Unidad 1. Números reales

Transcripción

1 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas Página Resuelve. a) Escribe tres números naturales y tres números enteros que no sean naturales. b) Escribe tres números racionales que no sean enteros y tres números que no sean racionales. c) Sitúa, en tu cuaderno, los números anteriores en un esquema como el siguiente. a) Por ejemplo: naturales:,, enteros no naturales:, 7, b) Por ejemplo: racionales no enteros:,, no racionales: π, ; 0, c) π 0, Sabiendo que el verdadero valor de π es, da una cota del error cometido en cada una de las aproximaciones anteriores. Por ejemplo: 77, El error es menor que diezmilésima: 0, error < 0,000 Antiguos egipcios (,). Error < 0,0 Antiguos babilonios (/8,). Error < 0,0 Arquímedes (/7,87 ). Error < 0,00 Tolomeo (77/0, ). Error < 0,000 Liu Hiu (/, ). Error < 0,000000

2 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas Números irracionales Página. Demuestra que los números siguientes son irracionales: a) b) c) + a). Lo haremos por reducción al absurdo. Supongamos que sí es racional. Entonces se puede poner como cociente de dos números enteros: a 8 ` j b a l 8 a, luego a b b b b Como b es un cuadrado perfecto, si tuviese como factor lo tendría un número par de veces, luego b tiene el factor un número impar de veces (lo tendría una vez si no fuese factor de b ). Y esto es imposible porque b a, que es cuadrado perfecto y, por tanto, en su descomposición en factores primos cada número está un número par de veces. b) es irracional porque el resultado de operar un número racional con uno irracional es irracional. c) + es irracional por el mismo razonamiento que en b).

3 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas Página. Justifica que las construcciones siguientes: F / F dan un segmento de medida igual al número de oro: Φ + + F a / b F b a a (radio de la circunferencia) Φ a + b Aplicando el teorema de Pitágoras: b c m + + Φ a + b +. Demuestra que el número áureo, Φ, es irracional. Queremos demostrar que el número de oro, Φ, es irracional. Sabemos que lo es (por lo mismo que ). + Observa que si Φ, entonces: Φ + Φ Si Φ fuese racional, Φ también sería racional, lo que contradice el que es irracional. +

4 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas. Este rectángulo tiene la peculiaridad de que si le suprimimos un cuadrado, el rectángulo que queda es semejante al inicial. x Demuestra que su lado mayor es x Φ. x x Nos dicen que estos dos rectángulos son semejantes, por tanto sus lados son proporcionales. x x x x x x x 0. Resolvemos la ecuación de segundo grado: + F ± + ± x No es una solución válida porque esnegativa.

5 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas Números reales: la recta real Página. a) Justifica que el punto representado es. 0 b) Representa 7 (7 ) y 0 (0 + ). a) Aplicando Pitágoras: b) x 0 x + x + x x Qué número es el que hemos señalado con una flecha? 0 Representa, del mismo modo, el,7. 0 0,7,8,7,7,7,7,8,7,7,7

6 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas Tramos en la recta real: intervalos y semirrectas Página 7. Escribe los conjuntos siguientes en forma de intervalo y representa los números que cumplen las condiciones indicadas en cada caso: a) Comprendidos entre y, ambos incluidos. b) Mayores que 7. c) Menores o iguales que. a) [, ] b) (7, + ) c) (, ]. Escribe en forma de intervalo y representa: a) {x / x < } b) {x / x 0} c) {x / < x < } d) {x / x < 8} 7 a) [, ) b) [0, + ) c) (, ) d) (, 8) Escribe en forma de desigualdad y representa: a) (, ] b) [0, ] c) (, ) d) [, + ) a) {x / < x } b) {x / 0 x } c) {x / x < } d) {x / x } 0

7 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas Raíces y radicales Página 8 Cálculo mental. Di el valor de k en cada caso: a) k b) k c) k d) k 0 a) k 8 b) ( ) k c) k d) 0 0 k 0. Calcula las raíces siguientes: a) 8 b) c) d) 8 0 e) 8 f) a) b) c) d) 0 e) f). Expresa en forma exponencial cada una de las siguientes raíces: a) x b) ` x j c) a d) a a e) x f ) n m a k a) x / b) x 0/ c) a / d) (a ) / a 7/ e) (x / ) / x / f) (a k/m ) /n a k/m n. Calcula. a) / b) / c) / d) 8 / e) / f ) / a) / b) / d) 8 / 8 c) / e) / f) /. Expresa en forma radical. a) x 7/ b) (m n ) / c) a / b / d) [(x ) / ] / e) [(x / ) ] / f ) (y z ) / a) x 7 b) ( m n) c) a b a b / d) x x e) x x f) y z 7

8 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas Página 0. Simplifica. a) x b) x 8 c) y 0 d) 8 e) f ) 8 8 / / 8 8 / / a) x x x x b) x x x x c) y 0 y d) 8 / / / 8 8 / e) f) 8. Cuál de los dos es mayor en cada caso? a) y b) y 0 a) 7 8 > b) > 0 0. Reduce. a) b) c) a b 0 8 a) b) 0 c) a b a b 7. Saca del radical los factores que sea posible. a) x b) 8abc c) a) x x x x b) 8a b c a b c ab b c c) 8

9 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas 8. Simplifica. abc a) b) c) abc d) a ` j e) ` xj ` xj f ) a k 8 a) b) c) a b c ab c a abc abc bc c d) ` a j a / a a bc e) ` xj ` xj x / x / x / x 8 f) ( / ) / 8 / a k b` j l ( / ) 8. Efectúa

10 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas Página 0. Racionaliza los denominadores. a) c) e) + b) d) f ) 7 a) c) b) d) e) + ` j ` j f) ` + j + 0

11 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas Números aproximados. Errores Página. Verdadero o falso? Justifica tus respuestas. a) Decir que en una cierta piscina caben 7 8 miles de gotas de agua es correcto si las mediciones se han hecho con mucha precisión. b) Decir que en una cierta piscina caben 7 8 miles de gotas de agua no es nada razonable, pues es imposible conseguir tantísima precisión en las mediciones. Sería mucho más sensato afirmar que caben decenas de miles de millones de gotas. c) Si estimamos correctamente que el número de gotas de agua que caben en una piscina es decenas de miles de millones, estamos cometiendo un error absoluto menor que media decena de miles de millones de gotas; es decir, E. abs. < gotas. d) Si el error relativo cometido en una cierta medición es menor que 0,0, podemos decir que es menor que el %. e) Si el error relativo cometido en una cierta medición es menor que 0,0, podemos afirmar que es menor que el %. f ) La calculadora nos dice que π,. Si tomamos π,, podemos afirmar que cometemos un error absoluto menor que 0,00, pero es más razonable decir que E. abs. < 0,00 o, incluso, E. abs. < 0,00. a) Falso. Sería mucho más sensato hacer la afirmación b). b) Verdadero. c) Verdadero. d) Falso. Sería menor que, %. e) Verdadero. f) Verdadero.. Explica por qué no es razonable decir que en un saco hay 8 8 granos de arroz. Exprésalo de forma adecuada y acota el error absoluto y el error relativo que se cometen con esa expresión. No es razonable porque es imposible conseguir tantísima precisión en las mediciones. Sería mucho más sensato afirmar que caben millones de granos de arroz. Error absoluto < Error relativo < < 0,0, % Da una cota del error absoluto y otra del error relativo que cometes cuando pones π,. Error absoluto < 0,0000 Error relativo < 0, 0000 < 0,0000 0,00 %,

12 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas Números en notación científica. Control del error Página Ejercítate Expresa en notación científica los siguientes números: a) b) 0,00000 c) 0 d) 0,0 0 e) f) 0,0 0 8 a) 0000, 0 b) 0,00000, 0 c) 0, 0 7 d) 0, e) ,8 0 f) 0, Efectúa. Después, repasa con la calculadora: a) (, 0 ) (, 0 ) b) (, 0 ) : ( 0 ) c) 7, 0 +,8 0 7 d), , a) (, 0 ) (, 0 ),8 0,8 0 0,8 b) (, 0 ) : ( 0 ) 0, 0 ( ), 0 0 0, 0 c) (7, 0 ) + (,8 0 7 ) 0, ,8 0 7 (0,7 +,8) 0 7,7 0 7 d) (, 0 0 ) + (8, 0 ) (8 0 ), , (, + 8, 80) , ,77 0. La distancia de la Tierra al Sol es km. a) Exprésala en notación científica. b) Exprésala en cm con dos cifras significativas. c) Exprésala en cm con cuatro cifras significativas. d) Acota los errores absoluto y relativo en los tres casos anteriores. a), 0 8 km b), 0 cm c),0 0 cm d) caso a) Z E.A. < 0, 00 cientos demillones dekilómetros. ] [ E.R. < 0,00 ] <0,00, \ caso b) Z E.A. <0,0decenas de billonesdecentímetros. ] [ E.R. < 0,00 ] <0,0, \ caso c) Z E.A. <0, 000 decenasdebillonesdecentímetros. ] [ E.R. < 0,000 ] <0,000,0 \

13 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas 7 Logaritmos Página. Halla estos logaritmos basándote en la definición: a) log b) log 0,0 c) log 8 d) log 0,0 e) log a f ) log 0 0,000 g) log `/ j h) log (/) i) log a) log x x x b) log 0,0 x x 0,0 x 00 c) log 8 x x 8 7 x 7 d) log 0,0 x x 0, e) log a x a x x 0 x f) log 0 0,000 x 0 x 0,000 x g) log h) log e o x x x x x / x. Averigua la base de los siguientes logaritmos: a) log a b) log b c)0log c d) log d a) log a a a 00 b) log b b b c) log c c c d) log d d / d. Halla, con la tecla de la calculadora: a) log 70 b) log 00 c)0log 0, d) log 8 0,00 Comprueba la validez de cada solución con la tecla. a) log 70 b) log 00 c) log 0, d) log 8 0,00 log0 70,8 70/ log 0 log0 00,80 log 0 log0 0, 0,0 log 0 log0 0, 00, log 8 0

14 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas. Halla con la calculadora log 0 7 y log 0 70 y explica por qué ambos tienen la misma parte decimal. log 0 7 0,8080 log 0 70,8080 log 0 7 log 0 c70 m log log 0 0,8080 0,8080 log 0 70 log 0 (7 0) log log 0 0 0,8080 +,8080 Como se observa, tienen la misma parte decimal porque: log 0 7 log 0 70 log 0 70 log a) Expresa A como potencia de base. 0 b) Halla log A y comprueba que coincide con: log 8+ log log 0 a) A 8 / / / b) log A log / log 8+ log log 0 / log / log / log

15 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas Página 7 Hazlo tú. x a) Expresa como potencia: : b) Simplifica: + x a) : x / : / (x )/ : / ((x )/) + (/)) (x )/ b) + / ` j + ` + j ` j Hazlo tú. En cuánto se convertiría ese capital al mismo interés anual durante años con periodo de capitalización mensual? n C F C b + r l 07 c+, m 07 c 0, m (,00) 0, 0 7 yenes Hazlo tú. Calcula x en cada caso: a) log x b) log x log 0 0 a) log x / x x b) log x log log x log log x x 0 x 8 x 0 0

16 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas Ejercicios y problemas Página 8 Practica Números racionales e irracionales. a) Cuáles de los siguientes números no pueden expresarse como cociente de dos números enteros? ;,7; ;,! ; 7,! ; π; b) Expresa como fracción aquellos que sea posible. c) Cuáles son irracionales? a) No pueden expresarse como cociente: ; π y. b) ; 7, 7! ;, 8! ; 7, c) Son irracionales:, y π.. a) Clasifica en racionales o irracionales.! ; 087, ; ; 7 ; ; π b) Ordénalos de menor a mayor. c) Cuáles son números reales?! a) Racionales: 087, ; ; 7 b) 7! < < < < 08, 7 < π c) Todos son números reales. Irracionales: ; ; π. Clasifica los siguientes números indicando a cuáles de los conjuntos N, Z, Q o Á pertenecen: ;! + ; ; 7, ; ; π; reales (Á) racionales (Q) enteros (Z) naturales (N) enteros negativos fraccionarios! ; 7, irracionales ; π; +

17 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas. a) Qué números irracionales representan los puntos A, B, C y D? 0 A B C D b) Representa 8 y. a) A B C D b) Sitúa los siguientes números en un diagrama como el adjunto: $ ; 7, ; ;,; ; ; ; π ; 0 0 7, ), π Intervalos y semirrectas. Escribe los siguientes conjuntos de números en forma de intervalo o semirrecta: a) Mayores que y menores que 7. b) Comprendidos entre y, ambos incluidos. c) Mayores o iguales que. d) Menores que 0. a) (, 7) b) [, ] c) [, + ) d) (, 0) 7

18 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas 7. Representa en la recta real cada uno de los siguientes intervalos y semirrectas: A [, ] B (, ) C [ 7, ) D (0, ] E (, ] F (, + ) A B C D E F Representa gráficamente y expresa como intervalo o semirrecta estas desigualdades: a) x b) < x c) x d) x < / e) < x <, f ) x a) x [, ] b) < x (, + ) c) x [, + ) d) x < <, m e) < x <, (;,) f) x [, + ) 0, 0,,, 0. Expresa como intervalo o semirrecta y como una desigualdad cada uno de los conjuntos de números representados: a) 0 b) c) 0 d) 0 a) [, ]; x b) (, ]; < x c) [, + ); x d) (, ); x < 0. a) Indica cuáles de los números siguientes están incluidos en A [, 7) o en B (, + ): ; 0; 0,; 7; ; ;,! ; π; 7 ; 8; b) Cuál de estos intervalos representa a los números incluidos en A y en B? (, ) [, 7) [, 7] (, 7) a) A [, 7) B (, + ) A B [, + ) Los números incluidos en A o en B son: ; 0; 0,; 7; ;,! ; π; 7 ; 8; Es decir, todos excepto. b) A B (, 7) 8

19 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas. Escribe en forma de intervalo los números que verifican la desigualdad en cada caso: a) < x + < b) x 7 c) 0 x < d) < x a) < x + < b) x 7 < x < + x (, ) [, ] c) 0 x < d) < x x < 7 < x 0 < x [, 7) (, ] Potencias y raíces. Expresa en forma exponencial. a) x e) ( ) b) c) 0 d) 0 f ) a g) ` x j h) a a) x / b) / c) 0 d) 0 / e) ( ) / f) a / g) x / h) a /. Pon en forma de raíz. a) / b) ( ) / c) d n / d) (a ) / e) (a / ) / f ) (a ) / a) b) ( ) c) d) a e) a f) a. Expresa como potencia y efectúa. a) b) c) d) : e) : f ) : a) / / 7/ b) / / c) e) : / / d) / : / / / : / / f) : / : / /

20 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas Página. Expresa los siguientes radicales mediante potencias de exponente fraccionario y simplifica: a) a a a) a a a / a / a /0 b) x x c) a b) c) x x a / x x (/) (/) x / x / a /. Expresa como potencia y calcula x en cada caso igualando los exponentes de los dos miembros: a) a) ` j b) 8 + b) ( ) x x c) 7 8 x + 7 (x + )/ x + x 7 x x x c) Radicales 7. Simplifica. (x/) x x 8 x + (/) / x + x 7 a) b) a 8 c) a d) 8 a b e) a 8 f ) a b a) b) a c) a d) ab e) a8 a f) a b 8. Multiplica y simplifica. a) b) a a a c) a a a a) b) a a a a a a a a a c) a a a a a a a a 0

21 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas. Extrae del radical los factores que sea posible. a) a d) e) a a) a b) 8a b c) 8a f ) 7 b) a ab c) a a d) a a e) f) 0. Reduce a índice común y ordena de menor a mayor los radicales siguientes: mín.c.m. (,,, ) 7, 0, 0, Reduce a índice común y efectúa. a) 8 < 0 < 7< 0 b) : c) 0 : 0 d) ` j: ` j 0 0 a) 8 78 b) c) 0 : 0 d) ( ):( ) 0. Divide y simplifica. a) 7 : b) : c) : a) 7 : b) : : c) : : 7 7

22 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas. Efectúa. a) 8 7 b) + c) d) a) b) c) ` j d) Introduce dentro de la raíz y simplifica. a) b) 8 c) d) e) f ) 7 a) d) b) 0 e) 8 c) 7 f). Efectúa. a) ` j` + j b) ` j c) ` + j a) 7 b) + c) ` j + ` + j ` j 8

23 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas. Simplifica: a) 8 8 8a a b) ( a ) c) a a a a) 8 / / 8 / / / / b) c) 8a a a a a k a a / / / / + + a a a a / a / / / / / + + a a a a / a / 7. Racionaliza, y simplifica si es posible. a) b) c) + 0 d) e) f ) 8 a) b) c) + 0 `+ j d) e) f) 8 8. Racionaliza, y simplifica si es posible. a) + d) + a) + + b) e) a a b ( ) ( ) ( ) ( + )( ) c) f ) a a + + b) + ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) + c) a a ( a ) a + ( a + ) ( a ) a a a d) e) f) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( + ) ( ) ( ) 8 a a b a ab a ab ab a b ab ab b ( ) ( ) ( ) ( ) 8 + ( + ) ( )

24 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas. Simplifica. a) + b) + 8 e o c) ( ) d) 8a+ a a a) / + + c+ m b) e o 8 / e o + c + m c) ( ) ( ) d) 8a + a a + a a a + a a ( + a) a a a a a + a

25 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas Números aproximados. Notación científica 0. Da una cota del error absoluto y una cota del error relativo de las siguientes aproximaciones: a) b) π, c),7 d) Φ, 7 a) E.A. < 0, b) E.A. < 0,00 c) E.A. < 0,000 d) E.A. < 0,0 E.R. < 0, E.R. < 0,00 E.R. < 0,000 E.R. < 0,0. Da una cota del error absoluto y una cota del error relativo de estas aproximaciones sobre los presupuestos de algunos equipos deportivos: a) 8 mil euros b) millones de euros c) 8 00 d) 00 a) Error absoluto < 00 b) Error absoluto < Error relativo < 0,00 Error relativo < 0,0 c) Error absoluto < 0 d) Error absoluto < 0 Error relativo < 0, Error relativo < 0,0. Da una cota del error absoluto de estas aproximaciones y compara sus errores relativos: a) 8 0 b), 0 c),7 0 7 d), 0 e),7 0 f ) 0 a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) 0 8 f) 0 El menor error relativo se da en c), y el mayor, en f).. Calcula mentalmente. a) (, 0 7 ) ( 0 ) b) ( 0 ) : ( 0 ) c) ( 0 7 ) : ( 0 ) d) 08 a) 0 b), 0 c) 0 d) 0

26 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas Página 0. Efectúa a mano utilizando la notación científica y comprueba, después, con la calculadora con cifras significativas dando una cota del error absoluto cometido. a) (, 0 7 ) ( 0 8 ) b) ( 0 8 ) (, 0 ) c) (, 0 7 ) : ( 0 ) d) ( 0 7 ) e), 0 0 f ) 0 + 8, 0 g) h) 7, 0 8 +, 0 0 a) 0, 0 b), 0, 0 c) 0, 0, 0 d) 0, 0 e) f) , 0 8, 0,8 0 g) , 0 8 h) 7, , 0 8,7 0 0 Logaritmos. Aplica la definición de logaritmo y calcula. a) log b) log c) log d) log e) log f ) log 7 g) log a) log x x x b) log x x x h) log 0,00 i) log 0, c) log x x x d) log x x x e) log x x x f) log x x x 7 7 g) log x x / x h) log 0,00 x 0 x 0,00 x i ) log 0, x x 0, x

27 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas. Halla con la calculadora. a) log, b) log c) log 0,0 d) log 0,8 e) log f ) log 0,87 a) log, b) log c) log 0,0 log,,8 log log,7 log log 00,,78 log log 0, 8 d) log 0,8, log log log e) log, log log f) log 0,87 log 0, 87 0,0 log 7. Calcula la base de los siguientes logaritmos: a) log b b) log b c) log b d) log b a) log b b b 00 b) log b b b c) log b b b d) log b b / b 8 8. Calcula aplicando la definición de logaritmo: log log log log ya que / log 0,000 ya que 0 0,000 log 0 + log + log 0,000 + log 00 0 log log 0 log Luego el resultado será: + 7

28 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas. Utiliza las propiedades de los logaritmos, como en el ejemplo, para obtener el valor de las expresiones siguientes: log 0 + log 0 log 0 0 log 000 a) log 00 log b) log 88 log c) log + log 0,0 d) log 0, + log 0 a) log 00 log log 00 log b) log 88 log log 88 log 8 c) log + log 0,0 log ( 0,0) log (0,) d) log 0, + log 0 log (0, 0) log 8 Aplica lo aprendido 0. El volumen de un cilindro de cm de altura es 0 π cm. a) Cuánto mide su radio? b) Calcula su área lateral. Da en ambos casos el valor exacto (utiliza radicales y π). a) Volumen cilindro Área de la base altura 0π π r r 0 π r cm π b) Área lateral πrh π 0 π cm. Calcula el área total y el volumen de un cono de cm de radio y 0 de generatriz. Da el valor exacto. Altura 0 7 cm cm 0 cm Área lateral πrg π 0 0π cm Área base πr π cm Área total 0π + π 7π cm Volumen πr h π π cm 8

29 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas. Calcula el perímetro de los triángulos ABC, DEF y GHI. Expresa el resultado con radicales. u A D G C I B F E H ABC AC + 0 ; AB + ; BC + Perímetro de ABC u DFE DF + ; DE + ; FE Perímetro de DFE u GHI GH + 0 ; GI GH ; HI + Perímetro de GHI u. Expresa como intervalo los números que verifican cada una de las siguientes desigualdades: a) x < b) x c) x + < Cómo expresarías los números que verifican las desigualdades contrarias a las anteriores? Es decir: a) x < < x < x (, ) x x > x + b) x x x x [, ] c) x + < < x + < 7 < x < x ( 7, ) Cuando las desigualdades son contrarias a las anteriores, se representarán mediante la unión de dos intervalos: x 8 x é [, + ) x * x (, ] [, + ) x 8 x é (, ] x > x + x > 8 x > 8 x é (, + ) * x (, ) (, + ) x < 8 x < 8 x é (, ) x + 8 x 8 x é [, + ) * x (, 7] [, + ) x + 8 x 7 8 x é (, 7] Fíjate que al coger las desigualdades contrarias, cogemos todos los números reales excepto los que hemos cogido en los intervalos definidos anteriormente.. Averigua para qué valor de x se pueden calcular las siguientes raíces: a) x 7 b) x c) x d) x + a) x 7 0 x 7 x [7, + ) b) x 0 x x x (, ] c) x 0 x 0 x (, 0] d) x + 0 x (, + )

30 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas. Cuál de los números o + es solución de la ecuación x x + 7 0? ( ) ( ) El número ( ) no es solución. ( + ) ( + ) El número ( + ) es solución.. Los puntos A y B dividen la diagonal del cuadrado en tres partes iguales. Si el área del cuadrado es cm, cuánto medirá el lado del rombo? Da el valor exacto. Q A cm O B x P Área del cuadrado l l cm Diagonal del cuadrado: d + cm AB cm 8 OB cm OP d cm A B Lado del rombo: x OP + OB ( ) + ( ) 0 cm 7. Si log x, y log y 0,8, calcula: a) log (x y) b) log ( x y ) a) log (x y) log x + log y, + 0,8, b) log (x y) log x + log y, + c) log x y 08,, + 0,,7 y c) log e o log y log x 0,8, 0,8,,8 x d) log x log x (log x log y) (, 0,8) 0, 0, y y 8. Si A log 8x, calcula log A sabiendo que log x, y log y 0,. y 8x log 8x log y log 8 + log x log y y +, ( 0,) + + 0,, d) log x y 0

31 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas. Transforma estas expresiones en otras equivalentes tomando logaritmos: a) M 0xy b) N z y x a) log M log (0xy ) log 0 + log x + log y + log x + log y c) P x yz z y b) log N log log (z y) log (x ) log (z ) + log (y) log x log z + log y log x x c) log P log (x yz ) log x + log ( yz ) log x + log (yz) log x + (log y + log z) log x + log y + log z 0. Expresa M, en cada caso, sin logaritmos: a) log M log (x ) + log x b) log M log (x + ) log y + log a) log M log (x ) + log x log (x ) + log (x ) log [(x ) x ] Luego: M x (x ) ( x + ) b) log M log (x + ) log y + log log y ( x + ) Luego: M y

32 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas Página Resuelve problemas. Una roca de piedra caliza pesa 80 g. La masa de cada molécula de esta piedra es, aproximadamente,, 0 g. A causa de la erosión, la piedra pierde 0 moléculas cada segundo. Si la erosión se mantiene constante, cuándo desaparecerá la piedra por completo? Da una cota del error absoluto. Cada segundo pierde 0 (, 0 ) g, 0 g Para que desaparezca la piedra: 80, 0 x, donde x son los segundos que pasan. x s, 0 Tardará en desaparecer, aproximadamente, 0 segundos. Error absoluto < 0 0. Durante los años de la crisis financiera, una vivienda, que costaba en 008, se fue devaluando un % anual durante años. A partir de 0 subió un, % hasta que se vendió años después. a) Cuál fue el precio de venta? Exprésalo en miles de euros y da una cota del error absoluto y una cota del error relativo cometido. b) Cuál fue el índice de variación? Di si corresponde a un aumento o a una disminución. a) (0,) (,0) 8,0 El precio de venta fue de unos 8 mil euros. Error absoluto < 00 Error relativo < 0,00 0, % b) Índice de variación total (0,) (,0) 0,87, que corresponde a una disminución.. Durante 0, el volumen de agua distribuido a los hogares españoles fue 0 hm, que supuso el, % del total. La industria utilizó el, %, y el resto fue para el consumo municipal. a) Si la población española era de,77 millones, cuál fue el consumo medio por habitante y día? b) Cuántos litros utilizaron los ayuntamientos? Da una cota del error absoluto y otra del error relativo en cada medida. a) 0, 77 0,7 0 hm /habitante durante 0 0 fue bisiesto días,7 0 hm,7 0 0 m,7 m, 7 0, m /habitante y día Error absoluto < 0,00 m

33 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas Error relativo < 0, 00 < 0,08,8 % 0, b), % de x 0 hm x,7 hm Los ayuntamientos utilizaron el 00,,, %., % de,7 hm 7 hm 7 0 litros Error absoluto < 0, litros Error relativo < ,0 0 0,000 %. Calcula la altura de un tetraedro regular de 8 cm de arista. Expresa el resultado con radicales. H V h 8 Altura del tetraedro: h 8 A x 8 Altura de una cara: x 8 cm AH 8 cm 8 e o 8 cm. Calcula el volumen de un octaedro regular cuya arista mide cm. Expresa el resultado con radicales. h d d + cm d cm Altura de la pirámide ( ) ( ) cm Volumen del octaedro c ( ) m cm. En un triángulo equilátero de 0 cm de lado, se cortan de las esquinas triángulos equiláteros de lado x y así se obtiene un hexágono. Calcula el valor de x para que el área de ese hexágono sea 0 cm. 0 cm h cm x h 0 h + h 00 7 h 7 Área triángulo base altura 0 cm x h + bx l h x x x x x h x x

34 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas Área triángulo que quitamos x b h x x Área hexágono Área triángulo inicial Área triángulo de lado x x x 0 x 0 0 x 0 cm 7. Este es el logotipo de un club deportivo. La figura será reproducida en diferentes tamaños. B C a) Halla el radio de cada arco en un cuadrado de lado m. b) Comprueba que la relación entre los radios de los arcos es. c) Halla el perímetro y el área de la parte sombreada en un cuadrado de m de lado. A D a) r Diagonal del cuadrado: d + m R R d m r R m b) R r c) perímetro : _ Cuatro arcos grandres πr π b ` Cuatro arcos pequeños : πr π( ) b a área r R Reflexiona sobre la teoría Total: π + π π π m πr πr π π( ) π π( ) π( ) Área total ` π( ) j 8 8π + π m 8. Si x es un número del intervalo [, ) e y es un número del intervalo (0, ], explica en qué intervalo puede estar x + y. x é [, ) y é (, 0] x + y é ( 7, ) x puede ser. y es siempre mayor que 0. Por tanto, x + y es siempre mayor que. x es siempre menor que. y puede ser. Por tanto, x + y es siempre menor que 7.

35 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas. Razona si son verdaderas o falsas estas igualdades: a) a b a b b) a+ b a+ b c) a b ( a b) d) a b a b a) Falso. a b a b b) Falso. c) Verdadero. a b a b ( a b) / / / d) Verdadero. a b a b a b a b 0. Verdadero o falso? Explica y pon ejemplos. a) Todo número decimal es racional. b) Entre dos números racionales hay infinitos irracionales. c) El inverso de un número decimal periódico puede ser un decimal exacto. d) El número 0,8 0 no está expresado en notación científica. e) Todos los números irracionales son reales. f ) Algunos números enteros son irracionales. g) Los números irracionales tienen infinitas cifras decimales. h) La suma de dos números irracionales es siempre un número irracional. a) Falso. El número π es decimal pero es irracional. b) Verdadero. c) Verdadero. Por ejemplo: 0!, ; 0, 0 d) Verdadero. La parte entera del número decimal tiene que ser mayor o igual que y menor que 0. e) Verdadero. f) Falso. Todos los números enteros son racionales. g) Verdadero. h) Verdadero.. Explica si son verdaderas o falsas estas igualdades: a) log (a b) log a log b b) log ba l log a log b b c) log a log a d) log (a b ) (log a + log b ) a) Falso. log (a b) log a + log b b) Verdadero. c) Verdadero. d) Falso. log (a b) log (a ) + log b log a + log b

36 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas. Cuánto debe valer x para que se verifique esta igualdad? Utiliza las propiedades de las potencias x x ( + + ) 8 Por tanto: x. Comprueba que no es posible utilizar la calculadora para obtener porque es un número demasiado grande. Utiliza las propiedades de las potencias para expresarlo en notación científica. ( ) ( ) , 0 8

37 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas Página Aprende, prueba, investiga Rectángulos áureos Se dice que un rectángulo es áureo cuando sus lados guardan la divina proporción. Es decir, si tomando el lado menor como unidad, la medida del mayor es el número de oro. Estos rectángulos tienen una curiosa propiedad: si les adosas un cuadrado sobre el lado largo, obtienes otro rectángulo áureo; es decir, una ampliación del anterior. Pruébalo: F F F + Φ Φ Φ + Φ Φ + Φ Al adosar un cuadrado sobre el lado largo de un rectángulo aúreo, se obtiene otro rectángulo áureo. Efectivamente: F + ( ) F F + ( + )( ) ( ) Φ Y si continúas adosando cuadrados, cada vez más grandes, obtendrás una sucesión de rectángulos áureos sobre los que se puede construir una bella espiral formada por arcos de circunferencia y que, sorprendentemente, aparece de forma natural en numerosas especies animales y vegetales. k Φ k Los radios de los primeros arcos de la espiral son: Φ; Φ + ; Φ + ; Podrías calcular los siguientes? Qué observas? R Φ R Φ + R Φ + R Φ + R Φ + La sucesión de coeficientes en la serie de los radios de la espiral coincide con la sucesión de Fibonacci:

38 Unidad. Números reales Calcula y deduce Racionales e irracionales en el cubo a las Enseñanzas Académicas En un cubo de arista, la diagonal de una cara, k d y la diagonal del cubo, son números irracionales. k +, d + ( ), m Averigua si son racionales o irracionales las distancias m y n señaladas en la figura. n m n m n + c m es irracional. + m + n es racional. m 8

39 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas Página Entrénate resolviendo problemas Aunque te parezca extraño, el número K que ves aquí es un número entero: K + + Puedes decir de qué número se trata? Elevamos al cuadrado: K e + oe o K K Ordena de menor a mayor: De los números que hay, las potencias de base son: _ 00b 8 ( ) 7b 7 ( ) 7 00` 7 < 00 < 00 < 00 b 0 ( ) 0 00b a Dónde se sitúa 7 00? Observamos que 00 ( ) ( ) Es claro que 00 < 7 00 < Es decir, 00 < 7 00 < 00 Ordenamos: 7 < 00 < 00 < 7 00 < 00 Dónde se sitúa 0? Observamos que 0 ( ) Es claro que 00 < 00 < Es decir, 00 < 00 < 7 00 Ordenamos: 7 < 00 < 00 < 00 < 7 00 < 00 Así pues, los números quedan ordenados, de menor a mayor, así: 8 < 7 < 0 < 0 < 7 00 < 00

40 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas Un número primo solamente tiene dos divisores, él mismo y la unidad. a) Qué números tienen solo tres divisores? b) Qué números tienen una cantidad impar de divisores? a) El cuadrado de un número primo solo tiene tres divisores. Por ejemplo: 7. Sus divisores son, 7 y. b) Los divisores de un número pueden emparejarse. Por ejemplo: Z _ 8 ] b [ 8 ` El producto de cada dos de ellos es. ] 8 b \ a Sin embargo, si el número es cuadrado perfecto, en este emparejamiento hay uno que se repite. Z _ ] 8 b 8 8 ] b Como ese número que se repite no podemos contarlo dos [ 8 ` veces, el número de divisores es impar. Por ejemplo, el ] 8 b número tiene divisores. ] 8 b \ a Conclusión: los cuadrados perfectos, y solo ellos, tienen un número impar de divisores. Qué números tienen todos sus divisores pares, excepto el? Las potencias de base. Por ejemplo, el. Sus divisores son, 8,, y. El único impar es el. 0

41 Unidad. Números reales Autoevaluación. a) Clasifica los siguientes números como naturales, enteros, racionales y reales: $ ; π; log 0, ; 7, ; b) Indica cuáles son irracionales. c) Ordénalos de menor a mayor. / /,0 ; 8; ; a) y b) Real (Irracional). π Real (Irracional) log 0, log log No existe. 0 # 7, Racional,0 Racional 8 Natural Real (Irracional) Real (Irracional) Racional 8 Entero ; ; 8 c) 8 < < # < < <,0 < 7, < π < 8 a las Enseñanzas Académicas. a) Escribe en forma de intervalo los siguientes conjuntos numéricos y represéntalos gráficamente: i) {x / x < 7} ii) {x / x > } iii) x < b) Escribe como desigualdad los intervalos siguientes: A [, ) B (, ) a) {x / x 7} [, 7) {x / x > } (, + ) x < < x < < x < (, ) b) A [, ) {x / x < } B (, ) {x / x < }

42 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas. Expresa en notación científica y, con ayuda de la calculadora, opera. Escribe el resultado con tres cifras significativas , ( 000) Después, da una cota del error absoluto y otra del error relativo del valor aproximado obtenido. 8, 0, 0, 0 7 0, 0 Error absoluto < 0,00 0 Error relativo < 0, 00 0, 0 < 0,00 0, %. Extrae del radical todos los factores posibles: 7 8ab z a b z b z a b z. Opera y simplifica. a) ( + ) c) 0 b) + 0 d) 0 a) ( + ) b) c) d) ( ) 0( ) + ( )( ) Calcula aplicando la definición de logaritmo o con la calculadora. a) log b) log a) log log ( ) b) log log ( ) () * c m / d n (*) + +

43 Unidad. Números reales a las Enseñanzas Académicas 7. Expresa log en función de log y log. () * log log ` / / j log log (*) / / / / 8. En un cuadrado de 0 cm de lado, recortamos en cada esquina un triángulo rectángulo isósceles de forma que obtenemos un octógono regular. x x l l a) Halla la medida exacta del lado del octógono. b) Calcula su área. a) x + l 0 8 l 0 x x x l + 8 x ( 0 x) 8 x 00 0x + x 8 x 0x x 0 ± ± 00 0 ± (no vale) l 0 (0 ) ( ) cm b) Área 0 x 00 (0 ) ( ) cm