Laboratorio de Propulsión, DMT-UPM

Transcripción

1 CONCEPTOS BÁSICOS

2 ECUACIONES DE CONSERVACION Cosderemos las ecuacoes de Naver-Stokes como modelo básco t ρ ρ v 0 ρ v + ρ v v + p I τ = ρ f v ρ E ρ v H τ v k T q H que puede ser escrtas e forma coservatva como U + F = Q t Para altos úmeros de Reyolds el sstema de ecuacoes esta domado por los térmos covectvos, es decr, tee carácter hperbólco-parabólco e espaco-tempo y carácter mxto elíptco-hperbólco e el espaco (MT) Semaro de Smulacó Numérca e Sstemas de Propusó

3 MÉTODOS DE SOLUCIÓN NUMÉRICA Exste tres métodos de dscretzacó: Métodos de dferecas ftas Métodos de elemetos ftos Métodos de volúmees ftos Como caso partcular de los métodos de Garlerk, el método de los volúmees ftos es el procedmeto más geeral y flexble de dscretzacó La forma coservatva tegral de las ecuacoes de Naver-Stokes es: UdΩ + FdΣ= QdΩ t Ω Σ Ω Sobre u volume de cotrol Ω lmtado por la superfce Σ. (MT) Semaro de Smulacó Numérca e Sstemas de Propusó

4 MÉTODOS DE DISCRETIZACIÓN Defedo las varables coservatvas medas sobre el volume de cotrol y sobre sus cotoros de la sguete maera: U = UdΩ FdΣ Ω * F = Ω ΔΣ Σ Σ du + F ΔΣ = dt Ω FORMA EXACTA DE LAS ECUACIONES DE N-S Σ Q S embargo, hay que defr los flujos covectvos y dfusvos sobre las caras Σ del volume de cotrol Ω e fucó de las varables promedadas F = F U ( ) la expresó del flujo F* defe el esquema ESPACIAL de aproxmacó. (MT) Semaro de Smulacó Numérca e Sstemas de Propusó

5 MÉTODOS DE DISCRETIZACIÓN du dt + F ΔΣ = Q Ω Σ Σ 2 Σ 3 Ω Σ DEFINICIÓN DE LOS VOLUMENES DISCRETIZACIÓN Ó TEMPORAL-ESOPACIAL ORDEN DE APROXIMACIÓN DE LOS FLUOS CONDICIONES DE CONTORNO (MT) Semaro de Smulacó Numérca e Sstemas de Propusó

6 Tpos de volúmees ftos empleados CELL VERTEX CELL CENTERED NODE CENTERED (MT) Semaro de Smulacó Numérca e Sstemas de Propusó

7 MÉTODOS DE DISCRETIZACIÓN du dt + F ΔΣ = Ω Σ Q DISCRETIZACIÓN ESPACIAL MÉTODOS CENTARDOS MÉTODOS UPWIND DISCRETIZACIÓN TEMPORAL MÉTODOS IMPLICITOS vs. EXPLICITOS MÉTODOS PRECISOS / TIME MARCHING DISCRETIZACIÓN COMBINADA (temporal espacal) METODOS CENTARDOS (MT) Semaro de Smulacó Numérca e Sstemas de Propusó

8 ESQUEMAS NUMÉRICOS (Recordatoro) CONSISTENCIA Las ecuacoes e dferecas debe ser ua fel represetacó de las ecuacoes dferecales, cuado los cremetos tede a cero ESTABILIDAD Las ecuacoes e dferecas debe ofrecer ua solucó umérca úca y estable CONVERGENCIA La solucó umérca obteda debe teder a la solucó real TEOREMA DE LAX Para u problema de valores cales be plateado y ua dscretzacó cosstete, establdad es la codcó ecesara y sufcete para la covergeca (MT) Semaro de Smulacó Numérca e Sstemas de Propusó

9 ESQUEMAS NUMÉRICOS (Recordatoro) PLANTEAMIENTO Ecuacó hperbólca leal Codcoes de cotoro Solucó u u + a = 0 t x ( ) ( ) ( ) ( ) t = 0: u x,0 = f x 0 x L x= 0: u 0, t = y t t 0 t f ( x at) x Dscretzacó + ( u ) + o[ ] t u + 2 ( u ) + o x u u u (MT) Semaro de Smulacó Numérca e Sstemas de Propusó

10 + ESQUEMAS NUMÉRICOS (Recordatoro CONSISTENCIA) EL ESQUEMA ( u+ u ) u u a = 2 SI AL SUSTITUIR LOS DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR 2 + REPRESENTA LA ECUACIÓN u = u +Δ t ( ut ) + ( utt ) u u a = 0 t x u+ u x( ux ) ( uxx ) ( uxxx ) = +Δ ( x) ( xx) ( xxx) u = u Δ x u + u u Δ Δ ( t x ) ( tt ) ( xxx ) u u u u t x + a u + au = u + a u + 0, (MT) Semaro de Smulacó Numérca e Sstemas de Propusó

11 Establdad: Método de vo Neuma I ε + ε ( ε+ ε ) a = SOLUCIÓN NUMERICA = + u u ε ERROR (cal / redodeo) SOLUCIÓN EXACTA N I j j= N [, ] ε = Ae φ φ π π I = jπ 2π 2π φ = ωj Δ x = ; ωj = j = j ; j = N.. N N 2L 2N + A A Iφ a ( I( + ) φ I( ) φ e + A e A e ) = 2 0 (MT) Semaro de Smulacó Numérca e Sstemas de Propusó

12 Establdad: Método de vo Neuma II + A A Iφ a I( + ) φ I( ) φ e + ( A e A e ) = 0 t 2 x Δ Δ Codcó de establdad φ φ ( ) + σ I I A A + A e e = 0 AMPLIFICACIÓN 2 + A G = + A σ A + 2I seφ = 0 A 2 PARÁMETRO Número CFL a σ = Δ x G G = Iσ seφ + A = φ A Im(G) σ Re(G) Courat, R.; Fredrchs, K.O. ad Lewy, H. (928), Uber de partelle dfferezg lechuger der mathematschem physc, Matemathschem Aale 00, 32-74, Eglsh Traslato IBM oural (967), (MT) Semaro de Smulacó Numérca e Sstemas de Propusó

13 Establdad: Método de vo Neuma III EXPLICÍTO CENTRADO + + u u a + u+ u = 0 + ( u u ) = 0 2Δ x + + = σ I φ φ G = σ + σ e u u a G I se ( ) EXPLICÍTO ATRASADO IMPLICÍTO CENTRADO + σ + + ( + ) u u a + u u = 0 + G = I σ seφ σ Im(G) Re(G) (MT) Semaro de Smulacó Numérca e Sstemas de Propusó