II. Método Semi-inverso de Saint-Venant

Transcripción

1 Solucó de Problemas de Torsó Pura e Elemetos Prmátcos utlzado el MEF. Pag. Itroduccó Co el método de los elemetos ftos (MEF) se puede solucoar alguas ecuacoes dferecales de forma apromada dscreta. El problema de torsó pura e barras prsmátcas de seccó trasversal arbtrara estudado por Sat-Veat, está determado por ua ecuacó dferecal de campo bdmesoal por tres ecuacoes más que permte calcular el mometo torsor los esfuerzos cortates. Co ecepcó de las barras prsmátcas de seccó crcular de los membros de pared delgada, los elemetos sometdos a torsó pura preseta alabeo e la seccó trasversal, es decr, las seccoes plaas ates de aplcar el mometo torsor, o se matee plaas e su codcó deformada. A pesar que el método Sem-verso esta plateado para cualquer tpo de seccó trasversal, aalítcamete solo se ha llegado a establecer la solucó para seccoes secllas como elíptcas, rectagulares tragulares. Utlzado el método de los elemetos ftos o ha lmtacoes e la forma de la seccó trasversal de la barra. Los dos prmeros temas tratados e este artculo, establece la solucó aalítca del problema para cualquer tpo de seccó trasversal para el caso especal de seccó rectagular. A cotuacó se muestra la preparacó el MEF para el problema e cuestó se descrbe el procedmeto para calcular los esfuerzos cortates sobre la seccó trasversal, acompañado de u ejemplo umérco. Falmete se compara los resultados obtedos por el MEF para dferetes dscretzacoes cotra la solucó aalítca.

2 Solucó de Problemas de Torsó Pura e Elemetos Prmátcos utlzado el MEF. Pag. II. Método Sem-verso de Sat-Veat Coulomb e 784 establecó el comportameto de barras de seccó crcular sometda a torsó, dode se demostró la auseca de alabeo. Posterormete Naver e 86 geeralzo lo propuesto por Coulomb para cualquer forma de seccó trasversal. Falmete Sat-Veat preocupado por la mportaca del alabeo (Fgura -), elaboró u método para calcular esfuerzos e 855, basado e la aalogía de la membraa propuesta por Pradtl. El método Sem-verso permte calcular los esfuerzos cortates las deformacoes producdas por torsó pura e ua barra prsmátca. Parte del comportameto leal elástco del materal de la preseca eclusva de esfuerzos cortates sobre la seccó trasversal. Además se basa e dos hpótess prcpales. La prmera hpótess suscrbe que la deformacó de cualquer seccó recta es u gro alrededor del eje logtudal de la barra, acompañado de u alabeo gual e todas las seccoes [4, 6]. Fgura -. Deformacó de ua barra rectagular sometda a torsó pura. E la Fgura - las líeas puteadas muestra a la barra ates de aplcar los mometos torsores, metras que las líeas cotuas dca la codcó deformada del elemeto. E el plao ZY se observa el alabeo w como u grupo de curvas paralelas etre sí. Al msmo tempo, e el plao XY se muestra u desplazameto agular α de toda la seccó trasversal. w=θ ϕ(,) α T z Fgura -. Alabeo gro de la seccó trasversal de ua barra sometda a torsó pura

3 Solucó de Problemas de Torsó Pura e Elemetos Prmátcos utlzado el MEF. Pag.3 La seguda hpótess establece que el águlo de torsó por dvddo e la logtud de la barra θ es costate [4, 6]. E la Fgura -3 se observa como la seccó trasversal a ua dstaca z, ha grado u águlo α co respecto a la seccó del etremo zquerdo de la barra. E cosecueca, el valor mámo de α o águlo de torsó se obtee cuado z=l. La forma como vara el águlo de gro de la seccó co respecto a z es leal, dode la pedete θ se es el cocete etre el águlo de torsó la logtud de la barra (Fgura -4). α α =0 α = θ z α = θ L T T z L Fgura -3. Águlo de gro de la seccó trasversal z de ua barra sometda a torsó. Desplazametos El desplazameto de u puto de la barra se puede dcar medate sus compoetes rectagulares. El desplazameto e dreccó z o alabeo dcado como w e la Fgura -, es gual e todas las seccoes, hacédose depedete de su poscó z. Por otro lado, a medda que aumeta el águlo de torsó, aumeta proporcoalmete w. Este desplazameto puede epresarse como: θ L α θ Fgura -4. Varacó leal del águlo de gro co respecto a z. α = θ z L z

4 Solucó de Problemas de Torsó Pura e Elemetos Prmátcos utlzado el MEF. Pag.4 w =θ ϕ(, ) [-] Dode ϕ(,) es la fucó de alabeo que vara co respecto a la poscó (,). Cuado la seccó trasversal gra u águlo de magtud α, u puto A se desplaza a ua poscó B, como se dca e la Fgura -5. La traectora del desplazameto es el arco producdo por el rado ρ el águlo α, el cual puede apromarse al segmeto recto AB epresarse como: δ ρ α δ ρ θ z [-] β ρ B α ρ δ A La Fgura -6 muestra a los segmetos u v como las compoetes rectagulares del desplazameto δ e el plao. E cosecueca los desplazametos e e se puede epresar como: u = δ cos β = ρ θ z cos β v = δ seβ = ρ θ z seβ [-3] Así msmo, el rado ρ el águlo β coforma u tragulo rectágulo, cuos catetos correspode a los segmetos que defe la poscó del puto B, como se muestra e la Fgura -7. Las epresoes para las coordeadas, so: = ρ cos β = ρ seβ [-4] Susttuedo a ρ cosβ a ρ seβ de las Ecuacoes -3 por se coclue que: u = θ z v = θ z [-5] Fgura -5. Desplazameto de u puto e la seccó trasversal. B δ u β Fgura -6. Desplazametos u v de u puto de la seccó trasversal de ua barra sometda a torsó v A

5 Solucó de Problemas de Torsó Pura e Elemetos Prmátcos utlzado el MEF. Pag.5 Relacoes deformacó - desplazameto Las compoetes de deformacó se puede epresar e fucó de pequeños desplazameto u, v w paralelos a los ejes coordeados, z respectvamete. De acuerdo co la teoría de la Elastcdad [6], se tee que: ε ε u = = 0 v = = 0 w ε zz = = 0 z u v γ = + = 0 γ γ z z u w ϕ = + = θ z v w ϕ = + = θ + z [-6] Dode ε, ε, ε zz correspode a las deformacoes utaras leales e dreccó, z respectvamete, γ, γ z, γ z so las deformacoes agulares e los plaos, z z, respectvamete. Susttuedo a las ecuacoes - -5 e las epresoes de deformacó, se obtee los resultados dcados e la Ecuacó -6, dode se observa la auseca de deformacoes leales de deformacó agular e el plao. Relacoes esfuerzo - deformacó ρ β B Para materales sotrópcos que cumple co la le Hooke [6], las compoetes de esfuerzo se relacoa co las deformacoes de acuerdo a las sguetes ecuacoes. σ σ σ τ τ τ zz z z = = = ( + ν )( ν ) ( + ν )( ν ) ( + ν )( ν ) = g γ = g γ = g γ z z E E E [( ν ) ε + ν ε + ν ε ] [ ν ε + ( ν ) ε + ν ε ] [ ν ε + ν ε + ( ν ) ε ] E dode g = ( + ν ) zz zz zz Fgura -7. Compoetes rectagulares de la poscó del puto B. [-7]

6 Solucó de Problemas de Torsó Pura e Elemetos Prmátcos utlzado el MEF. Pag.6 Las tres prmeras epresoes de las ecuacoes -7 correspode a los esfuerzos ormales e dreccó, z respectvamete. Las tres epresoes restates dca los esfuerzos cortates e los plaos, z z, respectvamete (Fgura -8). Las costates volucradas so: el módulo de elastcdad E, el módulo de elastcdad al corte g la relacó de Posso ν. Al susttur los valores de las compoetes de deformacó, se obtee: σ = 0 σ = 0 σ = 0 τ = 0 τ τ z z ϕ = g θ ϕ = g θ + zz z τz σzz τz τz τ τz τ Fgura -8. Compoetes de esfuerzo e u puto de u cuerpo. σ [-8] E este mometo se demuestra ua de las hpótess plateada por el método de Sat- Veat, la cual establece la preseca eclusva de los esfuerzos cortates τ z τ z. Equlbro Las ecuacoes de equlbro tero para u puto del volume de u cuerpo so [6]: σ σ σ z zz τ + τ + τ + z τ + z z τ z + z τ z + + X + Y = 0 = 0 + Z = 0 [-9] dode X, Y Z so las fuerzas de cuerpo o fuerzas por udad de volume propas del sóldo; por ejemplo: el peso específco es ua fuerza de cuerpo drgda e la dreccó de la gravedad.

7 Solucó de Problemas de Torsó Pura e Elemetos Prmátcos utlzado el MEF. Pag.7 Susttuedo e las ecuacoes de equlbro los valores de los esfuerzos obtedos e la Ecuacó -8, desprecado las fuerzas de cuerpo se establece que: τ z z τ z τ τ z z = 0 = 0 + = 0 z [-0] Las dos prmeras ecuacoes demuestra que los esfuerzos cortates τ z τ z so depedetes de z. Para cumplr co la tercera epresó se puede supoer ua fucó φ llamada fucó de esfuerzos o fucó de Pradtl, que se relacoe co los esfuerzos de la sguete maera: φ φ τ =, τ = z z Susttuedo las epresoes aterores e la Ecuacó -0, se obtee: [-] φ ϕ φ ϕ = g θ, = g θ + [-] Ahora, dervado la prmera epresó co respecto a la seguda co respecto a se ecuetra que, φ ϕ = g θ, φ ϕ = g θ + [-3] Sumado las epresoes aterores se aula las dervadas de ϕ se establece la sguete ecuacó dferecal. φ φ + + g θ = 0 [-4] d τz ds N θ τz Codcoes de borde d De acuerdo co las codcoes de borde de u sóldo elástco, lbre de fuerzas e su superfce como el mostrado e la Fgura - 9, se debe cumplr que la resultate de esfuerzos e u elemeto ftesmal e la dreccó ormal N a su cotoro debe ser gual a cero. Fgura -9. Codcoes de borde.

8 Solucó de Problemas de Torsó Pura e Elemetos Prmátcos utlzado el MEF. Pag.8 La Fgura -0 lustra la proeccó de cada esfuerzo e dreccó N la relacó trgoométrca apromada etre los dferecales d, d ds. T T τz cos θ τz θ N τz τz se θ θ N θ d - d ds Fgura -0. Proeccó de los esfuerzos e el eje N ormal al cotoro. A partr de lo ateror, se puede establecer las sguetes epresoes: d d dφ d dφ d dφ τ z cos θ + τ zseθ = 0 τ z τ z = 0 + = = 0 ds ds d ds d ds ds [-5] S la dervada de φ co respecto a s es gual a cero, se coclue que la fucó de Pradtl adquere u valor costate e el cotoro de la seccó trasversal. Por comoddad e cocordaca co la Aalogía de la Membraa se acostumbra a adoptar u valor de cero de la fucó φ e el borde de la seccó. Aalogía de la Membraa La aalogía de la membraa fue troducda por L. Pradtl, co el f de asocar el la forma de ua membraa sometda a presó uforme, co el comportameto de la fucó de esfuerzos e el problema de torsó pura. E la Fgura - se muestra ua membraa homogéea soportada e los bordes, a la cual se le aplca ua presó uforme haca arrba. S q es la presó por udad de área S es la tesó e los bordes, la ecuacó dferecal que establece el desplazameto z de la membraa es [6]:

9 Solucó de Problemas de Torsó Pura e Elemetos Prmátcos utlzado el MEF. Pag.9 z z + + q S = 0 [-5] z=0 dode el desplazameto z e los bordes es cero. Por lo tato, las ecuacoes dferecales las codcoes de borde que rge el problema de torsó pura el de la membraa so aálogas etre sí. Etoces, es posble cosderar como codcó de borde del feómeo de torsó u valor de φ gual a cero e el cotoro, co el f de acercar más la aalogía de la membraa al problema e cuestó. z pedete membraa z=0 z=0 presó uforme Mometo torsor Fgura -. Aalogía de la membraa. El mometo etero T aplcado alrededor del eje logtudal de la barra, debe ser gual al mometo tero geerado por los esfuerzos cortates τ z τ z. τz τz Como se muestra e la Fgura -, e u elemeto dferecal de área se produce las fuerzas teras df =τ z da df =τ z da, que a su vez geera los sguetes mometos teros. da dt = dt + dt = ( τ τ )da z z Igualado el mometo etero co el mometo tero e toda el área de la seccó trasversal, se obtee: T = ( τ z τ z ) A da [-6] Fgura -. Esfuerzos cortates e u elemeto dferecal de área.

10 Solucó de Problemas de Torsó Pura e Elemetos Prmátcos utlzado el MEF. Pag.0 T ( ) φ φ = φ da d d φ = A dd [-7] Recordado la tegracó por partes como: u dv v du + u = v aplcádola a la Ecuacó -7, se establece la sguetes epresoes. φ ( d) d = ( φ d + φ) d = φ d d + φ d = φ d d + ( ) = ( + ) φ d d φ d φ d = φ d d + φ d = φ d d [-8] φ cosθ ds φ seθ ds E coclusó el mometo torsor gual a: T = φ dd = A φ da [-9] De acuerdo co la aalogía de la membraa, dos veces el volume que ecerra la membraa correspode al mometo torsor T. Solucó aalítca para seccoes rectagulares La solucó aalítca del problema se obtee al susttur a ua fucó de esfuerzos especal e la ecuacó dferecal -4. Para seccoes rectagulares como la mostrada e la Fgura -3, esa fucó de esfuerzos es de la forma [4]: a/ a/ b/ φ = =,3,5,... X π cos b [-0] b/ dode X es ua fucó eclusvamete de, que se puede determar a partr de la solucó de la ecuacó dferecal. Por lo tato la fucó de esfuerzos estará epresada co la sguete ecuacó. Fgura -3. Seccó trasversal rectagular.

11 Solucó de Problemas de Torsó Pura e Elemetos Prmátcos utlzado el MEF. Pag. = + =,3,5, cos cosh cosh ) ( 8 b b a b b g π π π π θ φ [-] Como establece la Ecuacó -, los esfuerzos cortates será el resultado de dervar a la fucó de Pradtl co respecto a, obteedo las sguetes epresoes. = = + = =,3,5,...,3,5,... cosh cosh ) ( 8 cos cosh ) ( 8 z z b se b a b b g b b a b seh b g π π π π θ τ π π π π θ τ [-]

12 Solucó de Problemas de Torsó Pura e Elemetos Prmátcos utlzado el MEF. Pag. III. Solucó del problema de torsó pura utlzado el método de los elemetos ftos Preparacó del método de los elemetos ftos para la solucó de problemas de campo bdmesoal Para solucoar u problema físco utlzado el MEF es ecesaro establecer la ecuacó dferecal o el teorema de la eergía que lo gobera. Para el feómeo de torsó pura e barras prsmátcas se tee u caso especal de la ecuacó de campo bdmesoal de la forma: D φ + D φ G φ + Q = 0 [3-] dode D = D =, G = 0 Q = g θ. El MEF epresa a la ecuacó dferecal 3- como ua ecuacó la matrcal 3- [], e la cual, la fucó de Pradtl se coverte e u grupo de valores defdos e los udos de la dscretzacó que so orgazados e el vector {φ }. [ K ] { } = { f } φ [3-] La matrz de rgdez del sstema [K] el vector de térmos depedetes {f} so el resultado del esamblaje de las matrces [K] (e) los vectores {f} (e) respectvamete, de cada uo de los elemetos ftos. Las matrces elemetales [K] (e) {f} (e) para el problema de torsó está defdas como [5]: T T T [ K ]( e) = [ B] [ D] [ B] da + G [ N ] [ N ] da = [ B] [ B] T { f }( e) = Q [ N ] da = gθ [ N ] sedo A A D 0 0 D [ D] = [ B] A A T da { N} = { } N A da [3-3] [3-4]

13 Solucó de Problemas de Torsó Pura e Elemetos Prmátcos utlzado el MEF. Pag.3 Las fucoes de forma [N] so relacoes de terpolacó que permte defr el valor de ua fucó de apromacó detro de u elemeto fto a partr de valores dados e los udos del msmo. Por lo tato so propas de cada tpo de elemeto fto. k m t k m η k ξ j j s j tragular leal rectagular bleal soparamétco cuadrlateral leal Fgura 3-. Tpos más comues de elemetos ftos de campo bdmesoal. E este state es dspesable establecer los tpos de elemetos ftos que se va a utlzar e la dscretzacó del cotuo. La Fgura 3- muestra alguos de los tpos de elemetos más comues e el aálss de problemas bdmesoales. S por ejemplo, la seccó trasversal de la barra a torsó tee forma rectagular, se puede dspoer de los elemetos rectagulares bleales. Metras que s la barra tee ua seccó rregular, se puede utlzar elemetos soparamétrcos o ua combacó etre elemetos tragulares leales rectagulares bleales. Para utlzar u tpo de elemeto fto es ecesaro coocer sus fucoes de forma, a partr de ellas, deducr la matrz de rgdez el vector de térmos depedetes correspodete medate las Ecuacoes Procedmeto para calcular los esfuerzos cortates e la seccó trasversal El prmer paso e la solucó de u problema co elemetos ftos cosste e determar claramete sus codcoes de borde. Para el feómeo que os ocupa, la aalogía de la membraa [6], establece como codcó u valor de cero de la fucó de esfuerzos e el cotoro de la seccó trasversal. Ates de dscretzar el medo, debe detfcarse los ejes de smetría de la seccó trasversal, lo cual permte realzar el aálss de solo ua porcó smétrca del medo cotuo, ahorrado tempo e el proceso de cálculo. E el caso del seccoes trasversales rregulares que o tee ejes de smetría, se debe dscretzar el medo cotuo completo.

14 Solucó de Problemas de Torsó Pura e Elemetos Prmátcos utlzado el MEF. Pag.4 A cotuacó se dscretza el problema, como se muestra e la Fgura 3-. Este proceso cosste e dvdr el medo cotuo e elemetos ftos coectados etre sí por udos umerados. Co el f de adecuar las operacoes matrcales correctamete, la umeracó del los udos debe ordearse de acuerdo co la sguete regla: todos los udos dode la fucó de Pradtl es descoocda se umerará prmero, e cosecueca, los udos que hace parte del perímetro de la seccó trasversal, es decr, dode la fucó de esfuerzos es gual a cero, se umerará al fal. cotoro real τz τz cotoro real cotoro de la red de EF da udo elemeto fto Fgura 3-. Dscretzacó de ua seccó trasversal. Se costrue ua tabla deomada matrz de cdecas que cotega la umeracó de los udos asocados a cada elemeto fto []. Co base e la geometría de cada elemeto fto, se calcula su respectva matrz de rgdez [K] (e). La suma orgazada de las matrces de rgdez de los elemetos, de acuerdo co la umeracó de los udos dcada e la matrz de cdecas, permte esamblar la matrz de rgdez del sstema [K]. Al aplcar u mometo torsor T, se produce u águlo de torsó por udad de logtud θ u grupo de esfuerzos cortates sobre la seccó τ. De acuerdo co el prcpo de superposcó, al aumetar α veces el mometo torsor, es decr, al aplcar u mometo α T, se geera u águlo de torsó α θ u grupo de esfuerzos cortates α τ. Dado que la ecuacó dferecal que cotrola el feómeo depede del águlo de torsó por udad de logtud θ, o volucra al mometo torsor aplcado T (Ecuacó -4), es ecesaro supoer u valor del águlo de torsó por udad de logtud θ s, que más adelate permta: ecotrar la fucó de esfuerzos, evaluar de acuerdo co la Ecuacó -9 al mometo torsor supuesto T s, falmete, calcular el factor ψ que modfca al mometo, al águlo de torsó, a la fucó de Pradtl a los esfuerzos cortates reales como se dca e las sguetes ecuacoes.

15 Solucó de Problemas de Torsó Pura e Elemetos Prmátcos utlzado el MEF. Pag.5 T ψ = T s θ = ψ θ s φ = ψ φ s τ = ψ τ s [3-5] [3-6] Co el valor supuesto del águlo de torsó por udad de logtud θ s, el módulo de elastcdad al corte g, el área, se puede calcular el vector de térmos depedetes {f} (e), para cada uo de los elemetos ftos. De la msma forma como se suma las matrces de rgdez de los elemetos, se esambla el vector de térmos depedetes del sstema. Teedo la matrz de rgdez el vector de térmos depedetes del sstema, se puede epresar el problema e forma matrcal como se dca e la Ecuacó 3-. E el vector que cotee los valores de la fucó de esfuerzos e los udos o també llamados valores odales, se dfereca u subvector {φ d } que clue a los valores odales descoocdos u subvector {φ c } que cotee a los valores odales guales a cero. E cosecueca la ecuacó matrcal se puede epresar así: [ K ] [ K ] [ K ] [ K ] { φ } { φ } { f } { f } [ K dd ] { φd } + [ Kdc ] { φc} = { fd } [ K ] { φ } + [ K ] { φ } = { f } cd dd cd d dc cc cc d c = c d c c [3-7] [3-7A] [3-7B] S el subvector {φ c }={0} la Ecuacó 3-7A se reduce a: [ K ] { φ } = { f } dd d d [3-8] Dado que se cooce la submatrz de rgdez [K dd ] el subvector de térmos depedetes {f d }, se puede calcular los valores odales descoocdos {φ d } solucoado el sstema de ecuacoes smultaeas. Los valores de la fucó de esfuerzos defdos e los udos so los prmeros resultados del aálss. Para establecer la fucó de Pradtl e lugares del medo cotuo dferetes a los udos, se terpola de acuerdo co la fucó de forma del elemeto fto que clue dcho puto. La Fgura 3-3 muestra a la fucó de esfuerzos detro de u elemeto rectagular bleal. El procedmeto dcado hasta ahora, es precsamete la solucó a la ecuacó dferecal del problema (Ecuacó -4), e otras palabras, se ha determado la fucó de Pradtl para los udos de la dscretzacó.

16 Solucó de Problemas de Torsó Pura e Elemetos Prmátcos utlzado el MEF. Pag.6 A cotuacó se procederá co el cálculo del mometo torsor que geeró el águlo de torsó por udad de logtud supuesto. Fgura 3-3. Fucó de esfuerzos e u elemeto rectagular bleal. De acuerdo co la Ecuacó -9, el mometo torsor es el resultado del doble de la tegral de la fucó de esfuerzos defda e el área. També se puede epresar el mometo como la sumatora de las tegrales defdas e cada uo de los elemetos ftos, así: T ( = φ da = φ A e= A( e) e) da [3-9] S se dbuja ua gráfca trdmesoal que tega como ejes las varables e plata e altura a los valores odales de la fucó de esfuerzos, el volume que se geera bajo la superfce es gual a la tegral de la fucó de Pradtl e el área. Por ejemplo, para los elemetos tragular leal rectagular bleal se obtee los sguetes valores apromados.

17 Solucó de Problemas de Torsó Pura e Elemetos Prmátcos utlzado el MEF. Pag.7 φ A( e) φ A( e) ( e) ( e) da = da = A 3 A 4 A T ( φ + φ + φ ) = [ ] φ = [ f ] [ φ ] A T ( φ + φ + φ + φ ) = [ ] = [ f ] [ φ ] j j k k 3 m 4 φ j φ k Q= φ φ j φ k φ l Q= [3-0] [3-] Dode A es el área del elemeto fto, (φ +φ j +φ k )/3 (φ +φ j +φ k +φ m )/4 es el promedo de los valores odales de la fucó de esfuerzos para el elemeto tragular para el elemeto rectagular respectvamete. Cuado aprovechado la smetría, se aalza ta solo ua porcó del medo cotuo, se debe recordar que la tegral de la Ecuacó 3-9 está defda e toda el área de la seccó trasversal, e cosecueca, el resultado obtedo deberá multplcarse por el úmero de partes e que se haa dvddo la seccó. Como lo dca la Ecuacó 3-5, se calcula la relacó etre el mometo torsor aplcado T el mometo torsor T s que se obtuvo de u águlo supuesto θ s. El factor ψ calculado modfcará los valores de la fucó de Pradtl, los esfuerzos cortates el águlo de torsó por udad de logtud. S se multplca el vector de valores odales {φ } por el escalar ψ, el resultado es el vector de valores odales real {φ }, como se dca a cotuacó. { φ }' = α { } φ [3-] El procedmeto utlzado para calcular los esfuerzos cortates que ocurre e u puto detro de u elemeto fto e, cosste e multplcar a los operadores dferecales actuado sobre fucoes de forma [B], por el vector real de valores odales {φ }', lo cual equvale a dervar a la fucó de Pradtl co respecto a.

18 Solucó de Problemas de Torsó Pura e Elemetos Prmátcos utlzado el MEF. Pag.8 [ B] { φ } ( e,, ) '( e) φ = φ ( e,, ) τ = τ z z ( e,, ) [3-3] Normalmete, los esfuerzos cortates se calcula e los udos e el cetro de cada elemeto fto. Dado que los elemetos ftos utlzados o tee ua fucó cotua e su prmera dervada, es ormal que los valores de los esfuerzos e u udo compartdo etre varos elemetos, sea dferete e cada uo de ellos. E cosecueca, es mportate que la dscretzacó se afe, hasta tal puto que los dferetes valores de esfuerzos de u msmo puto presete ua desvacó prudete. Falmete, se calcula los esfuerzos cortates e cada udo como el promedo artmétco de los valores obtedos e los elemetos ftos asocados a dcho udo. Los esfuerzos e putos termedos se puede calcular medate terpolacó leal de los resultados e los udos.

19 Solucó de Problemas de Torsó Pura e Elemetos Prmátcos utlzado el MEF. Pag.9 IV. Ejemplo. Aálss co el MEF de ua barra de seccó trasversal rectagular sometda a torsó pura Procedmeto completo para red de pocos elemetos Ua barra prsmátca co módulo de elastcdad al corte del materal g = kn/m está sometda e cada etremo a u mometo torsor de 50 kn m. Su seccó trasversal tee forma rectagular como se muestra e la fgura, co ua base de 0.30m ua altura de 0.40m. 0.0m T=50kN m T=50kN m 0.0m 0.5m 0.5m L=.0m Fgura 4-. Barra rectagular sometda a torsó pura. E vrtud de la doble smetría presete e la seccó trasversal de la barra, se aalzará ta solo la cuarta parte achurada e la Fgura 4-.

20 Solucó de Problemas de Torsó Pura e Elemetos Prmátcos utlzado el MEF. Pag.0 El medo cotuo se dvde e elemetos cuadrados bleales coectados etre sí por 0 udos, como se lustra e la Fgura 4-. De acuerdo co la Aalogía de la Membraa el cotoro de la seccó trasversal posee valores de cero de la fucó de esfuerzos, de tal forma lado derecho el superor del rectágulo coformado por la dscretzacó cotee las codcoes de borde del problema. = m 0.05m 0.05m m 0.05m 0.05m 0.05m φ=0 Fgura 4-. Dscretzacó del medo cotuo. ¼ de seccó trasversal Lo ateror justfca la umeracó de los udos dcada e la Fgura 4-, dode los udos del al posee valores descoocdos de la fucó φ, metras que los udos del 3 al 0 está ubcados e lugares dode la fucó φ es gual a cero. Cada elemeto rectagular bleal tee asocados 4 udos ubcados e sus vértces. Por covecó, el orde e que se defe los udos de u elemeto debe ser athoraro. E la dscretzacó se dca co la letra el udo cal de cada elemeto fto, lo cual defe ua forma úca del orde de los udos de cada elemeto. Co está formacó se costrue la sguete tabla comúmete llamada matrz de cdecas, la cual cotee e la fla e la umeracó de los udos asocados al elemeto e (Fgura 4-3) [].

21 Solucó de Problemas de Torsó Pura e Elemetos Prmátcos utlzado el MEF. Pag. elem\ud j k M m k e j Fgura 4-3. Numeracó de udos. Elemeto rectagular bleal Ahora se puede establecer la matrz de rgdez de cada elemeto fto a partr de su geometría como se dca e la Ecuacó 3-3 e la Fgura 4-4 [3, 5]. E la dscretzacó dada, todos los elemetos tee las msmas dmesoes e coclusó tedrá ua matrz de rgdez comú. a 6 b sm. [ K ] = + [ 4 ] b 6 a sm. m b k j a Fgura 4-4. Geometría. Elemeto rectagular bleal s Para u elemeto fto de a=0.05m b=0.05m la matrz de rgdez será: J k m j k m A partr de la matrz de cdecas de las matrces de rgdez de los elemetos se esambla la matrz de rgdez del sstema, cuo tamaño de 0 por 0 correspode al úmero de valores odales del problema. Esta matrz se puede dvdr e cuatro submatrces de acuerdo al úmero de valores odales descoocdos como se dca e la Ecuacó 3-7. Los térmos de las cuatro submatrces se muestra a cotuacó:

22 Solucó de Problemas de Torsó Pura e Elemetos Prmátcos utlzado el MEF. Pag. Submatrz [K dd ] : Submatrz [K dc ] : Submatrz [K cd ] : Submatrz [K cc ] :

23 Solucó de Problemas de Torsó Pura e Elemetos Prmátcos utlzado el MEF. Pag.3 Smultáeamete co el proceso ateror, se puede crear el vector de térmos depedetes comú a todos los elemetos medate la sguete ecuacó, dode g es el módulo de elastcdad al corte del materal θ es el águlo de torsó por udad de logtud. [ ] f Q = g θ a b [4-] Se puede supoer u valor de θ de rad/m, geerado el sguete vector de térmos depedetes de u elemeto fto j 0750 k 0750 m 0750 De la msma forma como se esamblo la matrz de rgdez del sstema, se costrue el vector de térmos depedetes del sstema, obteedo el sguete resultado Este vector se dvde e dos subvectores como se dca e la Ecuacó 3-7. El prmero de por el segudo de 8 por. De acuerdo co la Ecuacó 3-8, el sstema de ecuacoes smultaeas [] que se debe resolver para ecotrar los valores descoocdos de la fucó de esfuerzos es:

24 Solucó de Problemas de Torsó Pura e Elemetos Prmátcos utlzado el MEF. Pag φ φ φ φ φ φ 6 = φ φ φ φ φ φ E cosecueca el vector de valores odales descoocdos, es decr, los valores de la fucó de esfuerzos e los udos es: φ φ 3030 φ φ φ φ 6 80 φ φ φ φ φ 6843 φ fucó de Pradtl (m) (m) Gráfca 4-. Fucó de Pradtl e los udos para ¼ de seccó trasversal rectagular del ejemplo Como se observa e la Gráfca 4-, la fucó de Pradtl adquere u valor mámo e el cetro de la seccó trasversal que se reduce hasta u valor de cero e el cotoro. Por otro lado, las pedetes co respecto a a so guales a cero e la cumbre de la superfce so mámas e los putos medos de los lados de la seccó. Los resultados aterores so valdos e los udos de la dscretzacó. Ahora, para obteer el valor de la fucó de esfuerzos e cualquer puto s,t detro de u elemeto fto a partr de los valores odales, se terpola utlzado las fucoes de forma de acuerdo co la sguete operacó matrcal. [ ] { } φ = N φ [4-3]

25 Solucó de Problemas de Torsó Pura e Elemetos Prmátcos utlzado el MEF. Pag.5 Para u elemeto rectagular bleal la matrz de fucoes de forma es la sguete: [ ] [ N N N N ] N = [4-4] j k m N = s s t t j k m 4 a b 4 a b 4 a b 4 a b ( b s) ( a t) N = ( a t) N = N = ( b s) Al calcular e muchos putos detro de cada elemeto se coforma ua superfce curva como la mostrada e la Fgura 3-3. De acuerdo co la Ecuacoes , el mometo que geera el águlo de torsó por udad de logtud de rad/m, es gual a dos veces el volume que ecerra la fucó de Pradtl e toda la seccó trasversal. E la sguete tabla se calcula el volume apromado ecerrado por la fucó φ e ua cuarta parte de la seccó. fucó de Pradtl elem j K m promedo Area Volume Σ = 06 el volume ecerrado e toda la seccó es cuatro veces el calculado e ua cuarta parte. E cosecueca el mometo torsor supuesto el factor de correccó α será guales a: T s 50 = Volumee = (4 06) = 607 kn m α = = e de tal forma que el águlo de torsó real θ es gual a rad/m. Los valores odales obtedos aterormete se corrge multplcádolos por α, obteedo el sguete vector:

26 Solucó de Problemas de Torsó Pura e Elemetos Prmátcos utlzado el MEF. Pag.6 φ φ φ φ φ α φ 6 = = 49.9 φ φ φ φ φ φ Los esfuerzos cortates actuates e cada elemeto fto so las prmeras dervadas de la fucó de Pradtl co respecto a a, es decr, so el resultado del producto etre la matrz de operadores dferecales actuado sobre fucoes de forma del elemeto el vector de valores odales. La matrz [B] de u puto s,t detro de elemeto rectagular bleal es: N (a t) 4ab (b s) (a t) [ ] [ ][ ] B = N = = N N N j j N N k k N m N m s t s t (b s) [4-5] Para este ejemplo, la matrz [B] se evalúo e cco putos: los cuatro udos el cetro de cada elemeto fto. A cotuacó se lustra los térmos de la matrz [B] comú para todos los elemetos. udo : s=0 t=0 udo j : s=0.05 t= Nudo k : s=0.05 t=0.05 udo m : s=0 t= Cetro : s=0.05 t= Para el elemeto úmero los esfuerzos cortates e los cco putos especales se obtee realzado las sguetes operacoes: udo : s=0 t= = = -τ z τ z 433.7

27 Solucó de Problemas de Torsó Pura e Elemetos Prmátcos utlzado el MEF. Pag.7 udo j: s=0.05 t= = = -τ z τ z udo k : s=0.05 t= = = -τ z τ z udo m: s=0 t= = = -τ z τ z cetro: s=0.05 t= = = -τ z τ z Esfuerzo cortate e Y. Esfuerzo cortate e X. Gráfca 4-. Esfuerzos cortates e los etremos e el cetro de cada elemeto fto

28 Solucó de Problemas de Torsó Pura e Elemetos Prmátcos utlzado el MEF. Pag.8 De la msma forma se calcula los esfuerzos cortates e los oce elemetos restates. La Gráfca 4- resume los valores de esfuerzos calculados e dreccó. Se observa que el valor del esfuerzo e u udo camba de acuerdo al elemeto del cual fue calculado. Por ejemplo: el esfuerzo cortate e dreccó e el udo 5 es gual a: kn/m segú el udo k del elemeto, kn/m segú el udo m del elemeto, kn/m segú el udo j del elemeto 4, de kn/m segú el udo del elemeto 5. Recordado que los esfuerzos so dervadas de la fucó de Pradtl aalzado los resultados aterores, se demuestra que o este cotudad e la prmera dervada de la fucó φ. El cálculo más comú de los esfuerzos e los udos, cosste e promedar etre los valores de esfuerzos de los elemetos asocados a dcho udo. La sguete gráfca muestra los esfuerzos e los udos utlzado este tpo de apromacó Esfuerzo cortate e Y. Esfuerzo cortate e X. Gráfca 4-3. Esfuerzos cortates promedo e los udos de la dscretzacó De acuerdo co los térmos de la matrz [B], los valores de esfuerzos detro de u elemeto fto rectagular bleal sgue ua traectora recta, paralela al eje para τ z paralela a para τ z.

29 Solucó de Problemas de Torsó Pura e Elemetos Prmátcos utlzado el MEF. Pag.9 Aálss de resultados para dferetes dscretzacoes A cotuacó se comparará las fucoes de esfuerzos los esfuerzos cortates geerados al someter ua barra prsmátca de seccó trasversal rectagular a torsó pura. Los resultados so obtedos de la solucó aalítca del problema de aálss co elemetos ftos para dferetes dscretzacoes. Se resolvó el problema utlzado cuatro dscretzacoes dferetes, todas co elemetos cuadrados bleales. Para cada caso se calculo: la fucó de esfuerzos e los udos, los esfuerzos cortates e los etremos e el cetro de cada elemeto, los promedos de esfuerzos e los udos. La Fgura 4-5 muestra ua cuarta parte de la seccó dscretzada de acuerdo co las cofguracoes utlzadas para el problema. 4@0.05m 8@0.05m 6@0.05m 3@0.0065m 3@0.05m 4@0.0065m elemetos 0 udos 48 elemetos 63 udos 9 elemetos udos 768 elemetos 85 udos malla malla malla 3 malla 4 Fgura 4-5. Dscretzacoes para resolver el problema utlzado el MEF Los resultados del aálss co elemetos ftos usado la malla más desa (768 elemetos), se muestra e las sguetes tres gráfcas.

30 Solucó de Problemas de Torsó Pura e Elemetos Prmátcos utlzado el MEF. Pag.30 Gráfca 4-4. Fucó de Pradtl para seccó rectagular calculado co MEF

31 0 Solucó de Problemas de Torsó Pura e Elemetos Prmátcos utlzado el MEF. Pag.3 (m) 0. esfuerzo cortate e (m) (m) esfuerzo cortate e (m) Gráfca 4-5. Líeas de soesfuerzos e ¼ de seccó rectagular calculadas co el MEF esfuerzo cortate e (kn/m) esfuerzo cortate e (kn/m) aalítca (m) (m) Gráfca 4-6. esfuerzos cortates sobre el eje X dferetes dscretzacoes

32 Solucó de Problemas de Torsó Pura e Elemetos Prmátcos utlzado el MEF. Pag aalítca fucó de Pradtl (kn/m) esfuerzo mámo (kn/m) @d = 0.0m d 3@d = 0.5m d 3 4 : elemetos (3+) (4+) : udos (m) Gráfca 4-7. Fucó de Pradtl sobre el eje X Gráfca 4-8. Esfuerzo mámo para cada malla La Gráfca 4-4 lustra a la fucó de Pradtl o de Esfuerzos varado e la seccó trasversal. Se observa que los bordes de la seccó cumple la codcó de frotera, es decr, el valor de la fucó de esfuerzos es cero. Además, se puede aprecar que la pedete vara desde el cetro haca los putos medos de los lados, hacédose máma e la mtad del lado más largo adoptado u valor de cero e el cetro de la seccó. La Gráfca 4-5 muestra la dstrbucó de esfuerzos cortates e dreccó Y e X sobre la seccó trasversal. Se puede detfcar e estas gráfcas que los lugares de mámo esfuerzo so los putos medos de cada lado. Para comparar los resultados calculados aalítcamete cotra los obtedos co el MEF e dferetes dscretzacoes, se evaluaro esfuerzos cortates fucoes de Pradtl sobre el eje X postvo (Fgura 4-). E geeral, la fucó de esfuerzos geerada para Y gual a 0 valores de X etre 0 0.5m., descrbe ua curva suave, cócava haca abajo, gual a cero e X = 0.5m. máma para X = 0 (Gráfca 4-7).

33 Solucó de Problemas de Torsó Pura e Elemetos Prmátcos utlzado el MEF. Pag.33 No este ua dfereca aprecable etre los valores de la fucó de esfuerzos obtedos del aálss racoal del MEF, para las dscretzacoes de 68, 6 43 (Gráfca 4-7). Metras que los valores geerados por la malla de 34, muestra ua pequeña dstaca co los demás resultados. Los esfuerzos cortates e Y sobre el eje X, dca que e geeral este ua buea apromacó de los resultados de las mallas de 68, 6 de 43. S embargo, e las regoes cercaas a los etremos de la curva (Gráfca 4-6), los valores apromados se aleja u poco de la solucó aalítca. Sobre el eje X, los valores del esfuerzo cortate e dreccó X so mu pequeños. E la Gráfca 4-6 se puede observar, a ua escala maor, la varacó de estos esfuerzos para dferetes apromacoes. A medda que la dscretzacó se hace más desa se reduce el valor del esfuerzo. De la solucó aalítca se establece que el esfuerzo cortate e X sobre el eje X, debe ser gual a cero. Además de los cuatro modelos utlzados aterormete, se calculó el esfuerzo cortate mámo para mallas de 3 por 4, dode =,,3, E la Gráfca 4-8, los ocho valores de esfuerzo mámo se dca co crculos el valor aalítco co ua la líea astótca. Todo lo ateror dca que es sufcete dscretzar ua cuarta parte de la seccó co 48 elemetos cuadrados, co el f de obteer resultados de esfuerzos co u error mámo del 7.6%.

34 Solucó de Problemas de Torsó Pura e Elemetos Prmátcos utlzado el MEF. Pag.34 Bblografía. CIFUENTES C., Gustavo. Notas de clase de Elemetos Ftos. Prmera edcó. Uversdad Nacoal de Colomba. Bogotá LINERO S., Dora Lus. Euler. Programa Ddáctco de Elemetos Ftos. Uversdad Nacoal de Colomba. Bogotá MELOSH, Robert. Structural Egeerg Aalss b Fte Elemets. Pretce Hall. New Jerse ORTIZ B., Lus. Elastcdad. Tercera edcó. McGraw Hll. Madrd SEGERLIN, LARRY. Appled Fte Elemet Aalss. Seguda Edcó. Jho Wle & So. New York TIMOSHENKO, S. & GOODIER, J. Theor of Elastct. Tercera edcó. McGraw Hll. 970.

35 Solucó de Problemas de Torsó Pura e Elemetos Prsmátcos utlzado el Método de los Elemetos Ftos Dora Lus Lero Segrera Profesor Asstete. Uversdad Nacoal de Colomba Igeero Cvl. Magíster e Estructuras. Uversdad Nacoal de Colomba Bogotá, octubre de 00