MATEMÁTICAS II 2º BACHARELATO

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1 MATEMÁTICAS II º BACHARELATO Profesors: Trinidd Pos Celis An I. Vldés Fernánde 4-5

2 BLOQUE: ANÁLISIS LÍMITES DE FUNCIONES.CONTINUIDAD... 5 Conceptos preliminres... 5 Definición de fnción rel de vrible rel... 5 o Dominio de definición de n fnción... 5 o Recorrido de n fnción... 5 o Grfo de n fnción... 5 Fnciones elementles... 5 Límite de n fnción en n pnto... 8 o Límites lterles... 9 o Cálclo de límites de fnciones... 9 o Asíntots... Fnción contin en n pnto... o Continidd lterl.... o Tipos de discontiniddes... Continidd en n intervlo... Teorem de Bolno... o Interpretción geométric del Teorem de Bolno... Teorem de Weierstrss... o Interpretción geométric del Teorem de Weierstrss... EJERCICIOS... SELECTIVIDAD: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN... 8 Definición de ts de vrición medi Definición de ts de vrición instntáne o derivd en n pnto o Interpretción geométric de l derivd o Derivds lterles.... Ección de l rect tngente en n pnto.... Ección de l norml.... Relción entre continidd derivbilidd.... Fnción derivd. Derivds de orden sperior.... Regls de derivción.... EJERCICIOS... 4 SELECTIVIDAD: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS AL ESTUDIO DE LAS PROPIEDADES LOCALES Y GLOBALES DE UNA FUNCIÓN... 8 Definición de fnción creciente decreciente... 8 Definición de etremos reltivos bsoltos Criterios pr el cálclo de etremos reltivos o Criterio. Vrición del signo de l derivd primer en el entorno del pnto o Criterio. Vlor de l derivd segnd en el pnto Concvidd conveidd.... o Pntos de infleión.... Criterio pr el cálclo de pntos de infleión... Problems de optimición.... Enncido de l Regl de l Hôpitl... Teorem de Rolle... o Enncido... o Interpretción geométric del Teorem de Rolle...

3 Teorem del Vlor Medio del Cálclo Diferencil (o de los Incrementos Finitos)... 4 o Interpretción geométric del Teorem del Vlor Medio del Cálclo Diferencil REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES... 5 EJERCICIOS... 8 SELECTIVIDAD EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE LÍMITES PRIMITIVAS DE UNA FUNCIÓN... 5 Definición... 5 o Teorem... 5 Definición de integrl indefinid... 5 Propieddes lineles... 5 Cálclo de integrles inmedits... 5 Cálclo de primitivs... 5 o Integrles csi inmedits /o jste de l constnte o Método de integrción por prtes o Método de cmbio de vrible o Integrción de fnciones rcionles EJERCICIOS CUESTIONES: SOLUCIONES: SELECTIVIDAD INTEGRAL DEFINIDA... 6 Sms speriores e inferiores de Riemnn de n fnción socid n prtición... 6 Integrl definid... 6 Interpretción geométric de l integrl definid... 6 Propieddes de l integrl definid... 6 Teorem del Vlor Medio del Cálclo Integrl... 6 o Interpretción geométric del Teorem del Vlor Medio del Cálclo Integrl... 6 Teorem Fndmentl del Cálclo Integrl... 6 Regl de Brrow... 6 Cálclo de áres plns limitds por fnciones... 6 EJERCICIOS SELECTIVIDAD: BLOQUE:ÁLGEBRA MATRICES... 7 Definición elementos de n mtri... 7 Tipos de mtrices... 7 o Mtri fil... 7 o Mtri colmn... 7 o Mtri rectnglr... 7 o Mtri nl... 7 o Mtri trspest... 7 o Mtri simétric... 7 o Mtri ntisimétric... 7 o Mtri cdrd... 7 Sm de mtrices o Propieddes Prodcto de n mtri por n esclr o Propieddes.... 7

4 Prodcto de mtrices o Propieddes EJERCICIOS SELECTIVIDAD DETERMINANTES Definición de determinnte de n mtri cdrd Determinnte de orden Determinnte de orden o Regl de Srrs Definición de menor complementrio de djnto de n elemento Desrrollo de n determinnte por los elementos de n líne Propieddes elementles de los determinntes EJERCICIOS... 8 SELECTIVIDAD APLICACIONES DE LOS DETERMINANTES... 8 Definición... 8 Cálclo del rngo de n mtri... 8 o Trnsformciones elementles... 8 Cálclo del rngo por el método de Gss... 8 Definición de mtri invers de n mtri cdrd... 8 Teorem. Condición necesri sficiente pr l eistenci de mtri invers... 8 Cálclo de l mtri invers... 8 Propieddes Cálclo de l mtri invers tilindo el método de Gss EJERCICIOS SELECTIVIDAD SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES... 9 Definiciones... 9 Sistems homogéneos... 9 Sistems de ecciones eqivlentes... 9 Form mtricil de n sistem... 9 Clsificción de los sistems tendiendo l número de solciones DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Enncido del Teorem de Roché-Frobenis Discsión de sistems de ecciones lineles Enncido de l Regl de Crmer Discsión resolción por el método de Gss Discsión resolción de sistems de ecciones lineles con n prámetro EJERCICIOS BLOQUE: GEOMETRÍA....VECTORES EN EL ESPACIO... Vectores en el espcio... o Operciones con vectores... o Dependenci e independenci linel de vectores... Prodcto esclr de dos vectores... 4 o Propieddes... 4 o Interpretción geométric... 4 o Epresión nlític... 5 Módlo de n vector... 5

5 o Vector nitrio... 5 o Ánglo qe formn dos vectores... 5 o Ortogonlidd... 5 Prodcto vectoril de dos vectores... 6 o Propieddes... 6 o Epresión nlític... 6 o Interpretción geométric... 6 Prodcto mito de tres vectores... 7 o Epresión nlític del prodcto mito... 7 o Propieddes... 7 o Interpretción geométric... 7 EJERCICIOS RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO... Ecciones de l rect... Ecciones del plno... Posiciones reltivs de dos plnos... 5 Posiciones reltivs de tres plnos... 5 Posiciones reltivs de n rect n plno... 7 Posiciones reltivs de dos rects... 8 EJERCICIOS:.... ESPACIO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: ÁNGULOS, PERPENDICULARIDAD DE RECTAS Y PLANOS... Ánglo qe formn dos rects... o Condición de perpendiclridd de dos rects... Ánglo qe formn dos plnos... o Condición de perpendiclridd de dos plnos... Ánglo qe formn rect plno... 4 o Condición de perpendiclridd de rect plno... 4 EJERCICIOS APLICACIONES DE LOS PRODUCTOS ESCALAR, VECTORIAL Y MIXTO AL CÁLCULO DE DISTANCIAS... 7 Distnci entre dos pntos... 7 Distnci de n pnto n plno... 7 o Distnci entre dos plnos prlelos... 7 o Distnci entre n rect n plno prlelos... 7 Distnci de n pnto n rect... 8 Distnci entre dos rects... EJERCICIOS... SELECTIVIDAD... 4

6 BLOQUE: ANÁLISIS. LÍMITES DE FUNCIONES.CONTINUIDAD Conceptos preliminres Definición de fnción rel de vrible rel Ddo n sbconjnto A de números reles, n fnción f rel de vrible rel definid sobre A, es n plicción qe relcion cd vlor de A con n único vlor rel, llmdo imgen de. f : A R v. independiente; v. dependiente f ( ) o Dominio de definición de n fnción Es el sbconjnto de los números reles donde l vrible independiente tom vlores. El dominio de n fnción contiene todos los números reles qe permiten relir ls operciones qe crcterin f. Dom (f) R / f() R D f o Recorrido de n fnción Es el sbconjnto de los números reles de form Imf( f ) f / D f { ( ) ( )} o Grfo de n fnción Es l representción de l fnción en el plno crtesino. Fnciones elementles f ( ) Constnte: s epresión es:. Dominio: R. Gráfic: rect horiontl qe ps por (,). f ( ) ( ) A cndo recorre todos los vlores del dominio. Linel: s epresión es: f ( ) m donde m es l pendiente. Dominio: R. Gráfic: es n rect qe ps por el origen. m > crece m < decrece Afín: s epresión es: f ( ) m n donde m es l pendiente n es l ordend en el origen. Dominio: R. Gráfic: es n rect qe no ps por el origen. m > crece m < decrece 5

7 ( ) Cdrátic: es f ( ) b c;. Dominio: R. b Gráfic: n prábol de eje verticl, de vértice V, f b > < Proporcionlidd invers: es { } Dominio: D R Gráfic: hipérbol eqiláter. Decreciente si k > Creciente si k < Es simétric respecto l origen f ( ) k, siendo k n número rel no nlo. k< k> Definids troos: Son vris fórmls, cd n de ls cles rige el comportmiento de l fnción en n cierto trmo. Se represent cd trmo, prestndo tención s comportmiento en los pntos de emplme. Fnción vlor bsolto, si <, si ; 6

8 Vlor bsolto de n fnción: ( ) ( ) ( ) ( ) f, cndo f < f ( ) f, cndo f Eponenciles: f ( ), R de bse <. Dominio R. Ls gráfics de ests fnciones tienen n form crcterístic se deben distingir dos csos: > creciente < < decreciente. Ambs psn por el pnto (,) > < Ejercicio: Reselve ls ecciones eponenciles: ) 4 b) c) d) b Definición de logritmo: log b ; < Propieddes: log log log ( ) log log log ( ) log log log log P log b b P 7

9 Fnción logrítmic: es f ( ) log de bse. S dominio es R >. Es l invers de l fnción eponencil de l mism bse, por tnto, ss representciones gráfics son simétrics respecto de l bisectri del er er cdrnte. Iglmente distingiremos dos csos: > creciente < < decreciente. Ps por (,). < > Trigonométrics: fnción seno fnción coseno f ( ) sen f ( ) cos. S dominio es R. Son periódics de período π. L fnción tngente f ( ) tg. Es periódic de π período π. S dominio es R - ( k -) ; k Z Composición de fnciones: Es n operción propi de ls fnciones. Se represent por el símbolo se clcl en orden inverso cómo ctún. f L composición de fnciones no es conmttiv. ( g f )( ) g( f ( ) ) ( ) g( f ( ) ) Límite de n fnción en n pnto Se dice qe n número rel L es el límite de n fnción f f en el pnto si l tomr vlores de cd ve más próimos, los vlores de ls imágenes f ( ) están tmbién más próims L. Lo escribiremos lim f.l definición forml es: ( ) L g ( ) ε > δ > / ( δ, δ ), f ( ) ( L ε L ε ), 8

10 o Límites lterles El tipo de tendenci de n fnción pede ser diferente cndo se proim con vlores mores o menores qe (por l derech o por l iqierd de ). Se representn lim f ; lim f ( ) ( ) Ejemplo: lim ; lim Cndo los límites lterles no coinciden, l fnción no tiene límite en ese pnto. o Cálclo de límites de fnciones En l práctic, pr clclr lim f, hcemos l sstitción de por efectmos ls operciones indicds, igl qe con ls scesiones. ( ) Operciones lim ( f ± g)( ) lim f ( ) ± lim g( ) lim ( f g)( ) lim f ( ) lim g( ) lim f g ( ) lim f lim g ( ) ( ) siendolim g( ) lim g ( ( )) ( f ) lim f ( ) lim g ( ) ( ) ; f ( ) > Límites de fnciones en el infinito El cálclo de límites de fnciones es igl qe el de scesiones, sólo h qe tener en cent qe en ls fnciones l vrible pede tender n número ó. Por lo tnto, sólo hemos de tener en cent l regl de los signos. Ls indeterminciones qe se presentn son del mismo tipo qe pr ls scesiones: ± ± ( ± ) ( ) Operciones con epresiones infinits. Sms ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Prodctos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Si > ( ) ( ) Si < ( ) 9

11 Cocientes Potencis ( ) ± ( ) Si >, ( ) ± (h qe hllr los límites lterles) Si <, ( ) Si, ± ± Si > ± > < Si << > < o Asíntots Ls síntots son rects ls qe se proim infinitmente l gráfic de l fnción. Peden ser de tres tipos: ) Asíntots verticles. Son rects de l form ( es n número), se dn cndo lim f ( ) ±, o cndo lgno de los límites lterles d ±. Pr encontrrls se compreb en pntos qe no están en el dominio (o en pntos en los qe cmbi l epresión de l fnción en fnciones troos). b) Asíntots horiontles. Son rects de l form ( es n número), se dn cndo lim f ( ) o gráfic no tienen porqé coincidir). lim f ( ). (Sólo pede hber n pr cd ldo de l c) Asíntots oblics. Son rects de l form m n (m n son números). Si l fnción f ( ) tiene síntots horiontles no pede tener oblics. Se d por l derech cndo lím m n lim f ( ) m.(l síntot por el ldo iqierdo se hll con ) en este cso se obtiene ( ) L gráfic de l fnción pede cortr ls síntots horiontles oblics, pero nnc ls verticles. Fnción contin en n pnto Un fnción f es contin en n pnto si cmple ls tres condiciones sigientes: ) Eiste el límite (finito) de l fnción f () en. b) L fnción está definid en ; es decir, eiste f (). lim f( ) f( ) c) Los dos vlores nteriores coinciden. Si n fnción no es contin en n pnto, diremos qe es discontin en dicho pnto.

12 o Continidd lterl. Un fnción es contin por l derech en n pnto si eiste límite por l derech en él coincide con el vlor qe tom l fnción en ese pnto: lim f ( ) f ( ) Un fnción es contin por l iqierd en n pnto si eiste el límite por l iqierd en él coincide con el vlor qe tom l fnción en ese pnto: lim f ( ) f ( ) o Tipos de discontiniddes ) Un fnción tiene n discontinidd evitble en n pnto cndo eiste límite en él no coincide con el vlor de l fnción en el mismo (o este no eiste). El vlor qe deberímos dr l fnción en dicho pnto pr qe fer contin en él se llm vlor verddero de l fnción en el mismo. b) Un fnción tiene n discontinidd de slto en n pnto cndo eisten los límites lterles (finitos) en él son distintos. c) Un fnción tiene n discontinidd infinit en n pnto si lgno de los límites lterles es infinito (o menos infinito). Continidd en n intervlo Un fnción es contin en n intervlo bierto (,b) si lo es en cd no de ss pntos. Un fnción es contin en n intervlo cerrdo [,b] si lo es todos los pntos de (,b) demás es contin por l derech en por l iqierd en b. Teorem de Bolno Si n fnción es contin en n intervlo [,b] tom vlores de signo opesto en los etremos, entonces eiste l menos n pnto interior c del intervlo en el qe f ( c).

13 o Interpretción geométric del Teorem de Bolno Si n gráfic contin ps de ser positiv ser negtiv (o vicevers), entonces trvies el eje de bsciss en l menos n pnto. b b El Teorem de Bolno es m práctico pr probr qe determinds ecciones poseen solción. Teorem de Weierstrss [,b] "Si n fnción es contin en n intervlo cerrdo, entonces lcn n vlor máimo M n vlor mínimo m en ese intervlo". o Interpretción geométric del Teorem de Weierstrss Si n fnción es contin en [, b], los pntos (, f ( ) ) ( b, f ( b) ) peden nirse por medio de n crv contin. Así, se obtienen dos pntos del intervlo [,b] en los qe l fnción tom, respectivmente, el menor el mor vlor posible dentro de ese intervlo. M M m [ ] b m [ ] b Consecencis de los teorems ) Si n fnción f es contin en n intervlo [,b] k es n número comprendido entre los vlores f () f (b), entonces eiste lgún c en (,b) tl qe f ( c) k. b) Si n fnción es contin en el intervlo (,b), l fnción tom en ese intervlo todos los vlores comprendidos entre el máimo el mínimo. c) Si dos fnciones f g son contins en n intervlo [,b]; f ( ) > g( ) f ( b) < g( b) o vicevers, entonces eiste lgún c en (,b) tl qe f ( c) g c. ( ) [ ] b

14 EJERCICIOS ) Clcl el dominio: ) f ( ) 4 e) f ( ) 6 i) f ( ) b) f ( ) 6 j) f f) ( ) ( ) f 4 6 c) ( ) k) f f ( ) ln ( 5) g) f ( ) l) f ( ) 4 d) f ( ) h) f ( ) 5 m) f ( ) ) Represent gráficmente ls sigientes fnciones definids troos: 4 4 si si < ) f ( ) b) f ( ) c) 5 8 si 5 si < 8 ) El número de miles de socios de n clb de fútbol, lo lrgo de los últimos ños viene ddo t 4t 5 si t 5 por l fnción f ( t) si 5 < t 7. - t 7 si 7 < t ) En qé intervlos de tiempo creció o disminó el número de socios? b) Drnte cánto tiempo se sperron los 5 socidos? 4) Reselve ls sigientes ecciones eponenciles: 9 ) } b) 7 8 } c) d) 6 { } } e) f) 4 log 8 log '69 5) Clcl los sigientes logritmos: ) log 8 c) log e) log b) log 8 4 d) log 4 f) log 6) Clcl en ls sigientes epresiones: ) log 6 c) log b) log 7 7

15 7) Represent gráficmente ls sigientes fnciones eponenciles logrítmics: ) f ( ) b) f ( ) e c) f ( ) log 8) Represent gráficmente ls sigiente fnción: sen 9) Clcl l composición de ls sigientes fnciones: ) f ( ) g( ) d) f ( ) g( ) 5 b) f ( ) g( ) e) f ( ) g( ) c) f ( ) g( ) ) Clcl los sigientes límites: ) lim( 6 8) { 8} 4 c) lim { } 7 4 b) lim( 5 ) { 4} d) ( e ) { } ) Reselve ls sigientes ecciones logrítmics: b) ) log log( ) ( log ) 9log 5 ; c) log ( 6) log( 5) { } ) Clcl los sigientes límites: ) lim { } d) lim { } 5 4 b) lim ( ) { } e) lim { } c) lim { } f) lim { } ) Clcl los sigientes límites: ) lim c) { } lim { } d) lim ( 5) { } b) lim 4 4 4) Clcl los sigientes límites: 5 ) lim 5 e) lim e } 8 b) lim { } f) lim( 8) { e 9 } c) 5 lim g) 5 { 4} lim( ) 6 4 { } d) 5 5 lim { e } 5 4

16 5) Dibj el recinto limitdo por ls crvs: e ; e ;. 8 6) Consider l fnción f ( ). Obtén los vlores de b pr qe ls rects e b 6 4 sen, respectivmente, l síntot verticl horiontl de l fnción. ; b 9 m si 7) Consider l fnción f ( ). Dedce el vlor de m pr qe l fnción teng si límite finito en el pnto clcl s vlor. { m 4 ;lim 6} 8) Clcl ls síntots de ls sigientes fnciones: ) b) 5 f ( ) 5 d) f ( ) 4 4 f ( ) 8 e) f ( ) 4 c) f ( ) e f e 9) Estdi l continidd de ls fnciones: ) f ( ) b) c) si < g( ) si si > sen si h( ) si d) 9 si f( ) si f) ( ) e) f) g) f ( ) ln ( 7) ln ( ) si < f si si > h) ( ) se < f( ) se f( ) ) Clcl b pr qe sen contins en R ls fnciones: ) e si f ( ) si > b) b 6 g ( ) {si g ( ) está definid vle 5; b } c) d) sen si h ( ) si < < b si L se < < r ( ) b se { ; b } { } 5

17 ) Determin f () pr qe l fnción f ( ) ( ) sen se contin en R. { f ( ) } ) Demestr qe ls ecciones sigientes tienen l menos n rí rel, locli n intervlo donde se encentre: ) ln b) sen c) e 5 ) Se pede firmr tilindo el teorem de Bolno qe ls fnciones f ( ) g( ) 7, cortn l eje de bsciss en lgún pnto de los intervlos [,4] [-,] respectivmente? 4) Hll b de form qe se plicble el teorem de Bolno l fnción cos si π f ( ) si < <. Hll el pnto del interior del intervlo [ π,π ], l qe hce b si π mención dicho teorem. π ; b ; c 5 5) Preb qe l fnción f ( ) lcn el vlor en el intervlo, resélvse, de sen, π ser posible. π π 6) L fnción tg tom vlores de distinto signo en los etremos del intervlo,, sin 4 4 embrgo, no se nl en él. Contrdice esto el teorem de Bolno? 7) Utili el teorem de Bolno pr demostrr qe l ección 7 tiene n solción en el intervlo [,]. ( ) ( ) 8) Ron l respest correct. Si f() es contin en [5,8] demás f 5 ; f 8, entonces: ) Todos los vlores de f están en el intervlo [,]. b) Eiste n vlor c del intervlo (5,8) tl qe f ( c) ' 4. c) L fnción se nl en n pnto. 9) Se pede firmr qe l ección sen tiene l menos n rí rel?. Si es sí, hll n intervlo en el cl se encentre dich rí. [, ] f ( ) f ( b) ) Si f es n fnción contin en n intervlo b demás, el signo de el de coinciden, es posible qe f teng lgún cero en ese intervlo? 6

18 ) Determin los vlores de b pr qe se ped plicr el teorem de Bolno l sigiente sen si π cos fnción: f ( ) si < π. Indic el pnto c ( π, π ) en el qe l fnción se cos b si π < π nl. { ; b ; c π } ) Clcl el vlor de k pr qe l sigiente teng n discontinidd infinit en. 4 ( ) k f { k 4} 4 ) Compreb qe l fnción f ( ) tg lcn el vlor en el intervlo (, π 4) clcl el vlor c de ese intervlo pr qe f ( c). { c π 6} 4) Dd l fnción. Estdi s continidd clcl ss síntots. ( ) {Contin en R { } ; síntots: verticl ; oblic } 5 5) Eplic por qé pede segrrse qe eiste lgún, π, tl qe: cos 4 SELECTIVIDAD: (Glici, jnio 8) Enncido del teorem de Weierstrss. Si n fnción f() es contin en [,b] es estrictmente decreciente en ese intervlo, dónde lcn l fnción el máimo el mínimo bsolto? (Glici, septiembre 9) Ennci e interpret geométricmente el teorem de Bolno. Dd l fnción f ( ) e ln( ), jstific si podemos segrr qe s gráfic cort l eje OX en lgún pnto del intervlo [-,]. (Glici, jnio ) Define de fnción contin en n pnto. Cándo se dice qe n discontinidd es evitble? e Pr qé vlores de k, l fnción f ( ) es contin en todos los pntos de l rect k rel? (Glici, septiembre ) Ennci el teorem de Bolno. Podemos segrr qe l gráfic de l fnción f ( ) sen cos( ) cort l eje OX en lgún pnto del intervlo (,π ). Ron l respest. (Glici, jnio 4) Define fnción contin en n pnto. Qé tipo de discontinidd tiene f ( ) pntos? 4 en los 7

19 . DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Definición de ts de vrición medi. Se define l ts de vrición medi de n fnción en n intervlo, f f h el incremento qe eperiment l fnción en ese intervlo intervlo, h. [ h] ( )- f ( ) como el cociente entre, l mplitd del ( ) ( ) f h f TV.. M. [, h ] h Ejemplo: L velocidd medi de n móvil (vrición de espcio con respecto l tiempo). L vrición de tempertr en el interior de l Tierr con respecto l profndidd. Interpretción físic El concepto de derivd de n fnción srgió l intentr determinr l velocidd instntáne de n cerpo en movimiento. Vemos como: espcio recorrido velocidd medi tiempo empledo L velocidd medi de n intervlo tt, h viene ddo por: et ( h) et ( ) Vm siendo e(t) el espcio recorrido en el tiempo t. h Si hcemos qe h se sficientemente peqeño, tendremos l velocidd en el instnte t. et ( h) et ( ) V lím h h Definición de ts de vrición instntáne o derivd en n pnto. Se llm derivd de l fnción f en el pnto l sigiente límite, si es qe eiste: f ( h) f ( ) f '( ) lim h h Si el límite eiste se dice qe l fnción es derivble en el pnto. L derivd de n fnción en n pnto es n número rel. 8

20 o Interpretción geométric de l derivd. L derivd de n fnción f en n pnto es igl l pendiente de l rect tngente l fnción f en ese pnto. Demostrción: Si considermos l rect s qe ps por los pntos (, f ( ) ) ( h, f ( h) ), vemos qe f ( h) f ( ) tiene por pendiente, pero si h se cerc, est rect se cerc l rect h tngente, por tnto: f ( h) f ( ) pendienterect tngente lim f '( ) h h Not: Si l fnción crece, l pendiente de l rect tngente en n pnto es positiv, por tnto f '( ) es positivo; en cmbio, si l fnción decrece, l pendiente de l rect tngente en ese pnto es negtiv, por tnto f '( ) es negtivo. Como consecenci, si el pnto es n máimo o mínimo reltivo entonces f '( ). Consecencis: º) Si n fnción es derivble en entonces eiste rect tngente l gráfic en. º) El contrrio no es cierto siempre: pede eistir rect tngente en no ser derivble l fnción en. 9

21 o Derivds lterles. Se llm derivd por l iqierd de l fnción f en el pnto l sigiente límite, si es qe eiste: f ( h) f ( ) f '( ) lim h h Análogmente, se llm derivd por l derech de l fnción f en el pnto l sigiente límite, si es qe eiste: f ( h) f ( ) f '( ) lim h h Evidentemente, n fnción es derivble en n pnto si, sólo si, es derivble por l iqierd por l derech en dicho pnto ls derivds lterles coinciden. Not: Dd n fnción contin en, si ls derivds lterles eisten, pero no son igles, l gráfic de l fnción present en n pnto ngloso. Gráficmente, qiere decir qe l rect tngente qe se obtiene como límite del cociente incrementl de l fnción es diferente mbos ldos del pnto de bscis. Tmbién pede ocrrir qe n de ls derivds lterles en eist l otr se infinit. En este cso, el pnto de bscis tmbién es n pnto ngloso. Si ls dos derivds lterles son infinits de distinto signo, siendo f contin en, entonces el pnto se denomin de retroceso.

22 Regls de derivción. Aplicndo l definición de derivd, se obtienen ls derivds de ls fnciones elementles: DERIVADAS DE LAS OPERACIONES Sm D f ( ) ± g( ) f '( ) ± g' ( ) Prodcto por n nº ( ) ( ) D kf. kf. ' Prodcto D f ( ). g( ) f '( ). g( ) f ( ). g' ( ) f( ) f'( g ) ( ) f( g ) '( ) Cociente D g ( ) g ( ) { } ( ) ( ) Regl de l D f g( ) f ' g. g' cden FUNCIÓN FORMA SIMPLE FORMA COMPUESTA k k Potenci D( ) k. k ( ). k D f k f. f ' Eponenciles Logrítmics Trigonométrics Fnciones rco ( ) e ( ).ln D e D D D ( ln ) ( log ) ( ) ( cos ) ln D sen cos D sen D( tg) tg cos ( ) D rcsen D ( rccos ) ( ) D rctg Derivción potencil-eponencil Un fnción potencil-eponencil es del tipo estrictmente positivos. Si b son derivbles, entonces Vemos cómo se deriv: f ( ) ( ) sen ( ) ( ) ( ) f ( ) f ( ) ( ). '( ) f ( ) f ( ) ( ).ln. '( ) D e e f D f D( ln f ( ) ). f '( ) f( ) D log f ' f( ) ln ( ) ( ) ( ( )) cos ( ) '( ) ( cos ( )) ( ) '( ) D senf f f D f senf f D( tgf ( ) ) tg f ( ) f '( ) f ' cos f D rcsenf f f( ) ( ( )) '( ) D( rccos f ( ) ) f '( ) f( ) D rctgf f f( ) ( ( )) '( ) ( ) ( ) ( ) b, está definid cndo tom vlores ( ) ( ) b tmbién es derivble. En primer lgr llmmos est fnción tommos logritmos neperinos en l igldd ( ) sen ( )

23 (( ) ) sen ( ) ln ln sen ln Derivndo cos ln ( ) sen Despejndo sen cos ln ( ) sen ( ) cos ln ( ) sen Derivción implícit. Cndo tenemos n igldd en dos vribles e en l qe sbemos qe represent n fnción de, podemos derivr implícitmente mbos miembros, si despés es posible despejr, obtendrímos n epresión de l derivd de nqe no conocmos est fnción: Ejemplo: L crv ln ps por el pnto (,), cál es l tngente l crv en ese pnto? Derivmos mbos miembros despés despejmos: ( ) L pendiente de l tngente será (,) Por lo tnto, l ección de l rect es ( ) Ección de l rect tngente en n pnto. m( ) Ddo qe m f '( ) en el pnto, f ( ) L ección pnto-pendiente de n rect es:. es: f ( ) f '( )( ) ( ), tenemos qe l ección de l rect tngente en ese pnto Ección de l norml. L rect norml de n fnción en n pnto ddo es qell qe es perpendiclr l rect tngente l gráfic en dicho pnto. L pendiente de l rect norml está dd por L ección de l norml será: ( ) m', entonces: m f f ' ( ) ( )

24 Relción entre continidd derivbilidd. Si n fnción es derivble en n pnto, entonces es contin en ese pnto. (El recíproco no es cierto). Demostrción: H qe probr qe lim f ( ) f ( ), qe es lo mismo qe lim f( h) f( ). h Como l fnción es derivble en, eiste f '( ) : f( h) f( ) f( h) f( ) lim ( f( h) f( ) ) lim h lim lim h f '( ) h h h h h h lim f( h) f( ) lim f( h) f( ) ( ) h h Fnción derivd. Derivds de orden sperior. Si n fnción f () es derivble en todos ss pntos se pede definir n nev fnción f '( ), qe le hce corresponder cd pnto s derivd, est fnción se le llm fnción derivd de f (). Si s ve l fnción f '( ) es derivble en el pnto, entonces est derivd se le llm derivd segnd de f () en. Si n fnción f () es derivble dos veces en todos ss pntos se define n nev fnción f ''( ), qe le hce corresponder cd pnto s derivd segnd, est fnción se le llm fnción derivd segnd de f (). iv Repitiendo el proceso se peden obtener ls derivds scesivs f '''( ), f ( ), etc.

25 EJERCICIOS ) Clcl ls derivds de ls sigientes fnciones en el pnto qe se indic tilindo l definición: ) f( ) en b) f ( ) en ) Compreb qe l fnción f ( ) no es derivble en. ) Deriv simplificndo el resltdo: ) ( ) ( ) b) c) sen ln d) ( ) k) ( ) l) e cos rcsen rccos sen m) ( ) n) cot g ( ) o) ln ( tg ( rcsen) ) e e) ln tg p) e rctg f) ( tg ) cos q) cos( ) g) e r) ln h) m i) ln s) m j) ln sen t) e 4) Clcl l fnción derivd: ) f( ) ( ) d) f( ) b) ( ) (ln ) f c) f( ) e) f( ) cos 5) Hll ls ecciones de l rect tngente de l rect norml l crv en el pnto de bscis. 4 6) Hll los pntos en los qe ls rects tngentes l crv 4 son prlels l eje de bsciss. 7) Deriv simplific : ) 4 ' 4 sen cos ln ' sec sen cos b) { } ln c) ln 4 ' d) ln ' e) ln tg ' sen cos f) e e rctg ' e e 4

26 sen g) ln ( sen) cot g ' h) rctg i) j) tg ' tg sen - rcsen ' 8) Us l derivción logrítmic: ) ln ' b) ln ln ln ln ( ) ' ( ) c) cos ( sen ) ' ( sen) ln ( sen) sen { } e e d) ' ( e ln e ln e ) 9) Hll el vlor de en el pnto,, siendo ) Relcion ls gráfics de ls dos colmns de mner qe cd fnción le signes s derivd. ) Obtén k en l fnción f ( ) es -. k sbiendo qe l pendiente de l rect tngente s gráfic en 5

27 ) Hll ls ecciones de l tngente de l norml l crv en el pnto de corte de ést ; 6 con el eje de bsciss. { } ) Dd l fnción f ( ) b c en el pnto P (, 4). { b ; c 4}, hll b c pr qe l crv se tngente l rect 4) Dd l prábol de ección 5, hll l ección de l rect tngente qe es prlel l rect qe ne los pntos de dich prábol de bsciss. sen si 5) Estdi l derivbilidd de l fnción: f( ) si 6) Clcl b pr qe se derivble en R l fnción f( ) b 4 > { ; b 7} 7) Determin los pntos de l crv, en los qe s tngente es prlel l rect 4. ( ) ( ) { ± } 8) Determin los vlores del prámetro, pr qe ls tngentes l crv en los pntos de bsciss sen prlels. ó 9) Demestr qe l rect 4 es tngente l crv 6 8. Clcl el pnto de tngenci, estdi si l rect dd cort l crv en otro pnto distinto l de tngenci. {Pnto de tngenci (,);l cort en (4,)} ) Se f : R R l fnción dd por: f ( ) 8. Dibj l gráfic. Clcl los pntos de corte de l gráfic de f con l rect tngente l mism en el pnto de bscis.,4 ; 6, 8 6 ; 6, 8 6 ) Se sbe qe l fnción f :[,5] {( ) ( ) ( )} b si < R, dd por f ( ) es derivble en c si 5 el intervlo (,5 ) verific f ( ) f ( 5). Cánto vlen, b c? ; b ; c, g( ) b ) Determin b pr qe mbs fnciones sen tngentes entre sí l psr por. ; b ) Sen ls fnciones f ( ) ln b { } b) Determin en qé pntos se nl cd n de ests fnciones. { f e ; g 4}. { D( h ) (, )} c) Determin cl es el dominio de l fnción prodcto h( ) f ( ) g( ) 6

28 ) Hllr los vlores de, b c pr qe ls gráfics de ls fnciones f ( ) b g( ) c psen por el pnto (, ) en este pnto tengn l mism tngente. { ; b ; c } 4) Dd l fnción f definid por: ( ) si f b si < <. Se pide: 6 si ) Hllr b pr qe l fnción se contin en todo rel. { ; b } b) Anli s derivbilidd. {Derivble en todo R, slvo en -} 5 m si f se pide clclr los vlores de los prámetros m n si >, m ; n 5) Dd l fnción: ( ) n pr qe se contin derivble en el intervlo [ ]. { } 6) Determin, si es qe eisten, los vlores de b pr los qe l sigiente fnción es derivble en el pnto. b si f( ) si > ) En qé pnto l derivd de (ln ) es? b) H lgún pnto en l crv SELECTIVIDAD: e de tngente horiontl? (Glici, jnio 8) ) Definición e interpretción geométric de l derivd de n fnción en n pnto. b si < b) Clcl los vlores de b pr qe l fnción f( ) 4 si se contin derivble en. { 6; b } (Glici, septiembre ) Definición e interpretción geométric de l derivd de n fnción en n pnto. (Glici, jnio ) si Determin los vlores de pr qe l fnción f( ) se contin. Es derivble si > en pr lgún vlor de? {contin pr ó no es derivble pr ningún vlor de } (Glici, jnio 4) b Dd l fnción f ( ) c clcl los vlores de, b, c sbiendo qe es n síntot verticl qe 5 6 es l rect tngente s gráfic en el pnto correspondiente. Pr los vlores de, b, c clcldos, posee f ( ) más síntots? 7

29 . APLICACIONES DE LAS DERIVADAS AL ESTUDIO DE LAS PROPIEDADES LOCALES Y GLOBALES DE UNA FUNCIÓN Definición de fnción creciente decreciente Diremos qe f( ) es creciente en si eiste n entorno de tl qe pr dos pntos clesqier del mismo de l form h, h( h> ) se verific: f( h) f( ) f( h) Diremos qe f( ) es decreciente en si eiste n entorno de tl qe pr dos pntos clesqier del mismo de l form h, h( h> ) se verific: f( h) f( ) f( h) Se dice qe n fnción f es creciente en n intervlo (,b), si es creciente en todos los pntos de ese intervlo, o intitivmente, si se cmple:, (, b)/ < f( ) f( ) Un fnción f es decreciente en n intervlo (,b), si es decreciente en todos los pntos de ese intervlo, o tmbién si:, (, b)/ < f( ) f( ) Proposición: f derivble creciente en f '( ) f derivble decreciente en f '( ) Demostrción: f( h) f( ) f creciente en h f( h) f( ) Por lo tnto, f '( ) lím h h f '. Análogmente, se demostrrí qe si f es decreciente en, entonces ( ) Proposición: f derivble en f '( ) > f es creciente en. f derivble en f '( ) < f es decreciente en. Demostrción: f( h) f( ) f( h) f( ) Sbemos qe f '( ) lím lím > h h h h entorno de en qe f( h) < f( ) < f( h) Por lo tnto, f es creciente en. Análogmente el segndo prtdo. por lo tnto eiste n 8

30 Definición de etremos reltivos bsoltos. Se dice qe n pnto es n máimo reltivo de l fnción f si eiste n intervlo bierto I qe contiene tl qe f( ) f( ) I. Se dice qe n pnto es n mínimo reltivo de l fnción f si eiste n intervlo bierto I qe contiene tl qe f( ) f( ) I. Se dice qe n pnto es n máimo bsolto de l fnción f si f( ) f( ) D( f ) Se dice qe n pnto es n mínimo bsolto de l fnción f si f( ) f( ) D( f ) Criterios pr el cálclo de etremos reltivos... Teorem. Si f es n fnción derivble es n máimo o mínimo reltivo entonces f '( ) El enncido recíproco no es cierto. Así, por ejemplo l fnción f ( ), verific qe ( ) f ', sin embrgo, en no tiene etremo (es creciente). El teorem nterior nos permite hllr los pntos cndidtos máimos o mínimos en n intervlo bierto. Estos pntos son ls ríces o ceros de l ección f '( ). máimo reltivo mínimo reltivo no h etremo Obtenidos estos pntos, los sigientes criterios precisn si en ellos eiste máimo, mínimo o ningn de ls dos coss. o Criterio. Vrición del signo de l derivd primer en el entorno del pnto. Se n pnto donde l fnción pede lcnr n máimo o n mínimo reltivo. - Si l iqierd de es f ' > (fnción creciente) l derech f ' < (fnción decreciente), entonces l fnción lcn n máimo reltivo en ese pnto. - Si l iqierd de es f ' < (fnción decreciente) l derech f ' > (fnción creciente), entonces l fnción lcn n mínimo reltivo en ese pnto. o Criterio. Vlor de l derivd segnd en el pnto. Si f es n fnción dos veces derivble en el pnto demás, f '( ). En l fnción pede lcnr n máimo o n mínimo, f '' >, entonces l fnción lcn n mínimo reltivo en. - Si ( ) - Si f ''( ) <, entonces l fnción lcn n máimo reltivo en. 9

31 Concvidd conveidd. Se dice qe n fnción f es conve en n intervlo si en clqier pnto de ese intervlo l rect tngente l gráfic está por debjo de ell. Se dice qe es cóncv si l rect tngente está por encim de l gráfic. Conve Cóncv Teorem. Si n fnción f es dos veces derivble en el intervlo bierto (,b), se cmple qe si f''( ) > ( b, ) entonces l fnción es conve, si f''( ) < ( b, ) entonces es cóncv. o Pntos de infleión. Los pntos donde l fnción ps de cóncv conve o vicevers se llmn pntos de infleión. Teorem Si f es n fnción dos veces derivble es n pnto de infleión entonces f ''( ). Criterio pr el cálclo de pntos de infleión - Si en l fnción se nl l derivd segnd en, est cmbi de signo de l iqierd l derech entonces es n pnto de infleión. Si l derivd segnd no cmbi de signo no lo es. - Si f ''( ) f '''( ) es pnto de infleión. Problems de optimición. El cálclo de máimos mínimos medinte derivds permite resolver de n mner sencill rápid mchos problems qe precen tnto en mtemátics como en otrs disciplins científics. Son problems en los qe se trt de optimir n fnción. Por ejemplo, minimir los costes de n prodcción, bscr l form decd pr comercilir n prodcto, etc. Pr resolverlos segiremos el esqem generl: ) Medinte los dtos del problem se plnte l fnción qe h qe mimir o minimir. L morí de ls veces tiene dos vribles. ) Si l fnción tiene más de n vrible h qe relcionr ls vribles medinte ecciones fin de consegir epresr l fnción inicil plnted (pnto ) en fnción de n sol vrible. ) Se hlln los máimos mínimos de est fnción. 4) Se interpretn los resltdos obtenidos rechndo qellos qe por l ntrle del problem no sen posibles.

32 Ejemplos:.-De todos los triánglos isósceles con ldos igles de longitd m, cál es el qe tiene áre máim? En primer lgr considermos l fnción optimir, en este cso el áre: bh A, vemos qe se trt de n fnción en dos vribles, por lo tnto tenemos qe encontrr n relción entre mbs vribles qe nos permit redcir l fnción optimir n únic vrible. Teniendo en cent los dtos del problem: Despejndo h: b 4 h b h 4 Sstitendo en l epresión del áre: b b 4 b A b 4 Pr hllr el vlor máimo de est fnción, clclmos l derivd: b b b A 4 b 4 b 4 4 b 4 Iglmos l derivd : b A' b± Se compreb fácilmente qe b es el máimo de l fnción. Por lo tnto el triánglo de áre máim es el de bse b ltr h, ese áre es de,5m.- Un hoj de ppel pblicitrio, de form rectnglr, debe llevr n on impres de 8 cm, los márgenes deben ser de cm pr l sperior l inferior, de cm pr ls lterles. Cáles serán ls dimensiones del rectánglo de ppel de menor áre donde se pede imprimir l hoj? Llmmos e ls dimensiones. L fnción minimir es A Bscmos l relción entre mbs vribles: cm L on impres tiene n áre de ( )( )

33 Despejmos en fnción de : 4 ( ) 4 Sstitendo en l epresión del áre: A Derivndo: ( )( ) ( ) A ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) A 4 4 ( ) ( ) 4 Al iglr A, obtenemos ls solciones 6, l primer no es válid l segnd, sstitid en l segnd derivd, d clrmente n vlor positivo, por lo tnto es el vlor en qe se lcn el mínimo. L solción es cm e cm el áre mínim es cm. Enncido de l Regl de l Hôpitl Si f g son dos fnciones derivbles, se cmple qe: ) Si lim f ( ), lim g f '( ) ( ) eiste lim, entonces eiste g '( ) f( ) f '( ) lim lim. g ( ) g'( ) ) Si lim f ( ), lim g f '( ) ( ) eiste lim, entonces eiste g '( ) f( ) f '( ) lim lim. g ( ) g'( ) ( pede ser, o n número) Ejemplos: e e ) lim lim b) lim lim lim 4 4 f( ) lim g ( ) f( ) lim g ( ) demás demás Not: L Regl de l Hôpitl sirve pr hllr límites con indeterminciones del tipo (/) ( / ). H otros tipos de indeterminciones como ( ), ( ) qe se redcen no de los nteriores trnsformndo decdmente ls epresiones.

34 Ls indeterminciones de tipo eponencil como,, se reselven considerndo ss logritmos. tn ) lim ( ) lim lim cos tn tn tn cos cos cos sen lim lim cos sen sen cos ln b) lim ( ln ) ( ) lim ( ) lim lim lim ( sen) c) lim Llmmos L lim( sen) ( ( ) ) ( ). Aplicndo logritmos: ( ( )) ( ) ( ) ( ) ln L ln lim sen lim ln sen lim ln sen cos ln ( sen) cos cos lim lim sen sen lim lim sen cos Por lo tnto, ( ) lim sen e Teorem de Rolle o Enncido Si n fnción f es contin en el intervlo cerrdo [,b], derivble en el bierto (,b) f( ) f( b), entonces eiste n pnto c del intervlo (,b) tl qe f '( c) o Interpretción geométric del Teorem de Rolle Si n fnción es contin en el intervlo cerrdo [,b], derivble en el bierto (,b) f( ) f( b), entonces eiste n pnto c en el interior del intervlo (,b) en el cl l rect tngente l gráfic de l fnción tiene pendiente cero, es decir, es prlel l eje de bsciss. El Teorem de Rolle se sele tilir en combinción con el Teorem de Bolno pr estimr o inclso conocer con ectitd el número de solciones de n ección.

35 Teorem del Vlor Medio del Cálclo Diferencil (o de los Incrementos Finitos) Enncido Si n fnción es contin en el intervlo cerrdo [,b] derivble en el bierto (,b), entonces eiste f( b) f( ) f '( c) b, o lo qe es lo mismo, n pnto c del intervlo (,b) tl qe ( ) f '( c) f( b) f( ) b o Interpretción geométric del Teorem del Vlor Medio del Cálclo Diferencil Si n fnción es contin en el intervlo cerrdo [,b] derivble en el bierto (,b), entonces en lgún pnto del interior del intervlo l tngente l gráfic es prlel l cerd, rect qe ne los pntos (, f( )) ( b, f( b )), qe l pendiente de est rect es f( b) f( ). b 4

36 4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Pr representr gráficmente n fnción vmos segir los sigientes psos: ) Dominio. Es el conjnto de pntos en los qe está definid l fnción (el conjnto de pntos qe tienen imgen). H qe tener en cent qe los denomindores no peden ser cero, no eisten ríces de índice pr de números negtivos, no eisten logrítmos de cero ni de números negtivos, etc. ) Simetrís. Un fnción es simétric pr si f( ) f( ). Un fnción es simétric impr si f( ) f( ) Si n fnción tiene lgn de ests simetrís podemos estdirl sólo pr l prte positiv del eje de bsciss despés se mplí l prte negtiv. ) Pntos de corte con los ejes de coordends. Con el eje de bsciss serán los pntos donde f( ). Con el eje de ordends será el pnto (, f ()). 4) Asíntots. Ls síntots son rects ls qe se proim infinitmente l gráfic de l fnción. Peden ser de tres tipos: ) Asíntots verticles. Son rects de l form, se dn cndo lim f ( ) ±, o cndo lgno de los límites lterles d ±. Pr encontrrls se compreb en pntos qe no están en el dominio (o en pntos en los qe cmbi l epresión de l fnción en fnciones troos). b) Asíntots horiontles. Son rects de l form ( es n número), se dn cndo lim f( ) o lim f ( ). (Sólo pede hber n pr cd ldo de l gráfic no tienen porqé coincidir). c) Asíntots oblics. Son rects de l form m n (m n son números), si l fnción tiene síntots horiontles no pede tener oblics, se d por l derech cndo f( ) lim m, en este cso se obtiene n lim ( f ( ) m). (L síntot por el ldo iqierdo se hll con ) L gráfic de l fnción pede cortr ls síntots horiontles oblics, pero nnc ls verticles. 5) Crecimiento decrecimiento. Máimos mínimos. Se clcln ls ríces de l derivd de l fnción (nos drán los posibles máimos o mínimos). En los intervlos biertos qe h entre estos pntos (teniendo en cent el dominio), l derivd será positiv o negtiv. Los intervlos donde l derivd es positiv son los intervlos de crecimiento, los qe tienen derivd negtiv nos dn los intervlos de decrecimiento. Un pnto donde l derivd es cero será máimo si ntes de él l fnción crece despés de él decrece, será mínimo si ntes l fnción decrece despés crece; (si ntes despés crece, o si ntes despés decrece, no es ni máimo ni mínimo). 6) Conveidd concvidd. Pntos de infleión. Se clcln ls ríces de l derivd segnd de l fnción (nos drán los posibles pntos de infleión). En los intervlos biertos qe h entre estos pntos (teniendo en cent el dominio), l derivd segnd será positiv o negtiv. Donde se positiv l fnción es conve donde se negtiv cóncv. 5

37 Un pnto donde l derivd segnd es cero será de infleión si ntes de él l fnción es conve despés cóncv, o vicevers. 7) Finlmente, se hce l representción gráfic teniendo en cent todos los psos nteriores. Ejemplo de representción gráfic. e f( ) 9 ) Dominio. Los pntos qe nln el denomindor ( ) no pertenecen l dominio, por tnto: D,,, ( ) ( ) ( ) ) Simetrís. e f( ) ni impr. ( ) 9 e 9, como no coincide con () ) Cortes con el eje X. e e no tiene solción, no cort l eje X. 9 Corte con el eje Y. e lo cort en el pnto, f ni con f (), no es simétric ni pr 4) Asíntots verticles. Bscmos en los pntos qe no están en el dominio. e lim ± es síntot verticl 9 e lim ± es síntot verticl 9 Asíntots horiontles. Vmos necesitr plicr l Hôpitl. e e e lim lim lim no tiene síntot horiontl por l derech 9 e lim es síntot horiontl por l iqierd 9 Asíntots oblics. Por l iqierd no tiene pes l tiene horiontl. f( ) e e e e m lim lim lim lim lim no tiene síntot oblic por l derech. 5) Crecimiento decrecimiento. Máimos Mínimos. e ( 9) f '( ) 9, 9 ( ) máimos o mínimos. son los posibles 6

38 intervlos (, ) (, ) (,) (, ) (, ) f '( ) - - crece crece decrece decrece crece Crece en (, ) (, ) (, ) Decrece en (,) (, ) H n máimo en (, ') H n mínimo en (,7'7) 6) Conveidd concvidd. Pntos de infleión. 4 e ( ) 4 f ''( ) ( ) no tiene solción, por tnto no h pntos de infleión. intervlos (, ) (,) (, ) f ''( ) - conve cóncv conve,, Es conve en ( ) ( ) Es cóncv en (,) 7) Representción gráfic. 7

39 EJERCICIOS ) Obtén los intervlos de monotoní etremos reltivos de ls fnciones: f( ) ln e e ) ( ) b) c) f( ) e f( ) ln ) Pede tener lgún etremo reltivo l fnción cos? ) Hll los intervlos de concvidd conveidd (crvtr), los pntos de infleión de ls fnciones: f( ) e b) f( ) ) ( ) 4) Obtén los prámetros b pr qe l fnción P(-,). b lcnce n mínimo en el pnto 5) L crv dd por. Hll b. b ps por el pnto P(-,) lcn n etremo reltivo en 6) L fnción f ( ) b c, tiene n pnto de derivd nl en (,), qe no es n etremo reltivo. Ron el vlor de, b c. { ; b ; c } 7) Hll los prámetros pr qe l fnción f ( ) b c d teng n máimo en el pnto M (, ) n mínimo en el pnto m(, 6). 8) Determin los prámetros pr qe l fnción f ( ) b c d teng n pnto de infleión en P (,6) con tngente en ese pnto prlel l rect 8 7, qe tome demás el vlor pr. 9) Clcl l ección de l rect tngente l crv infleión. 6 6 en s pnto de ) Hll b. c d pr qe f ( ) b c d P(,) lcnce n etremo en. teng n pnto de infleión en, pse por ) Clcl el vlor de (número rel) pr qe l gráfic de l fnción f ( ), obtén l ección de l rect tngente l crv en dicho pnto de infleión en P (, f () ) pnto. { } ) Hll los etremos bsoltos de l fnción f ( ) 6 teng n en el intervlo [, 7]. 8

40 ) Encentr n fnción cdrátic f qe verifiqe ls sigientes condiciones: f '' 4 ) ( ) b) tiene n etremo reltivo en 4 c) s gráfic ps por P (, 6 ). 4) L crv α β γ cort l eje de bsciss en tiene n pnto de infleión en (,). Clcl los pntos de l crv qe tengn rect tngente prlel l eje OX. 5) Determin los pntos de l crv 5 en los qe l rect tngente ell ps por el origen de coordends. Escribe ls ecciones de ess tngentes. 6) Estdi los intervlos de crecimiento los máimos los mínimos de l fnción dd por 7) Determin l fnción polinómic b c d sbiendo qe tiene como derivd segnd qe tiene n mínimo reltivo en el pnto 4,. P( ) 4 6 8) Dd l fnción f ( ), demestr qe eisten α, β (,) tles qe f ( α) Problems de optimición f '( β ). Di qe teorems tilis. 9) Determin dos números reles positivos de los cles sbes qe s sm es qe el prodcto de ss cdrdos es máimo. {5;5} ) Clcl l longitd qe deben tener los ldos de n terreno rectnglr de 4 m de áre si qeremos qe el perímetro de s contorno se el mínimo posible. ) Se qiere constrir n recipiente cónico de genertri cm de cpcidd máim. Cál π debe ser el rdio de l bse? Recerd: V cono R h ) Se dese constrir n cj cerrd de bse cdrd c cpcidd se 8dm. Clcl ls dimensiones de l cj pr qe s sperficie eterior se mínim. {;} ) Entre todos los triánglos isósceles de perímetro cm, cál es el de áre máim? 4) Se qiere constrir n depósito de ltón con form de cilindro de áre totl 54cm. Determin el rdio de l bse l ltr del cilindro pr qe el volmen se máimo. (Recerd: V A ltr π R h; A πrh πr ) cilindro bse totl 5) Un lmbre de m de longitd se divide en dos troos con ellos se constre n cdrdo n círclo respectivmente. Clcl l longitd qe tiene qe tener cd troo pr qe l sm de ls áres se mínim. 9

41 6) Divide n segmento de 6 cm en dos prtes tl qe l sm de ls áres de los triánglos eqiláteros constridos sobre ells se mínim. 7) Determin l bse l ltr de n crtlin rectnglr de perímetro 6cm qe, qe l dr l velt complet lrededor de n ldo verticl, gire n cilindro de volmen máimo. e R definid por f( ) ln, determin cles de ls rects tngentes l gráfic de f tienen l máim pendiente. 8) Dd l fnción f : [, ] 9) De tods ls rects qe psn por (,) encentr l qe determin con los ejes de coordends, en el primer cdrnte, n triánglo de áre mínim. ) Entre todos los triánglos inscritos en n semicircnferenci de cm de diámetro, cál es el de áre máim? ) Qeremos hcer n envse con form de prism reglr de bse cdrd cpcidd 8cm. Pr l tp pr l sperficie lterl, smos n determindo mteril, pero pr l bse, debemos empler n mteril n 5% más cro. Determin ls dimensiones de este envse pr qe s precio se el menor posible. ) Un brco B dos ciddes A C de l cost formn n triánglo rectánglo en C. Ls distncis del brco ls ciddes A C son Km. 5 Km, respectivmente. Un hombre sitdo en A dese llegr hst el brco B. Sbiendo qe pede ndr Km/h cminr 5 Km/h, qé distnci de A debe bndonr l cost pr ndr hst B si qiere llegr lo ntes posible? ) De entre todos los rectánglos de áre l nidd, hllr ls dimensiones de qel qe tiene mínimo el prodcto de ss digonles. 4) Determin el pnto de l gráfic qe cd número le hce corresponder s doble c distnci l pnto (6,) es mínim. Cál es es distnci? 5) Qé dimensiones debe tener n prgüero con form de prism cdrdo de dm de volmen, pr qe en s fbricción se gste l menor cntidd posible de mteril? 6) De todos los triánglos isósceles inscritos en n circnferenci de 5cm de rdio, hll ls dimensiones del qe tiene mor áre. 7) Considérense ls fnciones f( ) e, g ( ) e Pr cd rect r perpendiclr l eje X, sen A B los pntos de corte de dich rect con ls gráfics f g respectivmente. Determínese l rect r pr l cl el segmento AB es de longitd mínim. 4

42 8) De entre todos los rectánglos sitdos en el primer cdrnte qe tienen dos de ss ldos sobre los ejes coordendos n vértice en l rect r de ección, determin el qe tiene mor áre. 9) Un río describe l crv con [,]. 4 En el pnto A(,4) h n peblo. ) Epres l fnción distnci entre n pnto clqier del río el peblo en fnción de l bscis. b) Cáles son los pntos de este trmo del río qe están más lejdos más cercnos l peblo (Sgerenci: estdi los máimos mínimos del cdrdo de l fnción hlld en el prtdo nterior) c) H lgún pnto del río qe esté n distnci menor qe del peblo? 4) Considérese el recinto limitdo por l crv l rect. De entre los rectánglos sitdos como el de l figr, determinr el qe tiene áre máim. 4) Clcl los sigientes límites: ) tg lim { } b) e lim ± 4 { ;} c) e e lim sen { } d) lim sen { } e) sen lim { 6} f) ln ( ) lim b { b} g) ln lim { } h) b ln ln b lim i) lim e sen ( ) sen e sen sen ( ) j) lim ln { } k) lim { } ln sen { e } l) lim ( ) { / } m) ( ) ln lim { } cos lim e n) { } o) lim( cos ) tg { } p) lim { } q) lim { } tg 4

43 r) ( ) lim cos { e } s) lim { } t) lim e e { e } 4 tg π π sene lim { } rctg ) lim ( ) v) ( ) sen 4) Pr qé vlores de b es lim b? { ; b 9 } sen si 4) Estdi l derivbilidd de l fnción: h( ) si < < si ln si > 44) Se define l fnción f del sigiente modo: f ( ) b si Encentr los vlores de b pr qe l fnción se contin pse por el origen de coordends. ; b Demestr qe es derivble en todo R { } 45) Compreb qe se verific el teorem de Rolle, pr ls fnciones: ) b), en [, ] { c (,) } f ( ) f( ), en, 46) Compreb qe l fnción f ( ) { } c (, ) si verific ls condiciones del teorem de si < Rolle encentr n pnto qe verifiqe l tesis. { c / e} 47) Se pede plicr el teorem de Rolle ls fnciones?: ) f( ) tg,π b) c) f( ), en [ ], en [,], en [, ] f( ) 48) Si ( ) d) e), en [, ] f( ) si f( ) si < [, ] f( ), preb, sin clclr l derivd, qe l ección f '( ) posee l menos n rí rel positiv menor qe. Despés, clcúll {intervlo [,]; c 65} 49) Demestr qe l ección e tiene únicmente l solción rel. 5) Preb qe l ección tiene n sólo n solción en el intervlo (,). 5) Compreb qe l ección 9 tiene n sol solción en el intervlo (,). 4

44 5) Compreb qe se verific el teorem del Vlor Medio pr ls fnciones determin el pnto en qe l rect tngente l gráfic es prlel l secnte: ) f( ), en [ ] en [,π ] { c π } b) f( ) sen si < 5) Es plicble el teorem del Vlor Medio l fnción f( ), en el si? En cso firmtivo, encentr el pnto interior l qe hce mención dicho intervlo [,] teorem. pr 54) Si f ( ) b pr < <, determin b pr qe se contin. Se pede plicr pr el teorem del Vlor Medio (),? Jstific l respest f en el intervlo [ ] 55) Hll el pnto en el qe l rect tngente l crv los pntos de l gráfic A(, f ( ) ) B (, f ()) 56) Compreb qe l fnción f ( ) { ; b ; sí porqe es derivble en (,)} es prlel l cerd qe ne 4 [ ) [ ] c α si, cmple el teorem del Vlor Medio. si, Encentr el vlor de α compreb tods ls hipótesis. Qé pnto c stisfce l tesis? α 4; c 6 { } b c si 57) Determin b c pr qe l fnción f ( ) ln ( ) si > tilindo el teorem del vlor medio, demostrr qe eiste n pnto tl qe f '( ) e ( e ) se derivble en, del intervlo (, e ) { b ; c } 58) Se f n fnción rel definid en todo R. Se conocen sobre f los sigientes dtos: es derivble en, es discontin en f 5 7. Ron si ests firmciones son verdders o flss: A) L fnción f es contin en. B) L fnción f es derivble en. C) En el intervlo [,5] lcn n máimo n mínimo. D) En lgún pnto entre 5 l derivd vle. E) En lgún pnto entre 4 5 l derivd vle., es derivble en (, ), f ( ), f ( ), ( ) 4

45 59) Dds ls fnciones f g, dds por: sen sen si si f ( ) ; g( ) si si son contins en? 6) Represent gráficmente ls sigientes fnciones, clclndo: dominio de definición, simetrís, pntos de corte con los ejes, síntots, intervlos de monotoní etremos reltivos, e intervlos de crvtr pntos de infleión: e) ln ) ( 9) k) e ln l) ln f) b) e m) c) 8 d) g) h) ln e e i) ( ) j) ( ) e n) o) 9 6) L gráfic djnt corresponde l fnción derivd, f, de n fnción f. ) Estdi el crecimiento decrecimiento de f di si tiene máimos o mínimos b) Estdi l concvidd conveidd de f. Tiene pntos de infleión? 6) Utilindo los teorems de Bolno Rolle, demestr qe ls crvs cos e se cortn en n único pnto. sen 6) Clcl el sigiente límite: lim 64) Si n fnción derivble positiv f( ) tiene n mínimo locl en el pnto l segnd derivd f ''( ) no es nl, qé se pede decir del signo de ls dos primers derivds de [ f( )] en ese pnto? cos, si 65) Se consider l fnción f : dd por: f ( ) λ, si d) Clcl el vlor de λ pr el cl f es derivble en. e) Clcl f ''() pr ese vlor de λ. 44

46 SELECTIVIDAD (Glici, jnio 8) m cos Clcl el vlor de m pr qe: lim m sen( ) (Glici, septiembre 8) A. Enncido e interpretción geométric del teorem de Rolle. B. Se f( ) e ( ). Clcl los intervlos de crecimiento decrecimiento l ección de l rect tngente l gráfic de f() en el pnto de bscis.,. e mínimo ; rect tn gente {( ) } b c si C. Clcl, b, c, pr qe f( ) se contin derivble en R ln ( ) si > teng n etremo reltivo en -. (Not: ln logritmo neperino). 4, b, c { } D. Se g ( ) ( ), intervlo [,]. En cso firmtivo clcúllos. m(, );min (, 4). Ron si g() tiene máimo mínimo bsoltos en el { } (Glici, jnio 9) A. Clcl los intervlos de crecimiento decrecimiento, los etremos reltivos los pntos de infleión de l fnción g ( ). B. Ennci e interpret geométricmente el teorem del vlor medio del cálclo diferencil. e C. Clcl n pnto de l gráfic de l fnción g ( ) en el qe l rect tngente se ( e ) prlel l eje OX; escribe l ección de es rect tngente. Clcl ls síntots, si ls tiene, de g(). D. Define fnción contin en n pnto. Qé tipo de discontinidd present l fnción ln ( ) f ( ) en? (Glici, septiembre 9) b si A. ) Clcl los vlores de e b pr qe l fnción f( ) se contin sen( ) si > derivble en. { b ; } b) Clcl l ección de l rect tngente l gráfic de f ( ) ( ) e en el pnto de bscis. {} B. Clcl el dominio, ls síntots, los intervlos de crecimiento decrecimiento los etremos reltivos de l fnción f( ) 45

47 (Glici, jnio ) A. Dibj l gráfic f( ), estdindo: dominio, pntos de corte con los ejes, síntots, intervlos de crecimiento decrecimiento, máimos mínimos reltivos, pntos de infleión e intervlos de concvidd conveidd. B. Determin los vlores, b, c, d pr qe l fnción g( ) b c d teng n máimo reltivo en el pnto (,4) n mínimo reltivo en el pnto (,). {, b, c, d 4} (Glici, septiembre ) e e cos A. Clcl: lim sen ( ) B. Dibj l gráfic f( ), estdindo: dominio, pntos de corte con los ejes, síntots, intervlos de crecimiento decrecimiento, máimos mínimos reltivos, pntos de infleión e intervlos de concvidd conveidd (Glici, jnio ) f k A. Ennci el teorem de Rolle. Clcl el vlor de k pr qe l fnción ( ) cmpl l hipótesis del teorem de Rolle en el intervlo [-, ] pr ese vlor determin n pnto del intervlo en el qe se nle l derivd de f(). B. Clcl el dominio los intervlos de crecimiento decrecimiento de l fnción g ( ) ln (Not: lnlogritmo neperino) C. En n circnferenci de rdio cm, se divide no de ss diámetros en dos prtes qe se tomn como diámetros de dos circnferencis tngentes interiores ell. Qé longitd debe tener cd no de estos dos diámetros pr qe se máim el áre delimitd por ls tres circnferencis (región sombred)? {los diámetros son } E. Define fnción derivble en n pnto. Clcl, si eisten, los vlores de b, pr si < e qe se derivble l fnción f( ) { ; b } b si (Glici, septiembre ) A. Clcl los vlores de, b, c sbiendo qe b c, tienen l mism rect tngente en el pnto (,). 4 B. Clcl los etremos reltivos de l fnción f ( ) 8. Clcl tmbién el máimo bsolto el mínimo bsolto de est fnción en el intervlo [-,]. D. Clcl los vlores de b pr qe l fnción f() f ( ) b ln teng n pnto de infleión en el pnto (,). Pr estos vlores de b, clcl el dominio los intervlos de concvidd conveidd de f(). (Not: lnlogritmo neperino) 46

48 (Glici, jnio ) A. Enncido e interpretción geométric del teorem del vlor medio del cálclo diferencil B. ) Ennci el teorem de Bolno. Probr qe l fnción f( ) 4 cort l eje OX en lgún pnto del intervlo [,]. Pede cortrlo en más de n pnto? b) Clcl lím (Isls Bleres, ) Se consider l fnción f() definid en el intervlo[,π ] de l form sigiente: si f ( ) si < < π sen si π ) Estdie l continidd b) Dibje l fnción en n entorno de de π (Glici, septiembre ) A. Clcl ls síntots los intervlos de crecimiento decrecimiento de f ( ) B. ) Enncido e interpretción geométric del teorem de Rolle. (Glici, jnio ) b) Si c >, clcl los vlores de,b,c pr qe l fnción f() cmpl ls hipótesis del teorem de Rolle en el intervlo [,c]. ( ) b si < si A. ) Ennci el teorem de Bolno. Tiene l ección lgn solción en el intervlo (,)? Tiene est ección más de n solción rel? b e b) Clcl los vlores de b pr qe lim sen( ) B. Clcl los intervlos de crecimiento decrecimiento los intervlos de concvidd conveidd de l fnción f ( ) 4 4. C. En n circnferenci de centro O rdio cm. se tr n diámetro AB n cerd CD perpendiclr ese diámetro. A qé distnci del centro O de l circnferenci debe estr l cerd CD, pr qe l diferenci entre ls áres de los triánglos ADC BCD se máim? D. Ennci el teorem de Rolle. Determin el vlor de pr qe se plicble el teorem de Rolle l fnción f ( ) en el intervlo [,]. Pr este vlor de, clcl n pnto c (,) en el qe l rect tngente l gráfic de f() se prlel l eje OX. 47

49 (Glici, septiembre ) A. Clcl: e e lim B. Clcl el dominio, ls síntots, los intervlos de crecimiento decrecimiento los máimos mínimos de f( ) e (Glici, jnio 4) A. Clcl l ección de l rect tngente l gráfic de ( ) de infleión. f 6 en s pnto B. Clcl ln lim ( ) (Not: ln logritmo neperino) C. Ennci el teorem del vlor medio del cálclo diferencil. Se pede plicr, en el intervlo [,], este teorem l fnción f ( )? En cso firmtivo, clcl el pnto l qe hce referenci el teorem. 48

50 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE LÍMITES ) Clcl: ) lim( ) b) 4 lim ( ) c) lim d) lim 45 ) Clcl: ) b) c) 5 lim lim lim d) e) lim lim π e 458 f) g) h) 45 lim lim 5 lim 4 ) Reselve, indicndo l indeterminción: ) lim ( ) c) lim b) lim ( 4 ) ( ) lim d) ( ) e) lim ( ) 4) Clcl los sigientes límites, sndo cmbio de vrible si es necesrio. 5 e e ) lim c) lim ( ) e) e e 4 b) lim e e d) lim e e ( ) lim 5) Clcl los límites relciondos con el número e. ) b) c) lim lim lim 4 d) lim( ( ) ) e) f) 4 lim 4 lim g) lim h) ( ) lim 49

51 5. PRIMITIVAS DE UNA FUNCIÓN Definición Se llm primitiv de n fnción f clqier fnción F qe teng por derivd l fnción f, es decir F '( ) f ( ). o Teorem Tods ls primitivs de n fnción se diferencin en n constnte. (Por tnto ls primitivs de n mism fnción tienen gráfics prlels). Definición de integrl indefinid Se llm integrl indefinid de n fnción f l conjnto de tods ss primitivs, se represent f ( ) d. Se F n clqier de ls primitivs de f, entonces: f ( ) d F( ) C (l número rel C se le llm constnte de integrción) Propieddes lineles Como consecenci de ls propieddes de derivción: ) ( f ± g) ( ) d f ( ) d ± g( ) d b) f ) d f ( ) d ( (est relción permite introdcir constntes dentro del signo de integrción o scrls fer, según conveng) Cálclo de integrles inmedits Teniendo en cent qe l integrción es el proceso recíproco de l derivción, lleg con tilir l tbl de derivds pr obtener: kd k C d ln C n n d C n n e d e C d C ln sen d cos C cos d sen C d tg d tg C cos d cotg C d rccos C sen d rcsen C d rctg C 5

52 EJEMPLOS: 5 5 d d C C C 5 5 sen ( 5) d ( 5) cos ( 5) sen d C d d rct ( ) C 6 ( ) Cálclo de primitivs o Integrles csi inmedits /o jste de l constnte. Un integrl csi inmedit es del tipo f ( ( )) '( ) d donde f() es n fnción integrble inmeditmente () es n fnción derivble. En est sitción, si F() es n primitiv de f() entonces podemos resolver l integrl csi inmedit sí: f ( ( )) ( d ) F ( ( )) C L rón de est igldd reside en l regl de l cden del cálclo diferencil. Al ser F n primitiv de f, tenemos qe F f, entonces: ( ( )) ( ) F ( ) F ( ) F ( ( )) ( ) f ( ( )) ( ) Por tnto F(()) es n primitiv de f ( ( )) ( ) EJEMPLOS: L ( L) d L d C sen sen e cos d e C d L C En mchs ocsiones h qe introdcir constntes de jste ntes de plicr est técnic. Esto ocrre cndo tenemos qe resolver n integrl del tipo h ( ) d sbemos qe, pr n ciert constnte k, l integrl k h ( ) d es csi inmedit, entonces podemos escribir: h ( ) d k k h ( ) d (Si en n integrl mltiplicmos dentro del integrndo por n número distinto de mltiplicmos fer de l integrl por s inverso, l epresión obtenid es igl l integrl inicil) 5

53 o Método de integrción por prtes. Se bs en l derivd del prodcto de fnciones: ( ( ) v( ) )' '( ) v( ) ( ) v'( ) integrndo: ( ) v( ) '( ) v( ) d ( ) v'( ) d ( ) v'( ) d ( ) v( ) '( ) v( ) d Hciendo dv v'( ) d d '( ) d, se obtiene: dv v vd A l hor de plicr est fórml, h qe elegir dv en el integrndo (lo qe eige intición entrenmiento), si l nev integrl es más complicd qe l de prtid h qe cmbir de elección. EJEMPLOS: cos d sen send sen cos C d d dv cos d v sen ln d ln d ln d C ln ln d d dv d v ( cos cos d) cos d sen send sen sen cos sen C d d d d dv cos v sen dv sen v cos En lgnos csos h qe plicr este método vris veces. Ej: e d A veces velve precer en el segndo miembro l integrl de prtid, en este cso se despej. Ej: e send o Método de cmbio de vrible. Se bs en l regl de l cden: Se tili cndo dentro de l integrl prece l derivd de lgn fnción qe está tmbién dentro de l integrl; es decir, cndo l integrl tiene n form como: ( ) f ( ) '( ) d Hciendo el cmbio de vrible: t ( ), tenemos qe dt '( ) d, por tnto l integrl qedrá: f ( t) dt De est mner l integrl reslt más fácil de resolver. Un ve reselt h qe deshcer el cmbio t ( ). 5

54 EJEMPLOS: cos( ) d cos( ) ( ) d sen C 5 5 d 5 d 5 d ln ( 5) C d d d rct C ( ) ( ) ( ) 4 Ej: d ; d ; 5sen cosd o Integrción de fnciones rcionles. Ls integrles resolver son de l form: P ( ) d, donde P() Q() son polinomios. Q ( ) Si el grdo de P es mor o igl qe el de Q, se hce l división qedrí: P ( ) R ( ) C ( ), donde C() es el cociente R() es el resto. Por tnto: Q ( ) Q ( ) P ( ) R ( ) d C( ) d d Q ( ), demás C( ) d Q ( ) es fácil de integrr pes es l integrl de n polinomio. R ( ) Nos qed por integrr d, qe es n fnción rcionl, pero hor el grdo del nmerdor es Q ( ) menor qe el grdo del denomindor. L integrción de ests fnciones depende del tipo de ríces del denomindor. Vemos los sigientes csos: El denomindor sólo tiene ríces reles sencills: Si Q() tiene n ríces reles sencills,,..., n, se pede descomponer como: R ( ) R ( ) A A An... Q( ) ( ) ( )... ( n) n Siendo A i constntes qe se hlln hciendo ls sms del último miembro e iglndo el nmerdor obtenido con el nmerdor del principio. Pr despejr ests constntes lo más rápido es drle vlores ls (preferentemente ls ríces i ). L integrl qedrá descompest de l mner: ( ) A A An R d d d... d Q( ) n Ai donde cd smndo es fácil de integrr pesto qe: d A iln i C i Ej: 5 4 d 5 5 ; d 5

55 El denomindor tiene ríces reles, pero lgns múltiples: Si el denomindor tiene n rí múltiple, l descomponerlo ést d lgr tnts frcciones como s orden de mltiplicidd: Si, por ejemplo, es rí rel simple, es rí rel doble es rí rel triple. P( ) A A A A4 A5 A 6 Q( ) ( ) ( ) ( ) ( ) donde los Ai son constntes qe h qe determinr. 7 Ej: d 5 ; d ( ) 5 El denomindor tiene ríces complejs simples: Si en el denomindor prece n fctor cdrático irredcible tipo b (qe no tiene ríces reles), M N en l descomposición le corresponde n frcción de l form, siendo M N constntes b determinr. M N Tenemos qe clclr n integrl del tipo: d b Est integrl se descompone en dos: n de tipo neperino otr de tipo rco tngente. Pr l primer integrl, se hce qe en el nmerdor prec l derivd del denomindor mnejndo ls constntes lego l segnd integrl qed de l form K d. b Ejemplo: 4 d d d d d ln 4 9 d ln 4 9 rctg C

56 EJERCICIOS Clcl ls sigientes integrles indefinids: ) ( ) d 5 4) 5 4 e ) d 5) d e ) d 6) ( ) e d 7) rctg d 4) d 8) ( ln ) d 5) cotg d ln 9) d 6) ( tg ) d ) rcsen d 7) cos e sen d ) rctg d 8) 9) cosec cotg d d cos sen d d d d 9 ) ( ) ) ) ) 4) sen d 5) d 6 6) sen cos d 7) d 4 8) cos d sen 9) tg sen d cos ) sen d ) ln d ) ln ( ) ) d cos d e rctg sen d cos d cos ( ) ) sen ) 4) 5) 6) 7) 8) 9) d sen d d d rctg d cos d sen ( ) 4) cotg e d sen 4) 5 4 d 4) d 4) 9 d 44) d 45) 9 4 d 46) d d 47) d 48) ln d 49) e d e 5) 4 5) d 5) 4 d 5) 5 d 54) d ) d ) d 57) ( ) d 58) d 59) 4 d ( ) ( ) 6) d 6) e d 6) e d 6) d 64) d 65) 4 d 66) sen cos d 55

57 5 67) cos d d 7) 4 76) d 68) cos d sen t tgt sen 69) 4 d 74) d cos 77) sen ( ln ) d sen t 7) cotg d ln t rcsen cos 75) d 7) d 78) e d sen rcsen t sect 7) tg d rcsen 79) d sen t 8) Hllr l fnción definid en todo número rel qe verific ls dos condiciones sigientes: f' e ) ( ) b) S gráfic ps por ( ) CUESTIONES: { },. f ( ) e ( ) º) L fnción f ( ) 4 6 tiene infinits primitivs. Cál de ésts tom el vlor 4 pr? º) Clcl n primitiv de l fnción ( ) f qe se nle cndo. º) Obtén l fmili de crvs en ls qe l pendiente de ls rects tngentes dichs crvs en clqier pnto viene dd por l fnción f ( ) e. Obtén l crv de dich fmili qe ps por A(, ). 4º) De n fnción sbemos estos dtos: 8, (), ()5. Se pede clclr l fnción? Ron l respest. 5º) L gráfic corresponde l fnción f '( ) primer derivd de n ciert fnción f. ) Estdi el crecimiento e decrecimiento de f. b) Estdi l concvidd, conveidd pntos de infleión de f. c) Obtén l ección de f. d) Obtén l epresión de l fnción f qe pse por el pnto (, -4) dibújl. 6º) De n fnción f se sbe qe s gráfic ps por (, ) qe s derivd es: se < f '( ). Hll l fnción f representrl. se f, f ' f ''. 7º) Hll f si sbemos qe ( ) ( ) ( ) 8º) Hll n polinomio qe tiene como derivd 6 tl qe el vlor de s máimo se tres veces mor qe el de s mínimo. 9º) Un lmno escribe qe n primitiv de f ( ) es F( ) log. Es correct l contestción? 56

58 SOLUCIONES: ) ) ) 4) 5) 6) 5 C C C 6 ( ) 5 C 5 ln sen ln cot g C 4 tg ln tg tg ln cos C 7) cos e C 6 8) ln cos C 9) ) C cos C ) rcsen C ) rctg C ) rcsen C 4) cos sen C 5) ln 6 C 6 6) sen C 7) rctg C 8) ln sen C 9) ln cos C cos ) sen cos C 4 4 ) ln C 4 6 ) ln ln C ) 4) 5) 6) 7) sen sen cos C e 5e C e e C e e e C ln rctg C 8) 9) ln ln C ln C rcsen C ) ) rctg rctg C ) e cos e sen C ) rctg ln C 6 6 4) cos sen C 5) cos sen sen C 6) cos 4 C 4 7) ln rctg C 8) sen C 9) cot g ( ) C cot g 4) e C 5 4) rctg C 4) rctg C 4) rcsen C 44) rcsen C 45) rcsen C 46) C 47) ( ) ( ) 5 C 5 48) ln ln C 49) C e e 5) rctg C ln 5) ln ln C 57

59 5) ln ln ln C 5) ln ln C 65 54) 5 ln 4 ln C 55) ln ln C ( ) ) ln C 57) ln ln C 58) ln rctg C 4 59) ln ln rctg C 6) ln C 6) ln e C 6) ln e ln e C C ln C ( ) 6) 64) 65) 4 ln 4 ln 4 C 5 sen sen 66) C 5 67) 5 sen sen sen C 5 68) sen sen 4 C 8 4 tg 69) C 7) cot g C sen 7) sen C 7) ln tg ln tg C 4 7) rcsen C 74) rcsen C 75) rccos C 76) C sen ln cos ln 77) C rcsen e ( ) 78) C 79) rcsen rcsen C

60 SELECTIVIDAD (Glici, jnio 8) 5 Clcle: d 4 (Glici, septiembre ) { ln ln C} Clcle: ln ( ) d (Glici, jnio ) A. Define integrl indefinid de n fnción. Clcl B. Define primitiv e integrl indefinid de n fnción (Glici, septiembre ) ln ln C cos d { sen cos sen C} ) De n fnción derivble f() sbemos qe ps por el pnto (, ) qe s derivd es f ( ) e. b) Ennci el teorem fndmentl del cálclo integrl.. Clcl f() l rect tngente l gráfic de f() en el pnto correspondiente (Glici, jnio ) Clcl d 59

61 6. INTEGRAL DEFINIDA Sms speriores e inferiores de Riemnn de n fnción socid n prtición, P {,,,..., n} < < < < b. Se llm prtición de n intervlo [ ] tles qe... n L prtición divide el intervlo [ b, ] en n intervlos más peqeños: [, ],[, ],...,[, ],...,[, ] i i n n Se f ( ) n fnción contin positiv en el intervlo [, ] b n conjnto ordendo finito de números reles b, vmos intentr clclr el áre comprendid entre l gráfic de est fnción, el eje OX, entre b. Por ser f contin en [ b, ] tmbién lo es en cd intervlo [, i i] por tnto lcn n mínimo m i n máimo M i en cd no de ellos. b b Se llm sm inferior de Riemnn de f socid l prtición P l número rel: (, ) ( )... ( )... ( ) ( ) I f P m m m m i i i n n n i i i i Est sm corresponde l áre de los rectánglos inferiores o inscritos l gráfic de l fnción; es n proimción por defecto del áre qe bscmos. Se llm sm sperior de Riemnn de f socid l prtición P l número rel: (, ) ( )... ( )... ( ) ( ) S f P M M M M i i i n n n i i i i Est sm corresponde l áre de los rectánglos speriores o circnscritos l gráfic de l fnción; es n proimción por eceso del áre qe bscmos. Si en l prtición mentmos el número de pntos los intervlos se hcen más peqeños, tnto l sm inferior como sperior de Riemnn se proimn más l áre bscd. Por tnto: ( ) ( ) lim I f, P lim S f, P este número será el áre. n n n Integrl definid Se llm integrl definid de l fnción f en [, ] n b b l límite: n n ( ) ( ) f( ) d lim I f, P lim S f, P n Los números b se llmn límites inferior sperior de integrción, respectivmente. L fnción f recibe el nombre de integrndo. n n n 6

62 Interpretción geométric de l integrl definid El cálclo de los vlores mínimo máimo de f en cd sbintervlo no siempre es fácil, por lo qe en l práctic se tom el vlor de f en n pnto clqier de ese sbintervlo. d represent l longitd de cd sbintervlo, cndo el número de ellos, n, tiende infinito. f()d represent el áre de rectánglos en los qe d serí l bse f() l ltr. Cndo se despl de b, se vn obteniendo esos rectánglos l integrl, se encrg de smr ss áres. d b Propieddes de l integrl definid b b b ) ( f ± g )( ) d f ( ) d ± g( ) d b b b) k f ( ) d k f ( ) d b c b c) f ( ) d f ( ) d f ( ) d c, siendo < c < b d) f ( ) d b e) f ( ) d f ( ) d b Teorem del Vlor Medio del Cálclo Integrl, Si f es n fnción contin en [ b ], eiste l menos n pnto c del intervlo [, ] b ( ) f () d b f () c b tl qe o Interpretción geométric del Teorem del Vlor Medio del Cálclo Integrl f, el eje OX ls rects b es igl l áre del El áre limitd por l gráfic de ( ) rectánglo de bse (b-) ltr f ( c ), siendo c n determindo pnto de [, ] f ( c) recibe el nombre de ltr medi o vlor medio de f ( ) en [ b, ]. f(b) b. f(c) f() R R c b En este ejemplo, llegrí con tomr c de mner qe ls áres residles R R fern igles. 6

63 Teorem Fndmentl del Cálclo Integrl Se f contin en [, ] F'( ) f( ) ( b, ) Regl de Brrow Si f es contin en [, ] b, entonces l fnción de áre F( ) f () t dt es derivble en (, ) b G es n primitiv de f, entonces: f ( ) d G( b) G( ) Cálclo de áres plns limitds por fnciones ) Cálclo de áres limitds por n fnción el eje X. b, : ) Si l fnción f es positiv en [ ] b A f ( ) d b) Si l fnción f es negtiv en [ b, ] : b A f ( ) d f ( ) d b b b demás, b b EJEMPLO: Clclr el áre del recinto limitdo por l gráfic de l fnción ( ) bsciss ls rects..- Obtenemos los ceros de f: ± 4.- No eiste ningún cero de f en (, ) por lo qe: ( 4) A d Por tnto, f 4,el eje de 6 A. c) Si l fnción f no tiene signo constnte en [ b, ] : En este cso es necesrio clclr el áre de todos los recintos qe se formn entre l fnción el eje X. Pr ello primero se hlln los pntos de corte de l fnción con el eje X qe están entre b, en el ejemplo c d: c d b A f ( ) d f ( ) d f ( ) d c d c d b 6

64 EJEMPLO: Clcl el áre del recinto limitdo por l gráfic de l fnción ls rects 4..- Obtenemos los ceros de f: 6 ; f( ) 6 el eje de bsciss.- En este cso (-, 4) determin dos sbintervlos, [-, ] e [,4]. Por lo tnto, el áre será: 4 A ( 6) d ( 6) d 4 Por lo tnto, A. Si te fijs en l gráfic de f, podemos comprobr qe cmbi de signo en el intervlo [-, 4] En cso de qe precisemos clclr el áre limitd por l gráfic de n fnción f el eje de bsciss, sin especificr ls rects b, deberemos entender qe l región de l qe qeremos clclr el áre es l determind por los pntos de corte de l gráfic de l fnción con el eje. f ) Cálclo de áres limitds por dos fnciones: Primero es necesrio hllr los pntos de corte entre ls dos fnciones, por ejemplo b: b b b ( ) f A f ( ) d g( ) d f g ( ) d Si no qeremos comprobr cál de ls dos fnciones v por encim, podemos tilir el vlor bsolto: g b A ( f g )( ) d b Si ls gráfics se cortn en más de dos pntos, se clcl independientemente el áre de cd región. Por ejemplo si se cortn en ctro pntos, b, c d: 6

65 b c d A f g ( ) d f g ( ) d f g ( ) d f ( ) ( ) ( ) b c g b c d EJEMPLO: Clclr el áre limitd por ls gráfics de f( ) 4 5 ls bsciss e. Representmos ls fnciones: g ( ) 6 entre - L gráfic de f está sitd encim de g. Por tnto: A ( f ( ) g( )) d ( 4 5) ( 6) d ( ) d A En cso de qe nos pidn clclr el áre limitd por ls gráfics de dos fnciones, sin especificr ls rects b, sponemos qe l región de l qe qeremos clclr el áre es l definid por los pntos de corte de mbs gráfics. EJEMPLO: Clclr el áre limitd por ls gráfics ds fnciones f( ) g Representmos gráficmente el recinto descrito:. ( ) Iglmos ls fnciones pr clclr el pnto de corte: ; Por tnto: - A ( f ( ) g( )) d (( ) ( )) d ( ) d A

66 EJERCICIOS ) Clcl: ) 4 e d 6 ln b) 5 ln d 4 e ) Clcl sin deshcer el cmbio: d { ln 4}. ) Compreb el teorem del vlor medio del cálclo integrl, pr: π ) f ( ) cos en [ ππ, ] ± π π b) f ( ) sen ( ) en [, π ] c) f : [,] f ( ) 8 e e d) ln d e 4) Es plicble el teorem del vlor medio del cálclo integrl l fnción f( ) c '46 intervlo [,]? En cso firmtivo, compreb s verificción. { } 6 en el 5) Compreb l sigiente igldd clcl el vlor de c. cost dt ln sen c c ln sen t { } sen t 6) Dd F( ) dt, ( ), clcl F '( π ) F ''( π ). F' ( π) ; F'' ( π) t π t 4t 7) Se F( ) dt. Clcl ss etremos reltivos e intervlos de monotoní. t e 8) Clcl el áre comprendid entre l gráfic de l fnción f( ) 4 el eje de bsciss. 9) Áre del recinto limitdo por ls dos prábols de ecciones, e 4 9. { } ) Clcl el áre limitd por l crv 5 l rect. Represent gráficmente est áre. { 6 } ) Áre delimitd por ls gráfics de ls prábols, e. ) Clcl el áre de l región del semiplno limitd por l crv ln, s tngente en l rect 4 ln 7 ) Áre encerrd entre l crv bsciss.. { } e l cerd de l mism qe tiene por etremos los pntos de e 65

67 4) Áre comprendid entre l gráfic de f( ) sen ls tngentes ést en los pntos de bsciss π 8 π. 4 5) Clcl el áre del recinto limitdo por l prábol, el eje de bsciss l tngente l prábol prlel l rect. Hcer n dibjo del recinto descrito. 8 6) Clcl b pr qe l fnción f ( ) b teng n tngente horiontl en el pnto (, 6), determin el áre limitd por l gráfic de f( ), el eje OX ls rects. b ; re 5 8ln { } 7) Utili el cálclo integrl pr obtener l fórml qe epres el áre de n triánglo en fnción de n bse s correspondiente ltr. (Indicción: spóngse qe los vértices del triánglo son los pntos (,), (b,) (,h), con, b h positivo, rónese seprdmente los csos b, <b >b). 8) Compreb l verificción de l tesis del teorem del vlor medio del cálclo integrl pr l fnción f( ) en el intervlo [, e ]. 9) Clcl el áre del recinto delimitdo por l gráfic de l fnción f( ), el eje X l rect ln ( / 4). ) Hll el áre de l región del plno limitd por ls rects,, el eje X l gráfic de ( e ) l fnción f( ) e. e ) Dd l fnción f( ), determin s cmpo de definición ls ons de crecimiento decrecimiento. Clcl el áre de l región cotd del plno delimitd por l gráfic de f el eje OX. 5 ) Obtén el áre de l región del plno cotd por ls rects, π ls gráfics de ls e π fnciones f( ) e sen g ( ) e. ) Teniendo en cent qe f( ) k tom vlores positivos negtivos, hll el vlor de k de form qe el áre de l región limitd por el eje OX, ls rects ; l crv f() qede dividid por OX en dos prtes igles. 4) Se f ( ) b c. Determin, b c de form qe f ( ) d, f () f () 4. 66

68 5) Se considern ls crvs e b, donde b es n número del intervlo (,). Ambs crvs se cortn en n pnto (,b) de bscis positiv. Hll b sbiendo qe el áre encerrd entre mbs crvs desde hst es igl l encerrd entre ells desde hst. SELECTIVIDAD: (Glici, jnio 8) Clcl el áre del recinto limitdo por ls prábols (Glici, septiembre 8) A. Clcl: ( ) e d 4 ; { 6 } B. Definición de primitiv de n fnción. Enncido de l regl de Brrow. { e} (Glici, jnio 9) A. Clcl el áre del recinto limitdo por l gráfic de B. Clcl: e ( e ) g ( ) ln 5 d ; (Not: ln logritmo neperino l rect (Glici, septiembre 9) 8 A. Clcl el áre del recinto limitdo por el eje OX l prábol. 4 B. Ennci e interpret geométricmente el teorem del vlor medio del cálclo integrl.. (Glici, jnio ) A. Ennci el teorem fndmentl del cálclo integrl. Sbiendo qe f () t dt ( ) f n fnción contin en todos los pntos de l rect rel, clcl f(). { f () 6}, con B. Clcl d { ln } C. Dibj clcl el áre de l región limitd por l rect 7 l gráfic de l prábol f( ) 5. (Not: pr el dibjo de ls gráfics, indicr los pntos de corte con 7 los ejes, el vértice de l prábol concvidd o conveidd) 6 (Glici, septiembre ) A. Dibj clcl el áre de l región limitd por l gráfic de ls rects tngentes est prábol en los pntos de corte de l prábol con el eje OX (Not: pr el dibjo de ls gráfics, indicr los pntos de corte con los ejes, el vértice de l prábol l concvidd o conveidd) B. Ennci e interpret geométricmente el teorem fndmentl del cálclo integrl. 67

69 (Glici, jnio ) Dibj clcl el áre de l región limitd por l gráfic de l prábol f( ) s rect tngente en el pnto (,4) el eje OX (Not: pr el dibjo de l gráfic de l prábol, indic los pntos de corte con los ejes, el vértice l concvidd o conveidd) (Glici, septiembre ) e A. Ennci l regl de Brrow. Clcl ln d B. Dibj clcl el áre de l región limitd por l gráfic de l prábol f( ) l rect 9 ( Not: pr el dibjo de ls gráfics, indic los pntos de corte con los ejes, el vértice de l prábol l concvidd conveidd) (Glici, jnio ) A. Dibj clcl el áre de l región limitd por l prábol s rect norml en el pnto (,) (Not; pr el dibjo de ls gráfics, indicr los pntos de corte con los ejes, 5 el vértice de l prábol l concvidd conveidd A 8 5 B. Clcl d 5 ln ln (Glici, septiembre ) e ( ) A. Clcl d B. Dibj clcl el áre de l región limitd por l prábol, l rect tngente en el pnto donde l prábol tiene n etremo l tngente l prábol en el pnto en el qe l tngente es prlel l rect 4. (Not: pr el dibjo de ls gráfics, indicr los pntos de corte con los ejes, el vértice de l prábol l concvidd o conveidd) (Glici, jnio ) Dibj clcl el áre de l región limitd por l gráfic de f ( ) 4 4 l bisectri del primer cdrnte. (Not: pr el dibjo de l gráfic de f(), es sficiente tilir el prtdo nterior clclr los pntos de corte con los ejes) 68

70 (Glici, septiembre ) 4 A. Si f() es n fnción contin en el intervlo [,4] tl qe f ( ) d ( ) 4 Cál es el vlor de ( ) f d 4 5 f d? Ennci ls propieddes de l integrl definid qe tilices. B. Dibj clcl el áre de l región limitd por l gráfic de l prábol f ( ) 9, ls rects ; 5. (Not: pr el dibjo de l gráfic de l prábol, indicr los pntos de corte con los ejes, el vértice de l prábol l concvidd o conveidd) C. ) Define primitiv de n fnción ennci l regl de Brrow. b) Clcl d (Glici, jnio 4) A. Clcl: e e e d B. Dibj clcl el áre de l región limitd por l gráfic de l prábol f ( ) l rect norml l gráfic de f() en el pnto correspondiente. (Not: pr el dibjo de ls gráfics, indicr los pntos de corte con los ejes, el vértice de l prábol concvidd o conveidd). 69

71 BLOQUE: ÁLGEBRA. MATRICES Definición elementos de n mtri Clqier conjnto de números dispestos en m fils n colmns de l form A i m i m j j ij mj n n in mn se llm mtri m n. (o de dimensión m n) 4 Ej: A es n mtri 5 Tmbién se pede denotr A ( ij ) m n ; mientrs qe represent n elemento de l mism. ij Dos mtrices son igles cndo tienen l mism dimensión los elementos qe ocpn el mismo lgr en mbs son igles. Tipos de mtrices o Mtri fil Tiene sólo n fil. Ej: A ( 6 4 ) o Mtri colmn 8 Tiene sólo n colmn. Ej: A o Mtri rectnglr Tiene diferente número de fils qe de colmns. o Mtri nl Un mtri se dice qe es nl si todos ss elementos son. Se represent por O se llm tmbién mtri cero. Ej: O o Mtri trspest Dd n mtri A, se llm trspest de A, se denot por A t, l mtri qe se obtiene intercmbindo fils por colmns. 7

72 Ej: A A t o Mtri simétric Es l qe coincide con s trspest. AA t Ej: A o Mtri ntisimétric Si s opest coincide con s trspest. t Ej: A A A o Mtri cdrd Un mtri n n se dice qe es n mtri cdrd de orden n (tiene igl número de fils qe de colmns). 4 5 Ej: A es n mtri de orden En n mtri cdrd los elementos,,..., nn (elementos de l form ii ) formn l digonl principl, los elementos n,, n,, n,..., (elementos n con i j n ) formn l digonl ij secndri. Ej: En el ejemplo nterior l digonl principl es 4,, 8; l digonl secndri es 5,,7. Dentro de ls mtrices cdrds tmbién se peden distingir ls sigientes: Mtri digonl, si i j; ij (los elementos no pertenecientes l digonl principl son nlos) Ej: A 5 4 Mtri nidd, o mtri identidd, es n mtri con los elementos de l digonl principl igles. Se represent con I o Id. Ej: I Mtri tringlr sperior, si ij, siempre qe i > j (los términos por debjo de l digonl principl son nlos). 6 4 Ej: A 5 9 7

73 Mtri tringlr inferior, si ij, siempre qe i < j (los términos por encim de l digonl principl son nlos). 7 Ej: A Sm de mtrices. L sm de dos mtrices A ( ij ) B ( ij ) qe se obtiene smndo los elementos qe ocpn el mismo lgr, AB ( ij bij ) Ej: 4 5 b de l mism dimensión es otr mtri de es dimensión 6 8 o Propieddes. ) Asocitiv. b) Conmttiv. c) Elemento netro: l mtri nl. d) Elemento simétrico: l mtri opest (l formd por los elementos opestos) Prodcto de n mtri por n esclr. El prodcto de n esclr k R por n mtri A( ij ) es otr mtri de l mism dimensión qe A qe se obtiene mltiplicndo ss elementos por k, ka ( k ij ). Not. 4 6 Ej: 4 8 o Propieddes. ) k(ab)kakb b) (kh)akaha c) k(ha)(kh)a d) AA El conjnto de mtrices de l mism dimensión con l sm el prodcto por n esclr ( A,, mn ) es n espcio vectoril sobre R. Prodcto de mtrices. Dds dos mtrices A B, sólo se pede hcer el prodcto AB si el número de colmns de A coincide con el número de fils de B. El prodcto de l mtri A ( ij ) b de dimensión n p es otr mtri C( c ij ) de dimensión m p, tl qe cd elemento c ij se obtiene mltiplicndo esclrmente l fil i de l primer mtri por l colmn j de l segnd: c b b... b b ij i j i j in nj ik kj k de dimensión m n por l mtri B ( ij ) n 7

74 Ej: o Propieddes. ) Asocitiv: A(BC)(AB)C b) Distribtiv respecto de l sm: A(BC)ABAC c) Sólo ls mtrices cdrds tienen elemento netro: l mtri nidd. Nots. El prodcto de mtrices NO cmple, en generl, l propiedd conmttiv. El prodcto de mtrices sólo es n operción intern con ls mtrices cdrds. Potencis de n mtri cdrd: n n A A A A m n m n A A A Propieddes de l trspest de n mtri: (orden cmbido)... ) ( n n n A A A A A socitiv A A A A A A A A A A I A ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t t t t t t t ka ka A B B A B A B A A A 7

75 EJERCICIOS ) Dds ls mtrices 5 A, 4 B C. Hll. / 4 C B A ) Determin dos mtrices cdrds, X e Y, de orden tles qe: Y X 5 9 Y X ) Dds ls mtrices 4 A, B 4 C, clcl el prodcto ABC de ls dos forms posibles. 4) Dds A b B, hll AB. Conmtn A B clesqier qe sen b? D n fórml pr A n. 5) Si A B son mtrices cdrds de l mism dimensión e I es l mtri nidd correspondiente, sc fctor común: 5 AB B A AB. 6) Escribe ejemplos (si no es posible eplic por qé) de: ) Un mtri simétric de orden. b) Un mtri simétric de dimensión. c) Un mtri ntisimétric de orden no nl. d) Un mtri l ve simétric ntisimétric. e) Un mtri tringlr sperior de dimensión 4. f) Un mtri l ve tringlr sperior e inferior. 7) Dd l mtri J. Hll ls potencis de J hst obtener l mtri nl. Se A n mtri clqier de orden 4. Describe el efecto qe tiene sobre A l mltiplicción JA. Cánts veces es necesrio repetir el proceso pr obtener l mtri nl? 8) Determin l mtri X, de modo qe B X A, siendo A B 4 4 X 9) Clcl X si O bi X, siendo I O. ) Si A, 4 5 B C. Clcl: 74

76 ) AC b) ( ) A B C c) ( ) A B C ) Dd A. Determin tods ls mtrices X qe conmtn con A. ) Hll ls mtrices A qe verificn A. c b A ) Si 4 5 A B. Hll: ) ( ) t A B b) t t A B c) ( ) t AB d) t A t B e) ( ) t BA f) ( ) t t A { } A 4) Dd l mtri b A, cómo deben ser ls constntes b pr qe se verifiqe l igldd A A? { } ; b b 5) Obtén ls mtrices qe conmtn con A. b 6) Sbiendo qe A, clcl 5 A A. ; 5 5 A A 7) Si A es n mtri cdrd n n, tl qe A A, e I es l mtri nidd (n n), qé mtri es B, si B A I? 8) Dd n mtri A, eiste lgn mtri B tl qe el prodcto AB o bien BA se n mtri fil? 9) Siendo A n mtri de dimensión 4, eiste n mtri B tl qe AB se n mtri de fils? 75

77 ) Clcl A siendo A ) Siendo cos α senα A senα cos α, clcl n A, A,..., A. SELECTIVIDAD (Glici, septiembre ) Pon n ejemplo de mtri simétric de orden otro de mtri ntisimétric de orden. (Cstill L Mnch, jnio 8) Dd l mtri A, se pide: Encentr l epresión generl de l potenci n-ésim de A. En otrs plbrs, clcl l epresión de A n donde n es n número ntrl clqier. (Comnidd Vlencin, jnio 8) Sen I A ls mtrices cdrds sigientes: 7 9 I, A 7 Se pide clclr, escribiendo eplícitmente ls operciones necesris: Ls mtrices A A Los números reles (Pís Vsco, jnio 8) Sen A M ls mtrices: α β pr los qe se verific: ( ) I A αi βa m n A, M p q Encontrr ls condiciones qe deben cmplir m, n, p q pr qe se verifiqe qe el prodcto de mbs mtrices efectdo en ls dos forms posibles se el mismo. (Nvrr, jnio 9) 7 Dd l mtri A, clcl A A 8 76

78 (Cntbri, jnio 9) Jstific si cd n de ls sigientes firmciones es verdder o fls. En el cso de qe consideres qe l firmción es fls pon n ejemplo ilstrtivo. Si A B son dos mtrices cdrds clqier, entonces AB BA Si B es n mtri cdrd, entonces ( ) mismo orden qe B) I B I B B (siendo I l mtri identidd del (Pís Vsco, jnio 9) Obtener ls mtrices A B qe cmplen ls condiciones: 8 A B 5 4 (Cstill L Mnch, jnio ) Dds ls mtrices 4 A A B B, se pide: X Y A ) Reselve este sistem mtricil: X Y B b) Encentr n fórml generl pr B n, donde n N (Etremdr, jnio ) Clcle ls mtrices de l form X t X es l mtri trspest de X. qe cmplen l ección X X t, donde (Isls Cnris, jnio ) Dds ls mtrices A B : Resolver este sistem X Y A X 4Y B 77

79 . DETERMINANTES Definición de determinnte de n mtri cdrd Es n número qe se soci cd mtri cdrd; depende de ss elementos de l posición qe ocpn en ell. Este número reslt de smr (o restr) todos los prodctos qe peden obtenerse tomndo n fctor sólo no de cd fil n fctor sólo no de cd colmn. Determinnte de orden Dd l mtri cdrd de segndo orden A se llm determinnte de A : det( A) A El determinnte de n mtri de orden es igl l prodcto de los elementos de l digonl principl menos el prodcto de los elementos de l digonl secndri. Determinnte de orden. Dd n mtri cdrd de tercer orden A s determinnte es: A o Regl de Srrs. Pr recordr el desrrollo del determinnte de orden se pede sr l regl de Srrs: Los prodctos con signo positivo están formdos por los elementos de l digonl principl, los de ls dos digonles prlels con s correspondiente vértice opesto. Análogmente se formn los prodctos con signo negtivo pero tomndo como referenci l digonl secndri. con signo con signo Definición de menor complementrio de djnto de n elemento Si en n mtri cdrd de orden n sprimimos l fil l colmn del elemento ij se obtiene otr mtri de orden n-. Al determinnte de est mtri se le llm menor complementrio de ij. Lo denotremos por α ij. Se llm djnto de ij se design por A ij l número ( ) i j αij. Ej: En l mtri A el menor complementrio de es α α s djnto es ( ) A 98 78

80 Se llm mtri djnt de n mtri cdrd A, se represent por Adj(A), l mtri qe se obtiene l sstitir cd elemento ij por s djnto correspondiente A ij. Desrrollo de n determinnte por los elementos de n líne El determinnte de n mtri de orden n es el número qe se obtiene l smr los prodctos de los elementos de n fil o colmn por ss respectivos djntos.... n... n A A n n nn... Definición Un fil (o colmn) de n mtri se dice qe es combinción linel de otrs fils (o colmns) si es fil (o colmn) l podemos obtener como sm de ls otrs, cd n de ells mltiplicd por n número rel. Si lgn fil (o colmn) es combinción linel de otrs fils (o colmns), se dice qe el conjnto formdo por tods ells es linelmente dependiente. En cso contrrio es linelmente independiente. Propieddes elementles de los determinntes ) El determinnte de n mtri es igl l de s trspest. (Est propiedd permite ceptr pr ls colmns ls propieddes qe se demestren pr fils vicevers). b) Si n mtri tiene n fil (o colmn) de ceros, s determinnte es cero. c) Si cmbimos ls dos fils (o colmns) de n mtri, s determinnte cmbi de signo. d) Si n mtri tiene dos fils (o colmns) igles, s determinnte es cero. e) Si mltiplicmos cd elemento de n fil (o colmn) de n mtri por n número, el determinnte de l mtri qed mltiplicdo por ese número. f) Si n mtri tiene dos fils (o colmns) proporcionles, s determinnte es cero. g) Si n fil (o colmn) de n mtri es sm de dos, s determinnte pede descomponerse en l sm de los determinntes qe tienen en es fil (o colmn) los primeros segndos smndos, respectivmente, en ls demás los mismos elementos qe el determinnte inicil. ' ' ' ' h) Si n fil (o colmn) de n mtri le smmos otr fil (o colmn) mltiplicd por n número, el determinnte de l mtri no vrí. i) Si n fil (o colmn) de n determinnte es combinción linel de otrs fils (o colmns), entonces el vlor del determinnte es cero. (ver propieddes f g) j) Si A B son dos mtrices cdrds del mismo orden, entonces: det ( AB ) det ( A) det ( B) Como consecenci: A A I n A n ( A A) ( A ) ( A) ( A ) det det det det det Not importnte. Debido l propiedd i), pr qe los vectores (fil o colmn) de n determinnte sen linelmente independientes, n condición necesri sficiente es qe el determinnte se distinto de cero. ( A) 79

81 EJERCICIOS ) Compreb el vlor de los sigientes determinntes: ( )( ) 4 ( )( ) ) Hll los vlores propios de l mtri A I 4, es decir, los vlores de tles qe A. {,, 4} ) Reselve l sigiente ección:. 4) Ennci ls propieddes de los determinntes qe permiten comprobr sin hcer el desrrollo d pd qe el determinnte de est mtri es nlo: b e b pe. c f c pf b c 5) Sbiendo qe d e f 6 determin, sin desrrollr, el vlor de los sigientes g h i determinntes: b c b c b c /5 ) d / e/ f / b) d b e c f c) e f d d /5 g h i d g b e h c f i h i g g /5 b b 6) Se consider l fnción f ( ) sbiendo qe f ( ) f ( ) f ( ) Determinr b. 7) Eiste lgn mtri rel reglr (determinnte distinto de cero) A, de orden impr tl qe t A A? 8

82 SELECTIVIDAD (Glici, jnio 9) Se M n mtri cdrd de orden con det(m) - qe demás verific M M I, siendo I l mtri nidd de orden. Clcl los determinntes de ls mtrices: MI MI. M I ; M I 7 (Glici, septiembre ) { } Se M n mtri simétric de orden, con det(m) -. Clcl, ronndo l respest, el determinnte de M M t, siendo M t l mtri trspest de M. t M M 8 { } (Glici, jnio ) Sen C, C, C ls colmns primer, segnd tercer, respectivmente, de n mtri cdrd M de orden con det(m) 4. Clcl, enncindo ls propieddes de determinntes qe tilices, el determinnte de l mtri cs colmns primer, segnd tercer son, respectivmente, - C, C - C, C C. { 8 } (Mdrid, jnio8) Dd l sigiente mtri de orden n:. se pide: ) Clclr el determinnte de l mtri A b) Clclr el determinnte de l mtri A c) Clclr el determinnte de A 5 8

83 . APLICACIONES DE LOS DETERMINANTES Definición Se llm rngo de n mtri l número de fils o colmns linelmente independientes. Propiedd El rngo de n mtri es el orden del mor determinnte distinto de cero qe se pede formr con ls fils colmns de l mtri. Es decir, es el máimo orden de los menores no nlos. Esto se bs en dos resltdos recíprocos: -Si dos vectores fil o colmn de n mtri cdrd son linelmente dependientes, s determinnte es cero. -Si el determinnte de n mtri cdrd es cero, ss fils colmns son linelmente dependientes. Ej: Si n mtri 4 5 tiene rngo, signific qe eisten tres vectores fil o colmn linelmente independientes, los correspondientes l menor de orden distinto de cero, los demás son combinción linel de ellos. Cálclo del rngo de n mtri Dd n mtri, se elige en ell n menor no nlo de orden k. Se llm orlr el menor formr n determinnte de orden k ñdiendo n fil n colmn l menor, pr sí bscr el menor no nlo de orden máimo. Ej: L mtri 4 pede tener como máimo rngo, pero 4 orlndo 4, por tnto el rngo es. Tmbién se podí hcer directmente viendo qe l segnd fil es sm de ls otrs dos. o Trnsformciones elementles Son ls trnsformciones qe podemos relirle n mtri sin qe s rngo vríe. Es fácil comprobr qe ests trnsformciones no vrín el rngo sndo ls propieddes de los determinntes Si se permtn fils o colmns el rngo no vrí. Si se mltiplic o divide n líne por n número no nlo el rngo no cmbi. Si n líne de n mtri se le sm o rest otr prlel mltiplicd por n número no nlo el rngo no vrí. Se peden sprimir ls fils o colmns qe sen nls, ls fils o colmns qe sen proporcionles otrs, sin qe el rngo de l mtri vríe. Cálclo del rngo por el método de Gss El método de Gss consiste en plicr trnsformciones elementles n mtri con objeto de consegir qe los elementos qe están por debjo de l digonl principl se nlen (ij, i>j). Pr consegir "tringlr" l mtri debemos dejr en l digonl principl elementos no nlos, slvo qe l fil se nl. Un ve plicdo este proceso de tringlción, el rngo de l mtri es el número de fils no nls de l mtri obtenid. Esto es consecenci de ls propieddes de los determinntes. 8

84 Ejemplo: Clclr el rngo de l mtri M 6 Por comodidd, es decdo qe el elemento se o. De no ser sí, podemos permtr fils o mltiplicr tod l fil por n esclr. M 6 f f 6 f f f f f f f Ls fils nls podemos eliminrls, por tnto qed: Conclimos qe rg(m). Definición de mtri invers de n mtri cdrd Dd n mtri cdrd A llmremos mtri invers de A otr mtri A - qe cmple: A A A A I, siendo I l mtri nidd. Mtri reglr (o invertible): Si tiene invers. Mtri singlr (o no invertible): Si no tiene invers. Teorem. Condición necesri sficiente pr l eistenci de mtri invers Un mtri cdrd tiene invers si sólo si s determinnte es distinto de cero. Demostrción: Si l mtri A tiene invers A - entonces A A por tnto det( A A ) det( I), sndo l propiedd j) de los determinntes I, det( A) det( A ) por consigiente det( A ) det( A) det( A) Si el determinnte de l mtri A es distinto de cero, se pede clclr l mtri invers como veremos continción. Cálclo de l mtri invers L sm de los prodctos de los elementos de n fil (o colmn) por los djntos de otr fil (o colmn) distint es nl. Demostrción: Cojmos l fil i de n mtri cdrd A los djntos de otr fil j, tenemos qe probr qe: A A... A i j i j in jn Por otro ldo, consideremos el determinnte donde l fil j h sido sstitid por l fil i, desrrollémoslo por los elemento de l fil j: 8

85 fil j... i... i... n... i... i... n n... in... in... nn i A j i A j... in A jn pero por otro ldo sbemos qe este determinnte es cero pes tiene dos fils igles, entonces A A... A i j i j in jn Mltipliqemos n mtri cdrd A por l trspest de s djnt (lo hremos en el cso de n mtri de orden, en clqier otro orden se hce de form nálog): A A A ( ) t A Adj A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A entonces A Adj( A) t I, por tnto A Adj( A) t. A A Análogmente se demestr qe A A I Ejemplo: t Adj( A) ; Adj( A) A Propieddes ) L mtri invers, si eiste, es únic. ) ( A ) A (involtiv) ) ( ) AB B A (orden cmbido) 84

86 Cálclo de l mtri invers tilindo el método de Gss Consideremos n mtri cdrd A de dimensión n consideremos l sigiente mtri (A/I) donde I es l mtri nidd de dimensión n. El método de Gss-Jordn consiste en trnsformr medinte ls trnsformciones elementles por fils, l mtri (A/I) en otr mtri de l form (I/B). En cso de consegirlo, l mtri B es l invers de A. b b b trnsformciones b b b b b b Recerd qe ls trnsformciones elementles son: Smr fils. Mltiplicr por n esclr no nlo n fil. Smrle n fil el prodcto de n esclr por otr fil. Ejemplo: Clclemos l mtri invers del ejemplo nterior: f f ; f f f f f f Ecciones mtriciles Vemos, con lgnos ejemplos, como se reselven ecciones en ls qe precen mtrices: ) Dds ls mtrices A AX B X B, clcl n mtri X qe verifiqe l igldd 6 Podemos resolverl de dos forms: ) L mtri X debe ser pr qe se pedn relir todos los cálclos indicdos en l ección, por tnto: b b 6 b b 6 b b b b 6 b b 6 Así b X 85

87 b) Emplendo l mtri invers: Pr despejr X tenemos qe mltiplicr por l invers de A I (Ojo: tener en cent qe el prodcto de mtrices no es conmttivo) ( ) ( ) ( ) B I A X B I A X I A I A B X I A B X AX ) ( ) ( I A, ( ) / / I A por tnto: 6 / / X ) Dds ls mtrices A B. Hllr n mtri X tl qe B AXA Primero despejmos X, mltiplicndo por A por l iqierd por A por l derech: A AXA A A BA X A BA / A 7 9 / / X 86

88 EJERCICIOS ) Sen P Q mtrices cdrds de orden n qe tienen invers, tiene invers l mtri PQ? Ron l respest. ) Clcl l invers de l mtri P. 4 ) Reselve l ección AX B C,siendo: A, B 4 5 C. 5 4) Si A, hll los vlores de pr los qe A tiene invers. Hll l mtri Y de orden, qe es solción de l ección AY B I, siendo A l mtri nterior pr, I l mtri identidd B. 4 5) Dd A 4 5, demestr qe A I O (O es l mtri nl). Jstific qe A es 4 inversible obtén A. Clcl rondmente A. 6) Reselve l ección mtricil AXB C, siendo A, B C. 7) Reselve l ección mtricil ABX CX C, siendo A, B C. 8) Clcl b pr qe l mtri teng rngo. { b } b 9) Reselve XA B C D, siendo A, B, C D 6 ) Pr qé vlores del prámetro k, l sigiente mtri dmite invers? A k 87

89 t t ) Siendo A n mtri cdrd de tercer orden A s trspest, demestr qe A A es n t mtri simétric. Obtén l mtri invers de ( A A ), donde A. ) Dd l mtri A t, constre l mtri Y AA I, reselve l ección 5 AX. ) Pr qé vlores del prámetro k tiene invers l mtri A k? Clcl l invers k pr k. 4) Se A n mtri cdrd de orden digonl. ) Qé condiciones deben cmplir los elementos de A pr qe dmit invers? b) Y cáles pr qe dich invers coincid con A? 5) Obtén n vector no nlo ( bc,, ) de mner qe ls mtrices sigientes tengn, simltánemente, rngo : b b. c c 6) Spongmos qe C, C, C C4 son ls ctro colmns de n mtri cdrd A, co determinnte vle. Clcl rondmente: ) El determinnte de l invers de A. b) El determinnte de l mtri A. c) El determinnte de n mtri cs colmns son: C-C, C4, 5C C. b c b c 7) Si el rngo de es, cál será el rngo de l mtri d e b f c d e f? d be c f 8) Se A n mtri cdrd de orden n se I l mtri nidd de orden n. Demestr qe si A 5A I, entonces A posee invers. 9) Dd l mtri A, clcl A A. 88

90 SELECTIVIDAD (Glici, jnio 8) m Dd l mtri A m. Clcl los vlores de m pr los cles A tiene invers Pr m, clcl l mtri X tl qe XA X A 6 m X (Glici, septiembre 8) m ) Estdi según los vlores de m, el rngo de l mtri M m m { si m rgm ; si m rgm } b) Pr el vlor m, reselve l ección mtricil MX A t, siendo A (,,) A mtri trspest de A. Pr este vlor de m, cánto vldrá el determinnte de l mtri M? X 6 ;det( M ) 8 (Glici, jnio 9) t t Dd l mtri A, clcl los rngos de A A A A, siendo A t l mtri t trspest de A. Pr el vlor, reselve l ección mtricil A AX B, siendo B t t rg( A A) rg( A A ) ; X (Glici, septiembre 9) ) Estdi según los vlores de m, el rngo de l mtri M m m m 8 { si m 4 rgm ; si m 4 rgm } b) Reselve l ección mtricil A X B, siendo A, B. 4 X 89

91 (Glici, jnio ) Dd l mtri A ) Si I es l mtri identidd de orden, clcl los vlores de λ pr los qe A λi no tiene invers. Clcl, si eiste, l mtri invers de A I. λ ± ; ( A Ι) t b) Clcl l mtri X tl qe XA A X, siendo A t l mtri trspest de A. (Glici, septiembre ) Clcl n mtri X simétric de rngo qe verifiqe (Glici, jnio ) Dd l mtri A b, clcl todos los vlores de b pr los qe A - A t siendo A t l mtri trspest de A. ± ; b (Glici, septiembre ) X X ) Si A es n mtri tl qe A I, siendo I l mtri identidd l mtri nl de orden. Cál es el rngo de A? Clcl el determinnte de A. Clcl A en el cso de qe se n mtri digonl verificndo l igldd nterior. b) Dd l mtri B, clcl n mtri X tl qe BXB B B (Glici, septiembre ) ) Clcl, según los vlores de, el rngo de A. Pr, clcl el determinnte de l mtri A t A / t b) Se B /. Clcl e pr qe se cmpl qe B B (Not: A t, B t representn l mtri trspest de A B respectivmente). X 5 { } 9

92 (Glici, jnio ) Dds ls mtrices A, B, sen B t l mtri trspest de B e I l mtri identidd de orden. t ) Estdi, según los vlores del prámetro λ, el rngo de AB λi t b) Clcl l mtri X qe verific: AB X X B (Glici, septiembre ) ) Se M n mtri cdrd de orden tl qe ección mtricil ( ) M I X I, siendo I l mtri identidd de orden. M 4M. Determin l mtri X qe verific l b) Determin tods ls mtrices B de l form qe verifiqen B 4B. Si lgn es inversible, clcl s invers. (Glici, jnio 4) m ) Estdi, según los vlores de m, el rngo de l mtri A m m b) Coincide A con s invers pr lgún vlor de m? c) Determin n mtri simétric X de orden tl qe X el determinnte de l mtri 5 X se -9. 9

93 4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Definiciones Se llm ección linel con n incógnits n relción del tipo: donde,,..., n son ls incógnits;,,..., n los coeficientes b el término independiente. Los n números reles ( s, s,..., s n ) son n solción de l ección si l sstitirlos por ls incógnits se verific l ección. Se llm sistem de m ecciones con n incógnits todo sistem de relciones de l form:... n n b... n n b... m m... mn n bm Donde los números reles son los coeficientes del sistem; los números reles b son los términos ij independientes; i son ls incógnits del sistem. Los n números reles ( s, s,..., s n ) son n solción del sistem si l sstitirlos por ls incógnits verificn l ve ls m ecciones. Sistems homogéneos Un sistem se llm homogéneo cndo todos los términos independientes son cero. Un sistem homogéneo siempre es comptible, pes tiene l menos l solción (,,...,) qe se llm solción trivil. Sistems de ecciones eqivlentes Dos sistems de ecciones son eqivlentes cndo tienen ectmente ls misms solciones. Si dos sistems de ecciones son eqivlentes, entonces tienen el mismo número de incógnits, nqe no es necesrio qe tengn el mismo número de ecciones. A veces, pr resolver o estdir n sistem de ecciones conviene encontrr otro sistem eqivlente pero más sencillo, pr ello se peden tilir los criterios de eqivlenci: - Si se mltiplicn o dividen los dos miembros de n ección de n sistem por n número rel distinto de cero, reslt otro sistem eqivlente l primero. - Si n ección de n sistem se le sm o rest otr ección del mismo, reslt n sistem eqivlente. - Si en n sistem de ecciones n ección es combinción linel de otrs, pede sprimirse el sistem resltnte es eqivlente l ddo. Form mtricil de n sistem... Un sistem de m ecciones con n incógnits tmbién se pede escribir de form mtricil:... n b... n b m m... mn n bm Es decir, M XB, donde M es l mtri del sistem (de dimensión mn) está formd por los coeficientes del sistem, X es l mtri colmn formd por ls incógnits B l mtri colmn formd por los términos independientes. i n n b 9

94 Se llm mtri mplid del sistem (de dimensión m(n)) l mtri qe reslt de ñdirle l mtri del sistem l colmn formd por los términos independientes: M *... m... m n n... mn b b... b m Clsificción de los sistems tendiendo l número de solciones COMPATIBLES: DETERMINADOS (solción únic).ej: INDETERMINADOS (infinits solciones).ej: INCOMPATIBLES (no tienen solción). Ej: 9

95 5. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Enncido del Teorem de Roché-Frobenis Un sistem de ecciones lineles es comptible, si sólo si, el rngo de l mtri de coeficientes M es igl l rngo de l mtri mplid M *. Discsión de sistems de ecciones lineles - Si el sistem es comptible, el rngo indic el número de ecciones linelmente independientes, por lo qe se pede prescindir de ls ecciones linelmente dependientes. - Si el rngo es igl l número de incógnits, el sistem tiene solción únic (comptible determindo). - Si el rngo es menor qe el número de incógnits, el sistem tiene infinits solciones (comptible indetermindo), en este cso, lgn o lgns de ls incógnits qedrán en fnción de ls demás. Resmiendo: rngo(m) rngo(m * ) sistem comptible rngo(m) n sistem comptible determindo rngo(m) < n sistem comptible indetermindo rngo(m) rngo(m * ) sistem incomptible En el cso prticlr de los sistems homogéneos qe sbemos qe siempre son comptibles, según el teorem de Roché-Frobenis: - Si rngo (M) n, el sistem es comptible determindo, l solción es l trivil. - Si rngo (M) < n, el sistem es comptible indetermindo. Algnos sistems dependen de no o más prámetros hbrá qe estdir, según los vlores de estos prámetros, si el sistem es o no comptible. (Hbrá qe disctir el rngo de l mtri del sistem según los prámetros). Enncido de l Regl de Crmer En el cso de los sistems qe tienen igl número de ecciones qe de incógnits qe l mtri de coeficientes tiene determinnte distinto de cero, se pede obtener clqier incógnit i como el determinnte de l mtri qe se obtiene l cmbir l colmn i del determinnte de l mtri de coeficientes por l colmn de los términos independientes, todo ello dividido por el determinnte de l mtri de coeficientes. Discsión resolción por el método de Gss Se llm sistem tringlr n sistem de l form:... m m... n n b... m m... n n b... mm m... mn n bm Los sistems tringlres tienen l ventj de qe son más fáciles de resolver. En n sistem el rngo de l mtri de coeficientes siempre es menor o igl qe n, por lo qe si el número de ecciones es mor qe el rngo de M podemos eliminr ls qe son combinción linel de otrs pr obtener n sistem eqivlente qe tiene como mcho tnts ecciones como incógnits. 94

96 El método de Gss consiste en trnsformr el sistem de ecciones en otro eqivlente qe se de form tringlr. Psos: ) Eliminmos ls ecciones qe vemos qe son proporcionles otr. b) Intercmbimos ls ecciones ls incógnits de form qe qede primero l más sencill, poder ser, qe teng n coeficiente qe se divisor de los demás. c) Por trnsformciones scesivs colmn colmn, empendo por l primer, consegimos ceros en el triánglo inferior; operndo por fils. d) Si nos qedn más incógnits qe ecciones, psmos ls incógnits sobrntes l º miembro. e) Despejmos l incógnit de l últim ección volvemos hci rrib sstitendo despejndo. Ejemplo: Escribo l incógnit de primer: trbjo con l mtri mplid: opero por fils : obtengo: obtengo psndo sistem: lo resolvemos empendo por l últim ección hci rrib sstitendo: Discsión: Se n sistem de m ecciones n incógnits. Despés de redcirlo form tringlr: ) Se obtiene lgn ección de form:, con c distinto de cero, el sistem es incomptible. b) En otro cso es comptible. Si r es el número de ecciones no triviles (distints de ) b) Si, solción únic (S.C.D.) b) Si, solciones infinits (S.C.I.) Ejemplo: ) psndo sistem: Entonces sistem incomptible ' ' F F F F F F ' F F F ) ( 7 c r n r < n ' ' ' F F F F F F F F F

97 b) Ejemplo cso nterior ecciones incógnits F F 5 8 b) F 6 ' F F ' F ' F 5F F psndo sistem: Entonces como tenemos ecciones incógnits, S.C.I., psmos n incógnit (qe sobr prámetro). Hcemos α qed: resolvemos igl qe ntes: 7α 8 α 8 α 7α sstitendo en l primer: ; solción del sistem:,, α. Discsión resolción de sistems de ecciones lineles con n prámetro Ejemplo: Discte, según los vlores del prámetro: k k Considermos ls mtrices M M* k k M k k M* k k k k k k Estmos estdindo n sistem de ecciones con incógnits, por eso el rngo de l mtri del sistem es menor o igl qe. Pr qe este sistem se comptible determindo se tiene qe cmplir qe el determinnte de l mtri del sistem se diferente de cero. Vemos pr qé vlores del prámetro k el determinnte es cero. El determinnte de M es: ( ) ( ) M k k k k k( k) Así, M k o k Entonces podemos conclir qe pr todos los vlores del prámetro k, se cmple qe M, por lo tnto, rng(m)rng(m*) n. Es decir, el sistem será comptible determindo pr todos los vlores reles del prámetro k ecepto pr k k Estdiremos hor esos dos csos: k 5 Ls mtrices son: M M*

98 Y sbemos qe rng(m)< porqe M, vemos qe el rng(m). Vemos si rng(m*). Pr eso vmos elegir menores de orden pr ver si lgno es diferente de cero: Por lo tnto pr k el sistem es incomptible k Ls mtrices son: M M* Y sbemos qe rng(m)< porqe M. Si encontrmos n menor no nlo de M de orden, podemos decir qe rng(m). Elegimos el menor qe reslt de seleccionr ls dos primers fils ls dos primers colmns: Vemos el rngo de l mtri mplid: M Por lo tnto rng(m) rng(m*), es decir, el sistem es comptible indetermindo. 97

99 EJERCICIOS ) Clsific por el teorem de Roché-Frobenis : A. B. C. ) Compreb qe los sigientes sistems son comptibles determindos resélvelos por l Regl de Crmer: A. B. C. ) Clsific según ss solciones, tilindo el método de Gss, los sistems sigientes. Reselve los csos de comptibilidd. A. B. C. D. E. 4) Discte, según los vlores del prámetro: 5) Discte, según el prámetro, reselve cndo se posible: A. B. { }... D S C 5 { }... I S C 4 { } S.I ( ) { },, 4 ( ) { },5, ( ) { },,,,... D S C ( ) { } C I S,, ( ) { } C I S,, { } S.I C I S,, ; I S I S S C D ( ) ( ) ( ) ( ) ( )..,,...,,... ; I S S C I S C D ( ) ( ) S C I S C D,,...,,... 98

100 6) Discte el sistem resélvelo pr los vlores del prámetro qe lo hgn comptible m m m m 7) Estdi el sigiente sistem de ecciones lineles dependiente del prámetro rel resélvelo en los csos en qe es comptible. ( ) ( ) ( ) 8) Cndo en el ño 8 Beethoven escribe s primer sinfoní, s edd es die veces mor qe l del jovencito Frn Shbert. Ps el tiempo es Shbert el qe compone s célebre Sinfoní Incomplet. Entonces l sm de ls eddes de mbos músicos es igl 77 ños. Cinco ños despés mere Beethoven en ese momento Schbert tiene los mismos ños qe tení Beethoven cndo compso s primer sinfoní. Determin el ño de ncimiento de mbos compositores. 9) De tres números,,,, sbemos lo sigiente: qe el primero más el segndo smn ; qe el primero más el tercero smn ; qe l sm de los tres es, pr terminr, qe el primero mltiplicdo por n número k más el doble de l sm del segndo el tercero d. ) Qé pede decirse del vlor de k? b) Cánto vlen esos tres números? b c ) Se tiene el sigiente sistem de ecciones, en el qe ls incógnits son,, : c b b c Hll l solción sbiendo qe es únic. SELECTIVIDAD (Glici, jnio 8) ) Discte, según los vlores del prámetro m, el sistem de ecciones lineles: m si m SI, sin si m SCI, b) Resélvelo, si es posible, pr el cso m -. 5λ 4 5 λ solción solciones si m, sol (,, λ) 7 7 (Glici, septiembre 8) ) Discte, según los vlores del prámetro m, el sistem de ecciones lineles: m si m SCD, únic solción si m SI, sin solciones m Si m, sol 5 / 8, / 4, / 8) b) Resélvelo, si es posible, pr el cso m. { ( )} 99

101 (Glici, jnio 9) ) Reselve, si es posible, el sigiente sistem de ecciones lineles: b) Clcl el vlor de m pr qe l ñdir l sistem nterior l ección: reslte n sistem comptible indetermindo. (Glici, septiembre 9) ) Discte, según los vlores del prámetro m, el sistem de ecciones lineles: b) Resélvelo, si es posible, pr el cso m. (Glici, jnio ) ) Discte, según los vlores del prámetro, el sistem de ecciones lineles: b) Resélvelo, si es posible, pr el cso. (Glici, septiembre ) ) Discte, según los vlores del prámetro m, el sistem de ecciones lineles: b) Resélvelo, si es posible, en los csos m m -. (Glici, jnio ) ) Discte, según los vlores del prámetro m, el sigiente sistem de ecciones lineles: m m m b) Reselve, si es posible, el sistem nterior pr el cso m. (Glici, septiembre ) ) Discte, según los vlores del prámetro m, el sigiente sistem de ecciones lineles: 4 m m m b) Reselve, si es posible, el sistem nterior pr el cso m 4 5 m m 4 m m

102 (Glici, jnio ) 5 A. Ddo el sistem: 4 ) Clcl el vlor de α pr qe l ñdirle l ección α 9, reslte n sistem comptible indetermindo. Resélvelo, si es posible, pr α. b) Eiste lgún vlor de α pr el qe el sistem con ests ecciones no tiene solción? m m m B. Dd l mtri A m m ) Estdi, según los vlores de m, el rngo de l mtri A. b) Reselve, si es posible, el sistem A pr el vlor m (Glici, septiembre ) m ) Discte, según los vlores de m, el sistem m 5 6 b) Resélvelo, si es posible, pr m. (Glici, jnio ) m ) Discte, según los vlores del prámetro m, el sigiente sistem : m b) Reselve, si es posible, el sistem nterior pr el cso m (Glici, septiembre ) A. Cándo n sistem de ecciones lineles se dice homogéneo? Pede ser incomptible n sistem de ecciones lineles homogéneo? Jstific l respest. m B. Dd l mtri A m ) Clcl, según los vlores de m, el rngo de A. b) Coincide A con s invers pr lgún vlor de m? Pr m, clcl A 6 c) Si m A es l mtri de coeficientes de n sistem de tres ecciones lineles con tres incógnits, podemos firmr qe el sistem tiene solción únic? Jstific l respest. (Glici, jnio 4) ) Discte, según los vlores del prámetro m, el sigiente sistem de ecciones lineles: m 9 m 5 b) Reselve, si es posible, el sistem nterior pr el cso m 9

103 BLOQUE: GEOMETRÍA. VECTORES EN EL ESPACIO Vectores en el espcio Un vector fijo es n segmento orientdo viene determindo por s módlo, dirección sentido. Módlo de AB es l distnci de A B. Se design por AB. B Dirección de AB es l de l rect qe contiene A B, de tods ls rects prlels ell. AB Cd dirección dmite dos sentidos opestos: el qe v de A B el qe v A de B A. Dos vectores son igles cndo tienen el mismo módlo, l mism dirección sentido. Tenemos sí el espcio de los vectores libres en el cl podemos definir ls operciones de prodcto de n vector por n número, sm e rest de vectores. o Operciones con vectores A) Prodcto de n vector por n número. Sen OA λ R. Definimos λ como vector qe tiene l mism dirección qe OA, mismo sentido si λ>, sentido contrrio si λ<, de módlo : λ λ OA. Si λ, λ (vector nlo) (vector opesto) B) Sm de vectores. L sm l definimos de l sigiente form: Sen OA e v AB dos vectores libres, siendo O, A B pntos rbitrrios del espcio, OA AB dos representntes de ellos. Gráficmente l sm será: v v OA AB OB C) Rest de vectores. Definimos v como: v ( v) Propieddes. Asocitiv: ( v) w ( v w) Sm Conmttiv: v v vw,, Eiste vector nlo: Eiste vector opesto: ( ) v v

104 Asocitiv: α ( β) ( αβ ) Prodcto ( α β) α β v, Distribtiv: α, β R α( v) α αv Prodcto por l nidd: v v Polo tnto, (,, R) es n espcio vectoril rel o Dependenci e independenci linel de vectores Combinción linel de vectores. Ddos los vectores,,, n α, α,..., αn R l epresión α α αnn se llm combinción linel de,,, n. EJEMPLO: 4 Dependenci e independenci linel. Sen los vectores,,, n. Se dice qe formn n conjnto linelmente dependiente si eisten esclres α, α,..., αn R no todos nlos tles qe: α α αnn Est definición es eqivlente :,,, n son linelmente dependientes si lgno de los vectores lo podemos escribir como combinción linel de los restntes. Se dice qe,,, n formn n conjnto linelmente independiente si dd clqier combinción linel nl: α α αnn implic qe todos los esclres son nlos. Así: Dos vectores linedos son linelmente dependientes. Dos vectores no linedos son linelmente independientes. Tres vectores coplnrios (están en el mismo plno) son linelmente dependientes, pero tres vectores no coplnrios son linelmente independientes.

105 Bse. Sen,, tres vectores no coplnrios (por lo tnto l.i.). Clqier otro vector se pede poner como combinción linel de,, de form únic. Así, decimos qe,, formn n bse: B,,. { } Si los tres vectores son perpendiclres entre sí, se dice qe es ortogonl. Si demás, s módlo es, se dice qe es ortonorml. Coordends de n vector respecto de n bse. Se n bse B {,, }. Entonces, ddo, eisten, b, c R tles qe: b c A los números, b, c le llmmos coordends de respecto de l bse B. Se epres: ( bc,, ). i, jk, (,,),(,,),(,,) qe se conoce como bse Normlmente trbjremos con l bse { } { } cnónic. Operciones con coordends. Sen los vectores (,, ) v (,, ). Entonces: v (,, ) k ( k, k, k) Como consecenci de estos resltdos será más fácil trbjr con los vectores. Prodcto esclr de dos vectores v Ddos dos vectores, se llm prodcto esclr de dichos vectores l número rel: v v cos v, ( ) o Propieddes Definido positivo: cos (, ) cos º de est epresión dedcimos el módlo de n vector: Conmttivo: v v Homogéneo: k v k v k v Distribtivo respecto de l sm: v w v w o Interpretción geométric El prodcto esclr de dos vectores coincide con el prodcto del módlo de no de ellos por l proección del otro sobre él. v v cos,v pro v 4

106 o Epresión nlític Aplicndo ls propieddes del prodcto esclr: teniendo en cent qe llegmos qe Módlo de n vector Teniendo en cent qe podemos obtener el módlo de n vector tilindo qe Se cmplen ls sigientes propieddes: (desigldd tringlr) o Vector nitrio Un vector es nitrio si s módlo vle. o Ánglo qe formn dos vectores Podemos obtener el ánglo qe formn dos vectores prtir de s coseno, despejándolo de l fórml del prodcto esclr: o Ortogonlidd Como consecenci, dos vectores no nlos son perpendiclres (ortogonles), si sólo si, s prodcto esclr es cero. k v j v i v k j i v k k v j k v i k v k j v j j v i j v k i v j i v i i v v k k j j i i k j k i j i v v v v cos v v k k, cos v v v v v v v v v 5

107 Prodcto vectoril de dos vectores El prodcto vectoril de dos vectores es otro vector qe se obtiene: En el cso de qe los dos vectores sen proporcionles o lgno de ellos se nlo, s prodcto vectoril es el vector cero. En cso contrrio, es otro vector qe tiene por módlo el prodcto de los módlos de los vectores por el seno del ánglo qe formn, s dirección es perpendiclr mbos vectores, s sentido el del vnce de n sccorchos qe gir en sentido positivo del primer vector l segndo. (, ) v v sen v o Propieddes Anticonmttiv: Homogéne: Distribtiv respecto de l sm: o Epresión nlític Pr recordr est epresión se pede tilir: o Interpretción geométric El módlo del vector prodcto vectoril de dos vectores es igl l áre del prlelogrmo qe formn esos dos vectores. Cálclo del áre de n triánglo. Si conocemos los tres vértices de n triánglo OAB, pr obtener s áre lleg con clclr: v v v v v k v k v k w v w v k v j v i v k j i v i k v k j v j j v i j v k i v j i v i i v i v j v i v k v j v k v k k v j k v v v v k j i v h b h sen v v α OB OA Áre 6

108 Prodcto mito de tres vectores v w,v,w v w Se llm prodcto mito de tres vectores, l número rel:. o Epresión nlític del prodcto mito Utilindo ls epresiones nlítics del prodcto esclr vectoril se lleg qe: o Propieddes,v,w v,w, w,,v,v,w v w,v,w los tres vectores son linelmente dependientes (están en el mismo plno),b v,c w bc,v,w ', v, w, v, w ', v, w o Interpretción geométric Considermos tres vectores no nlos v, w, de form qe generen n prlelepípedo, tl como indic l figr: El volmen del prlelepípedo viene ddo por: V áre de l bse ltr v w cos α vw,,, siendo α el ánglo qe formn v w. El vlor bsolto del prodcto mito de tres vectores es igl l volmen del prlelepípedo qe formn los tres vectores v w v w v w 7

109 Por tnto, como en n prlelepípedo se peden constrir 6 tetredros con el mismo volmen, el tetredro qe tiene tres vectores como rists concrrentes en n mismo vértice tiene como volmen /6 del vlor bsolto del prodcto mito de esos tres vectores. Si conocemos los vértices de n tetredro ABCD, s volmen se pede clclr como: Volmen 6 AB, AC, AD 8

110 EJERCICIOS ) Ddos los vectores del espcio (,, ) v ( 4,5,6), determin el módlo de los vectores v v. ) Determin λ e ϕ pr qe el vector (λ, ϕ, -9,-4) se combinción linel de los vectores (,, -5, ) (, -, 4, 7). ) Descbre qe vlores de hcen linelmente dependientes los vectores (,, ), (,, ) (,,). 4) Los vectores v cmplen 5 v, demás v. Clcl v. 5) Ddos los vectores (,, ) v (,,4 ), clcl: ) S prodcto esclr. b) El módlo de cd vector. c) El ánglo qe formn. d) El vlor de m pr qe w (,,m) se ortogonl v. e) L proección de sobre v, vicevers. f) S prodcto vectoril. g) El áre del prlelogrmo qe formn. 4 6) Compreb si los vectores,, b (,, ) son nitrios ) Sen (, 6, ) v ( 7,, 6). Clcl cánto mide: ) L proección ortogonl de v sobre. b) L proección ortogonl de sobre v. 8) Sbiendo qe 5, v, w qe v 4, w v w, determin el vlor de k pr qe los vectores kv kw e v w sen ortogonles. k 6 { } 9) Si dos vectores tienen l mism dirección, cómo será s prodcto esclr, según tengn el mismo opesto sentido? ) Sbiendo qe v, clcl. ) Ddos los vectores, v 8 e w v 6 v { 7 } tles qe, v, w 4 v w, clcl l sm de los prodctos esclres v w vw. ) L tercer componente de n vector del espcio es. Determin ls otrs dos componentes sbiendo qe es perpendiclr l vector (,,) qe, demás, es combinción linel de los vectores (,,) (,,). {(,, )} ) Ddos los vectores (,, ) v (,, ), clcl el áre del prlelogrmo determindo por v. { 8} 4) Hll el volmen del prlelepípedo cs rists son los vectores (,,), j (,,) v (,, ). 5) Clcl el vlor de pr qe los vectores (,, ), v (,,),, 6 sen linelmente dependientes. ; ; w ( ) { } 9

111 6) Ddos los pntos A(,, -), B(,, -) C(,, -) e D(,, ), clcl el volmen del tetredro ABCD, sbiendo qe l cr ABC es n triánglo rectánglo isósceles recto en A. 7) Sen los vectores (,, ), v (k,, ) e w (4, k, ), clcl: ) Los vlores de k pr qe el volmen del prlelepípedo determindo por, v e w se de 6. b) Los vlores de k pr qe los vectores v, w sen linelmente independientes. A ( ) B ( ) ( ) 8) Clcl el volmen del tetredro de vértices,,,,,, C,, D (,, ), sbiendo qe ls rists AB BD son perpendiclres qe ls rists AB AC formn n ánglo de 45º.

112 . RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO Llmmos sistem de referenci n conjnto R{O; i, jk, } formdo por: Un pnto fijo, O, chmdo origen. Un bse ( i, jk, ) del espcio vectoril de los vectores libres. Se l plicción ϕ:r. k P OP j Est plicción es biectiv; es decir, ddo n pnto P lo hcemos corresponder i con el vector libre OP. Como ( i, jk, ) es n bse de, eisten, b, c R tles qe: OP i bj ck A l tern (,b,c) le llmmos coordends de P respecto del sistem de referenci R. Vmos considerr siempre n sistem de referenci ortonorml. Coordends de n vector ddo por ss pntos. Se el vector de origen P(,, ) etremo Q(,, ) P PQ OQ OP,,,,,, ( ) ( ) ( ) O Q Pnto medio de n segmento Se el segmento de etremos P(,, ) Q(,, ). Consideremos el prlelogrmo l qe dn lgr los vectores OP OQ. P El pnto medio del segmento PQ es n pnto R M M tl qe: OM OR ( OP OQ ),, O Q Por lo tnto, ls coordends del pnto medio del segmento vienen dds por: M,, Simétrico de n pnto respecto de otro. Llmmos simétrico del pnto P respecto do pnto M otro pnto P tl qe M es el pnto medio del segmento PP. Se P(,, ) M( bc,, ). Si ls coordends de P son ( αβγ,, ) tenemos qe: α α α β γ β M,, b β b γ c γ c

113 k O Ecciones de l rect P X Un rect r del espcio qed determind por n pnto Pbc (,, ) de dich rect n vector con s dirección (,, ), qe se llm vector director de l rect. Pr hllr clqier pnto X de l rect, podemos escribir: i j OX OP λ, qe se llm ección vectoril de l rect. O tmbién (,, ) ( bc,, ) λ(,, ) Iglndo cd coordend, obtenemos: λ b λ qe se llmn ecciones prmétrics de l rect. c λ Despejndo el prámetro λ, se obtiene: λ b b c λ qe son ls ecciones contins de l rect. c λ Not: Pede ocrrir qe i pr i, i ó i. Entonces si por ejemplo, prece: b c L primer proporción es mermente simbólic. Lo único qe qiere decir es qe Mltiplicndo ests ecciones en cr, tendremos: ( ) ( b ) ( ) ( c ) qe son ls ecciones implícits o redcids de l rect. (Veremos qe cd n de ells represent n plno, por tnto, l rect se escribe como l intersección de dos plnos)

114 Ecciones del plno Se n sistem de referenci ortonorml R {O; i, jk, }. Un plno π en el espcio qed determindo por n pnto Pbc (,, ) dos vectores (,, ) v ( v, v, v) no nlos con distint dirección (linelmente independientes), qe se llmn vectores directores. Pr hllr clqier pnto X del plno se pede escribir: PX λ v µ OX OP λ v µ, qe se llm ección vectoril del plno. PX OX OP O tmbién: (,, ) ( bc,, ) λ ( v, v, v) µ (,, ) Iglndo cd coordend, obtenemos: λ v µ b λ v µ qe son ls ecciones prmétrics del plno. c λ v µ Por otr prte, el vector PX tiene qe ser combinción linel de los vectores v ; l ser estos b c tres vectores dependientes se tiene qe: v v v Desrrollndo el determinnte, obtenemos n epresión de l form: A B C D, qe es l ección implícit o generl del plno. Vector crcterístico de n plno. Un plno pede estr definido por n pnto A (, b, c) n vector perpendiclr dicho plno n n, n n qe se llm vector crcterístico del plno. ( ), ( ) Si cogemos clqier pnto X,, del plno se cmple qe AX son perpendiclres, por lo qe s prodcto esclr es cero. Por tnto: n AX n ( ) n ( b) n ( c) n n n n n n b n c Es decir, obtenemos l ección implícit del plno: A B C D donde n ( A, B, C)

115 Ecciones de los ejes de los plnos coordendos Ecciones de los ejes coordendos Vectoril Prmétric Eje OX t t i Eje OY t j t Eje OZ t k t 4

116 Posiciones reltivs de dos plnos Dos plnos peden ser secntes, prlelos o coincidentes. Si los plnos tienen ecciones π : A B C D π ': A' B' C' D', hbrá qe A B C D estdir el sistem formdo por mbs ecciones: A' B' C' D' Si rngo(m) rngo(m*), (los coeficientes no son proporcionles), el sistem es comptible indetermindo, l ser tres incógnits, dos de ells dependerán de l tercer, es decir l resolverlo precerá n prámetro, l solción será n rect; los plnos son secntes. Si rngo(m) rngo(m*), (los coeficientes son proporcionles pero el término independiente no), el sistem es incomptible, no tiene solción, los plnos no se cortn, por tnto son prlelos. Si rngo(m) rngo(m*), (los coeficientes el término independiente son proporcionles), el sistem es comptible indetermindo, como sobr n de ls ecciones, n de ls incógnits qedrá en fnción de ls otrs dos, por tnto ls solciones vendrán dds por dos prámetros, l intersección es n plno, por tnto los plnos son coincidentes. Rngo(M) Rngo(M*) Posición Posiciones reltivs de tres plnos A B C D En el cso de tres plnos el sistem estdir tiene l sigiente mtri mplid: A' B' C' D' A'' B'' C'' D'' Si rngo(m) rngo(m*), el sistem es comptible determindo, tiene solción únic, por tnto los tres plnos se cortn en n pnto. Si rngo(m), rngo(m*), el sistem es incomptible, los tres plnos no tienen ningún pnto común. Como rngo(m), l menos dos plnos se cortn en n rect. (Pede ocrrir qe los tres plnos se corten dos dos en rects prlels o qe dos de ellos sen prlelos el otro plno corte mbos). Si rngo(m) rngo(m*), el sistem es comptible indetermindo, como h tres incógnits, dos de ells dependerán de l tercer, por tnto l hber n solo prámetro l solción es n rect, los tres plnos se cortn en n rect. (Pede ocrrir qe los plnos sen distintos se corten en n rect o qe dos de ellos coincidn el otro los corte en n rect). 5

117 Si rngo(m), rngo(m*), el sistem es incomptible. Como rngo(m) los tres plnos son prlelos.(pede qe coincidn dos de ellos). Si rngo(m) rngo(m*), el sistem es comptible indetermindo. Como sobrn dos de ls ecciones h tres incógnits, n de ests incógnits depende de ls otrs dos, es decir, ls solciones vienen dds con dos prámetros, por lo tnto, ls solciones formn n plno: los tres plnos son coincidentes. Rngo(M) Rngo(M*) Posición secntes en n pnto secntes dos dos o dos plnos prlelos cortdos por el otro plnos secntes en n rect distintos dos coincidentes no secnte plnos prlelos distintos prlelos dos coincidentes Coincidentes 6

118 Posiciones reltivs de n rect n plno Pede ocrrir qe se corten en n pnto, qe l rect esté contenid en el plno o qe l rect se prlel l plno. Si el plno viene ddo por l ección π : A B C D l rect por A' B' C' D' r : A'' B'' C'' D'' A B C D L mtri mplid estdir será: A' B' C' D' A'' B'' C'' D'' H qe tener en cent qe el rngo mínimo de M es, qe los plnos qe determinn l rect son secntes. Por tnto, los csos posibles son: Si rngo(m) rngo(m*), el sistem es comptible determindo, l solción es n único pnto, plno rect se cortn en n pnto, son secntes. Si rngo(m), rngo(m*), el sistem es incomptible, l no tener solción l rect el plno son prlelos. Si rngo(m) rngo(m*), el sistem es comptible indetermindo, como l solción viene dd con n prámetro es n rect, por tnto l rect está contenid en el plno. Rngo(M) Rngo(M*) Posición 7

119 Not: Si l rect viene dd por ecciones prmétrics es más sencillo sstitir ests ecciones en l implícit del plno, qedrá como únic incógnit el prámetro: A( k ) B( k ) C( k ) D Si est ección tiene n únic solción l rect el plno son secntes. Si no tiene solción son prlelos. Y si tiene infinits solciones l rect está contenid en el plno. Posiciones reltivs de dos rects Dos rects peden ser secntes, prlels, crds o coincidentes. Si ls rects son: A B C D A'' B'' C'' D'' r : s : A' B' C' D' A''' B''' C''' D''' A B C D A' B' C' D' El sistem estdir tendrá l sigiente mtri de coeficientes mplid: A'' B'' C'' D'' A''' B''' C''' D''' H qe tener en cent qe como mínimo rngo(m), pes ls dos primers (o ls dos últims) ecciones formn n rect son independientes. Si rngo(m), rngo(m*) 4, el sistem es incomptible, no tiene solción, demás ls rects no peden ser prlels porqe serí rngo(m), por tnto ls rects son crds. Si rngo(m) rngo(m*), el sistem es comptible determindo, l tener n únic solción, ls rects se cortn en n pnto. Si rngo(m), rngo(m*), el sistem es incomptible, como rngo(m) ls rects tienen l mism dirección, por tnto son prlels. Si rngo(m) rngo(m*), el sistem es comptible indetermindo, ls solciones vienen dds por n prámetro, es n rect, ls rects son coincidentes. RANGO(M) RANGO(M*) POSICIÓN se crn 4 se cortn son prlels son coincidentes 8