y es un número real (es decir, no es infinito). lím Observa que la función no está definida para valores negativos de la variable. Si x > 0 lim.

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1 45 CAPÍTULO 8: DERIVADAS. CONCEPTO DE DERIVADA.. Concepto de derivada de una función en un punto Del curso pasado ya conoces la definición de derivada. Vamos a recordarla. Recuerda que: La derivada de una función en un punto responde al estudio de dos problemas aparentemente distintos: El primero es el estudio del ritmo de variación de la función en dicho punto. El segundo es de índole geométrica: la derivada de una función en un punto indica el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto. El estudio de la tasa de variación media nos resultaba insuficiente para resolver determinados problemas. Por ejemplo: Si un avión (o un coche) sufre un accidente, y los epertos quieren determinar las causas, no les interesa la velocidad media del avión, (o del coche) sino la velocidad instantánea en el momento del accidente. Otro ejemplo más: Los bomberos utilizan lonas para recoger a las personas que deben saltar de un incendio. Para fabricar la lona y que resista deben conocer la velocidad en el momento del impacto, no la velocidad media de caída. Definición: Si X es un intervalo abierto, f: X una función continua en a X, se dice que f es derivable en a si eiste el límite: f ( ) f ( a) lím y es un número real (es decir, no es infinito). a a df El valor del límite lo denominamos derivada de f en = a, y lo representamos por f (a), Df(a) o por (a). d df f ( ) f ( a) f ( a h) f ( a) f '( a) DF( a) ( a) lím = lím d a a h0 h Estudia la derivabilidad de la función f ( ) cos en = 0. Observa que la función no está definida para valores negativos de la variable. Si > 0 sen f '( ), epresión que no está definida para = 0. Para estudiar la derivabilidad de la función en = 0, utilizamos la definición de derivada: f (0 h) f (0) f '(0) cos h lím lim. h0 h h 0 h Luego la función es derivable en { 0}. Derivación y continuidad Si f es derivable en un punto entonces la función es continua en dicho punto. Demostración f ( ) f ( a) Recuerda que una función es continua en = a, si lim f ( ) f ( a). Entonces f ( ) f ( a) ( a). a a Suponemos que la función es derivable en a, es decir que eiste f (a) y es un valor finito. Tomamos límites. f ( ) f ( a) f ( ) f ( a) lím ( f ( ) f ( a)) lím ( a) lím lím ( a) f '( a) 0 0. Por tanto lim f ( ) f ( a). a a a a a a a Las funciones cuyas gráficas aparecen a continuación son continuas en todos los puntos, y derivables en todos los puntos ecepto en = 0. Observa el comportamiento de la gráfica en dicho punto. Los límites laterales eisten, pero no coinciden, valen y respectivamente. Los límites laterales eisten, pero no coinciden, valen 0 y respectivamente. La función y = / es continua pero no es derivable en = 0. Matemáticas II. º de Bachillerato de Ciencias. Capítulo 8: Derivadas La función y = / es continua pero no es derivable en = 0.

2 46 / Estudia la derivabilidad de la función f ( ) en = 0 / / / La función es continua en todo ya que lim f ( ) lim a y lim f ( ) lim 0. a a 0 0 Para estudiar la derivabilidad de la función en = 0, utilizamos la definición de derivada: / f (0 h) f (0) h / f '(0) lim lim lim h lim. h0 h h0 h h0 h0 / h El límite tiende a infinito. No es derivable en = 0. Observa en la gráfica como la recta tangente en el origen es una recta vertical. La función es derivable en { 0}. / Estudia la derivabilidad de la función f ( ) en = 0. La función es continua en todo. Para estudiar la derivabilidad de la función en = 0, utilizamos la definición de derivada: / f (0 h) f (0) h / f '(0) lim lim lim h lim. h0 h h0 h h0 h0 / h El límite no eiste. Tiende a infinito. No es derivable en = 0. Observa en la gráfica como la recta tangente en el origen es una recta vertical. La función es derivable en { 0}. a ln( ) si 0 Dada la función f ( ), se pide: e si 0 a) Calcula el valor de a, para que f() sea continua en todo. b) Estudia la derivabilidad de f y calcular f () donde sea posible. Selectividad. Junio 4. Opción B a) Es una función definida a trozos por dos funciones continuas. Estudiamos la continuidad en = 0. a + ln( ) en = 0 es igual a a. a f (0) lim e 0 en = 0. 0 ln( ) si 0 Por tanto si a = 0 la función f ( ) es continua en todo. e si 0 b) Estudio de la derivabilidad: si 0 f '( ) = si 0. e e ( ) si 0 ( ) e si 0 En = 0, la rama de la izquierda tiende a y la de la derecha a 0, luego la función no es derivable. Actividades propuestas. Haciendo uso de la definición de derivada comprueba que la derivada de f ( ) sen en = a es igual a f '( ) cos a si a es distinto de 0. a. Utilizando la definición de derivada comprueba que las derivadas de las siguientes funciones en los puntos indicados es el valor dado: f() = en = f () =. g() = + en = a g (a) =. 4 h() = cos en = 0 h (0) = 0. r ( ) en = r () =.. Estudia la derivabilidad en = 0 de f() = (Selectividad Junio 995).. Interpretación geométrica de la derivada. Recta tangente Recuerda que: La pendiente de la recta tangente a la gráfica de y = f() en el punto (a, f(a)) es igual a f (a). Por tanto la ecuación de la recta tangente es: y = f(a) + f (a) ( a). Ejemplo: Para encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función y = ³ + en = buscamos la recta de pendiente f () que pase por el punto (, f()): f() = ³ + = ; f () = 6² + ; f () = 6 ² + = 7; Ecuación de una recta de pendiente 7 que pasa por el punto (, ): y = + 7( ) = 7 4. Se consideran las funciones f() = +, g() = a + b Matemáticas II. º de Bachillerato de Ciencias. Capítulo 8: Derivadas

3 47 a) Calcula a y b para que las gráficas de f y g sean tangentes en el punto de abscisa =. b) Para los valores de a y b calculados en el apartado anterior, dibuja las gráficas de ambas funciones y halla la ecuación de la recta tangente común. (Septiembre 0. Opción A) a) Calculamos las derivadas en = f () =, g () = a f () =, g () = 4a = 4a a = ½. Para = f() = = g() = (/)4 + b = + b b =. b) Recta tangente en (, ) de pendiente : y = + ( ) =. Las funciones son parábolas de vértices (, ) y (0, ) respectivamente, que pasan por el punto (, ). Actividades propuestas 4. Dada la función f() = ln, donde ln significa logaritmo neperiano, definida para > halla un punto (a, f(a)) tal que la recta tangente a la gráfica de f() en ese punto sea paralela al eje OX. Selectividad. Septiembre 05. Opción B 5. Dada la función f() = 6. Halla un valor a > 0 tal que la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f(a)) sea paralela a la recta y = 5. Selectividad. Curso 06/07. Modelo. Opción B 6. Se considera la función f() = + m, donde m > 0 es una constante. a) Para cada valor de m halla el valor a > 0 tal que la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f(a)) pase por el origen de coordenadas. b) Halla el valor de m para que la recta y = sea tangente a la gráfica de f(). Selectividad. Junio 07. Opción A Interpretación física de la derivada Recuerda que: La velocidad es la derivada del espacio respecto al tiempo, (en el caso en que la función indique, dado el tiempo, el espacio recorrido). La aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo. de v ; dt dv a dt Ejemplo: El espacio recorrido por un vehículo viene dado por e = t t², donde e se mide en metros y t en segundos. Determina la velocidad para t = segundos. Determina la función velocidad y la función aceleración. Calculamos la derivada: e = + 0 4t. Para t =, e () = 44 m/s = v(). La función velocidad es la derivada v = e = + 0 4t. Derivamos para obtener la aceleración: a = v = 0 4 m/s². Actividades propuestas 7. Un coche recorre una distancia e, en kilómetros, a las t horas, siendo e = t + 0 4t². Determina su función velocidad y su función aceleración. Es constante la aceleración? Si sigue a esa velocidad, en qué instante sobrepasa la velocidad máima permitida de 0 km/h? 8. Al lanzar un objeto verticalmente hacia arriba la altura (en metros) y, que alcanza a los segundos es: y = 0 4. Calcula la velocidad a los = 0, =, = y = 4 segundos. Determina también la altura de la piedra a esos segundos. Cuál es la altura máima alcanzada por el objeto? 9. Un coche recorre una distancia y, en kilómetros, en un tiempo dado en horas, dada por la ecuación: y = Determina la velocidad que lleva el coche para = 5 horas... Función derivada. Propiedades Recuerda que: Si f es derivable en X se llama función derivada de f a la función que asocia a cada número real de X el valor de la df derivada de f en dicho punto. A esta nueva función la designamos por f, Df o. d Por ejemplo, En el caso: f() = ³ entonces f (a) = a². Por lo tanto, si f() = ³ entonces f () = ². Pero a la función derivada podemos volverla a derivar, y obtener así la derivada segunda: f () = 6. Y volver a derivar, obteniendo la derivada tercera: f () = 6. Y la cuarta: f IV) () = 0. Cuánto vale la derivada 8 de esa función? Sabes hacerla? Claro que sabes! A partir de la derivada tercera todas las derivadas valen cero. Las derivadas sucesivas se pueden nombrar: f, f, f, f IV),, f n), o también Df, D f, D f,, D n) f. Actividad resuelta Calcula la derivada n ésima de f() = ln(): Matemáticas II. º de Bachillerato de Ciencias. Capítulo 8: Derivadas

4 48 f '( ) f ' '( ) f ' ''( n ( )( ) n) ( ) ( n )! ) f ( ) n Actividades propuestas 0. Comprueba que la derivada n-ésima de las siguientes funciones es la indicada: n n) ( ) n! n) n f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( ) n! n n n 4 ( ) ( ) a ( a) n) n! n ) n f ( ) f ( ) f ( ) cos a f ( ) a cos( a n ) n ( ) n n) ( ) ( n )! n ) n f ( ) cos f ( ) cos( n ) f ( ) ln( ) f ( ) n ( ) Notación diferencial f ( a h) f ( a) La tasa de variación media de una función y = f() en el intervalo (a, a + h) es: siendo el numerador el h dy incremento de la función y el denominador el incremento de la variable. Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó la notación: para d denotar la derivada de la función y respecto de la variable, donde dy y d no son numerador y denominador, sino un todo inseparable. Se lee, derivada de y respecto de. Esta notación es útil, sobre todo, si hay distintas variables. Ejemplo: ds Si S = 4πr² entonces 8 r. dr dv dv Si V = πr²h entonces = πr h y = πr². dr dh La función derivada es lineal Recuerda que: La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada una. Es decir: (f + g) () = f () + g () La derivada de una función multiplicada por una constante es igual a la constante por la derivada de la función: Si f() = c g() entonces f () = c g (). Estas dos propiedades, que ya conoces del curso pasado, nos indican que el operador derivada, D, es lineal y permiten escribir: D(f + g) = Df + Dg D(cf) = cdf Operaciones con derivadas Recuerda que: Pero también conoces el comportamiento de la derivada con otras operaciones, el producto, cociente, composición. La derivada del producto de dos funciones es igual al producto de la derivada de la primera función por la segunda función sin derivar más el producto de la primera función sin derivar por la derivada de la segunda función: (f g) () = f () g() + f() g () La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, divididos por el cuadrado del denominador: ( ) f '( ) g( ) f ( ) g'( ) g( ) La regla de la cadena epresa la derivada de la composición de funciones g () g: f g l f g( ) f g( ) h' ( ) ( f g)'( ) f ' g( ) g'( ) h( ) df df dg o escrito en notación de Leibniz: d dg d Calcula la derivada de y = ( 7 + ) 5. f en términos de las derivadas de f y Matemáticas II. º de Bachillerato de Ciencias. Capítulo 8: Derivadas

5 49 Para aplicar bien la regla de la cadena es muy importante que comprendas bien la composición de funciones. En la derivada propuesta tenemos la función potencial elevar a 5, cuya derivada conoces bien 5 4, y la función 7 + cuya derivada es 7 6. Aplicamos la regla de la cadena, primero la derivada de la función potencial en el punto 7 +, y luego multiplicamos por la derivada de esta función: y = 5( 7 + ) Calcula las derivadas de las funciones siguientes y comprueba el resultado: a) y = sen () y = sen() cos() b) y = sen(²) y = cos(²) c) f ( ) f '( ) 4 d) f ( ) f '( ) ( ) 4 ( ) e) f ( ) ( ) f ( ) ( ) f ( ) 9 f '( ) 9 Actividades propuestas. Si f y g son dos funciones derivables en todo punto, y se sabe que f() =, f() = 5, g() =, g() = 6, f () =, f () = 6, f (6) = 4, g () =, g () =, g (5) =. Determina el valor de: a) ( f g )' () ; b) ( g f )'() ; c) ( g f )' () ; d) ( f f )'().. Sean u() y v() dos funciones derivables en un punto. Pruébese que su producto u()v() es derivable obteniendo la epresión de su derivada: Du()v() = u ()v() + u()v (). (Selectividad Septiembre 995). CÁLCULO DE DERIVADAS Recuerda que: Del curso pasado ya conoces las reglas de derivación de funciones. Vamos a repasar algunas de ellas. Si ya sabes derivar con soltura, puedes saltarte este apartado, pero si no es tu caso, es importante que lo revises. Derivada de la función potencial: La derivada de la función f() = k, para cualquier valor numérico de k, es f () = k k. Derivada de la función logaritmo: Si f() = log a () entonces f () = loga e. Derivada de la función eponencial: Si y = a entonces y = a ln(a). Derivada de la función seno: Si f() = sen() entonces f () = cos(). Derivada de la función coseno: Si f() = cos() entonces f () = sen(). Observa cómo se han obtenido las derivadas siguientes: Función f() = 6 f() = = / f() = n = /n f() = / = f() = /² = Derivada f () = 6 5 f () = f () = (/n) (/n) = (/n) (n-)/n = f () = () ² = n n n f () = ³ = Calcula las siguientes derivadas y comprueba el resultado: a) f ( ) f '( ) 4 b) f ( ) f '( ) 9 9 c) f ( ) f () d) f() = ln( ) f'() = (5 56 ) e) 5 5 f ( ) 4 f '( ) f) ( ) f ( ) ( ) ( ) f '( ) g) f ( ) ( )( 6 ) f ' ( ) 6 6 ( 4) ( )( 4) h) f ( ) f '( ) ( ) Calcula las siguientes derivadas y comprueba los resultados: sen( ) a) f ( ) f '( ) cos( ) b) f ( ) cos( sen 5 ) f '( ) 0sen5 cos5 sen( sen 5) cos( ) c) f ( ) tg(5 7) 5 f '( ) cos (5 7) d) f ( ) cos( sen5) f '( ) 5cos5 sen( sen5) Matemáticas II. º de Bachillerato de Ciencias. Capítulo 8: Derivadas

6 50 6sen e) f ( ) cos sen( ) f '( ) f) f ( ) ln f '( ) cos sen( ) cos( ) g) ( ) ln( sen h) f ( ) sen(cos( )) f '( ) sen( ) cos(cos( )) f ( )) f '( ) tg( ) i) f ( ) ln( sen( )) f () = cotg() j) f () = ln(cos()) f () = tg() Técnica de la derivación logarítmica Aunque suponemos que ya la conoces vamos a repasar esta técnica que, en ocasiones, facilita los cálculos. Consiste en aplicar logaritmos a los dos miembros de la función, y a continuación, derivar. (⁵ 7³) Utilizando derivación logarítmica halla la derivada de f() = e ) Aplicamos logaritmos neperianos: ln(f()) = ln(e ( ⁵ 7³) ) ) Utilizamos propiedades de los logaritmos para simplificar el segundo miembro (en este ejemplo, el logaritmo de una potencia es igual al eponente por el logaritmo de la base): ln(f()) = ln(e ( ⁵ 7³) ) = (⁵ 7³) ln(e) = (⁵ 7³) 4 ) Derivamos los dos miembros de la igualdad: f '( ) 5 f ( ) 4) Despejamos f (): f () = f() (5 4 ) = e ( ⁵ 7³) (5 4 ). Derivando la función eponencial llegamos al mismo resultado. Compruébalo. Calcula las siguientes derivadas utilizando la técnica de derivación logarítmica y comprueba los resultados: a)f()=g() h() h( ) h( ) g'( ) f '( ) g( ) ( h'( )ln( g( )) ) b) f() = f () = (ln() + ) g( ) c) f() = sen() sen ( ) sen ( ) f '( ) (cos( ) ln( ) ) tg ( ) tg( ) sen( )cos( ) ln( ) d) f ( ) f '( ) ( ) cos ( ) sen ( ) Derivada de la función inversa Recuerda que: La función inversa de la función y = f() se define como: f (y) = y = f() Por este motivo, recuerda que la gráfica de una función y su inversa son simétricas respecto de la diagonal del primer cuadrante. Si conocemos la derivada de una función podemos calcular la derivada de su función inversa, pues: Si f es una función derivable y biyectiva en X con 0 f (X) entonces f es derivable en f(x) y: (f ) (y) = f ' f y Demostración: Para comprobar que f f ( y) f ( b) es derivable y calcular su derivada debemos calcular el límite: ( f )'( b) lim yb y b Pero = f (y) y sea a = f (b). Además, por definición de función inversa: y = f() y b = f(a). Por ser continua, cuando y a b, entonces a, por lo que el límite anterior es equivalente a: ( f )'( b) lim a f ( ) f ( a) Por tanto ( f )'( b) lim. a f ( ) f ( a) f '( a) a Por tanto eiste el límite y su valor es: ( f )'( b), c.q.d. f '( a) f '( f ( b)) f ' f ( b) Derivada de las funciones inversas de las funciones trigonométricas La función arco seno es la función inversa de la función seno y se define por tanto como: y = arcsen() = sen(y) Si la definimos en el intervalo (π/, π/) es biyectiva. Compruébalo! Entonces su derivada es: Matemáticas II. º de Bachillerato de Ciencias. Capítulo 8: Derivadas

7 5 y = arcsen() y = Demostración: Aplicamos la derivada de la función inversa: (f ) () = ( ) f ' f = cos( arcsen( )) Sabemos que sen () + cos () =, por tanto: cos( ) sen ( ) = cos( arcsen( )) sen ( arcsen( )), c.q.d. De forma similar se demuestran las derivadas de la función arco coseno y arco tangente. Recuerda que: f() = arcsen() f () = f '( ) y = arcsen(f()) y = y = arcsen(e e ) y = f ( ) e f() =arccos()f () = y =arccos(f()) y = f '( ) y = arccos( ) y = f ( ) 4 f() = arctg() f () = f '( ) y = arctg(f()) y = y = arctg( ) y = f ( ) 6 Calcula las siguientes derivadas y comprueba los resultados: ln( arctg ) a) f ( ) e f '( ) b) f ( ) arccos f '( ) ( ) c) f ( ) cos sen arcsen f '( ) d) f ( ) arctg f '( ) 5 cos cos 4 5 cos 5 4 cos Derivada de las funciones inversas de las funciones hiperbólicas La función argumento seno hiperbólico es la función inversa de la función seno hiperbólico y se define por tanto como: y = argsh() = sh(y) Entonces su derivada es: y = argsh() y = Utilizaremos esta derivada cuando estudiemos las integrales, pues nos permitirá obtener algunas. Demostración: Aplicamos la derivada de la función inversa: (f ) () = ( ) ' = f f chargsh Sabemos que ch () sh () =, por tanto: ch( ) sh ( ) = ch(argsh( )) sh (argsh( )), c.q.d. De forma similar se demuestran las derivadas de la función argumento coseno y argumento tangente. Recuerda que: f() = argsh() f () = f '( ) y = argsh(f()) y = y = argsh(e e ) y = f ( ) e f() = argch() f () = f '( ) y = argch(f()) y = y = argch( ) y = f ( ) 4 f() = argth() f () = y = argth(f()) y = f ' ( ) f ( ) y = argth( ) y = 6 Actividades propuestas. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: Matemáticas II. º de Bachillerato de Ciencias. Capítulo 8: Derivadas

8 5 b) a) 6 y 5 ; b) 4 y ; c) 7 Matemáticas II. º de Bachillerato de Ciencias. Capítulo 8: Derivadas 4 ( 4) y ; d) Calcula las derivadas de las siguientes funciones: a) y 5 ( 5)(4 6) y c) y d) y 5 5. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: a) b) f ( ) ( ) sh( ) c) 4 9 sen f ( ) tg d) cos e f ( ) tg e sen cos f ( ) cos sen 7 y Ya sabes que la función tangente se define como el cociente entre el seno y el coseno, las funciones hiperbólicas se sen( ) definen utilizando la función eponencial. Comprueba las derivadas de la tabla siguiente de tg() =, cos( ) e e e e sh( ) sh( ), ch( ), y de th( ). ch( ) f() = tg() f () = + tg () y = tg(f()) y =(+tg (f()))f () y = tg( ) y =(+tg ( ))( ) f() = sh() f () = ch() y = sh(f()) y = f ()ch(f()) y = sh( ) y = ch f() = ch() f () = sh() y = ch(f()) y = f ()sh(f()) sh (ln( ) y = ch(ln()) y = f() = th() f () = th () y = th(f()) y =f ()(-th (f())) y = th( 4 ) y = (4 )(th ( 4 )) 7. Utiliza derivación logarítmica para calcular las derivadas de las siguientes funciones: a) y = () ⁵ 9³ b) y = ((+7) 5³ 6² ) c) y = ( + e) (4 ⁵ 8³) ⁵ d) f ( ) ( ) 8. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: a) y = 4 sen arccos arcsen b) y e c) y sen( arctg ) d) y arccos 4 sen 6 9. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: a) y = 5 sh arg sh b) arg ch 7 6 sen y e c) y sh(arg th ) d) y arg ch ) 5 sh sen. APLICACIONES DE LA DERIVADA.. Teoremas de Rolle y del valor medio Teorema de Rolle El teorema de Rolle nos indica bajo qué condiciones podemos asegurar que hay un punto con tangente horizontal. Sea f: [a, b] una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Si f(a) = f(b) entonces eiste un punto c del intervalo abierto (a, b) en el que f (c) = 0. Demostración Toda función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza un valor máimo y un valor mínimo absolutos en dicho intervalo. Pueden ocurrir dos casos:.- Estos valores máimos y mínimos no se alcancen en el interior del intervalo. Entonces se alcanzan en los etremos a y b. Pero al ser por hipótesis f(a) = f(b) entonces el valor máimo coincide con el valor mínimo y la función es constante. Por tanto f (c) = 0 para todo c (a, b)..- En caso contrario el máimo o el mínimo o ambos pertenecen al interior del intervalo. Sea por ejemplo (a, b) el valor máimo. Al ser la función derivable en (a, b), eiste f (). Por ser un máimo, la función es creciente para valores f ( ) f ( ) menores a por lo que lím 0. Y es decreciente para valores mayores a por lo que f ( ) f ( ) lím 0. Al eistir la derivada ambos límites deben coincidir y para ello: f () = 0.

9 5 Análisis de las condiciones Basta que una de las condiciones no se verifique, para que pueda la función no tener un punto de tangente horizontal. Si f(a) f(b) no tiene que tener un punto de tangente Si no es continua en [a, b] no tiene que tener un punto Si no es derivable en (a, b) no tiene que tener un punto horizontal de tangente de tangente horizontal horizontal Sin embargo si se verifican las hipótesis, entonces eiste un punto en el que la tangente es horizontal. Dos coches de carreras parten al mismo tiempo y del mismo lugar y llegan a la meta empatados. Demuestra que en algún momento llevaron la misma velocidad. Llamamos f y g a las funciones que indican el espacio recorrido por cada coche, y sean a el instante de partida y b el de llegada. Las funciones f y g son continuas en [a, b] y derivables en (a, b). Definimos una función h() = f() g() que verifica las condiciones del teorema de Rolle, es continua en [a, b], derivable en (a, b) y h(a) = f(a) g(a) = 0 = h(b) = f(b) g(b). Por tanto eiste un instante c en el que h (c) = 0, luego f (c) g (c) = 0, y f (c) = g (c). Determina el valor de b para que la función f() = + 5 verifique el teorema de Rolle en el intervalo [, b] e indica dónde se verifica la tesis. La función es continua y derivable en toda la recta real luego lo es en cualquier intervalo [, b]. Queremos que f() = f(b), por tanto f() = = b b + 5, por lo que b =. f'() = = 0, por lo que el punto c donde se anula la derivada es c = / [, ]. Teorema del valor medio Sean f, g: [a, b] dos funciones continuas en el intervalo cerrado [a, b] y derivables en el intervalo abierto (a, b). Eiste un punto c del intervalo abierto (a, b) en el que: (f(b) f(a)) g (c) = (g(b) g(a))f (c). Demostración Construimos la función h: [a, b] ; h() = (f(b) f(a)) g() (g(b) g(a))f(). La función h es continua en [a, b] pues es suma de funciones continuas, f y g, multiplicadas por números, (f(b) f(a)) y (g(b) g(a)) que eisten. La función h es derivable en (a, b) pues está formada por funciones derivables. Además h(a) = h(b). En efecto: h(a) = (f(b) f(a)) g(a) (g(b) g(a))f(a) = f(b) g(a) g(b) f(a), y h(b) = (f(b) f(a)) g(b) (g(b) g(a))f(b) = g(b) f(a) + f(b) g(a), por lo que son iguales. La función h verifica las condiciones del teorema de Rolle, por lo que eiste un punto c de (a, b) en el que h (c) = 0 = (f(b) f(a)) g (c) (g(b) g(a))f (c). Corolario (Teorema del valor medio) Una consecuencia del teorema anterior es este corolario, que también recibe el nombre de teorema del valor medio. Sea f: [a, b] una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Eiste un punto c f ( b) f ( a) del intervalo abierto (a, b) en el que f (c) =. b a Nos garantiza bajo qué condiciones eiste un punto en el que la recta tangente es paralela a la recta secante que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) Demostración En el teorema anterior tomamos como función g() =, que es continua y derivable en toda la recta real. Como g () =, sustituimos: f ( b) f ( a) 0 = (f(b) f(a)) g (c) (g(b) g(a))f (c) = (f(b) f(a)) (b a))f (c). De donde: f (c) =. b a Se considera la función: n f ( ) m si si - -. a) Determina m y n para que se cumplan las Matemáticas II. º de Bachillerato de Ciencias. Capítulo 8: Derivadas

10 54 hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [4, ]. b) Hallar los puntos del intervalo cuya eistencia garantiza el teorema. Selectividad Junio 999 a) El teorema del valor medio requiere que la función sea continua en el intervalo cerrado y derivable en el intervalo abierto. La función está definida a trozos por funciones polinómicas que son siempre funciones continuas y derivables, luego el único punto dudoso es =. Para que sea continua debe verificarse que () + n() = () + m 4 n = 8 + m = n + m. n si Para que sea derivable: f'() si Por tanto = (6) + m m = = 0, y en = debe verificarse que: () + n = () 4+n = n = 6 6 si f(), verifica las hipótesis del teorema en [4, ]. 0 si f ( b) f ( a) 6 si - b) El teorema garantiza que eiste un punto c (a, b) en el que f (c) =. f '( ) b a debe ser: si - f(b) f(a) ( 0) (( 4) 6( 4)) ( 8) ( 664) ba ( 4) 6 6 Igualamos ambas ramas a 8/ y obtenemos: + 6 = 8/ = 8/6 8 = 0/6 666 > ' = 8/ no pertenece al intervalo. 9 Solución: c = 0/6 (4, ). Actividades propuestas 0. Se considera la función: f() =. Se pide: Comprueba la eistencia de, al menos, un punto c є sen cos [π, π] tal que f (c) = 0. (Sugerencia: Utiliza el teorema de Rolle). Demuestra que en c hay un punto de infleión. Selectividad. Curso 05/06. Modelo. Opción B. Sea: f() = a) Estudia la continuidad y derivabilidad de f en = 0. B) Estudia cuándo se verifica f () = 0. Puesto que f() = f(), eiste contradicción con el Teorema de Rolle en el intervalo [, ]? Selectividad. Curso 08/09. Nota: Observa que la función no es derivable en (, ) luego no se verifican las hipótesis del teorema... La regla de L Hôpital Sean f y g dos funciones derivables en un entorno del punto = a. Si límf( ) 0, lím g( ) 0 y eiste el límite a a f '( ) lim f ( ) f ( ) f '( ), entonces también eiste el lim y es: lim = lim. a g'( ) a g ( ) a g ( ) a g'( ) Demostración Para simplificar la demostración vamos a suponer que f ( a) 0 y que g ( a) 0. f ( ) f (a) f() f(a) f ( ) f ( ) f (a) a f( ) f'(). Luego lím lím a lím. g( ) g( ) g(a) g( ) g(a) a g() a g() g(a) a g'() a a La regla de L Hôpital también puede usarse si límf() y límg(), e incluso si tiende a. a a f() Para demostrarlo basta tener en cuenta que si entonces f ( ) g( ) 0 g() g( ) 0 f ( ) sen Calcula lim. 0 cos Como si llamamos f ( ) sen; g( ) cos se verifica que limf() limg() 0, podemos aplicar la regla de 0 0 Matemáticas II. º de Bachillerato de Ciencias. Capítulo 8: Derivadas

11 55 sen sen cos L Hôpital: lim = lim. De nuevo, tanto el numerador como el denominador se anular para = 0, 0 cos 0 sen sen cos cos cos sen luego aplicamos otra vez la regla de L Hôpital: lim = lim =. 0 sen 0 cos Es importante validar las condiciones en cada paso para no aplicar la regla cuando no puede aplicarse como en el problema que sigue: sen Calcula lim. 0 cos sen Observa que ahora f ( 0) 0 pero que g ( 0) por lo que lim 0. Pero si aplicamos L Hôpital por no 0 cos haber comprobado las condiciones tendríamos: sen sen cos cos cos sen lim lim = lim, que está mal. 0 cos 0 sen 0 cos 7 Calcula lim. 5 8 Comprobamos que se verifica que lim f ( ) limg( ), por lo que podemos aplicar la regla de L Hôpital: Actividades propuestas sen( sen). Calcula lim cos e. Calcula lim 0 4. Calcula lim lim lim (Selectividad Septiembre 998) ( f ( )) f ( ) lim 0 e (Prueba previa Selectividad 999) sabiendo que f() una función real de variable real, derivable y con derivada continua en todos sus puntos y tal que: f(0) = ; f() = ; f'(0) = ; f'() = 4. (Selectividad Septiembre 0. Opción B).. Crecimiento y decrecimiento Recuerda que: Si f (a) > 0 entonces la función y = f() es creciente en = a. Si f (a) < 0 entonces la función y = f() es decreciente en = a. Ejemplo: Determina si y = 0 ² es creciente o decreciente en = 5. Calculamos la derivada: y = ; en = 5: y (5) = 0 4(5) + 50 = 5 > 0. La función es creciente. Actividades propuestas 5. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función: y = ³. Cómo es en = 0? Y en =? Y en =?.4. Máimos y mínimos Recuerda que: Una función alcanza en (a, f(a)) un máimo global o absoluto si f(a) es el mayor valor que alcanza la función. Una función alcanza en (a, f(a)) un mínimo global o absoluto si f(a) es el menor valor que alcanza la función. Una función alcanza en (a, f(a)) un máimo local o relativo si eiste un intervalo que contiene a a en el que f(a) es el mayor valor de la función en ese intervalo. Una función alcanza en (a, f(a)) un mínimo local o relativo si eiste un intervalo que contiene a a en el que f(a) es el menor valor de la función en ese intervalo. Ejemplo: La función y = ( ) + 4 de la gráfica del margen no alcanza ni máimos ni mínimos absolutos, pero alcanza un máimo relativo en punto A (0, 4) y un mínimo relativo en el punto B. Matemáticas II. º de Bachillerato de Ciencias. Capítulo 8: Derivadas

12 56 Ejemplo: La función de la gráfica del margen no tiene máimos absolutos, pero alcanza máimos relativos en = 5 y en = 0 5. Tiene tres mínimos que son a la vez absolutos y relativos en =, = 0 y en =. Si una función tiene un máimo o un mínimo en (a, f(a)) y eiste f (a), entonces f (a) = 0. Se denomina punto singular o punto crítico de y = f() a los puntos en los que se anula la derivada. Para saber si un punto crítico es un máimo, o un mínimo, o un punto de infleión podemos utilizar alguno de los tres criterios siguientes: Criterio : Si f (a) = 0, estudiamos los valores de próimos a a, tanto a la derecha como a la izquierda. Criterio : Estudiar el signo de la derivada en puntos próimos a a, con lo que sabremos si la función crece o decrece en esos puntos. Criterio : Si f (a) = 0 y f (a) > 0 entonces (a, f(a)) es un mínimo. Si f (a) = 0 y f (a) < 0 entonces (a, f(a)) es un máimo. Calcula los máimos y mínimos de la función: y = 7² + 5. Calculamos la derivada y la igualamos a 0: y = = 0 = 5/4. Para saber si es máimo o mínimo calculamos la derivada segunda: y = 4 > 0. Es un mínimo. La función es una parábola de vértice (5/4, 7(5/4) + 5(5/4)) (0 8, 0 89). Para < 5/4 la función es decreciente, y para > 5/4, es creciente. Dos observaciones importantes ) Pueden eistir máimos o mínimos en puntos donde no eista la derivada. Por ejemplo: si 0 La función valor absoluto de tiene un mínimo en (0, 0). si 0 Pero la derivada no se anula en (0, 0). No eiste. La derivada a la derecha de 0 vale, y la derivada a la izquierda vale. Son distintas, luego la función no es derivable en (0, 0). ) Pueden eistir puntos donde la derivada valga 0 y sin embargo no sean ni máimos ni mínimos. Por ejemplo: La función y = ³ de derivada y = ², que se anula en (0, 0) no tiene en dicho punto ni un máimo, ni un mínimo. La función es siempre creciente. Va a tener en (0, 0) un punto de infleión de tangente horizontal. Para estar seguros de no perder ninguna posible solución conviene, para determinar todos los máimos y mínimos absolutos y relativos de una función, buscar: ) Los puntos donde se anula la derivada: f () = 0. ) Los puntos donde la función no sea derivable. ) Los valores de f() en los etremos del dominio de definición de la función. Determinar el valor de la función en todos estos puntos y comparamos estos valores. Determina los máimos y mínimos, absolutos y relativos, de la función f() = 9 + 4, en el intervalo [, ] y en el intervalo [, 5]. La función es derivable en todos los puntos. f () = 8 + 4, que se anula en y 4. En el intervalo [, 5] ambas valores pertenecen al intervalo, por lo que los valores a valorar son:,, 4 y 5. En el intervalo [, ] el punto 4 no pertenece, luego tenemos que valorar, y ; f() = 6; f() = 0; f() = 8; f(4) = 6; f(5) = 0. Calculamos la derivada segunda: f () = 6 8, en los puntos donde se anula la derivada: f () = 6 < 0; f (4) = 6. En (, 0) se alcanza un máimo relativo y en (4, 6) un mínimo relativo. Intervalo [, ]: Máimo absoluto y relativo es (, 0) y mínimo absoluto es (, 6). Intervalo [, 5]: Máimos absolutos es (5, 0) y (, 0), mínimos absolutos son (, 6) y (4, 6). Determina los máimos y mínimos, absolutos y relativos, de la función f() = en el intervalo [6, ]. La función no es derivable en (0, 0). La derivada vale si es positivo y si es negativo, por lo que la derivada no se anula en ningún punto. Estudiamos los etremos del intervalo, 6 y : f(6) = 6 = 6; f() = =. El mínimo absoluto de la función se alcanza en (0, 0) y el máimo absoluto en (6, 6). Hay un máimo relativo en (, ). Matemáticas II. º de Bachillerato de Ciencias. Capítulo 8: Derivadas

13 57 Actividades propuestas 6. Calcula los máimos y mínimos de las funciones siguientes: a) y = ⁴ ; b) y = ³ + 9; c) y = 4⁴ ² + 5; d) y = 9³. a 7. La velocidad de propagación de una onda de longitud en aguas profundas viene dadas por la fórmula v en la a que a es una constante conocida. Comprueba que la longitud que corresponde a un mínimo de velocidades = a. 8. Demuestra que la suma de dos sumandos positivos, cuyo producto es constante, es mínima cuando estos son iguales. 9. Calcula los máimos y mínimos relativos y absolutos de la función: f() = + 7, en el intervalo [5, 5] y en el intervalo [, 4]. 0. Determina los máimos y mínimos de las funciones siguientes: a) y = I 9I; b) y = I + I + I I.. Determina los máimos y mínimos, absolutos y relativos, de la función f() = + en el intervalo [4, 4]. e si 0. Se considera la función: f ( ). Contesta, razonadamente, a las siguientes preguntas: si 0 a) Es continua en el punto = 0? b) Es derivable en el punto = 0? c) Alcanza algún etremo? (Selectividad). Se considera la función real de variable real definida por. Determinar sus máimos y mínimos relativos. f ( ) Septiembre 0. Opción A. Selectividad.5. Concavidad y conveidad. Puntos de infleión Sea f: [a, b] una función. f es convea [a, b] si para toda terna 0,, del intervalo con 0 < < se verifica que: f ( ) f ( f es cóncava [a, b] si, en las mismas condiciones, se verifica que: ) f ( ) f ( 0). f ( ) f ( 0 0 ) f ( ) f ( 0) 0. Convea Cóncava Observa que para esta definición no se ha impuesto ser derivable a la función. Si la función es derivable dos veces en el intervalo de estudio se tiene: f '' 0 f es convea [a, b] f es estrictamente creciente f '' 0 f '' 0 f es cóncava [a, b] f es estrictamente decreciente f '' 0 Observa también que si la función es convea, la gráfica queda por encima de la recta tangente, y si es cóncava, por debajo. Del mismo modo que en los puntos de la gráfica de una función en los que se anula la derivada primera se produce un cambio, pasa de creciente a decreciente, o viceversa, en los puntos en los que se anula la derivada segunda también se produce una modificación en la gráfica, pasa de cóncava a convea, o viceversa. Vamos a analizar ese cambio estudiando algunos casos: En cuatro gráficas de arriba hemos señalado un punto y la recta tangente en ese punto. La derivada segunda se anula en los puntos señalados de las cuatro gráficas. Analiza lo que ocurre. Observa que la recta tangente deja a la gráfica unas veces por Matemáticas II. º de Bachillerato de Ciencias. Capítulo 8: Derivadas

14 58 arriba y otras por abajo. Diríamos que atraviesa la gráfica. Hay un cambio en la concavidad. Esos puntos se llaman puntos de infleión. Si la función y =f() tiene un punto de infleión en = a, y eiste la segunda derivada, entonces f (a)=0 Si además, como en la primera gráfica y en la cuarta, se anula la derivada primera se dice que tiene un punto de infleión de tangente horizontal. Observa las gráficas siguientes. Hay máimos, mínimos y puntos de infleión en el origen (0, 0). y = 4 y (0) = y (0) = y (0) = 0; y iv) (0) > 0 Mínimo y = 5 y (0) = y (0) = y (0) = y iv) (0) = 0; y v) (0) 0 Punto de infleión de tangente horizontal Matemáticas II. º de Bachillerato de Ciencias. Capítulo 8: Derivadas y = 6 y (0) = y (0) = y (0) = y iv) (0) = y v) (0) = 0; y vi) (0) < 0. Máimo y = 7 y (0) = y (0) = y (0) = y iv) (0) = y v) (0) = y vi) (0)= 0; y vii) (0) 0 Punto de infleión de tangente horizontal Las propiedades estudiadas se pueden generalizar con el siguiente teorema: Sea f: [a, b] una función k + veces derivable en [a, b] y sea c un punto de (a, b). Entonces: ) Si f (c) = f (c) = = f k) (c) = 0, f k+) (c) 0 y k es impar: Si f k+) (c) < 0 entonces f alcanza un máimo relativo en c. Si f k+) (c) > 0 entonces f alcanza un mínimo relativo en c. ) Si f (c) = = f k) (c) = 0, f k+) (c) 0 y k es par, entonces f tiene un punto de infleión en c. Si además f (c) = 0 la tangente del punto de infleión es horizontal. Determina los puntos de infleión y los intervalos de concavidad y conveidad de la función f() = 5 +. Calculamos la derivada segunda f () = ; f () = 0. Se anula en = 0. Calculamos las derivadas sucesivas: f () = 60 ; f IV) () = 0; f V) () = 0; f (0) = f IV) (0) = 0 y f V) () 0. La primera derivada que no se anula en = 0 es la quinta, es impar, luego en (0, ) hay un punto de infleión, y como no se anula la derivada primera no es un punto de infleión de tangente horizontal. La derivada segunda f () = 0 es positiva si > 0 y negativa si < 0, por tanto la función es convea si > 0 y cóncava si < 0. Actividades propuestas 4. Sabiendo que una función f() tiene como derivada f () = ( 4) ( 8 + 7), a) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. b) Halla los máimos y mínimos relativos de f. c) Es el punto = 4 un punto de infleión de f? Justifica razonadamente la respuesta. Septiembre 04. Opción A 5. Determina los máimos, mínimos y puntos de infleión de las funciones siguientes: a) y = ³ ² ; b) y = ³ 7 + 8; c) y = 5 + ; d) y = Representación gráfica de una función Otra de las aplicaciones de la derivada es la representación gráfica de funciones. Se va a dedicar el próimo capítulo a recoger todo lo que ya sabes, para hacerlo. Ahora únicamente vamos esbozarlo. Vamos a seguir un orden para hacerlo: ) Puntos de intersección con los ejes coordenados. ) Asíntotas. Dominio de definición. Comportamiento en el infinito. ) Derivada primera: crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos. 4) Derivada segunda: concavidad y conveidad. Puntos de infleión. ( )( ) Haz un esbozo de la gráfica de la función: f() = ( )( ) ) Puntos de intersección con los ejes coordenados: En ocasiones es difícil encontrarlos. En otras es sencillo como en este caso. Para = 0 y = /, A(0, /). La ordenada vale 0 para = y para =, B(0, ), C(0, ). ) Asíntotas. Dominio de definición. Comportamiento en el infinito: La función está definida en toda la recta real ecepto en los valores que anulan al denominador, donde tenemos dos asíntotas verticales: = y para =. Cuando tiende a infinito la y tiende a, luego tenemos una asíntota horizontal: y =. En muchas ocasiones con esta información ya somos capaces de hacer un primer esbozo de la gráfica:

15 59 e si 0 Haz un esbozo de la gráfica de la función: f() = si 0. Puntos de intersección con los ejes coordenados. La rama I no corta al eje de abscisas. La rama II tampoco. Si = 0 en la rama II tenemos que f(0) =, el punto B (0, ) de la gráfica.. Asíntotas. Dominio de definición. Comportamiento en el infinito. La función f() es continua en todos los puntos salvo en {0, }. Comportamiento en = 0: lím 0 e. A la izquierda de 0 toma el valor. En = tiene una asíntota vertical. e Comportamiento en tiende a : lím ; lím.. Derivada primera: crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos. e ( ) si 0 f'() = 4 si 0 En = 0 no es derivable pues no es continua. Observando el signo de la derivada tenemos que la función es creciente en el intervalo (, 5 ), decreciente en ( 5,), decreciente en (, 0), y es decreciente en (0, ) y creciente en (, +) En = hay un mínimo: A (, e). En = 5 hay un máimo, en el punto C de la gráfica. Matemáticas II. º de Bachillerato de Ciencias. Capítulo 8: Derivadas e ( ) si 0 4. Derivada segunda: concavidad y conveidad. Puntos de infleión: f () = 0 si 0 La derivada segunda no se anula en la rama I ni en la rama II. No hay puntos de infleión. Es cóncava de (, ) y convea de (, 0) y de (0, +). Actividades propuestas 6. Se considera la función f() =. a) Indicar el dominio de definición de la función f y sus asíntotas. b) Hallar los 4 etremos relativos de la función f y sus intervalos de concavidad y conveidad. c) Dibujar la gráfica de f y hallar su máimo y su mínimo absoluto en el intervalo [, ]. Selectividad Opción A sen 7. Sea la función f ( ) definida en el intervalo cerrado y acotado [, ]. Se pide: a) Calcular los puntos del cos intervalo dado donde f alcanza sus valores máimo y mínimo absolutos. b) Dibujar la gráfica de la función f en el intervalo dado. Selectividad. Septiembre 0. Opción A 8. Sea la función f() = 4. Estudia su continuidad y derivabilidad. Dibuja su gráfica. Selectividad. Septiembre 0. ( ) 9. Se considera la función f ( ). Calcula las asíntotas, el máimo y el mínimo absolutos de la función f(). 4 Selectividad Junio 04. Opción A.7. Problemas de optimización A los problemas de máimos y mínimos se les suele denominar problemas de optimización.

16 60 Cortando un mismo cuadrado de las cuatro esquinas de una hoja rectangular de dimensiones a y b se puede construir una caja abierta por la parte superior. Calcula el lado del cuadrado que hay que cortar para que la caja tenga máima capacidad. El volumen de la caja es el producto de los tres lados. Si cortamos las esquinas el rectángulo de longitud b tendrá ahora una longitud b. Lo mismo el de longitud a. La altura es. V = (b )(a ) = 4 b a + ab. Para hacer el volumen máimo, derivamos e igualamos a cero. V = b a b a ab 4(b + a) + ab = 0 6 Por consideraciones geométricas, el valor obtenido es un máimo, pues si el lado del cuadrado vale 0, o si vale la mitad del lado, el volumen de la caja es mínimo, vale 0, pues no se forma caja. Entre todos los cilindros de volumen V dado determina el radio y la altura del de mayor superficie. El volumen de un cilindro es igual a: V = πr h, y su superficie total es igual a S = πrh + πr. La superficie depende de dos variables, el radio y la altura. Como nos dicen que el volumen es dado, despejamos de su V epresión por ejemplo la altura, y la sustituimos en la superficie: h V V S r r r r r r V V Derivamos la superficie respecto a r, e igualamos a cero la derivada: S ' 4r 0 4 r V r r r Para saber si ese valor del radio conduce a un máimo o a un mínimo. Hallamos el signo de la derivada segunda: 4V 4V S '' 4 4 > 0 r V La solución obtenida nos da una superficie mínima. V 4V h V ; r V Actividades propuestas 40. Se desea fabricar envases con forma de ortoedro de base cuadrada de forma que el volumen sea de dos litros y la superficie empleada sea mínima. 4. Determina las dimensiones de un cono de volumen máimo inscrito en una esfera de radio R = 5 cm. (Ayuda: La altura del cono es igual a R +, y el radio de la base r = R ). 4. Calcula la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 y área máima. (Junio 04. Opción A Selectividad) Matemáticas II. º de Bachillerato de Ciencias. Capítulo 8: Derivadas

17 6 Definición de derivada f '( a) lím a f ( ) f ( a) a RESUMEN f '( a) lím h0 f ( a h) f ( a) h Recta tangente y = f(a) + f (a)( a) Tangente a y = ³ + en el punto (0, 0): y = 0 + ( 0) =. Teorema de Rolle f: [a, b] continua en [a, b] y derivable en (a, b). Si f(a) = f(b) eiste c (a, b) en el que f (c) = 0. Teorema del valor medio f: [a, b] continua en [a, b] y derivable en (a, b). Eiste c (a, b) en el que f (c) = f ( b) f ( a) b a Regla de L Hôpital f y g derivables en un entorno del punto = a. Si límf( ) 0, lím g( ) 0 y eiste a a f '( ) lim f ( ) f ( ) f '( ) eiste lim y lim = lim. a g'( ) a g ( ) a g ( ) a g'( ) Crecimiento y decrecimiento Máimos y mínimos Si f (a) > 0 entonces y = f() es creciente en = a. Si f (a) < 0 entonces y = f() es decreciente en = a. Si (a, f(a)) es un máimo o un mínimo de y = f() y eiste f (a) entonces f (a) = 0. Si f (a) = 0 entonces (a, f(a)) es un punto crítico. Si f (a) = 0 y f (a) > 0 entonces (a, f(a)) es un mínimo. Si f (a) = 0 y f (a) < 0 entonces (a, f(a)) es un máimo. Si (a, f(a)) es un punto de infleión de y = f() y eiste f (a) entonces f (a) = 0. f (a) < 0 cóncava. f (a) > 0 convea y = ³ y = ² = 0 =, =. Para <, y > 0 y creciente. Para < <, y < 0 y decreciente Para >, y > 0 y creciente y = ³ y = ² y = 6. y () = 0, y () < 0, luego (, ) es un máimo relativo. y () = 0, y () > 0, luego (, ) es un mínimo relativo. (0, 0) es un punto de infleión Matemáticas II. º de Bachillerato de Ciencias. Capítulo 8: Derivadas

18 6 EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Concepto de derivada. Piensa en un ejemplo de función no derivable y que sí sea continua.. Utiliza la definición de derivada para calcular la derivada de la función y = en =, 4, 5... Puedes obtener la derivada en = 0? Razona la respuesta. ( ) si. Se considera la función f() =, indica cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas, si > razonando la respuesta. a) f es derivable en =, pues las derivadas laterales se anulan en dicho punto. b) f ni es continua en = ni derivable en dicho punto (Selectividad Septiembre 994) 4. Cuántos puntos hay en la función f() = que no tengan derivada? Justifica la respuesta. (Selectividad 995) 5. Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función y = 5² + en el punto = El perfil de una cierta montaña tiene la forma de una parábola: y = ², donde e y se miden en km. Escribe la ecuación de la recta tangente para = 0, =, =, = km. 7. Al caer un cuerpo en el vacío la distancia d (en metros), recorrida a los t segundos viene dada aproimadamente por la epresión: d = 5t². (La epresión es d = (/)gt², donde g es la aceleración de la gravedad terrestre, aproimadamente de 9 8): a) A qué velocidad llegará al suelo una persona que en un incendio se lance a la lona de los bomberos y tarde 8 segundos en llegar a ella? b) A qué velocidad llegará si se lanza desde una altura de 0 metros? 8. Un vehículo espacial despega de un planeta con una trayectoria dada por: y = 0 0 5² ( e y en km). La dirección del vehículo nos la proporciona la recta tangente en cada punto. Determina la dirección del vehículo cuando está a 4 km de distancia sobre el horizonte. 9. Un determinado gas ocupa un volumen de m³ a una presión de Newtons por m². Según la ley de Boyle a cada presión ejercida sobre el gas corresponde un volumen dado por V = 0/P. Cuál es la tasa de variación instantánea del volumen cuando la presión es de 9 Newtons por m². Y cuándo es de 8 Newtons por m²? Es la mitad? 0. Calcula las rectas tangentes de las gráficas de las funciones siguientes en los puntos indicados: a) y = ³ + 5 en =. b) y = + 7 en =. c) y = ³ en = 0.. Determina las coordenadas de los puntos de la gráfica y = ³ + en los que su tangente sea paralela: a) a la recta y = 0; b) a la recta y =.. Determina la recta tangente de la gráfica de la función y 4 en = 0.. Determina las rectas tangentes a la función f() = 4 en los puntos en los que la pendiente es. Cuál es el menor valor que puede tener la pendiente a esta curva? En qué puntos se alcanza? 4. Determina los coeficientes a, b y c de la función f() = a + b + c, que pasa por el punto A(, ) y es tangente a la recta y = en el punto O(0, 0). 5. Determina los coeficientes a, b y c para que las funciones f() = + b + c y g() = a tengan la misma recta tangente en el punto A(, 0). 6. Determina el coeficiente a, para que la función f() = + a, sea tangente a la recta y =. Cálculo de derivadas Si ya sabes derivar, puedes no hacer estos ejercicios. 7. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: a) y = ² b) y = 5³ 4² + + c) y = 6² d) y = 9⁷ 4⁶ ³ dy 8. Calcula: a) D(² ) b) D(7 5 5² + + ) c) D( ) d) (7 8⁶ 9 8 ) d 9. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: a) y = 5² + 4 / b) y = 7³ 5² + 4 c) 6 y d) 0. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: a) y b) y c) y d) Calcula las derivadas de las siguientes funciones: a) y = ( + 5) (8⁶ 7); b) y = (9³ ) (7⁴ + 6); y 5 y ( ) Matemáticas II. º de Bachillerato de Ciencias. Capítulo 8: Derivadas

19 6. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: 4 7 a) y ; b) y (6 ) ; c) y ; d) Calcula las derivadas de las siguientes funciones: y a) y = ( 6 5 ) 9 b) y = ( ) c) y d) y 6 4. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: 9 y c) y = (7³ + )⁵ (4⁵ 8⁸) d) 5 7 y 4 9 a) y = (4⁷ + 6²)⁶ b) Utiliza derivación logarítmica para calcular las derivadas de las funciones siguientes: a) y = (5) ⁵ ³ b) y = (+6) (4 ³ + ²) c) y = e ( ⁵ 6 ³)⁵ d) 6. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: y ( 5 ) y e a) y = e ⁵ + 7 ³ b) y = (e ³ 5 ² ) ⁷ c) y = e (4 ⁵ + 8 ³)⁵ d) 7. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: a) y = ln((5⁵ ³)¹² ( + )) b) y ln c) y ln d) y ln 5 8. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: 5cos( ) f ( ) f ( ) sen (5 sh ) f ( ) ch(sh()) f ( ) th (5 7 ) sen( ) 9. Recuerda la definición de cosecante: cosec() = 0. Recuerda la definición de secante: sec( ) cos(. Demuestra que: (cosec()) = sen( ) sen( ). Demuestra que: (sec( ))' ) cos ( ) cos( ) sen ( ). Recuerda la definición de cotangente: cotg() =. Demuestra que: (cotg()) = tg( ) sen ( ). Calcula las derivadas de las siguientes funciones: a) y = 7sen( 7 7³) b) y = 5sen 5 ( ) c) y = sen 6 () cos 4 5 () d) 4 7 y sen 5. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: 5 e a) f ( ) sen b) f ( ) ( ) ch (5 7 ) c) 6 9sen sh ch f ( ) tg d) f ( ) 5 e 4 cos ch sh 4. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: 7 sen 5 5 cos a) y ln(arccos5 ) b) f ( ) arcsen c) f ( ) 5 arccos d) f ( ) arcsen 7 5 sen sen cos 5. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: a) y = arcsen (7 e ) b) y ln( 5arcsen( ) ) c) y arctg (ln 4 5 ) d) y arcsen( tg(5sen(4 ))) 6. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: 7 sen arcsen a) y = arctg b) y e c) y cos( arcsen ) d) y arcsen ) 7 sen 7 9 Matemáticas II. º de Bachillerato de Ciencias. Capítulo 8: Derivadas