Capítulo 5: Variables Aleatorias Distribuciones Estadística Computacional I Semestre Variables Aleatorias

Transcripción

1 Unvedad Técnca Fedeco Santa Maía Depatamento de Infomátca ILI-80 Capítulo 5: Vaable Aleatoa Dtbucone Etadítca Computaconal I Semete 006 Pofeo : Pofeo : Hécto Allende Calo Valle Funcón que agna a cada punto del epaco muetal un númeo eal Ejemplo N : Vaable Aleatoa : Ω R Ω {falla, no falla} { no falla } 0 { falla }

2 Vaable Aleatoa Ω Epaco Muetal no falla falla A cada Ω le coeponde eactamente un valo {no falla} 0 {falla} 0 : Ω R IR - ]-, ] I IR + Famla de evento elementale Conjunto Númeo Reale 3 Vaable Aleatoa Ω k A b; Ω a R a b El epaco R e el conjunto de TODOS lo poble valoe de. En ceto entdo podemo condea R como oto epaco muetal. El epaco muetal ognal nduce un epaco mueta R aocado a la Vaable Aleatoa. Ω Luego un evento A en S nduce un evento en el epaco muetal R. 4

3 Vaable Aleatoa k A b; Ω a R Nótee que paa cada pa de númeo eale a y b eten lo guente conjunto - - a b a < < b a < b ] [ a < b [ a b ] < b b ] > a a Funcón de Pobabldad El concepto de Pobabldad de ocuenca de evento en el epaco muetal Ω e puede aplca a evento en R. f 0 P f Ω f : R [0, ] 0 R : Ω R 6 3

4 Vaable Aleatoa : Ω R ], ] I Vaable Aleatoa Dceta Sea C I f:c R con C Ω Sopote contable f c 0 I f c Uando la tanfomacon C { c : I N} 7 Vaable Aleatoa Dceta Sea una vaable aleatoa S el númeo de valoe de eto e u Recodo. E fnto contable o. E contablemente nfnto denumeable. Entonce llamamo a una vaable aleatoa dceta. Eto e, lo valoe de w pueden e enumeado.,, 3,, n, En el cao contable la lta e fnta. En el cao denumeable la lta e nfnta contable 8 4

5 Vaable Aleatoa Dceta C I Sea, conjunto de evento elementale de una famla de evento del epaco mueta; C Ω :C R e una funcón defnda obe el Epaco Muetal, que mapea en el conjunto de lo Númeo Reale lo evento elementale defndo en C { c : I N }, tal que: pc P c 0 Sea A el evento tal lo evento elementale c C petnezcan tambén a A, eto e c C A. Uando la tanfomacón : c P A j { : c C A} f c j P 9 Funcón de Pobabldad v.a dceta A cada eultado poble e aoca un númeo f P llamado la pobabldad de Lo f deben atface: 0 f f El conjunto de pae, f e le denomna Funcón de Pobabldad o Cuantía. f n P 5 f5 Funcón de Pobabldad de maa Funcón de Fecuenca 0 5

6 6 Popedade funcón de cuantía: Funcón de Dtbucón Funcón de Cuantía de una v.a. dceta Funcón de Cuantía de una v.a. dceta } : { A C c j j P c f A P c 0 P P f P F [ ] P E [ ] [ ] P E V Epeanza y Vaanza de una v.a. dceta Epeanza y Vaanza de una v.a. dceta Epeanza de una v.a.d. Vaanza de una v.a.d

7 Dtbucón Benoull Condeemo un olo epemento ε ea A un evento aocado con tal epemento. upongamo que PA p; luego PA c - p Sea la v.a. A A c 0 P p P 0 p f p 0,7 Entonce u funcón de cuantía e f P p p , 0 < p < 3 Dtbucón Benoull Vaable aleatoa dceta Benoull: : Ω R donde e tenen ólo evento poble: P w 0 p P w p Epeanza: Vaanza: E [] 0 - p + * p p V [] 0 - p - p + - p p p - p 4 7

8 Dtbucón Bnomal Supongamo que de una línea de poduccón e etaen n peza con eemplazo, la cuale pueden e defectuoa o no con una pobabldad p. : N de peza defectuoa en la n etaccone Entonce n k n k P k p p k 0,,..., n k 5 Dtbucón Bnomal Sean n epetcone ndependente del epemento. Ω conte de todo lo poble ecuenca { a, a, a 3,.., a n }, donde cada a puede e un evento A o un evento A c. Eten n de tale ecuenca. f 0,300 Sea la vaable aleatoa : númeo de vece que ocue el evento A u poble valoe on: 0,,, 3,..., n 0,00 0,00 n 6 p 0, f P n p p n- 0, ,,,...,n 0 < p < 6 8

9 Dtbucón Bnomal Epeanza: Vaanza : E [] np V [] np -p Notacón: ~ B n, p Caacteítca: Se utlza en el mueteo de una poblacón fnta con eemplazo. Tambén cuando la poblacón e muy gande, con o n eemplazo, ya que p e hace elatvamente contante. 7 Dtbucón Bnomal 8 9

10 Dtbucón Hpegeométca Suge en poblacone que contenen elemento clafcable en etato con defecto: D ; n defecto: N - D. Condeemo un lote de tamaño N. Se etae una mueta de tamaño n n eemplazo. : N de atículo defectuoo en la mueta 9 Dtbucón Bnomal D k P k N D n k N n k 0,,,...,mn{ n, D } D N E [ ] n V [ ] n D N D N n N N E aplcable al muetea lote de tamaño pequeño en elacón al tamaño de la mueta N 0 n. 0 0

11 Dtbucón de Poon Supongamo que tenemo una mueta de tamaño gande, paa lo cual la pobabldad de enconta un atículo defectuoo e pequeño p, y po lo tanto np el númeo total de atículo defectuoo en la mueta. Sea λ np. Entonce k λ λe P k k 0,,,... k! Dtbucón de Poon

12 Dtbucón de Poon Epeanza: Vaanza: E [] λ V [] λ Cao límte: B n, p con k n λ P k k n λ n n k n y p 0 k λ P k e λ IN k k! 0 I k { 0,,,..., n} 3 Contuccón de un Modelo Pobablítco Ejemplo: La peza a la alda de una línea de poduccón e clafcan en defectuoa D o no defectuoa N. Se toma te peza aleatoamente y e clafcan de acuedo a ete equema. El Ω paa ete epemento e: Ω {NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD} La pobabldad que una peza ea defectuoa e p y no camba. Eo mplca que la poblacón e fnta, la obevacone e hacen con eemplazo Inteea el númeo de peza D y no el oden en que alen. Se defne una v.a. gual al númeo de peza defectuoa; luego, { 0,,, 3. Enconta, f 4

13 Ceando un modelo pobablítco 0,5 0,4 f -p 3 3-p p 0,3 3-p p 0, 0, 0 0 p 3 3 Ω {NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD} NND NDN DNN 3 PN PN PD 5 F Funcón de dtbucón v.a. dceta F 0 < Σ f < Σ f < 3 3 Σ f 3 < 4 4 Σ f 4 < 5 0 P 5 f 5 Funcón de Pobabldad de maa Funcón de Fecuenca n 6 3

14 Vaable Aleatoa Contnua Cuando el epemento ε e ealza obe un epaco muetal Ω que etá elaconado con ecala ntevalae. tale como medcone de dtanca, volúmene, peo, tempo, velocdad, voltaje, ntendad, caudal, tempeatua, etc. Ya que lo poble valoe de en un ntevalo, a < < b, on nfnto - no enumeable - no podemo habla del -émo valo de ; En tale cao e habla de Vaable Aleatoa Contnua, donde R e un ntevalo o un conjunto de ntevalo; entonce ete una funcón contnua epecal: f : R R P < f lm h 0 < h + h > 0 7 Vaable Aleatoa Contnua Sea una vaable aleatoa contnua. La funcón dendad de pobabldad pdf e una funcón que atface: f A: un evento f > 0; R, + R f d a b A: { a < b b PA Pa < < b f a 8 d 4

15 Dtbucone de Pobabldad Contnua Etán defnda po una dendad de v. a. f : R R e dce dendad de pobabldad Popedade: - f 0 fd 9.. F P f t dt 3. F - 0 ; F 4. F e no dececente P a b f d E Popedade y Defncone [ ] R b a f d [ ] E[ ] V f d R f a b b a A f d 30 5

16 Funcón de dtbucón acumulada S e una vaable aleatoa, la Funcón de Dtbucón Acumulada mde la pobabldad de un uceo en un ntevalo de valoe: F P S e una v.a. Dceta F f Donde la uma e tomada obe todo lo índce que atfacen S e una v.a. Contnua F f t dt Donde la umatoa e eemplazada po una ntegacón paa todo lo valoe de t 3 Contuccón de Modelo de Pobabldad Sea F : R R entonce: F e no dececente F e contnua po la deecha lm f 0 y lmf e una funcón de dtbucón, Luego P] -, ] F defne una Pobabldad Ademá: P ]a,b] Fb - Fa P [a,b] Fb - Fa- P ]a,b[ Fb- - Fa P [a,b[ Fb- - Fa- 3 6

17 Vaable Aleatoa Contnua f 0, Sea una vaable aleatoa contnua que puede toma cualque valo ente a b; cuya pdf e: f a b b a Sea a 3; b A: el evento { 4 < < 7 } 0, 0, a b mn má Entonce: PA P4 < < d PA 3 33 Funcón de dendad Funcón de Dtbucón e Epeanza Notacón: Dtbucón Unfome F 0 a b a a + b E ~ U a, b f a < < b b a a a < < b b [ ] V [ ] Vaanza b a 34 7

18 Dtbucón Unfome 35 Dtbucón Nomal o Gauana Funcón de dendad f µ σ πσ e, R La funcón de Dtbucón no tene epeón analítca. Ua tabla o calculadoa Epeanza Vaanza Notacón: [ ] µ [ ] σ E V ~ N µ, σ 36 8

19 Dtbucón Nomal 37 Dtbucón Nomal o Gauana Etandazacón Hacendo e tene que: µ Z σ f z z N 0, e π z y F Z z e obtene de tabla!, z R 38 9

20 Funcón de dendad Funcón de Dtbucón e Epeanza Vaanza Notacón: Dtbucón Eponencal f λ e 0, λ > 0 λ F λ e 0 E [ ] λ V [ ] λ ~ ep λ 39 Dtbucón Eponencal 40 0

21 Funcón de dendad Funcón de Dtbucón e Epeanza Vaanza Notacón: Dtbucón de Raylegh f F α α e [ ] α ~ R α e E V [ ] α π π 0 α 0 4 Dtbucón de Raylegh 4

22 Dtbucón de Webull Funcón de dendad f ab e b a b 0, a > 0, b > 0 Funcón de Dtbucón e F a e 0 b Epeanza Vaanza Notacón: E V [ ] / a Γ + b b Γ + Γ b [ ] / b a + ~ Webull a, b b 43 Dtbucón de Webull 44

23 Dtbucón t-tudentt Funcón de dendad ν + Γ f ν + ν νπ Γ + ν Epeanza Vaanza Notacón: V E [ ] 0 ν > ν ν [ ] ν > ~t ν 45 Dtbucón t-tudentt 46 3

24 Dtbucón Gamma Funcón de dendad Funcón de Dtbucón e Epeanza Vaanza Notacón: f α β e, α, β I α Γ α β R+ F P f t, α, β dt E[ ] αβ V [ ] αβ Γ n 0 ~ Gamma α, β Γ α, β y n e y dy n > 0 47 Dtbucón Gamma ~ Γ α, β 48 4

25 Funcón de dendad Funcón de Dtbucón e Epeanza Vaanza Notacón: Dtbucón Ch-Cuadado Cuadado F P f t, n dt E [ ] n V [ ] n ~ χ n Γ n /, f n,n I e n R+ n Γ 49 Dtbucón Ch-Cuadado Cuadado 50 5

26 6 5 Funcón de dendad Funcón de Dtbucón e Epeanza Vaanza Notacón: Dtbucón Beta Dtbucón Beta,, ~ Beta β du u f P F,, [ ] E + [ ] V [ ] u u E + + Γ Γ + Γ + Γ µ [ ],,, I f 0 Γ Γ + Γ 0 d, β 5 Dtbucón Beta Dtbucón Beta