CAMINATAS ALEATORIAS CONDICIONADAS A SER POSITIVAS

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1 Uiversidad Nacioal Autóoma de México Facultad de Ciecias CAMINATAS ALEATORIAS CONDICIONADAS A SER POSITIVAS T E S I S QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE: MATEMÁTICO PRESENTA: MAYRA DANIELA BERMÚDEZ CONTRERAS DIRECTOR DE TESIS: DRA. MARÍA EMILIA CABALLERO ACOSTA

2 . Datos del Alumo Bermúdez Cotreras Mayra Daiela Uiversidad Nacioal Autóoma de México Facultad de Ciecias Matemáticas Datos del tutor Dra. María Emilia Caballero Acosta 3. Datos del siodal Dr. Geróimo Fracisco Uribe Bravo 4. Datos del siodal Dr. Victor Mauel Rivero Mercado 5. Datos del siodal 3 MC. Hery Pate Trejo 6. Datos del siodal 4 Dr. Ramsés Humberto Mea Chávez 7. Datos del trabajo escrito Camiatas aleatorias codicioadas a ser positivas 85 p.

3 Ídice geeral. Camiatas aleatorias... Camiatas aleatorias Alguos resultados para camiatas aleatorias simples Procesos de reovació 5.. Procesos de reovació Procesos de escalera Defiició de los procesos de escalera Dualidad Lema combiatorio de Feller y otros resultados Primeros resultados Primeros resultados Costrucció de Taaka para las trayectorias de ua camiata aleatoria codicioada a ser positiva Costrucció del proceso {W } Caso especial e el que {S } toma valores e los eteros Ejemplo A. Cadeas de Markov 77 Appedices 78 i

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5 Itroducció Muchas veces al pesar e el caso aálogo al Movimieto Browiao e tiempo discreto, surge la idea de las camiatas aleatorias, las cuales ha sido estudiadas por sus aplicacioes y por ser uo de los ejemplos más secillos de Cadeas de Markov. Al codicioar el Movimieto Browiao a ser positivo, obteemos u proceso de Bessel e tres dimesioes, que o es más que la orma euclideaa del Movimieto Browiao e tres dimesioes. Por ello y la relació de las camiatas aleatorias co el Movimieto Browiao, resulta atural el iterés e las camiatas aleatorias codicioadas a ser positivas. Es curioso, que a pesar de que las camiatas aleatorias parece mucho más simples al ser comparadas co el Movimieto Browiao, el Movimieto Browiao codicioado a ser positivo se describe y cooce ates que la camiata aleatoria codicioada a ser positiva. Uo de los primeros e estudiarla es Pitma e 975, quie trabaja codicioado ua camiata aleatoria simple S {S }, co los evetos A (S llega a [, ) ates de llegar a(, )) y estudia el límite de P(S A ) cuado tiede a ifiito. Más tarde, e 99, Keeer e su artículo Limit theorems for radom walks coditioed to stay positive, defie los evetos A como A (S k para k ), y estudia el límite de P(S A ), cuado tiede a ifiito para S {S }, tambié ua camiata aleatoria simple. Así, los trabajos de Pitma y Keeer difiere e la forma de defiir los evetos co los que se codicioa S. Al codicioar co los evetos A, Keeer demuestra que las distribucioes fiito dimesioales de ua camiata aleatoria simple, codicioada a ser positiva tiede a las de u proceso de Markov {Y }, co espacio de estados {,,,... }, y probabilidades de trasició r(x, x + ) x + (x + ) r(x, x ) x (x + ). E el tercer capítulo de esta tesis hacemos u estudio cuidadoso de esta demostració. Para ello, fue ecesario usar alguas propiedades de camiatas aleatorias e geeral, y alguas otras más específicas de camiatas aleatorias simples. Por ello, dedicamos las primeras págias de este trabajo a estudiar alguas de las propiedades más importates de las camiatas aleatorias e geeral, como lo so su homogeeidad, la propiedad de Markov y la propiedad de iii

6 INTRODUCCIÓN Markov fuerte. Tambié aparece, e la primera parte resultados de combiatoria que os muestra como cotar ciertos tipos de camios que puede seguir ua camiata aleatoria simple y la probabilidad de que ésta lo haga. Estos resultados so la herramieta pricipal e la demostració de Keeer y puede ser ecotrados e [7]. Dos importates costruccioes para las trayectorias de ua camiata aleatoria codicioada a ser positiva so las que hace Bertoi [] y Taaka []. E el último capítulo revisamos esta última, para el caso de ua camiata aleatoria S que toma valores e los úmeros eteros. La costrucció que hace Taaka e su artículo Time reversal of radom walks i oe-dimesio, cosiste e ivertir y pegar ua a ua las trayectorias etre dos uevos míimos de ua camiata aleatoria S. El proceso que resulta de hacer esto lo deotaremos como {W } y estudiaremos su fució de trasició ĥξ. Auque osotros hacemos esto para el caso particular de ua camiata aleatoria e los eteros, Taaka e el mismo artículo extiede la demostració al caso geeral basádose e el caso particular que osotros tratamos. y W T - T - T - 3 T - 4 T 5 - x S Figura : E esta figura se muestra ua trayectoria de S y la trayectoria de {W } que resulta de seguir el procedimieto que describe Taaka. La costrucció del proceso {W }, como ya mecioamos, está basada e ivertir las trayectorias de {S } etre los putos dode dos uevos míimos se alcaza. Los procesos asociados a estos putos y a los putos dode uevos máximos se alcaza los llamaremos putos de escalera y dedicamos el cuarto capítulo de la tesis a su estudio. E este capítulo veremos que los procesos de escalera so procesos de reovació, por lo que hacemos u repaso breve sobre este tipo de procesos e el Capítulo. Alguos resultados de este capítulo, los usaremos e el capítulo de procesos de escalera para coocer la fució iv

7 INTRODUCCIÓN de reovació de dichos procesos, la cual está muy relacioada co la fució de trasició del proceso {W }. E el capítulo de procesos de escalera, tambié veremos el Lema combiatorio de Feller, que auque a simple vista parece u resultado muy secillo, os ayuda a demostrar importates resultados que muestra como se relacioa ua camiata aleatoria co los procesos de escalera asociados a ella. El Lema de Feller y los resultados sobre procesos de escalera se ecuetra e [6]. Por último, al fial de esta tesis vemos u ejemplo e el que calculamos la fució ĥξ para el proceso {W } asociado a ua camiaata aleatoria simple. Para el caso de la camiata aleatoria simple simétrica, esta fució se relacioa co la fució de trasició del proceso {Y } que aparece e el trabajo de Keeer, de la siguiete maera r(x, y) ĥξ(x +, y + ). Así, e este ejemplo podemos ver que e el caso para ua camiata aleatoria simple simétrica, salvo ua traslació, las costruccioes de Keeer y Taaka coicide. Es decir, teemos que {Y, } { W, }. Dode la igualdad, se refiere a igualdad e distribució, y el proceso { W, }, se defie como para W + W para. v

8 INTRODUCCIÓN vi

9 Capítulo Camiatas aleatorias. E este capítulo daremos ua itroducció al cocepto de camiatas aleatorias. Las defiiremos y demostraremos alguas de sus propiedades más importates. Además de estas propiedades veremos alguos resultados para u caso particular de camiata aleatoria. Los resultados sobre este tipo de camiatas aleatorias será ecesarios, pues es para este caso que aparece más adelate el primer resultado sobre camiatas aleatorias codicioadas a ser positivas. Las cuales so el pricipal objeto de estudio e este trabajo... Camiatas aleatorias Empecemos pesado e el movimieto de ua partícula e la recta real, y e que ésta se mueva cada cierto tiempo, pesemos que esto ocurre cada uidad de tiempo. Así al tiempo la partícula se ecuetra e ua posició, al tiempo e otra y así sucesivamete. Al graficar las posicioes de la partícula e cada mometo e el plao xy dode el eje x represeta el tiempo y el eje y la posició, obteemos ua trayectoria como la que se ve e la Figura.. Si la posició de la partícula e u mometo específico es ua fució aleatoria que depede del tiempo. Bajo ciertas codicioes que veremos e la siguiete defiició, el proceso de las posicioes de la partícula forma ua camiata aleatoria. Sea (Ω, F, P) u espacio de probabilidad, co F P (Ω), el cojuto potecia de Ω y X, X, X,... variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribuidas co F como su fució de distribució comú. Defiició.. Defiimos a la camiata aleatoria S {S } que empieza

10 .. CAMINATAS ALEATORIAS y x Figura.: Trayectoria de ua partícula e ua dimesió. e a y co fució de salto F como: S S + X i. CoS a i Para ua camiata aleatoria {S } llamaremos a las variables aleatorias X, X,... variables de salto, y a F, la llamaremos la ley de salto de {S }. Además, deotaremos por L el espacio de estados de la camiata aleatoria S, que es el cojuto dode éste toma valores. Volviedo al ejemplo del movimieto de ua partícula, podemos pesar que lo que avaza la partícula al mometo está dado por la variable aleatoria X. Así la partícula se ecotrará al mometo, e la posició S. Los siguietes ejemplos so de camiatas aleatorias dode las variables de salto tiee diferetes distribucioes. Ejemplo.. Cuado las variables de salto X, X,... se distribuye Beroulli (-,), dode P(X i ) p co p y P(X i ) q p se tiee ua camiata aleatoria simple. U caso especial de ellas es la camiata aleatoria simple simétrica, dode p q /. Las camiatas aleatorias simples sólo puede subir o bajar ua uidad y toma valores e los eteros. Ejemplo.3. Sea R y R variables aleatorias idepedietes que se distribuye expoecial, co parámetros a y b respectivamete, y sea Y ua variablea aleatoria idepediete de R y R, co distribució Beroulli de parámetro

11 . CAMINATAS ALEATORIAS. a a + b. Defiamos a X i como X i R {Y } R {Y}, por lo que la fució de desidad de las variables de salto está dada por f(x) abe ax a + b abe bx a + b si x < si x > Notemos que e este caso la camiata aleatoria toma valores e los reales. Ejemplo.4. Cuado las variables de salto tiee distribució ormal de parámetro σ y µ teemos ua camiata aleatoria Gaussiaa. Ejemplo.5. La camiata aleatoria co distribució de salto Poisso de parámetro λ, es la camiata aleatoria {S } para la cual P(X i k) e λ λ k, k k! para cada ua de las variables de salto. Por lo que P(S k) e (λ) (λ) k, k. k! Co los siguietes lemas veremos que las camiatas aleatorias so cadeas de Markov homogéeas. Nota.6. E los siguietes lemas se eucia y demuestra para camiatas aleatorias co espacio de estados discreto. Pero los lemas so válidos y sus demostracioes so casi idéticas para ua camiata aleatoria co espacio de estados cotiuo. Lema.7. La camiata aleatoria {S } es homogéea respecto al espacio, es decir P(S j S a) P(S j + b S a + b). Demostració. Demostraremos que ambos lados de la igualdad so iguales a P( X i j a) usado la defiició de que S S + X i. i i P(S j S a) P(a + X i j) i P( X i j a). Todas las defiicioes referetes a Cadeas de Markov, puede ser ecotradas e el Apédice A 3 i

12 .. CAMINATAS ALEATORIAS Por otro lado P(S j + b S a + b) P(a + b + X i j + b) i P( X i j a). i Por lo tato P(S j S a) P(S j + b S a + b). Lema.8. La camiata aleatoria {S } es homogéea respecto al tiempo, es decir P(S j S a) P(S +m j S m a). Demostració. Veremos uevamete que los dos lados de la igualdad so iguales a P( X i j a). i y por otro lado teemos que P(S j S a) P(a + X i j) i P( X i j a) i +m P(S +m j S m a) P(S + X i j S + i m P(S + X i + i +m m+ debido a la idepedecia de las variables X, X,... +m P(a + X i j) m+ +m P( X i j a) m+ P( X i j a). i m X i a) i m X i j S + X i a) La última igualdad se debe a que las variables X, X,... tiee todas la misma distribució. 4 i

13 . CAMINATAS ALEATORIAS. Además de las propiedades que os muestra el Lema.7 y el Lema.8 os ecotramos co que las camiatas aleatorias tiee la propiedad de que el futuro sólo depede del presete y o del pasado. Lema.9. La camiata aleatoria {S } tiee la propiedad de Markov, es decir, para toda m, N y cualesquiera a, a,..., a m R y j R se cumple que P(S m+ j S a, S a,..., S m a m ) P(S m+ j S m a m ) Demostració. Notemos primero que, debido a la idepedecia de las variables de salto, P(S +m j S m a m ) P( +m im+ X i j a m ). Por otro lado, usado la defiició de probabilidad codicioal y la idepedecia de las variables de salto e la cuarta igualdad, se obtiee: P(S m+ j S a, S a,..., S m a m ) P(S m+ j, S m a m, S m a m,..., S a, S a ) P(S m a m, S m a m,..., S a, S a ) P(S m+ S m j a m, S m S m a m a m,...,, S S a a, S a ) P(S m S m a m a m,..., S S a a, S S a a, S a ) P( m+ im+ X i j a m, X m a m a m,..., X a a, X a a, X a ) P(X m a m a m, X m a m a m,..., X a a, X a a, X a ) P( m+ im+ X i j a m )P(X m a m a m ) P(X a a )P(X a a )P(X a ) P(X m a m a m )P(X m a m a m ) P(X a a )P(X a a )P(X a ) P( m+ im+ X i j a m ) P(S m+ j S m a m ). 5

14 .. ALGUNOS RESULTADOS PARA CAMINATAS ALEATORIAS SIMPLES. De los Lemas.7,.8 y.9 teemos que cualquier camiata aleatoria es ua cadea de Markov homogéea. Veamos para acabar esta secció que las camiatas aleatorias tiee la propiedad de Markov fuerte. Teorema.. Las camiatas aleatorias tiee la propiead de Markov fuerte. Para τ u tiempo de paro (ver Defiició A.3) respecto a la filtració atural {F }, dode F σ(x, X,..., X ), se tiee que {S τ+ S τ } es ua camiata aleatoria co ley de salto F, idepediete de F τ. Demostració. Sea A F τ. Para todo a, a,..., a R, teemos que: P(A {S τ+ S τ a, S τ+ S τ a,..., S τ+ S τ a }) P({τ k} A {S τ+ S τ a, S τ+ S τ a,..., S τ+ S τ a }) k P({τ k} A {X k+ a,..., X k+ + + X k+ a }) k P({τ k} A {X k+ a, X k+ a a,..., X k+ a a }) k P({τ k} A)P({X k+ a, X k+ a a,..., X k+ a a }) k k P({τ k} A)P(X k+ a )P(X k+ a a ) P(X k+ a a ) P(A)P({X a )P(X a a ) P(X a a }) La cuarta igualdad se debe a que A {τ k} F k, y por tato so idepedietes de X k+, X k+,.... Las dos últimas igualdades se debe a que X, X,... so variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribuidas... Alguos resultados para camiatas aleatorias simples. A diferecia de los resultados de la secció aterior, los siguietes resultados que puede ser ecotrados e [7], o so para camiatas aleatorias e geeral, pero os ayudará a demostrar los teoremas del siguiete capítulo, e el cual trabajaremos co el que tal vez sea el caso más simple para ua camiata aleatoria. A partir de ahora y hasta el fial de esta secció trabajaremos co la camiata aleatoria simple que empieza e a Z. Ver Ejemplo.. 6

15 . CAMINATAS ALEATORIAS. Nota.. Si A N, deotaremos a la cardialidad de A como A. Defiimos u camio C de logitud k como la sucesió de k putos e el plao (, s ), (, s ),..., (k, s k ) y lo deotaremos como (s, s,..., s k ). Ya que sabemos lo que es u camio, veamos cuál es la probabilidad de que ua camiata aleatoria siga e sus primeros k pasos u camio dado, es decir que al tiempo esté e s, al tiempo esté e s, y así hasta que al tiempo k esté e s k. Lema.. P(S s, S s,..., S k s k ) p r q l co S a, s i+ s i {, }, y r {i s i+ s i }, l {i s i+ s i }, i k. Es decir r es el úmero de saltos positivos que hace la camiata e sus primeros k pasos, y l es el úmero de saltos egativos que hace la camiata aleatoria e sus primeros k pasos. Demostració. La probabilidad de que la camiata aleatoria {S } siga el camio (s, s,..., s k ), está dada por P(S s, S s,..., S k s k ). Notemos que si existe i < k para la cual s i+ s, la última probabilidad es cero. De otro modo, usado la idepedecia de X, X,... teemos que P(S s, S s,..., S k s k ) P(S k S k s k s k,..., S S s s, S s ) P(X s s, X s s,..., X k s k s k )) P(X s s )P(X s s ),..., P(X k s k s k ) p r q k r, dode r {i s i+ s i }, co i k y como p + q etoces l k r. Ahora veamos la probabilidad de que la camiata aleatoria que empieza e a se ecuetre e b al tiempo. Teorema.3. Para S a +b a Pa(S b) ( ( +b a ) )p( ) q ( b+a ), dode (/)(+b a) es u etero que toma valores e el cojuto {,,..., }. E otro caso Pa(S b). 7

16 .. ALGUNOS RESULTADOS PARA CAMINATAS ALEATORIAS SIMPLES. Demostració. La probabilidad de que S sea igual a b es la probabilidad de que la camiata aleatoria siga alguo de los camios de logitud que empieza e a y termia e b. Notemos que si la camiata aleatoria sigue u camio de logitud, (s, s,..., s ) que empieza e a y termia e b, es decir s a y s b, y defiimos a r y a l como e el lema aterior. Etoces, como e cada uo de los pasos sólo puede subir o bajar ua uidad, el úmero de veces que baja ua uidad más el úmero de veces que sube ua uidad es igual a, es decir r + l. Tambié otemos que si el camio de logitud empieza e a y termia e b, luego de subir r uidades y bajar l uidades a partir de a, la camiata habrá avazado pasos y se ecotrará e la posició s b, por lo que a + r l b. De lo aterior teemos que Sumado las ecuacioes ateriores, se tiee que r b a + l (.) r l. (.) r ( + b a ) l ( + a b ). Por lo aterior, si queremos que la camiata aleatoria siga u camio de logitud que empiece e a y termie e b, éste tedrá que teer ( +b a ) saltos positivos y ( b+a ) saltos egativos. Usado ésto y el Lema (.) la camiata aleatoria seguirá u camio (s,..., s ) dode s a y s b co probabilidad p ( +b a ) q ( b+a ). Si hacemos M(a, r b) el úmero de camios (s, s,..., s ) co s a, s b y r {i s i+ s i } y l {i s i+ s i }, etoces M +b a (a, b) p /(+b a) q /( b+a) es la probabilidad de que la camiata aleatoria empiece e a y termie e b e pasos. Por lo que se tiee que Pa(S b) M ( +b a ) (a, b) p ( +b a ) q ( b+a ). Tomado e cueta que cualquier camio que vaya de a a b e pasos tiee que teer ( +b a ) saltos positivos y ( b+a ) egativos, la úica diferecia que puede haber etre cada uo de ellos es el orde e el que se da los saltos positivos, por lo que M ( +b a ) es el úmero que resulta de escoger de los pasos, ( +b a ) positivos, es decir M ( +b a ) ( ). Por lo tato ( +b a ) +b a P a (S b) ( ( +b a ) )p( 8 ) q ( +a b ),

17 dode r ( +b a ) N y r para que ( ( +b a ). CAMINATAS ALEATORIAS. ) tega setido. Los siguietes resultados trata de camios más especificos que los ateriores, por lo cual es ecesario itroducir las siguietes defiicioes. Defiició.4. Defiimos a N (a, b) como el úmero de camios de logitud que empieza e a y termia e b. Defiició.5. Defiimos a N (a, b) como el úmero de camios de logitud, de a a b para los cuales existe k N tal que < k < y S k. E el siguiete teorema veremos que el úmero de camios que existe de a a b, de logitud, que toca e algú mometo a cero, N (a, b) es igual al úmero de camios que existe de a a b, de logitud. Dode a, b >. y a b k x -a Figura.: Camio de a a b de logitud que toca a, y su camio reflejado hasta. 9

18 .. ALGUNOS RESULTADOS PARA CAMINATAS ALEATORIAS SIMPLES. Teorema.6 (Pricipio de reflexió). Si a, b > etoces N (a, b) N ( a, b). Demostració. Sea A {(s, s,..., s k,..., s ) s a, s b y tal que existe k {,..., }, tal que s k } y B {(s,..., s ) s a, s b}. Como a < y b >, para todo camio ( a, s,..., b) B existe < k < para el cual s k. Sea f B A tal que al camio ( a, s,..., s k,, s k+,..., s, b) le asocia el camio e A (a, s,..., s k,, s k+,..., s, b).(véase Figura.). La fució f defiida de esta maera resulta ser ua fució biyectiva, por lo que A B. De este teorema teemos el siguiete resultado. Corolario.7. Si b >, y b N, etoces el úmero de camios de a b que o regresa al es (b/)n (, b). Demostració. Notemos primero que si b+ es impar N (, b) N (, b). Si b+ es par, cualquier camio que empieza e cero, que o toca al uevamete y llega a b, estará e el primer paso e. Por lo que el úmero de camios deseado es el mismo que el úmero de camios de a b e - pasos que o toca al. Este úmero podemos escribirlo por el Teorema.6 como: N (, b) N (, b) N (, b) N (, b) Y recordemos que e la demostració del Teorema.3, vimos que el úmero de camios de logitud que va de a a b, es ( ). Por ello /(+b a) N (, b) N (, b) ( (frac + b) ) ( ( +b )) ( )! ( )! ( + b )!( b )! ( + b )!( b )! (.3) (.4) Notemos que ( b b )! ( )( b )! y ( + b + b )! ( )( + b )!.

19 . CAMINATAS ALEATORIAS. Por lo que teemos que (.3) es igual a ( )! ( + b )!( b )!( b ) ( )! + b ( b )!( + b [( )! ) ( b )] b( )! ( b )!( + b )! b! ( + b )!( + b )! b ( ( +b )) b N (, b). ( b ( )! )!( + b )!( + b ) Co este resultado podemos ecotrar la probabilidad de que ua camiata aleatoria {S } que empieza e siga u camio de logitud que termia e b y que uca regresa a. Teorema.8. Si S, etoces para todo y b P(S, S,..., S, S b) b P(S b) y P(S, S,..., S ) E S. Demostració. Caso: Supogamos b >. P(S,..., S, S b) es la probabilidad de todos los camios que empieza e, o regresa a y termia e b, por el Corolario.7 teemos que P(S,..., S, S b) b N (, b)p /(+b) q /( b) b P(S b) b P(S b).

20 .. ALGUNOS RESULTADOS PARA CAMINATAS ALEATORIAS SIMPLES. Caso : Supogamos b <. Sea B (a, b) el úmero de camios que empieza e a, termia e b y o regresa a a. Etoces P(S,..., S, S b) B (, b)p ( +b ) q ( b ). Sea A {Camios de a b que o toca el cero}, B {Camios de a b que o toca el cero}, etoces (s, s,..., s b) (, s,..., s b) es ua biyecció etre A y B, así A B. De dode cocluímos que B (, b) B (, b). Por lo tato P(S,..., S, S b) B (, b)p ( +b ) q ( b ). Como b >, uevamete, por el Corolario.7 teemos que B (, b)p ( +b ) q ( b) b N (, b)p ( +b ) q ( b ). Además N (, b) N (, b), de lo cual P(S,..., S, S b) b N (, b)p ( +b ) q ( b ) b P(S b) b P(S b). Por lo que para toda b y P(S, S,..., S, S b) b P(S b). Ahora veremos que P(S, S,..., S ) E S. Por lo aterior P(S, S,..., S, S b) b b P(S b) b b b P(S b) + b P(S b)

21 . CAMINATAS ALEATORIAS. Por lo tato, P(S, S,..., S ) b P(S b) + b P(S b) b b E( S ). b P( S b ) 3

22 .. ALGUNOS RESULTADOS PARA CAMINATAS ALEATORIAS SIMPLES. 4

23 Capítulo Procesos de reovació E el capítulo aterior dimos ua itroducció a las camiatas a aleatorias y pusimos las bases ecesarias para demostrar el primer resultado sobre camiatas aleatorias codicioadas a ser positivas e este trabajo. Ahora, e este capítulo reuimos los coocimietos sobre procesos de reovació que será ecesarios cuado trabajemos más adelate co todo tipo de camiatas aleatorias, o sólo simples. Empezaremos defiiedo los procesos de reovació para posteriormete defiir su fució de reovació. Ésta jugará u papel muy importate e la costrucció de las trayectorias de ua camiata codicioada a ser positiva. Veremos tambié alguos resultados importates sobre los procesos de reovació... Procesos de reovació Pesemos e la llegada de clietes de maera aleatoria a ua tieda e u día. Supogamos que éstos o tiee igú tipo de iteracció, por lo que el tiempo e el que llega cada cliete a la tieda es idepediete del tiempo e el que llega los demás clietes. Pesemos tambié que la fució que os dice cuáto tiempo hay etre la llegada de u cliete a la tieda y el siguiete, es la misma para cada pareja de éstos que llega de maera cosecutiva. Por la forma e la que llega los clietes a la tieda, se tiee que ua vez que llega u cliete, la probabilidad de que llegue u siguiete es la misma probabilidad de que llegue u cliete por primera vez e el día, por lo que podemos pesar que el proceso de la llegada de los clietes se está reovado costatemete co cada llegada de u cliete a la tieda. El proceso de los tiempos e los que llega los clietes a la tieda es u proceso de reovació. Este tipo de procesos recibe su ombre por la última característica que mecioamos e este ejemplo. 5

24 .. PROCESOS DE RENOVACIÓN E esta secció defiiremos lo que es u proceso de reovació y veremos alguas propiedades geerales de esta clase de procesos, las cuales puede ser ecotradas e [7]. Defiició.. Sea T, T,... ua sucesió de variables aleatorias o egativas, idepedietes e idéticamete distribuidas co F (x) P(T x) como fució de distribució. Defiimos al proceso de reovació asociado a la sucesió {T i }i como: W y W T + + T. A las variables aleatorias T, T,... las llamaremos tiempos iterarribo, y al proceso {N t } t defiido como: N t máx{ W t} lo llamaremos el proceso de coteo asociado a {W }. Detro de los procesos de reovació os ecotramos co los procesos de reovació defectivos, para los cuales la fució de distribució de los tiempos iterarribo es defectiva, esto es : lím F (x) <, x por lo que P(T ) >. Para u proceso defectivo q lím F (x) es x iterpretada como la probabilidad de termiació del proceso. Notemos que e u proceso de reovació el -ésimo eveto ocurre e el tiempo W T + T + + T. Si el -ésimo eveto ocurre ates del tiempo t, etoces al tiempo t ha ocurrido por lo meos evetos. Recíprocamete si al tiempo t ha ocurrido al meos evetos, etoces el -ésimo eveto ocurre ates del tiempo t, por lo que se da la siguiete igualdad de evetos: (N t ) (W t) Co esto presete veremos el siguiete teorema. Teorema.. P(N t < ) para toda t si y sólo si E(T ) >. Demostració. Supogamos que E(T ), como T es o egativa, teemos que E(T ), y por ello P(T j) para toda j >, pues de otra maera, al ser T o egativa E(T ) j P(T j) >, j 6

25 . PROCESOS DE RENOVACIÓN lo cual es ua cotradicció, por lo que efectivamete P(T j) para todo j > y P(T ). Por lo que P(máx{ T i + T + + T t} ) P(N t ). Ahora, supogamos que E(T ) >, así existe ɛ > tal que P(T i > ɛ) δ >. Sea A i {T i > ɛ} y A m ifiidad de ídices T i > ɛ. Y P(A c ) P( A m lim sup A i, eveto e el cual para ua A c m ) P( A c m ). Ahora m m bie, por ser los tiempos iter-arribo idepedietes y ya que P(T i ɛ) δ P( A c m ) m lím ( δ)m m. Por lo tato, P(A c ). Por otro lado, como ɛ > existe r N para el cual rɛ > t. Y si existe ua ifiidad de ídices para los cuales T i es mayor que ɛ. Etoces existe r N, para el cual T + + T r > t, por lo que el eveto (W t, N) A c y P (W t, N) P (A c ), de dode P(N t ) P(N t, N) P (W t N). Recordemos que la fució de distribució de la suma de dos variables aleatorias idepedietes co distribució H y G está dada por la covolució de H y G, la cual deotamos como H G, co esta idea deotaremos a F () la covolució de F cosigo misma veces, por lo que P(W t) P(T + + T t) F () (t). E el siguiete lema veremos que la probabilidad de que haya ocurrido evetos hasta el tiempo t está dada e térmios de las fucioes de distribució para W y W +. 7

26 .. PROCESOS DE RENOVACIÓN Lema.3. P(N t k) F k (t) F k+ (t) Demostració. (N t k) (N t k)/(n t k + ) (W k t)/(w k+ t) por lo que, P(N t k) P(W k t) P(W k+ t) F k (t) F k+ (t). Además de la fució de distribució para los tiempos de icidecia de los evetos, es de mucha importacia e el estudio de los procesos de reovació, la esperaza del úmero de evetos ocurridos al tiempo t. Defiició.4. Defiimos a la fució de reovació U(t) asociada al proceso {N t } t como la esperaza de éste. U(t) E(N t ), t Podemos escribir a U(t) e térmios de la fució de distribució de los tiempos iterarribo. Lema.5. U(t) F k (t) k Demostració. Empecemos defiiedo la siguiete fució idicadora {Wk t} si W k t e otro caso Así podemos escribir co el uso de {Wk t} a N t como N t {Wk t}, y k 8

27 . PROCESOS DE RENOVACIÓN U(t) E(N t ) E( {Wk t} E( {Wk t}) k k k F k (t). A la siguiete ecuació la llamaremos ecuació de reovació y veremos que U(t) es solució de ésta. Teorema.6. U(t) F (t) + t U(t x) df (x) Demostració. La esperaza de N t podemos escribirla como E(E(N t T )). Ahora fijémoos e el valor para E(N t T x) e los siguietes casos: Si t < x, E(N t T x), pues el primer eveto ocurre después del tiempo t. Si x t, ua vez que ocurre el primer eveto e el tiempo x, el proceso a partir de ese mometo es ua replica del proceso origial: Así, E(N t T x) + E(N t x ). U(t) E(E(N t T x)) t t F (t) + E(N t T x)df (x) E(N t T x)df (x) + + E(N t x )df (x) t U(t x)df (x) t E(N t T x)df (x) El siguiete resultado ivolucra ua ecuació del mismo tipo que la ecuació de reovació. Teorema.7. La fució µ dada por µ(t) H(t) + t H(t x)du(x), co H uiformemete acotada, es ua solució de la ecuació de tipo reovació µ(t) H(t) + t 9 µ(t x)df (x)

28 .. PROCESOS DE RENOVACIÓN Veremos que µ de esta forma cumple la ecuació de reovació dada. Demostració. Deotemos para dos fucioes h y g de variació acotada a h g(t) t h(t x)dg(x), t, de esta forma µ H + H U y U F + U F, por lo que µ F (H + H U) F H F + H U F H F + H (U F ) H (F + U F ) H U µ H, Por lo que µ H + µ F. Teorema.8. Sea µ E(T ), etoces casi seguramete. N t lím t t µ Demostració. Notemos que W N(t) t < W N(t)+ para toda t. Si N(t) > W N(t) N(t) t N(t) < W N(t)+ N(t) + ( + N(t) ). Y recordemos que la ley fuerte de los grades úmeros os dice que si teemos variables aleatorias {T i }, idepedietes e ideticamete distribuidas, el promedio de de estas variables tiede a la esperaza de T cuado tiede a ifiito casi seguramete, T + + T P( lím E(T )). Como N(t) cuado t, etoces De aquí, W N(t) lím t N(t) lím t t N(t) t µ lím t N(t) T N(t)+ lím t N(t) + ( + N(t).) µ,

29 . PROCESOS DE RENOVACIÓN por lo tato N(t) lím t t µ.

30 .. PROCESOS DE RENOVACIÓN

31 Capítulo 3 Procesos de escalera. Defiiremos e este capítulo los procesos estocásticos de escalera asociados a ua camiata aleatoria. Éstos os facilitará el estudio de las camiatas aleatorias y os ayudará a ecotrar ua clasificació muy importate de ellas. El motivo pricipal por el cual dedicamos este capítulo al estudio de los procesos de escalera, es que estos jugará u papel muy importate e el estudio de las camiatas codicioadas a ser positivas. E este capítulo veremos los diferetes tipos de procesos de escalera que existe y veremos tambié que todos ellos so procesos de reovació. Por lo cual podemos asociar a los procesos de escalera, su correspodiete fució de reovació. Estudiaremos esta fució y veremos itepretacioes que ésta puede teer. Al fial de éste capítulo veremos como se relacioa ua camiata aleatoria co sus procesos de escalera. Estos y otros resultados sobre procesos de escalera puede ser ecotrados e [6]. 3.. Defiició de los procesos de escalera. Para ua camiata aleatoria {S }, co S, os fijamos e los putos de ésta que resulta ser uevos máximos, es decir cuado la camiata aleatoria alcaza u valor mayor a todos los que había tomado ates. Defiició 3.. Sea T, H, T + íf{r N S r > H } y H S T. Los putos de la forma (T, H ) so los putos de uevos máximos, a estos los llamaremos putos de escalera ascedetes, y a los procesos {T } y {H } los llamaremos procesos de tiempos de escalera ascedetes y alturas de escalera ascedetes respectivamete. Así como para los procesos de escalera ascedetes os fijamos e los uevos 3

32 3.. DEFINICIÓN DE LOS PROCESOS DE ESCALERA. máximos de la camiata aleatoria, os fijaremos e los putos dode uevos míimos se alcaza y los llamaremos putos de escalera descedetes. Defiició 3.. Los tiempos y los valores dode uevos míimos se alcaza los deotaremos como T y H y está dados por: T, H, T + íf{r N S r < H } y H S T. Los procesos {T } y {H } so los procesos de tiempos y alturas de escalera descedetes. Los putos de escalera descedetes so las parejas formadas por estos dos procesos (T, H ). Nota 3.3. Los procesos de escalera puede ser defectivos, es decir lím F (x) <, x y e este caso, la probabilidad de que estos se termie es P(T ) lím x F (x) >. E el caso e el que o teemos la restricció de teer uevos máximos o uevos míimos, sio simplemete máximos y míimos, se da los procesos débiles de escalera, ya sea ascedetes o descedetes. Defiició 3.4. Deotaremos por ( T, H ) y ( T, H ) a los putos de escalera débiles ascedetes y descedetes respectivamete. Los procesos débiles ascedetes se defie como: T, H, T+ íf{r N S r H } y H S T. Aálogamete se defie los procesos de escalera débiles desedetes como: T, H, T + íf{r N S r H } y H S T. Los procesos de escalera, ya sea crecietes o decrecietes, débiles o ormales so procesos de reovació. Teorema 3.5. Las variables aleatorias {(T, H ), }, co T T T y H H H para,,..., forma ua sucesió de variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribuidas. Demostració. Usado el Teorema. teemos que P(T j, H dx) P(T T j, H H dx) P(S Tk + S Tk,..., S Tk +j S Tk+, S Tk +j S Tk >, S Tk +j S Tk dx) P(S, S,..., S j, S j >, S j dx) P(T j, H dx). 4

33 3. PROCESOS DE ESCALERA. y x Figura 3.: Trayectoria de ua camiata aleatoria co sus putos de escalera ascedetes, y débiles ascedetes. Los putos de escalera ascedetes está marcados co u círculo egro, y co u círculo blaco los putos débiles ascedetes. Por lo que la sucesió {(T, H )} es ua sucesió de variables aleatorias idéticamete distribuidas. Tambié por el Teorema., se tiee que: P(T k, H dx, T + j, H + dy) P(T T k, H H dx, T + T j, H + H idy) P(S T + S T,..., S T +k S T, S T +k S T >, S T +k S T dx, S T+ S T,..., S T+j S T, S T+j S T >, S T+j S T dx) P(S T + S T,..., S T +k S T, S T +k S T >, S T +k S T dx) P(S T+ S T,..., S T+j S T, S T+j S T >, S T+j S T dx) P(T k, H dx)p(t + j, H + dy) Ya que hemos visto que los procesos de escalera so procesos de reovació, buscaremos para los procesos de alturas de escalera su fució de reovació 5

34 3.. DEFINICIÓN DE LOS PROCESOS DE ESCALERA. (Defiició.4). Para el primer tiempo de escalera y la primer altura de escalera deotaremos a su fució de distribució cojuta como G(, x) P(T, H x), y las distribucioes margiales para T y H está dadas por y P(T ) lím x P(T, H x) G(, ) P(H x) P(T, H x) G(, x). Defiimos a G(x) P(H x), es decir G es la fució de distribució de H. Como vimos e el Lema.5, la fució de reovació asociada a u proceso de reovació está dada por la suma ifiita de las fucioes de distribució de cada uo de los tiempos iterarribo, por lo que la fució de reovació para el proceso {H } es: ψ(x) G (x), x. Ya que hemos ecotrado la fució de reovació para el proceso de alturas de escalera ascedetes ψ(x), trataremos de expresar, e térmios de ésta, a la fució de distribució para la primera altura de escalera débil. Lema 3.6. La fució de distribució de la primera altura de escalera débil Ḡ, puede ser escrita como: dode ξ P( H ), y ψ I (x) {x I}. Ḡ ξψ I + ( ξ)g, Demostració. Recordemos que T es el primer tiempo e el que la camiata toma u valor mayor o igual a cero, y H el valor que se toma e este primer mometo. Es claro que H puede ser igual o meor que H. Si la camiata aleatoria regresa al si haber tomado valores positivos, H. Si H, la camiata aleatoria alcaza u valor positivo ates de volver a, y e este caso H H. Sea ξ P( H ), por lo que ξ P(S <,..., S <, S ). 6

35 3. PROCESOS DE ESCALERA. Y como H si X >, etoces ξ <. E el caso e el que H, la camiata aleatoria alcaza u valor positivo ates de volver al cero, por lo que H H. Etoces P( H H ) ξ. Si deotamos como Ḡ la fució de distribució de H, y defiimos para I u itervalo fijo la fució ψ como: etoces ψ(x) I si x I, e otro caso, Ḡ(x) P( H x) P( H x H H )P( H H ) + P( H x H H )P( H H ), y recordemos que e el caso e el que H H, H toma el valor, por lo que P( H x H H )P( H H ) + P( H x H H )P( H H ) ( ξ)p(h x) + ξp( H x H H ). E el caso e que H H, se tiee que H, por lo que H x para toda x [, ) y H > x para x (, ), así P( H x H H ) ψ (,) (x). Por lo tato, Ḡ(x) ( ξ)g(x) + ξψ (x), x. Auque hemos ecotrado Ḡ, o expresaremos a ψ, la fució de reovació para el proceso débil ascedete e térmios de Ḡ. Resulta más fácil, expresar a ψ e térmios de ψ. Lema 3.7. Sea ψ la fució de reovació del proceso de escalera ascedete y ξ P( H ). Etoces para la fució de reovació del proceso de escalera débil ascedete, se tiee que ψ ξ ψ. 7

36 3.. DEFINICIÓN DE LOS PROCESOS DE ESCALERA. Demostració. Sea N el úmero de veces que la camiata aleatoria regresa al ates de tomar el primer valor positivo y defiamos, si Hl, l {,..., j}, I j, e otro caso. Si la camiata aleatoria o ha tomado valores positivos, etoces cada vez que regresa al cero se alcaza u máximo por lo que E(N) j j j E(I j ) P(I j ) j P( H l l j) ξ j ξ Así el úmero esperado de máximos que hay etre dos uevos máximos es ξ. Por lo que se espera teer por cada uevo máximo etoces, el úmero ξ esperado de máximos es ψ ξ ψ. Notemos que P(S >,..., S >, S ) P(S <,..., S <, S ) pues el úmero de camios que permaece positivos hasta el mometo y al mometo está e cero es igual al úmero de camios que permaece egativos hasta el mometo y al mometo está e cero. Y para alcazar el cero e el mometo se tiee que haber ascedido lo mismo que se descedió. Por esto ξ P( H ) P(S <,..., S <, S ) P(S >,..., S >, S ) P( H ) dode H el es primer tiempo de escalera débil decreciete. Así el argumeto que usamos para los procesos débiles crecietes es el mismo para los decrecietes y si ψ es la fucio de reovació para el proceso de 8

37 3. PROCESOS DE ESCALERA. escalera creciete y ψ es la fució de reovació para el proceso de escalera débil decreciete, etoces ψ ξ ψ. Ahora que ya hemos calculado la fució de reovació para los procesos de escalera, veamos que os dice ésta y co ello poder ver ua útil clasificació de las camiatas aleatorias. 3.. Dualidad Llamaremos a (S k, S k+,..., S, S ), k < ua secció de la camiata aleatoria {S }. Para k, la secció (S, S,..., S ) queda defiida por variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribuidas X, X,..., X. Defiició 3.8. Sea X, X,..., X las cuales está dadas de la siguiete maera, X X, X X,..., X X, X X. Defiimos a la secció dual de (S, S,..., S ) como (S, S..., S), dode S y Sk k Xj. j Podemos ver que la gráfica de la secció dual de (S,..., S ) es ua rotació de 8 grados de ésta. Por ello, podemos ver fácilmete que las veces que sube la camiata aleatoria e la secció (S,..., S ), es igual a las mismas veces que lo hace su secció dual (S,..., S ). Lo mismo ocurre co las veces que baja (S,..., S ) y (S, S,..., S ), por lo que ituitivamete (S,..., S ) y (S,..., S ) tiee las mismas distribucioes cojutas. Lema 3.9. La secció de la camiata aleatoria (S,..., S ) tiee las mismas distribucioes cojutas que su secció dual, esto es P(S a,..., S a ) P(S a,..., S a ) Demostració. Para la secció (S,..., S ) teemos que P(S a,..., S a ) P(X a,..., X + X + + X a ) P(X a, X a a,..., X a a ) P(X a )P(X a a ) P(X a a ) 9

38 3.. DUALIDAD y S x S* Figura 3.: Trayectoria de ua camiata aleatoria y su trayectoria dual. Por otro lado P(S a,..., S a ) P(S S a, S S a,..., S a ) P(X a,..., X + X + + X a ) P(X a, X a a,..., X a a ) P(X a )P(X a a ) P(X a a ) P(X a )P(X a a ) P(X a a ) Hemos probado el Lema para camiatas aleatorias discretas, pero para camiaatas aleatorias cotiuas la prueba es casi idética. Co este resultado podemos demostrar que la fució de reovació para el proceso de alturas crecietes tiee dos diferetes iterpretacioes. Lema 3.. Para u itervalo I R, la fució ψ(i) puede ser iterpretada como: 3

39 3. PROCESOS DE ESCALERA. (i) El úmero esperado de putos de escalera co la seguda coordeada e I. (ii) El úmero esperado de visitas de la camiata aleatoria {S } al itervalo I hasta ates del primer mometo e que la camiata aleatoria deja de ser positiva. Demostració. Para u eveto A que depede de S, S,..., S, por el Lema 3., la probabilidad de A es igual a la probabilidad del eveto A, el cual es el eveto aálogo a A reemplazado S k por Sk. De esta maera el eveto (S > S k para toda k < ) tiee la misma probabilidad que el eveto (S > S k, para k ) (S > S S k para toda k ), que es igual al eveto (S k > para k ). Por lo que para u itervalo I: P(S > S k para k <, S I) P(S k > para k, S I), lo que quiere decir que la probabilidad de que (, S ) sea u puto de escalera co ordeada e I es igual a la probabilidad de que al mometo esté e el itervalo I, y uca haber pasado ates por ua altura egativa. Si sumamos la igualdad aterior teemos P(S > S k para k <, S I) P(S k > para k, S I) dode del lado derecho teemos la esperaza del úmero de veces que la camiata aleatoria está e I y siedo hasta ese mometo positiva. Del lado izquierdo teemos el úmero esperado de putos de escalera e el itervalo I, es decir del lado izquierdo teemos ψ(i). Co este lema veremos que podemos clasficar las camiatas aleatorias e tres diferetes tipos. Teorema 3.. Existe sólo 3 tipos de camiatas aleatorias: (i)las oscilates, e las que los procesos de reovació de escalera creciete y decreciete so persistetes. S oscila co probablidad etre e, es decir lím sup S y lím if, además E(T ) y E(T ) (ii)la camiata tiede a. El proceso de escalera creciete es termiate y el decreciete es propio. Co probabilidad, lím sup S y alcaza u máximo fiito M. Además E(T ) ξ ψ() ( ξ)( G()) (iii)la camiata tiede a. El proceso de escalera decreciete es termiate y el creciete es propio. Co probabilidad, lím sup S y alcaza u 3

40 3.. DUALIDAD míimo fiito m. Además E(T ) ξ ψ () ( ξ)( G ()) Demostració. E la demostració del lema aterior vimos que P(S > S k para k <, S I) P(S k > para k, S I). Por el mismo argumeto usado para ver esta igualdad y tomado I (, ), se tiee que P(S S k para k < ) P(S k para k ). La probabilidad del lado izquierdo de esta última igualdad equivale a la probabilidad de que sea u tiempo débil de escalera ascedete, mietras que la probabilidad del lado derecho equivale a la probabilidad de que el primer tiempo de escalera descedete sea mayor que. Así para la fució de reovació del proceso débil descedete ψ, la esperaza del úmero de putos débiles de escalera, es: De aquí y del Teorema 3.7 ψ() P(S S k para k <, S I) P(S k para k ) [ P(T )]. ξ ψ() [ P(T )]. Por ello, si T es defectiva la serie diverge y ψ(), por lo que {T k } o puede ser u proceso defectivo. Co lo cual demostramos que o puede ser que los procesos de escalera ascedete y descedete, ambos termie. Así teemos que los dos procesos so persistetes o sólo uo de los dos termia. Por ser T ua variable positiva, E(T ) E(T ) P(T > ), por lo que ξ ψ() ( ξ)( G()), debido a que si {T k } es u proceso defectivo etoces ψ() G () G(). Por lo que E(T ) < si y sólo si G() <, es decir si y sólo si, el proceso {T } es defectivo. Por lo que alguo de los procesos {T k }, {T k } es defectivo, o E(T ) E(T ). 3

41 3. PROCESOS DE ESCALERA. Supogamos que T es termiate, etoces E(T ), por lo que el proceso {T k } es defectivo, etoces la probabilidad de que el proceso sobreviva al tiempo, es igual a ( G()). Y esta probabilidad tiede a cuado tiede a ifiito, por lo que la probabilidad de que el proceso termie e u tiempo fiito es igual a. Por ello, la probabilidad de que el exista u último puto de escalera es igual a uo y M máx{s, S,... } <. Aálogamete co probabilidad uo m mí{s, S,... } > si el proceso {Tk } es defectivo Lema combiatorio de Feller y otros resultados. Empezaremos esta secció co el lema combiatorio de Feller que os dice cómo calcular el úmero de putos de escalera de u camio de maera secilla. Para después co este resultado relacioar las ditribucioes de la camiata aleatoria {S } co las de los procesos de escalera asociados a ella. Sea p (x, x,..., x ) ua sucesió de úmeros, diremos que s (s, s,..., s ) es el camio geerado por p, si s k k x i. Defiamos a p i como la i-ésima permutació cíclica de p, por lo que p i (x i+, x i+,..., x, x, x,..., x i ). De igual maera que para s, s i es el camio geerado por la i-ésima permutació cíclica de p. Decimos que v > es u tiempo de escalera si s v > s j para < j v. i Lema 3. (Lema combiatorio de Feller). Sea (s, s,..., s ) u camio dode s > y x r s r s r, r,,...,, dode s (s, s,..., s ) es el camio geerado por p (x,..., x ). Etoces existe ua permutació cíclica de p, p v y s v el camio geerado por ella, de tal maera que e s v es u tiempo de escalera. Además si existe r permutacioes cíclicas de p que cumple ésto, etoces cada uo de los camios geerados por ellas tiee exactamete r tiempos de escalera. 33

42 3.3. LEMA COMBINATORIO DE FELLER Y OTROS RESULTADOS. Demostració. Notemos que s i k lo podemos escribir e termios de s como: s i s k+i k s i s s i + s k+i para k,,..., i para k i +,..., (3.) Si tomamos v íf{i s i > s j, para j i, s i s j, para i j }, podemos escribir utilizado (3.) a s v como s v s s v + s v s. Por la defiició de v, s k+v s v para k v y s k+v s v < para v < k por lo que s v k s v+k s v < < s s v para k,..., v y s v k s s v + s k+v < s s v para k v +,..., Por lo tato s v > s v k para k < por lo que es u tiempo de escalera e sv. De esta forma, teemos que dada p existe ua permutació cíclica de p, e la que el camio geerado por ella tiee a como tiempo de escalera. Ahora supogamos, si pérdida de geeralidad que p es tal que s tiee a como tiempo de escalera. Veamos que si existe r permutacioes cíclicas de p, todas ellas distitas, para las cuales es u tiempo de escalera, etoces s tiee exactamete r tiempos de escalera. Para ello veamos que es tiempo de escalera e s j si y sólo si j es u tiempo de escalera e s. Sea p j, permutació cíclica de p, para la cual s j tiee a como tiempo de escalera. Supogamos que j o es u tiempo de escalera e s, por lo que existe m < j tal que s m s j. Recordemos que para k { j +,..., } podemos escribir a s j k como s j k s s j + s k+j co k + j {,..., j }, por lo que para cierta k tal que m k + j y m <, se tiee que s j k s s j + s m s s j co k { j +,..., } lo cual es ua cotradicció pues es u tiempo de escalera para s j, por lo tato j es tiempo de escalera e s. Ahora veamos que si j es tiempo de escalera e s, etoces es tiempo de escalera e s j. 34

43 3. PROCESOS DE ESCALERA. Como j es tiempo de escalera e s, s j >, se tiee que para k {,..., j} s j k s k+j s j s s j < s s j y para k { j +,..., } teemos que k <, por lo que k < k + j < j, por ser j u tiempo de escalera para s, s k+j < s j etoces s j + s k+j < co lo que podemos cocluir que para k { j +,..., } s j k s s j + s k+j < s s j Por lo tato parak s j k < sj Por lo tato, es tiempo de escalera para s v. Así teemos que s tiee exactamete r camios s j,..., s jr para los cuales es tiempo de escalera, cada uo de los r i, i {,..., r} es tiempo de escalera de s y si j es tiempo de escalera para s, etoces s j tiee a como tiempo de escalera y por lo tato si s tiee r camios para los cuales es tiempo de escalera, etoces s tiee exactamete r tiempos de escalera. 35

44 3.3. LEMA COMBINATORIO DE FELLER Y OTROS RESULTADOS. Ahora usado el lema aterior, veamos que Teorema 3.3. Para x > teemos que P(S dx) k k P(T k, H k dx) Demostració. Sea A el cojuto de todos los camios de logitud que termia e x, y B k el cojuto de todos los camios de logitud que termia e x, dode es el k-ésimo tiempo de escalera y S toma el valor x. Ahora defiamos las siguiete relació de equivalecia para camios de logitud : a b si y sólo si a está geerado por ua potecia de la suceció de variables que geera a b, otemos que e cada clase de equivalecia hay exactamete elemetos, ahora defiamos a Ā, Bk los cojutos de las clases de equivalecia bajo, así: P(S x) P( a) a A P(a) a A P(ā) ā Ā k b P( b) Bk k k P(b) b B k k k P(T k +, H k + x) De este teorema teemos cosecuecias importates. Corolario 3.4. E(r T + e ith + r ) exp[ E(eitS S > )] Demostració. Por el teorema aterior, para y j > teemos que 36

45 3. PROCESOS DE ESCALERA. sumado sobre y j P(S j) por lo que P(S j S > ) r e itj j por ello P(S j S > ) r e itj E(e itj S > ) r k k k P(T k, H k j) k P(T k, H k j)r e itj j k k j k k k P(T k, H k j)r e itj k P(T k, H k j)r e itj k E(eitH k r T k ) k [E(eitH r T )] k log( E(e ith r T )) Por lo tato E(r T + eith+ ) exp[ r E(eitS S > )] Corolario 3.5. E(r T + r ) exp[ P(S > )] Demostració. Usado el Corolario 3.4 co t, la demostració es imediata. 37

46 3.3. LEMA COMBINATORIO DE FELLER Y OTROS RESULTADOS. 38

47 Capítulo 4 Primeros resultados. E este cuarto capítulo tedremos uestro primer ecuetro co las camiatas aleatorias codicioadas a ser positivas, camiatas que permaece e la parte superior del plao. E esta parte, los resultados que aparece so para camiatas aleatorias simples. El objetivo de esta parte de la tesis será mostrar que el límite de las distribucioes fiito dimesioales de ua camiata aleatoria simple, codicioada a ser positiva tiede a las distribucioes fiito dimesioales de u proceso de Markov que veremos más adelate. De acuerdo a lo que vimos e el capítulo aterior, ua camiata aleatoria preseta uo y sólo uo de los siguietes comportamietos: tiede a meos ifiito, tiede a ifiito o ésta oscila etre ifiito y meos ifiito. Si ua camiata aleatoria S tiede a ifiito, ésta alcaza u míimo m casi seguramete (Teorema 3.). Por ello codicioar a S a ser positiva e el caso e el que ésta tiede a ifiito, o preseta dificultades técicas. Debido a ésto poemos ateció e los casos e los que la camiata aleatoria S oscila o tiede a meos ifiito. E este capítulo os cocetraremos e este último caso. E u primer iteto de codicioar ua camiata aleatoria a ser positiva podríamos pesar simplemete e codicioar co el eveto A (S k para toda k). El problema co seguir esta idea es que P(A), para camiatas que tiede a meos ifiito o que so oscilates. Etoces codicioar co A o tiee setido si se hace directamete. Podemos ver que e [9] Pitma resuelve este problema para ua camiata aleatoria simple {S } tomado el límite de los evetos A (S llega a [, ) ates de llegar a (, )) que claramete tiede a A cuado tiede a. Este mismo problema es resuelto por Keeer e [8], tambié tomado el límite de evetos que tiede a A. Estos evetos está defiidos de maera distita a la que lo hace Pitma. Keeer defie 39

48 4.. PRIMEROS RESULTADOS los evetos para ua camiata simple {S } que tiede a meos ifiito como A (S k para k ). El límite de las distribucioes fiito dimesioales codicioado co estas dos familias distitas de evetos coicide sólo e el caso de la camiata aleatoria simple simétrica [8]. Nosotros estudiaremos el límite de las distribucioes fiito dimesioales de ua camiata aleatoria codicioada co los evetos A. Esto lo haremos siguiedo el artículo [8] de Keeer, quie cosidera por primera vez codicioar co estos evetos. 4.. Primeros resultados Como ya mecioamos, e este capítulo cosideraremos camiatas aleatorias simples que tiede a meos ifiito. Trabajaremos codicioado co los evetos A, para los cuales lím A A. Sea {S } ua camiata aleatoria simple para la cual P(S ) y al igual que e el primer capítulo, S a + X i, dode {X } es ua sucesió de variables aleatorias idepedietes co respecto a la medida de probabilidad P, y tal que P (X i ) p y P (X i ) q p, co < p < /, además P (S b S ) P (S b). Tambié itroduciremos uevas medidas de probabilidad P a, P y P a para las cuales X, X,... so tambié variables aleatorias idepedietes, P (X i ) / P (X i ) y P (S b S ) P (S b). Y para P a y P a se tiee las mismas distribucioes margiales que P y P respectivamete, es decir P a (S b) P (S b S a) y P a (S b) P (S b S a). i Empecemos viedo como se relacioa P a y P a. Lema 4.. P a (S j) P a (S j)(4pq) / (p/q) j/ (q/p) a/ Demostració. Por el Teorema (.3) del primer capítulo, y reagrupado correctamete teemos que P a (S j) ( ( +j a ) )p( ( +j a ( +j a +j a ) q ( j+a ) )p ( +j a ) q ( j+a ) (/) 4 / )(/) (4pq) / (p/q) j/ (q/p) a/ P a (S j)(4pq) / (p/q) j/ (q/p) a/. 4

49 4. PRIMEROS RESULTADOS. Sea τ íf{ S < }. Para τ defiido de esta maera podemos escribir al eveto A {S k, para k } como A (τ > ). Lema 4.. P a (τ > S j) P a (τ > S j) Demostració. Sea W el úmero de camios para los cuales S a, S j y S k para k, por lo que P a (τ >, S j) W p /(+j a) q /( j+a). (4.) Por el Lema 4. y (4.) P a (τ > S j) P a (τ >, S j) P a (S j) P a (τ >, S j) P a (S j)(4pq) / (p/q) j/ (q/p) a/ W p /(+j a) q /( j+a) P a (S j)(4pq) / (p/q) j/ (q/p) a/ W (/) (4pq) / (p/q) j/ (q/p) a/ P a (S j)(4pq) / (p/q) j/ (q/p) a/ P (a) (τ >, S j)(4pq) / (p/q) j/ (q/p) a/ P a (S j)(4pq) / (p/q) j/ (q/p) a/ P (a) (τ >, S j) P a (S j) P a (τ > S j). El siguiete lema os da ua útil relació para poder llegar a la demostració de uestro primer teorema. 4