Propiedad focal de las Cónicas

Transcripción

1 Propiedad focal de las Cónicas Propiedad focal de las cónicas. Si un rayo de luz pasa por un foco, al reejarse en la cónica lo hace siguiendo una recta que pasa por el otro foco. Propiedad focal de la parábola Los rayos paralelos al eje que se reejan en la parábola se concentran en el foco. Como los rayos de luz se reejan con el mismo angulo con que inciden, basta mostrar que la tangente a la parabola en un punto P forma ángulos iguales con la línea que va de P al foco y con la linea vertical por P. Demostración. Sea L la linea que forma angulos iguales con la linea PF y con la linea vertical por P. Mostraremos que la parabola no cruza a L, y por lo tanto L es la tangente a la parabola en P. La parabola esta fomada por los puntos del plano cuya distancia al foco F es igual a su distancia a la recta R. L es la mediatriz de FQ, ya que los segmentos PF y PQ son iguales y forman angulos iguales con L. 1

2 Cualquier punto P' a la derecha de L, que es la mediatriz de FQ, debe estar mas lejos de F que de Q. Asi que F P > P Q > P Q Y entonces la distancia de P' a F es mayor que la distancia de P' a la linea R, asi que P' no esta en la parabola. Propiedad focal de la elipse Los rayos que salen de un foco y se reejan en la elipse se concentran en el otro foco. Demostración. Supondremos que el punto no está en el eje focal

3 según la gura, sean θ 1 y θ los ángulos de P F 1 a la tangente y de la tangente a P F, respectivamente. Como los ángulos son positivos y menores que π serán iguales si y sólo si cos θ 1 = cos θ Para demostrar que se da la igualdad anterior, tomamos en cuenta la interpretaci ón geométrica del producto escalar de dos vectores u v = u v cos u, v Con ello, bastará encontrar vectores u en la dirección de la tangente, v 1 en la dirección de P F 1 y v en la dirección de P F y comprobar que se verica la igualdad siguiente: u v 1 u v 1 = u v u v 1) Tenemos que x + y b = 1 y = 1 x donde y se expresa como función de x, obtenemos la pendiente de la tangente al derivar respecto a x dy dx = b x b x = 1 y x y, por tanto, un vector en la dirección de la tangente es recuérdese que y 0) ) ) b u = y, x Los vectores v 1 y v se determinan así P F 1 = v 1 = x c, y) y P F = v 1 = x + c, y) Como en los denominadores de 1) aparece u, bastará vericar la igualdad siguiente u v 1 ) v = u v ) v 1 Calculemos ambos miembros de la igualdad u v 1 ) v = xy cy u v ) v 1 = = y [x 1 xy cy = y [x 1 ) xy) x + xc + c + y ) c] x + xc + c + y ) ) xy) x xc + c + y ) + c] x xc + c + y ) 3

4 Como el punto no está en el eje focal, y 0, y podemos cancelar y en ambos miembros; entonces la igualdad por comprobar se reduce a [ x 1 [ c] x + xc + c + y ) = x 1 Si desarrollamos los cuadrados y establecemos, para simplicar los cálculos, la igualdad ) se escribe A = x 1 + c, B = xc 1 C = x + y + c, D = xc A B)C + D) = A + B)C D) + c] x xc + c + y ) ) b que se reduce a BC = AD, es decir, deberemos demostrar ) ) xc 1 b [x + y + c ] = x 1 b + c [xc] El factor xc aparece en ambos miembros y puede cancelarse; si tomamos en cuenta la relación b = c, la igualdad anterior se reduce a ) ) c [x + y + c c ] = x 4 + c Ahora agrupamos los términos en x y dejamos en el miembro derecho los términos independientes para obtener ) c x c4 a 4 + c y = c c ) que es equivalente a x c c ) a 4 ) + c y = c c ) Como c = b, si dividimos toda la ecuación entre el miembro derecho resulta la eucación de la elipse x + y b = 1 lo cual implica porque todos los pasos pueden revertirse) la validez de la propiedad focal en el caso de la elipse. Propiedad focal de la parábola Aqui daremos una demostración Demostración. Sea la parábola y = 4px. Calcularemos la recta tangente en un punto P, y 0 ) de la parábola. Derivando implícitamente obtenemos que la pendiente de dicha recta es tan φ = dy dx = p y 0 4

5 Por otro lado, la pendiente de la recta que va del foco F al punto P está dada por tan γ = y 0 p Tenemos entonces tan φ = tan φ + tan φ 1 tan φ = 4py 0 y 0 4p = y 0 p = tan γ por lo tanto, γ = φ y como en el triángulo FPQ tenemos γ = φ + ψ, esto implica que ψ = φ Propiedad focal de la hipérbola Demostraremos la propiedad focal de la hipérbola Demostración. Dada la hipérbola b x y = b, sabemos que d F 1, P ) = c) + y 0, d F, P ) = + c) + y 0 entonces d F, P ) d F 1, P ) = 4c. Ahora, como df, P ) F 1, P ) = a se tiene df, P ) + df 1, P a = df, P ) + df 1, P df, P ) df 1, P ) = d F, P ) d F 1, P ) = 4c y la excentricidad de una hipérbola es e = c a, tenemos df, P ) + df 1, P ) = 4c a = e Al resolver el sistema df, P ) + df 1, P ) = e df, P ) df 1, P ) = a 5

6 se tiene df 1, P ) = e a, Y por tanto se satisface la siguiente relación df, P ) = e + a df 1, P ) df, P ) = e a e + a Por otro lado, la ecuación de la recta tangente en el punto P, y 0 ) está dada por y y 0 = b x ) y 0 ) a así la intersección de dicha recta con el eje X es el punto Q, 0. Las longitudes de los segmentos de recta F 1 Q y F Q están dados por y su cociente satisface Por lo tanto concluimos que df 1, Q) = df 1, 0) d0, Q) = c a = aex0 a df, Q) = df, 0) d0, Q) = c + a = aex0+a df 1, Q) df, Q) = e a e + a df 1, P ) df, P ) = df 1, Q) df, Q) Usando este último hecho vemos que el lado F 1 F del triángulo F 1 P F es dividido por la recta tangente que pasa por P y corta en Q en segmentos proporcionales a los dos lados adyacentes F 1 P y F P ; por lo tanto, la recta tangente es bisectriz del ángulo formado por los segmentos de recta F 1 P y F P en el punto de tangencia. Así concluimos que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de salida. 6