Deducción del modelo matemático
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- María Mercedes Medina Rey
- hace 5 años
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1 euccón el mel mtemátc Se relz un blnce mlr pr cmpnente sbre el element ferenc Δ pr c l el rectr (crz y tub) cm se muestr en l fgur ánse l reccón en el l el tub. gur. squem el rectr e membrn. n el l el tub se l reccón e esterfccón el ác trtárc en fse líqu presentánse ls sguentes s reccnes: TH toh THt HO (eccón ) THt toh Tt HO (eccón ) r smplfccón se nmbr c un e ls cmpnentes cn un letr cm se muestr en l tbl : Tbl. Nmencltur pr ls cmpnentes el sstem rectv. Sustnc brevcón Símbl Ác trtárc TH tnl toh tl trtrt THt gu H O etl trtrt Tt r l reccón e estu se tene l sguente cnétc: TH toh THt H O ct () H O
2 THt toh Tt H O ct () H O ne exp () gt exp (4) gt exp (5) gt 64.. exp (6) gt exp (7) gt lnce mlr en el l e l crz (permet ) J (8) Se efne l seccón e áre pr ne permen ls cmpnentes trvés e l membrn en el element ferencl cm: eemplzn l ecucón (9) en (8) y rergnzn se tene: (9) J () un el element ferencl es nfntesmlmente pueñ se btene (Δ ): J ()
3 L ecucón () represent entnces l vrcón e ls flujs e c cmpnente en el permet l lrg el rectr e membrn. lnce mlr en el l el tub (zn e reccón ) J r () n l ecucón () r crrespne l velc e reccón net el cmpnente ψ l frccón cup pr el ctlzr. l vlumen en el element ferencl pr en l zn e reccón se efne cm: () ne t es el áre e seccón trnsversl pr el cul psn ls flujs en el l el tub. eemplzn ls ecucnes (9) y () en l ecucón () y rergnzn se btene: t r (4) J plcn l efncón e l erv l ecucón (4) smlrmente cm se hz pr l ecucón () se tene: J r (5) e est mner se btene que l ecucón (5) represent el cmb e ls flujs en el l e l reccón l lrg el rectr e membrn. Ls ecucnes () y (5) representn el mel mtemátc el rectr e membrn mstr en l fgur sn embrg pr etermnr ls cncnes e señ ls que mejr se pue esempeñr el rectr n & r [] esrrllrn un mét e evlucón el rectr e membrn en funcón e s númers mensnles clet y möhler prten el mel escrt pr ls ecucnes () y (5). mensnlzcón el flux trvés e l membrn r el esquem mstr en l fgur ls cmpnentes permen l membrn ese l zn e reccón (l el tub) hc el permet (l e l crz) psn e fse líqu fse vpr respectvmente e m que el flux se clcul cm en un sstem e pervprcón cm se sgue: J st x y x y (6) L frccón mlr e líqu l el tub se efne cm:
4 x (7) L frccón mlr e vpr l e l crz se efne cm: y (8) Se efnen ls flujs mensnles en el l el tub y e l crz e l sguente frm: (9) () e est frm ls ecucnes (7 8) se reescrben cm: x () y () eemplzn ls ecucnes ( ) en l ecucón (6) se tene: J () Se efne cm permebl reltv l relcón e ls permebles e c cmpnente cn l el gu cm se sgue: (4) eemplzn l ecucón (4) en l ecucón ():
5 J (5) e est frm l ecucón (5) es un frm e l ecucón el flux que permte mencnlzr ls ecucnes () y (5). mencnlzcón e l cnétc l gul que el flux se ebe btener un expresón e velc que permt mencnlzr el mel el rectr e membrn. Se relz ps ps l frm e reescrbr l cnétc mensnl pr l reccón e frm que se relz nálgmente pr l reccón. ct (6) Se btene fctr cmún en el numerr y enmnr el fluj vlumétrc en l ecucón (6): ct (7) ergnzn l ecucón (7) y multplcn y ven el enmnr y el numerr pr el fluj e lmentcón e gu y pr el cur e este msm fluj respectvmente se tene: ct (8) plcn l ecucón (9) en l ecucón (8) se btene: ct (9) el enmnr e l ecucón (9) se btene cm fctr cmún l relcón entre el fluj vlumétrc y el fluj e gu lments en el l el tub cm se sgue:
6 ct () ergnzn: ct () ne () hr se efne l velc específc mensnl: () e est mner se puee efnr cm cnétc mensnl e l prmer reccón el sguente termn: (4) eemplzn l ecucón (4) en l ecucón () se btene: ct (5) e frm nálg se per pr l reccón btenénse ls sguentes expresnes: (6) ct (7) lnce mlr en el l e l crz mensnl
7 r mencnlzr este blnce mlr se reemplz l ecucón (5) en l ecucón () y se multplc pr l relcón entre l lngtu el rectr y el fluj e lmentcón e gu en el l el tub: L L (8) r efncón cncems que el númer e clet crrespne l relcón entre l velc e trnsprte y l velc e permecón e m que: = L vel. trnsprte vel. permecón (9) se efne l lngtu mensnl cm ξ e frm que el blnce mensnl es: (4) lnce mlr en el l e l crz mensnl r este blnce prmer se escrbe ls velces nets e reccón pr c cmpnente cm se sgue: r (4) ct ct r (4) ct r (4) ct r (44) r (45) ct m se bserv en ls ecucnes (4 45) ls velces e reccón nets tenen un fctr cmún ferencánse pr el fctr e ls velces e reccón mensnles e m que se generlz l velc net e reccón cm: r (46) ct ne l velc e reccón mensnl net η vrí epenen el cmpnente. eemplzn l ecucón (5) y (46) en l ecucón (5) se btene:
8 ct (47) l gul que el blnce en el l e l crz se efnen ls flujs mensnles y l lngtu mensnl reescrben l ecucón (47) e l sguente frm: ct L L L (47) hr pr efncón se cnce que el númer mensnl e möhler es: ct L = vel. reccón vel. trnsprte (48) eemplzn ls ecucnes (9) y (48) en l ecucón (47) y rergnzn se tene: (49) L ecucón (49) represent el blnce mlr en el l el tub ne el sgn que cmpñ el pruct entre el númer e möhler y l velc net e reccón mensnl epene el cmpnente l que se hg el blnce e cuer ls ecucnes (4 45). esumen el mel plcn ls blnces s pr ls ecucnes (4) y (49) que representn el mel en el rectr e membrn se tene: lnces mlres en el l el tub: (5) (5) (5)
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