; k : N! N estrictamete crecietes co f k () (a j ) covergete para 1 j k podemos de ir k+1 = k k. Razoamos ahora que la sucesió f k () (a k+1 ) está acotada y, por tato, admite ua parcial f k+1 () (a k+1 ) covergete, que garatiza la covergecia de f k+1 () (a j ) para 1 j k + 1. (Parte calculística.) Pues bie, llamemos '() := (), para cada atural ( cómo huele a al!): el objetivo ya es probar que, e efecto, la sucesió f '() es ua parcial de (f ) que coverge e todo puto de A. Que es parcial es trivial: ' ( + 1) = +1 ( + 1) = ( ) ( + 1) = [ ( + 1)] [ ()] = ( ) () = ' () : 3

4 Para p 2 N, veamos que la sucesió f '() (a p ) es covergete. Para ello, bastará probar que f '(p+) (a p ) es covergete. Y ello lo vamos a lograr viedo que, de hecho es parcial de f p() (a p ) ; la cual es, evidetemete, covergete. (Disfrutas, o?) Vamos a probar, por tato (pues es su ciete) que 9 : N! N estrictamete creciete tal que ' p+ = p : Como y es ' (p + ) = p+ (p + ) = ( p+ 1 p+ 1 ) (p + ) = p+ 1 [ p+ 1 (p + )] = ( p+ 2 p+ 2 ) [ p+ 1 (p + )] = ( p+ 2 p+ 2 p+ 1 ) (p + ) ::: = ( p p ::: p+ 1 ) (p + ) =: p [ ] ; +1 : = ( p ::: p+ 1 p+ ) (p + + 1) > ( p ::: p+ 1 ) (p + ) =: ; luego llegamos a la meta. Q.E.D. Teorema de Ascoli-Arzelà. Ua familia F de fucioes cotiuas sobre u abierto del plao complejo C es ormal si, y sólo si, está putualmete acotada y es putualmete equicotiua e. Demostració. Basta probar la su ciecia. Sea A u subcojuto deso y umerable de ( razoa la existecia de tal cojuto!). Si cosideramos ua sucesió (f ) de elemetos de F, por el lema 2 teemos que existe ua parcial f '() covergete e cada puto de A: Como la equicotiuidad putual se hereda por subfamilias, f '() lo habrá de ser e A; y es posible aplicarle el lema 1: f '() coverge uiformemete sobre compactos de. Ahora ya basta aplicar el lema (Propiedad de Bolzao-Weierstrass) que ecabezaba este tema. Q.E.D. Observació: F H () C () y H () es cerrado e C () (teorema de Weierstrass) ) y, por tato, para F H () : F H() = F C() ; F es ormal, F C() es compacto de C (),, F H() es compacto de H () : Para las familias de fucioes holomorfas se puede elimiar la codició de equicotiuidad putual a cambio de edurecer la acotació putual. Cocretamete: 4

5 Primer teorema de Motel. Ua familia F de fucioes holomorfas sobre u abierto del plao complejo C es ormal si, y sólo si, está uiformete acotada e cada compacto de. Demostració. (() Codició su ciete: el objetivo será probar las codicioes que caracteriza la ormalidad e el teorema de Ascoli-Arzelá. Sea K u compacto. La acotació uiforme (sobre compactos) os da que 9M K > 0 : jf(z)j M K ; 8z 2 K; 8f 2 F: E particular, F está putualmete acotada e. Sea ahora a 2 y " > 0. Para ellos, otra vez la acotació uiforme sobre compactos: 9D(a; R) ; 9M > 0 : jf(w)j M; 8w 2 C(a; R); 8f 2 F: Por la fórmula elemetal de Cauchy, si z 2 D(a; R 2 ): Z Z 1 f(w) jf(z) f(a)j = i2 C(a;R) w z dw 1 f(w) i2 C(a;R) w a dw = 1 Z z a f(w) 2 (w z) (w a) dw Si elegimos := mi "R 2M ; R 2 C(a;R) 1 jz 2RM aj 2 R 2 R = 2M R, etoces jz aj : jz aj < ) jf(z) f(a)j < "; 8f 2 F luego la familia F es putualmete equicotiua e, y el teorema de Ascoli- Arzelà os da ormalidad. ()) Para u compacto arbitrario K la familia U (f; K; 1) : f 2 F es u cubrimieto por abiertos del compacto F, del que, por tato, se puede extraer u recubrimieto ito: 9f 1 ; :::; f 2 F : F [ k=1u (f k ; K; 1) : Ahora, por argumetos de cotiuidad: 8j 2 f1; :::; g ; 9M j > 0 : jf j (z)j M j ; 8z 2 K: (Haz explícitos los cálculos.) Sea, ahora, M := 1 + max fm 1 ; :::; M g. Para f 2 F y z 2 K, se tiee que 9j 2 f1; :::; g : f 2 U (f j ; K; 1) 5

6 y jf(z)j jf(z) f j (z)j + jf j (z)j < 1 + M j M; luego se sigue su acotació uiforme sobre K. Q.E.D. Corolario. Sea 1 y 2 abiertos de C. Supogamos que 2 está acotado. Etoces la familia es ormal. ff 2 H ( 1 ) : f ( 1 ) 2 g Demostració. Claramete, para cada compacto K 1, la familia dada estará uiformemete acotada ( por estarlo 2!). El (primer) teorema de Motel se ecarga del resto. Q.E.D. Cocluimos ya este tema co ua cosecuecia de la ormalidad para familias de fucioes holomorfas. Será cosecuecia de u lema, el cual se ispira e el siguiete resultado que euciamos a cotiuació (y que o probaremos ya que sólo os iteresará a modo de curiosidad iformativa): Segudo teorema de Motel. (Motel-Caratheòdory) Sea = C y sea ; 2 C, 6=. Etoces, cualquier familia de la forma es ormal. ff 2 H () : f () C f; gg Lema Sea (x ) ua sucesió o covergete e u espacio métrico compacto E. Etoces existe sucesioes parciales x () y x(), y a; b 2 E, a 6= b, tales que x ()! a y x ()! b. Demostració. Por argumetos de compacidad, existe ua parcial covergete: 9 : N! N estrictamete creciete y 9a 2 E : x ()! a: Por otro lado, al ser (x ) ua sucesió o covergete, para algú " > 0; el cojuto A := f 2 N : dist (x ; a) "g es i ito. Y, por tato, 9 : N! A estrictamete creciete. Pero, a su vez, esta parcial x () admitirá otra (sub)parcial covergete, que deotaremos por x ('()), y que tedrá como límite a cierto b. Ahora bie, como " dist (a; x ) ; 8 2 A; y, e particular, " dist a; x ('()) ; 8 2 A; 6

7 se sigue (por la cotiuidad de la fució distacia) que " dist (a; b) ; de dode a 6= b y basta hacer := ' para completar la demostració. Q.E.D. Llamamos la ateció sobre el codimeto de coexió que se itroduce e el próximo resultado: el pricipio de idetidad etrará e juego e el mometo decisivo. Teorema de Vitali. Sea (f ) ua sucesió de fucioes holomorfas uiformete acotada e cada compacto de u domiio del plao complejo C: Supogamos que (f ) coverge putualmete e u cojuto A tal que A 0 \ 6=?. Etoces (f ) coverge uiformemete sobre compactos de : Demostració. La familia F := ff : 2 Ng es ormal (primer teorema de Motel) y resulta que su cierre es u espacio métrico compacto (e H ()). Llamémoslo E (... lo cual es u acierto!) para aplicarle el lema precedete: si razoamos por reducció al absurdo, podemos ecotrar f y g e E, tales que, para coveiete aplicacioes estrictamete crecietes ; : N! N, se veri ca: f ()! f y f ()! g: Por el teorema de covergecia de Weierstrass, teemos que f; g 2 H (). Ahora bie, si a 2 A, la covergecia de la sucesió (f (a)) os coduce a que: f(a) = lim f () (a) = lim f () (a) = g(a); luego f y g coicide sobre A. Fialmete, pricipio de idetidad para fucioes holorfas: pa qué te quiero! Q.E.D. EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. Sea u abierto de C y sea F H () ua familia o acotada de fucios holomorfas e. Prueba que existe, al meos, u a 2 tal que F o está uiformemete acotado e igú etoro de a. 2. Sea f j ; j 2 Ig ua famila de abiertos del plao C. Sea := [ I j. Llamemos F := o f :! C : f 2 \ H ( j ) ; f acotada : I Prueba que F ha de estar acotada e H () : 3. Sea u domiio acotado de C y M > 0. Cosideremos la familia Z f 2 H () : jf (z)j 2 dz M : Prueba que F está acotada e H () : 7

8 4. Sea F H (D). Supogamos que la familia F 0 := ff 0 : f 2 Fg sea u cojuto relativamete compacto de H (D) y que el cojuto ff (0) : f 2 Fg está acotado. Prueba que F tambié es u cojuto relativamete compacto de H (D) :Prueba que dada ua sucesió (f ) de fucioes holomorfas e u domiio ; o ha de existir, ecesariamete ua parcial f () que coverja uiformemete e. (Cosidera lo que ocurre co las sucesioes z; 2z; 3z; :::; z; ::: e D, o bie z; z 2 ; z 3 ; :::; z ; ::: e D(0; 2).) 5. Sea u domiio acotado de C y f 2 H () : Supogamos que f () y f(a) = a para algú a 2. (a) Sea f 1 := f y f +1 := f f, 1. Calcula f 0 (a) y deduce que jf 0 (a)j 1: (b) Supogamos que f 0 (a) = 1. Prueba que f(z) = z, 8z 2. (c) Prueba que si existe k 2 N tal que [f 0 (a)] k = 1, etoces f ha de ser biyecció de e. 6. Prueba que el cojuto ff 2 H () : f () y f(a) = a para algú a 2 g es cerrado para la covergecia uiforme sobre compactos. Dedúzcase que si jf 0 (a)j = 1; etoces f ha de ser biyecció de e co iversa holomorfa. 7. La familia Aut(D) de los automor smos coformes del disco uidad, es u cojuto relativamete compacto de H (D)? 8. Sea la familia F H (D) veri cado las dos codicioes siguietes: (a) Re f (z) > 0; 8z 2 D; 8f 2 F; y (b) el cojuto ff (0) : f 2 Fg está acotado. Prueba que F es u cojuto relativamete compacto de H (D) : 9. Prueba que la familia o f 2 H (D) : f(0) = 0; f ) (0) ( + 1)!; 8 2 N es u compacto de H (D) : 8