Versión del: July 12, 2018

Transcripción

1 Versión del: July 12,

2 Olivi Gutú Primer curso en teorí de utómts y lengujes formles 2. edición

3 Contenido 1 Alfbetos, cdens y lengujes Notción básic Alfbetos y cdens Lengujes Autómts finitos determinists Definición de utómts finitos determinists Lenguje de un utómt finito determinist Construcción del utómt de l intersección Autómts no-determinists Autómts finito no-determinists Autómts con trnsiciones instntánes Equivlenci de los utómts finitos Lengujes regulres Expresiones regulres De utómts finitos expresiones regulres De expresiones regulres utómts finitos Propieddes de los lengujes regulres Autómts pil Definición de utómt pil Aceptción por pil vcí y por estdo de ceptción Equivlenci entre ceptción por estdos y por pil vcí v

4 vi Contenido 5.4 Autómts pil determinists y lengujes regulres Grmátics libres de contexto Definición de grmátic libre de contexto Derivciones y árboles de derivción Grmátics mbigus Lengujes libres de contexto De grmátics utómts pil De utómts pil grmátics Lem de bombeo pr los lengujes libres de contexto Propieddes de los lengujes libres de contexto Algoritmo de Cocke-Younger-Ksmi A Form norml de Chomsky B Minimizción de un utómt finito determinist B.1 Estdos equivlentes B.2 Construcción del utómt mínimo Referencis

5 CAPÍTULO 1 Alfbetos, cdens y lengujes En este cpítulo se present l terminologí forml y elementl que se emple lo lrgo del texto comenzndo en l primer sección con l notción básic. En l segund sección se introduce l noción bstrct de cden como un un yuxtposición de símbolos dentro de un conjunto llmdo lfbeto, l cul en situciones específics puede representr muchs coss: un texto, un progrm, un secuenci finit de señles, un sucesión finit de movimientos de un fich dentro de un juego, etcéter. En l tercer sección se estblece el concepto de lenguje, lguns nociones relcionds y propieddes escenciles. Aunque un lenguje teóricmente es simplemente un conjunto de cdens, en l práctic un problem concreto como «decidir si un plbr está en un texto» o «decidir si un progrm tiene l sintxis correct» se puede crcterizr medinte un lenguje, eso se verá en cpítulos posteriores. Se sume que el lector está fmilirizdo con ls nociones de conjunto, pr ordendo, función, relción, sí como con l lógic de primer orden y el rzonmiento mtemático nivel elementl. Sin embrgo, dentro de l segund sección se incluye un breve recordtorio sobre el principio de inducción mtemátic, pues es el rzonmiento en que se bsn prácticmente tods ls demostrciones formles del texto. 1

6 2 1 Alfbetos, cdens y lengujes 1.1 Notción básic Sen A y B dos conjuntos culesquier. L notción estándr de conjuntos es l que se us de quí en delnte: unión de conjuntos A B = {x : x A ó x B} intersección de conjuntos A B = {x : x A y x B} diferenci de conjuntos A \ B = {x : x A y x / A} complemento de un conjunto Ac = {x : x / A} espcio producto A B = {(, b) : A y b B} Sen m y n números en {0, 1, 2, 3,... }. A lo lrgo del texto, se escribe n m] si n {m, m + 1, m + 2,... } y n > m si n {m + 1, m + 2,... }. Se denot por f : X Y un función f con dominio en X e imgen contenid en Y. El símbolo f (x) se lee f evlud en x es un elemento de Y ; si se escribe f (x) = y signific que f le sign x X el vlor de y Y. 1.2 Alfbetos y cdens Un lfbeto es un conjunto finito no vcío. Por convención se denot los lfbetos con l letr Σ. A los elementos de un lfbeto se les llm símbolos. Ejemplo 1. El conjunto {0, 1} es un lfbeto, l cul se le conoce como lfbeto binrio. El conjunto de símbolos de texto plno (sin formto, universlmente legible) es un lfbeto. El conjunto de números nturles no es un lfbeto. Ddo un lfbeto Σ, un cden de Σ es l yuxtposición finit de símbolos de Σ. L cden vcí de Σ es l yuxtposición de 0 símbolos de Σ, se denot siempre por ε, independientemente de cul se el lfbeto. Por supuesto, se entiende que ε no es un símbolo de Σ. Se n un entero no negtivo y un símbolo del lfbeto. A veces se us n pr denotr l yuxtposición de n símbolos igules, es decir: n = } {z. n veces Por convención 0 se define como l cden vcí. L longitud de un cden w es el número de posiciones ocupds por los símbolos que constituyen l cden.

7 1.2 Alfbetos y cdens 3 Se denot l longitud de w, por w. L cden vcí de culquier lfbeto tiene por definición longitud cero, i. e. ε = 0. Ejemplo 2. L secuenci hol es un cden de longitud 4. L secuenci es un cden del lfbeto binrio de longitud 6. L secuenci infinit no es un cden del lfbeto binrio, tmpoco lo es l secuenci Ddo un lfbeto, se pueden formr infinits cdens con los elementos de ese lfbeto. El conjunto constituido por tods ls posibles cdens formds con elementos de un lfbeto ddo, será referido muchs veces lo lrgo del texto, sí que se le drá un nombre especil: Definición. Se Σ un lfbeto. L clusur de Σ se denot por Σ es el conjunto de tods ls cdens tles que cd uno de su símbolos está Σ, incluyendo l cden vcí. Ejemplo 3. {0, 1} = {ε, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 010, 011, 101, }. Se Σ un lfbeto, se define l conctención de dos cdens x e y de Σ medinte l operción binri : Σ Σ Σ dd de l siguiente mner: si x 6= ε e y 6= ε entonces x y se define como l yuxtposición de l cden x con l cden y, en otrs plbrs, x y = xy; demás, pr culquier cden x Σ se define x ε = ε x = x. Obvimente, pr culesquier tres cdens x, y y z de Σ, (x y) z = x (y z), luego l expresión x y z está bien definid. Por tnto, l conctención finit de cdens tmbién está bien definid. Si w = x y es un cden de un lfbeto, es fácil verificr que w = x + y. En el resto del documento, se bus de l notción y se escribe simplemente xy en lugr de x y. Así pues, se debe entender que xε es l cden x, no debe de confundirse con l simple yuxtposición de x con ε, puesto que visto de est form, xε no estrí en l clusur del lfbeto. Si w es un cden culquier, por convención w0 = ε y como es nturl, se entiende que: wn = ww w} {z. n veces

8 4 1 Alfbetos, cdens y lengujes Durnte todo el texto se drán rgumentos pr evidencir y justificr predicdos sobre números nturles, es decir, enuncidos de l form: Pr todo n > 0 se stisfce P (n). (1.1) Aquí P (n) represent un firmción que depende de n. Ejemplos de predicdos sobre números nturles son los siguientes «pr todo n > 0, ε n = ε», «pr todo n > 0 se cumple que x n x n 1», etcéter. Un método d hoc pr verificr predicdos sobre números nturles es el siguiente: Principio de inducción mtemátic. Pr probr (1.1) se procede como sigue: 1. o se verific P (1), 2. o se demuestr que P (n) implic P (n + 1). A l premis del 2. o pso se le llm hipótesis de inducción. Si P (1) es verdder y se comprueb que P (n) implic P (n + 1) entonces se deduce que P (2) es verdder, y por tnto tmbién lo es P (3) y sí sucesivmente. Por supuesto, se puede comenzr el proceso inductivo con n = 0; en este cso l prueb es válid pr predicdos sobre el conjunto {0, 1, 2, 3,... }. En generl, se puede justr el principio de inducción mtemátic pr demostrr que P (n) es ciert pr todo número nturl n m, pues simplemente P (m) es probdo primero y después el 2. o pso. List de ejercicios de l sección 1.2 Ejercicio 1. Pruebe que si w = x n pr lgun cden x y un n > 0, entonces w = n x. Ejercicio 2. Se Σ un lfbeto y w un cden en Σ. Se dice que x es un subcden de w si existen cdens y y z en Σ tles que w = yxz. Verifique x w. Ejercicio 3. Se Σ un lfbeto con m elementos. Cuánts cdens de longitud n hy en Σ?

9 1.3 Lengujes Lengujes Se Σ un lfbeto. Se dice que L es un lenguje de un lfbeto Σ si es un subconjunto de Σ. Ejemplo 4. El conjunto de cdens binris con un número pr de ceros y un número impr de unos es un lenguje del lfbeto binrio. Los conjuntos {ε} y el conjunto vcío son obvimente lengujes de culquier lfbeto. Sen L y M lengujes con lfbeto Σ. Como L y M son conjuntos, podemos hblr de unión, intersección y diferenci entre L y M, incluso tmbién de complemento del lenguje L. Sin embrgo, pr el cso prticulr de lengujes se puede definir un nuev operción prtir de l noción de conctención de dos cdens: Definición. L conctención de dos lengujes L y M de un mismo lfbeto es el conjunto: LM = {xy : x L y y M}. Note que, por definición de conctención de cdens, el conjunto LM es tmbién un lenguje con lfbeto Σ. Ejemplo 5. Si L = {0, 11} y M = {0001, 111} es fácil verificr que: LM = {00001, 0111, , 11111}. Podemos «hcer ls cuents» con un tbl: L M A lo lrgo del texto, reiterdmente se hbl de «probr que dos lengujes son igules». Un lenguje, desde el punto de vist purmente mtemático, es simplemente un conjunto numerble. Si L y M son dos lengujes y se quiere verificr que L = M, bst demostrr que L M y M L, es decir, se hn de demostrr ls siguientes firmciones: si x L entonces x M, y si x M entonces x L.

10 6 1 Alfbetos, cdens y lengujes Un ejemplo como muchos otros que precen después es l prueb de l siguiente propiedd. Propiedd 1. Sen L, M y N lengujes con un mismo lfbeto. Se cumple que: (LM )N = L(M N ). Prueb. Se w (LM )N, entonces w = w1 z, donde w1 LM y z N. Además, w1 = xy con x L e y M. Por lo que w = xw2, donde w2 = yz M N, luego w L(M N ). Con esto se prueb que (LM )N L(M N ). Pr ver que L(M N ) (LM )N, se rzon de l mism form. Si L, M y N son lengujes con un mismo lfbeto, por l propiedd 1, l expresión LM N está bien definid, y por tnto, l conctención finit de lengujes con un mismo lfbeto está tmbién bien definid. Se L un lenguje con lfbeto Σ. Si n es un número nturl, se escribe Ln pr denotr l conctención de L con él mismo n veces. Es decir: Ln = LL L} {z. n veces Además, por convención L0 denot l conjunto {ε}. El lenguje de todos estos lengujes, es un concepto relevnte, como veremos más delnte: Definición. L clusur de Kleene en lo que sigue, simplemente clusur de un lenguje L es el conjunto: L = [ Ln. n=0 Nturlmente, l clusur de un lenguje con lfbeto Σ es tmbién un lenguje con lfbeto Σ. Ejemplo 6. {0, 11} = {ε, 0, 11, 00, 011, 110, 1111, 000, 0011, 0110, 1100, }. Ejemplo 7. Se L = {ε, 0, 00, 000, 0000,... }. Pr todo n nturl, Ln = L lo que implic que L = L. Ejemplo 8. Y que 0 = {ε} y pr todo nturl n se cumple que n = y por tnto = {ε}.

11 1.3 Lengujes 7 List de ejercicios de l sección 1.3 Ejercicio 4. Demuestre que pr culquier lenguje L, L = L =. Ejercicio 5. Se L = {ε, 0, 00, 000, 0000,... } y M = {ε, 1, 11, 111, 1111,... }. Quién es el conjunto (LM)? Ejercicio 6. Sen L y M n, n 0 lengujes de un mismo lfbeto. Verific que: L M n = LM n. n=0 Ejercicio 7. Sen L, M y N lengujes culesquier, todos con un mismo lfbeto. Pruebe o de un contrejemplo de cd un de ls siguientes firmciones: 1. L(M N) = LM LN; 2. L (MN) = (L M)(L N); 3. LM = ML; 4. LL = L L. 5. Pr todo n nturl, (LM) n = L n M n. 6. Pr todo n y m nturles, (L n ) m = (L m ) n. n=0 Ejercicio 8. Verifique que si ε / L entonces L L = L \ {ε}. Ejercicio 9. Demuestre que pr todo lenguje L, (L ) = L. Sugerenci: verifique primero que pr todo n nturl, (L ) n = L. Ejercicio 10. Sen L y M dos lengujes, demuestre que (L M) = (L M ). Ejercicio 11. Prueb el lem de Arden. Considere l ecución entre lengujes con X desconocid. Se tiene lo siguiente: X = XM N (1.2) 1. X 0 = NM es solución de l ecución (1.2). 2. Si L es otr solución de (1.2) entonces X 0 L. Esto es, X 0 es l solución «más pequeñ» de (1.2). 3. Si ε M entonces pr culquier lenguje S, X S = (N S)M es solución de (1.2). Sugerenci: note que si ε M entonces M M = M. 4. Si ε / M entonces X 0 es l únic solución de (1.2). Sugerenci: se L otr solución de (1.2), pruebe que pr todo n > 0, L = LM n+1 N n i=0 M i ; pruebe que si w L con w = n entonces w no puede estr en LM n+1 y por tnto tiene que estr en N n i=0 M i X 0.

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13 CAPÍTULO 2 Autómts finitos determinists En este cpítulo se estudi los utómts finitos determinists (fd), concepto que sirve de modelo pr procesos donde existe un número finito de estdos y de señles que indicn el cmbio de estdo. L trnsición de un estdo otro se hce de form determinist, lo que signific que ddo un estdo y un señl existe solo un posibilidd de estdo de llegd. A cd sistem de estdos y señles le corresponde un lenguje de cdens de señles socido un problem específico. L definición de un fd se estblece en l primer sección junto con lgunos ejemplos informles. Todo fd tiene socido un lenguje, el cul su vez puede estr ligdo un problem concreto. En l segund sección se exponen dos mners equivlentes de definir l lenguje socido un fd. En l tercer sección finlmente se estblece un lgoritmo que nos permite construir utómts más complicdos prtir de utómts simples trvés de l «intersección» de dos utómts. El estudio forml de los utómts finitos determinists se remite [15], unque l definición hbitul que prece en los libros de texto, c. f. [11] y [23] que es l que se present quí se introdujo de mner independiente en [12], [17] y [18]. 9

14 10 2 Autómts finitos determinists 2.1 Definición de utómts finitos determinists Un utómt finito determinist es sistem con un cntidd finit de estdos y señles, donde se ps de un estdo otro l recibir un señl. Por ejemplo, supóngse que l ide es modelr el comportmiento de un interruptor típico de luz. El foco solo puede estr «prendido» o «pgdo» (los estdos). En culquier cso, si se puls el interruptor (l señl) el foco dejrá de estr prendido pr estr pgdo o dejrá de estr pgdo pr estr prendido. Este sistem se puede representr fácilmente con un dibujito: Se supone hor que queremos complicr un poco el sistem, se tienen tres interrumptores de luz socidos cd uno un foco. Se tienen entonces tres señles (, b y c), cd un corresponde pulsr el interruptor de un foco diferente. Evidentemente hy 23 = 8 estdos, uno por cd un de ls siguientes posibiliddes: todos los focos pgdos, todos prendidos, el primero prendido y pero los demás pgdos, etcéter. En un inicio todos los focos se encuentrn en el estdo tresfocos-pgdos y se supone que se quieren distinguir quells secuencis finits de señles que conducen l estdo tres-focos-prendidos. Ests secuencis finits de señles se pueden representr por medio de cdens en {, b, c}. Por ejemplo ls cdens bc, bcbcbc, son lguns de ls cdens que representn secuencis tles que, prtir del estdo de inicio tres-focos-pgdos, después de ser ejecutd tod l secuenci de señles se lleg l estdo tres-focos-prendidos: El cmbio de estdo l recibir cd un de ls señles se puede representr en un tbl (figur 2.1) que contiene tod l informción. Est tbl es un cso prticulr de un fd, l definición generl se expone con precisión en el cudro zul de bjo. El conjunto de ls cdens que representn ls secuencis buscds es justmente el lenguje socido l utómt. L crcterizción de este lenguje se verá en l siguiente sección.

15 2.1 Definición de utómts finitos determinists 11 Definición AFD. Un utómt finito determinist es un quíntupl (Q, Σ, δ, q 0, F ), donde: Q es un conjunto finito no vcío de estdos; Σ es un conjunto finito no vcío de símbolos de entrd; δ es un función con dominio Q Σ y con imgen contenid en Q, es decir, pr todo estdo q y símbolo de entrd, δ(q, ) pertenece Q. A δ se le llm función de trnsición; q 0 es un elemento de Q, llmdo estdo inicil; F es un subconjunto de Q de estdos finles o de ceptción. En principio el conjunto F puede ser y demás q 0 puede estr en F. Un mner de representr un fd (Q, Σ, δ, q 0, F ) es trvés de tbls de trnsición. Si Q = {q 0, q 1,..., q n } y demás Σ = { 1, 2,, m }, se escribe: 1 m q 0 δ(q 0, 1 ) δ(q 0, m )... q n δ(q n, 1 ) δ(q n, m ) L flech ntes de un estdo indic que se trt del estdo inicil. A todos los estdos de ceptción se les coloc un sterisco ntes, por ejemplo, en est tbl se indic que q n es un estdo de ceptción. Ejemplo 9. El sistem de tres focos expuesto l inicio de l sección define clrmente un fd que se puede describir medinte l siguiente tbl de trnsición de l figur 2.1. El conjunto Q tiene 8 estdos, escritos (y descritos) trvés de los dibujitos de los tres focos (unque se les podrí hber llmdo simplemente q 0, q 1,, q 7, respectivmente). Σ es el conjunto {, b, c}, el estdo inicil q 0 es el de tres-focos-pgdos y el conjunto de estdos de ceptción F tiene un solo elemento: el estdo de tres-focos-prendidos. Existe otr mner, veces muy útil, de representr gráficmente un utómt finito determinist. Est representción se llm digrm de trnsición y se estblece de l siguiente mner. Cd estdo de q se represent con un nodo, los nodos correspondientes los estdos de ceptción se les dibuj demás un círculo concéntrico, l nodo que represent estdo inicil q 0 se le dibuj un flech puntndo hci él en l prte izquierd: q q q 0

16 12 2 Autómts finitos determinists Fig. 2.1 Tbl de trnsición del utómt de los tres focos. L expresión δ(q, ) = p se represent medinte un dibujo en el cul se unen los nodos de q y p con un flechit etiquetd con : q p Si p = q se dibuj sí, ver figur 2.2: q Ejemplo 10. L tre es diseñr un fd que reconozc l plbr sonor en un texto plno. Se propone el utómt con conjunto de estdos {q0, q1,... q6 } donde q0 es el estdo inicil y pr i = 1,... 6, el estdo qi simboliz l situción «se h leído l cden de longitud i (s, so, son, sono, sonor y sonor, respectivmente)»; el lfbeto de símbolos de entrd es el conjunto de símbolos dmitidos en un texto plno; l función de trnsición δ se represent en l figur 2.3, el conjunto de estdos de ceptción es evidentemente {q6 }. Se h de notr que pr i = 0, 1,..., 5, δ(qi, s) = q1 y que estndo en qi no se ps qi+1 l

17 L flech ntes de un estdo indic que se trt del estdo inicil. A todos los estdos de ceptción se les coloc un sterisco ntes, por ejemplo, en est tbl se indic que qn es un estdo de ceptción. 2.1 Definición de utómts finitos determinists 13 1 q q 0 q1 q2 q 1 q1 q2 q2 q1 q2 0 q0 1 0 q1 0 Fig. 2.2 Ejemplo de digrm y tbl de trnsición de un mismo utómt. Fig. 2.2 Ejemplo de digrm y tbl de trnsición de un mismo utómt. menos que se hy leído un letr que contribuy l lectur de sonor, de otro modo se ps q0.!= s Σ s s q0 o q1 n o q2 q3 r q4 q5 q6 s Fig. 2.3 Autómt que lee sonor. List de ejercicios de l sección 2.1 Ejercicio 12. Diseñe un fd que entre tods ls cdens binris disting únicmente quells que terminen en Ejercicio 13. Diseñe un fd que disting solo ls cdens de {, b, c} de longitud myor 3 y menor 6.

18 14 2 Autómts finitos determinists Ejercicio 14. Construy un fd que reconozc solmente quellos textos que no contienen l plbr sonor. Ejercicio 15. Diseñe un fd que entre tods ls cdens de texto plno disting únicmente ls que comienzn con hol. Ejercicio 16. Pr cd n > 0 fijo, construy un fd de n estdos que disting solmente ls cdens de {} de l form kn donde k 0. Ejercicio 17. Considere un máquin despchdor de bebids. Est máquin solo vende dos tipos de bebid: gu purificd y horcht. El gu vle 15 pesos y l horcht vle 20 pesos. L máquin solo cept moneds de 5 y de 10 pesos y no d cmbio. Diseñe un fd que modele el conteo de ls moneds que el cliente está insertndo. Y que l máquin no d cmbio, los estdos de ceptción serán quellos en el que el cliente hy insertdo un cntidd suficiente pr comprr n gus y m horchts (por supuesto m ó n pueden ser cero, pero no mbs l vez, es decir si el cliente no insert nd, no se estrí en un estdo de ceptción). Por ejemplo, si el cliente introduce en totl 25 pesos no se estrí en un estdo de ceptción, y que se podrí comprr un horcht pero sobrrín 5 pesos. Si el cliente insert en totl 55 pesos, sí se estrí en un estdo de ceptción y que se podrín comprr 2 horchts y un gu purificd exctmente. Ejercicio 18. Busque en l litertur el lgoritmo de Knuth-Morris-Prtts (KMP) sobre pttern mtching. Consulte por ejemplo edu/~rs/algsds07/21ptternmtching.pdf. Este lgoritmo está bsdo en l construcción de un fd. Estudie e implemente el KMP pr cdens en el lfbeto binrio. 2.2 Lenguje de un utómt finito determinist Hst hor se h hbldo de que «el utómt h leído l cden tl...», «l cden h sido distinguid por el utómt...», etc., pr drle sentido forml ests frses continución se define el proceso de lectur de un cden de símbolos de entrd es medinte l relción binri de dupls (q, w) Q Σ. Dos dupls están relcionds, se escribe: (p, y) (q, x) (2.1) si x = y y p = δ(q, ). L dupl (q, x) se interpret como «se está en el estdo q y flt por leer x». L relción (2.1) signific que «l leer el primer símbolo

19 2.2 Lenguje de un utómt finito determinist 15 de l cden x = y, se ps l estdo p prtir de q y rest por leer y». Pr representr vrios movimientos en el utómt es pertinente considerr l clusur reflexiv y trnsitiv de l relción binri, esto es: Definición. r. inicil (q, x) (p, y) implic (q, x) (p, y) en 1 movimiento; r. inductiv si (q, x) (r, z) en n movimientos y (r, z) (p, y) entonces (q, x) (p, y) en n + 1 movimientos. Por convención, (q, x) (q, x) en 0 movimientos. Ejemplo 11. El proceso de lectur de l cden sonor prtir de culquier estdo p 6= q6 en el utómt el ejemplo 10, con l notción nterior de ls dupls relcionds es: (p, sonor) (q1, onor) (q2, nor) (q3, or) (q4, r) (q5, ) (q6, ε). Por otro ldo, si w es culquier cden de texto plno: (q6, w) (q6, ε). Definición L(A). Se A un fd. Al conjunto L(A) de cdens w Σ tles (q, ε) pr lgún estdo q F se le llm lenguje ceptdo que (q0, w) por A. Esto es, L(A) es el conjunto de cdens de símbolos de entrd tles que si prtir de q0 se comienz su lectur, l término del proceso se lleg lgún estdo de ceptción. Ejemplo 12. Consideremos ls siguientes vrintes de nuestro fd de «prendido y pgdo»; vmos definir cutro utómts, todos con conjunto de estdos Q = {q, qp }, conjunto de señles Σ = {}, función de trnsición tl que δ(q, ) = qp, δ(qp, ) = q, estdo inicil {q }, pero cd uno con el siguiente respectivo conjunto de estdos de ceptción: F =, F = {q }, F = {qp } y F = {q, qp }. El lenguje ceptdo por cd uno de los utómts dependen, por supuesto, de quien es F. En l siguiente tbl se exponen los csos:

20 16 2 Autómts finitos determinists F lenguje rzón No hy cdens pr ls que se llegue un estdo de ceptción prtir del estdo inicil q, pues no hy estdos de ceptción! {q } { 2m : m 0} Se requiere un número pr de señles pr ir de q q. Notr que (q, ε) (q, ε) en 0 movimientos por lo que ε pertenece l lenguje ceptdo por el utómt. {q p } { 2m+1 : m 0} Un número impr de señles se requiere pr llegr del estdo q l estdo q p. {q, q p } Σ Es obvio, pues todos los estdos son de ceptción. Dd un cden w Σ existe un único cmino que describe el proceso de lectur de w en A prtir de un estdo p. Por tnto, pr culquier cden w, existe un único proceso de lectur (p, w) (q, ε). El último y único estdo de llegd q define un función que depende de q y de w, llmd función de trnsición extendid medinte l cul es posible definir equivlentemente L(A) como sigue: Definición L(A). L función de trnsición extendid ˆδ de un utómt finito determinist A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) es un plicción con dominio en Q Σ y con imgen contenid en Q tl que pr todo q Q, x Σ y Σ: r. inicil ˆδ(q, ε) = q; r. inductiv ˆδ(q, x) = δ(ˆδ(q, x), ). Con est notción, el lenguje ceptdo por A está ddo por: L(A) = {w Σ : ˆδ(q 0, w) F } Como es de esperrse, se cumple efectivmente lo siguiente: Propiedd 2. Sen A un fd y δ su función de trnsición. Pr tod cden w de símbolos de entrd y culquier estdo q se cumple que: (q, w) (ˆδ(q, w), ε).

21 2.2 Lenguje de un utómt finito determinist 17 L demostrción se dej como ejercicio pr el lector [ejercicio 22]. En prticulr, δ (q0, w) F si y solo si (q0, w) (p, ε) pr lgún estdo de ceptción p. Es decir, ls dos nociones de lenguje ceptdo por un utómt finito determinist presentds en est sección coinciden. Por otro ldo, si se prte de un lenguje L y se diseñ un utómt finito determinist A que cepte L como lenguje, el diseño es correcto si L(A) = L. En otrs plbrs, se deben evitr los: Flsos negtivos: se h de verificr que si w L entonces δ (q0, w) F, ls cdens de L llegn un estdo de ceptción prtir del estdo inicil; y Flsos positivos: se tiene que checr que si δ (q0, w) F entonces w L, ls cdens que llegn un estdo de ceptción prtir del estdo inicil, deben por fuerz estr en L. Ejemplo 13. Se A =(Q, Σ, δ, q0, F ) el fd descrito en el ejemplo 10. El lenguje ceptdo por A es el conjunto, que denotremos por Lson, de cdens de texto plno que contienen l subcden sonor. Se w = xsonorz y p = δ (q0, x) entonces, por el ejemplo 11 y el ejercicio 26: (q0, xsonorz) (p, sonorz) (q6, z) (q6, ε). Por tnto w L(G). L otr implicción se prueb inductivmente sobre l longitud de l cden, específicmente se prueb l siguiente firmción pr n 0. P (n) : si w n y δ (q0, w) = q6, sonor es subcden de w. L firmción P (0) se cumple trivilmente pues l premis es fls. Se supone ciert P (n) (hipótesis de inducción). Se w tl que w = n + 1 y δ (q0, w) = q6. Se supone por contrdicción que w no contiene sonor. En el peor de los csos, w podrí contener y1 = s, y2 = so, y3 = son, y4 = sono y y5 = sonor; de lo contrrio se llegrí l contrdicción δ (q0, w) = q0. Se escinde l cden w en l form xyi z, donde yi es l últim subcden de este tipo que prece en w. Por hipótesis de inducción como x n se tiene que p = δ (q0, x) 6= q6, pues de otr form sonor serí subcden de x y por tnto de w. Luego, pr i = 1,..., 5: (q0, xyi z) (p, yi z) (qi, z). Supongmos que z 6= ε, de lo contrrio llegrímos directmente l contrdicción δ (q0, w) = qi 6= q6. Se z = u, donde Σ. Si yi = y5, no puede ser ni s, porque se supone que y1 no está en z; ni, porque entonces sonor serí

22 18 2 Autómts finitos determinists subcden de w. Además, u no continene y1 = s, luego: (q5, z) (q0, u) (q0, ε). De nuevo se lleg un contrdicción. Los csos yi = y1,..., y4, se rzonn de mner nálog. En conclusión Lson = L(A). List de ejercicios de l sección 2.2 Ejercicio 19. Se A = (Q, Σ, δ, q0, F ) un fd y se Ac = (Q, Σ, δ, q0, Q \ F ). Pruebe que L(Ac ) = Σ \ L(A). Ejercicio 20. Se A el fd de l figur 2.2. Verifique que: L(A) = {ε} {x1 : x es un cden binri}. Ejercicio 21. Se dice que un estdo i de un fd es inccesible si no existe lgun cden de símbolos de entrd w tl que δ (q0, w) = i. Por ejemplo, el estdo i del siguiente utómt es inccesible, no hy mner de llegr él prtiendo del estdo inicil q0 1 q1 i q Sen A=(Q, Σ, δ, q0, F ) un fd y se I el conjunto de estdos inccesibles de A. Se A0 el fd (Q \ I, Σ, γ, q0, F \ I), donde γ(q, ) = δ(q, ), pr todo q Q \ I y Σ. Pruebe que L(A) = L(A0 ). 2. Escrib un lgoritmo pr encontrr todos los estdos inccesibles de un fd. Sugerenci: escribe un lgoritmo (regl inicil y regl inductiv) pr encontrr el conjunto de los estdos ccesibles y luego considere el complemento de ese conjunto. Ejercicio 22. Pruebe l propiedd 2. Ejercicio 23. Pruebe que L = {2m+1 : m 0} es el lenguje ceptdo por el utómt del ejemplo 12 con F = {qp }.

23 2.3 Lenguje de un utómt finito determinist 19 Ejercicio 24. Considere el p de l figur 2.5. Demuestre que este utómt cept como lenguje l conjunto de cdens binris con un número impr de ceros y un número impr de unos. Sugerenci: usr inducción simultáne de form nálog l sugerenci propuest pr resolver el ejercicio 23. Ejercicio 25. Verifique que los utómts que usted diseñó en el ejercicio 16 son correctos. Ejercicio 26. Sen A un fd con función de trnsición δ, sen x y y cdens de símbolos de entrd y sen q y p estdos de A. Pruebe que pr culquier cden de símbolos de entrd w: (q, x) (p, y) implic (q, xw) (p, yw). Sugerenci: rzone por inducción sobre el número de movimientos. Ejercicio 27. A prtir del ejercicio 26, pruebe que pr culquier cden de símbolos de entrd w, ˆδ(q, xw) = ˆδ(ˆδ(q, x), w). 2.3 Construcción del utómt de l intersección Ddos dos fd A y B se puede construir fácilmente un nuevo fd C que cepte L(A) L(B) como lenguje. Pr terrizr el problem, se considern los utómts A y B descritos en l figur 2.4. Un cden es ceptd por los dos utómts si y solo si l recorrer mbos simultánemente se lleg los estdos q 1 y p 1, respectivmente. Este recorrido simultáneo puede ser representdos nturlmente trvés de pres ordendos. Por ejemplo, pr leer simultánemente l cden 0111 se comienz en el pr-estdo (q 0, p 0 ). Se recibe l señl 0: el utómt A indic permnecer en q 0 y el utómt B indic cmbio de estdo p 1 ; en resumen se cmbi l pr-estdo (q 0, p 1 ) l leer 0. En nuestr notción de dupls se tendrí: ((q 0, p 0 ), 0111) ((q 0, p 1 ), 111) y sí sucesivmente el recorrido simultáneo se complet como sigue: ((q 0, p 1 ), 111) ((q 1, p 1 ), 11) ((q 0, p 1 ), 1) ((q 1, p 1 ), ε). L cden será ceptd si y solo si el último pr-estdo está constituido por dos estdos de ceptción, en este cso es (q 1, p 1 ). L construcción precis y en generl se estblece en (2.2).

24 20 2 Autómts finitos determinists q0 p0 q1 p Fig. 2.4 Autómt A que cept como lenguje l conjunto de cdens binris con un cntidd impr de unos y utómt B que cept como lenguje l conjunto de cdens binris con un cntidd impr de ceros. Algoritmo AFD de L(A) L(B). Se A = (Q, Σ, δ, q0, F ) y se B = (P, Σ, γ, p0, H) dos fd. Un utómt que cept L(A) L(B) como lenguje es el utómt C = (Q P, Σ, η, (q0, p0 ), F H) con función de trnsición: η((q, p), ) = (δ(q, ), γ(p, )). (2.2) Pr justificr formlmente que C es el utómt que se está buscndo, se h de probr primero que, pr todo n 0: P (n) : si w = n entonces η ((q0, p0 ), w) = (δ (q0, w), γ (p0, w)). L firmción P (0) se cumple trivilmente. Supongmos ciert P (n). Si x = n, se tiene: η ((q0, p0 ), x) = η (η ((q0, p0 ), x), ) = η δ (q0, x), γ (p0, x), = δ δ (q0, x),, γ (γ (p0, x), ) = δ (q0, x), γ (p0, x).

25 2.3 Lenguje de un utómt finito determinist 21 Con esto se demuestr P (n + 1). Rest verificr que L(C) = L(A) L(B), pero esto es fácil, y que w está en L(C) si y solo si η ((q0, p0 ), w) pertenece F H si y solo si δ (q0, w) F y γ (p0, w) H si y solo si w L(A) y w L(B). Ejemplo 14. Sen A = (Q, Σ, δ, q0, F ) y B = (P, Σ, γ, p0, H) los utómts descritos medinte en los digrms de l figur 2.4. El utómt A cept el conjunto de cdens binris con un cntidd impr de unos y el utómt B cept el conjunto de cdens binris con un cntidd impr de ceros. Siguiendo el procedimiento descrito nteriormente, se tiene que: Q P = {r0 = (q0, p0 ), r1 = (q0, p1 ), r2 = (q1, p0 ), r3 = (q1, p1 )}. L construcción nterior rroj lo siguiente tbl de trnsición pr η: r0 r1 r2 r3 0 (δ(q0, 0), γ(p0, 0)) = (q0, p1 ) = r1 (δ(q0, 0), γ(p1, 0)) = (q0, p0 ) = r0 (δ(q1, 0), γ(p0, 0)) = (q1, p1 ) = r3 (δ(q1, 0), γ(p1, 0)) = (q1, p0 ) = r2 1 (δ(q0, 1), γ(p0, 1)) = (q1, p0 ) = r2 (δ(q0, 1), γ(p1, 1)) = (q1, p1 ) = r3 (δ(q1, 1), γ(p0, 1)) = (q0, p0 ) = r0 (δ(q1, 1), γ(p1, 1)) = (q0, p1 ) = r1 El digrm de trnsición del utómt C definido medinte l construcción nterior se represent en l figur r0 r r1 r3 1 Fig. 2.5 fd que cept l conjunto de cdens binris con un cntidd impr de ceros y un cntidd impr de unos.

26 22 2 Autómts finitos determinists Note que los estdos del fd de l figur 2.5 tienen significdos por sí mismos, por ejemplo, r0 es el estdo de «lectur de un cntidd pr de unos y pr de ceros», los otros tres estdos completn ls otrs tres posibiliddes de lectur. List de ejercicios de l sección 2.3 Ejercicio 28. Sen A y B dos fd con un mismo lfbeto de símbolos de entrd. Construy un utómt finito determinist que cepte L(A) L(B) como lenguje. Sugerenci: tome en cuent el ejercicio 19 y ls leyes de De Morgn. Ejercicio 29. Diseñe un fd que cepte L(A) \ L(B) como lenguje ddos dos fd A y B. Ejercicio 30. Defin un fd que cepte como lenguje l conjunto de cdens que no contienen l plbr reservd then pero que contienen l plbr reservd else. Ejercicio 31. Diseñe un fd que cepte como lenguje l conjunto de cdens binris que contengn como subcden y que terminen en Ejercicio 32. Diseñe un fd que cepte como lenguje l conjunto de cdens en el lfbeto {, b, c} que comience con bc o con cb y que demás no contengn ls plbrs b, bb, bbb, Ejercicio 33. Diseñe un fd que cepte como lenguje l conjunto de cdens de texto plno que contengn ls plbrs zul, mrillo y rojo. Ejercicio 34. Sen A, B y C como en l definición (2.2). Demuestre que pr tod cden w y culesquier estdos q y p de A y B, respectivmente, se cumple que: ((q0, p0 ), w) ((q, p), ε) si y solo si (q0, w) (q, ε) y (p0, w) (p, ε). Ejercicio 35. Sen A1, A2,... An fd con un mismo lfbeto de entrd. Define un utómt C que cepte como lenguje l conjunto: L(A1 ) L(A2 ) L(An ). Ejercicio 36. A prtir de l construcción del ejercicio 35, escrib un progrm que recib n fd con un mismo lfbeto y regrese el fd que cept como lenguje l intersección de los lengujes de los utómts ddos. Hg otro progrm con l mism entrd pero que regrese un fd que cepte como lenguje l unión de los lengujes de los utómts ddos.

27 CAPÍTULO 3 Autómts no-determinists En este cpítulo se estudin otro tipo sistems de estdos y señles en l mism líne del cpítulo nterior. L diferenci fundmentl es que ls trnsiciones no son determinists, en el sentido de que ddo un estdo y un señl pueden hber muchos estdos de llegd. Por consiguiente, existen vris posibiliddes de lectur de un cden, lo cul port flexibilidd l momento de querer modelr procesos con un número finito de estdos y señles. Este cpítulo se divide en tres secciones. En l primer sección se estudin los llmdos utómts finitos no-determinists (fnd). Pr estos sistems, ddo un estdo y un señl de entrd, l función de trnsición regres un conjunto de estdos. En l segund sección se estblece un tipo de utómts nodeterminists más generl, estos sistems dmiten dicionlmente trnsiciones instntánes (fnd-ε), esto es, estndo en un estdo es posible psr otros sin necesidd de gstr símbolos de entrd. En l tercer y últim sección se present un resultdo que firm que todos los tipos de utómts finitos estudidos hst el momento son en lgún sentido equivlentes. Ls definiciones de este cpítulo y el teorem de equivlenci corresponde de origen [20]. 23

28 24 3 Autómts no-determinists 3.1 Autómts finito no-determinists Un utómt finito no-determinist es un sistem con un número finito de estdos y señles pero que diferenci de los utómts determinists dmite más de un estdo de llegd un vez recibid un señl. Esto es, l función de trnsición δ le sign un pr estdo-señl (q, ) un conjunto: δ(q, ) = {p1,..., pm } donde cd estdo pi, i = 1, 2,... m, represent un posible estdo de llegd. Además δ(q, ) pudier ser el conjunto vcío. Formlmente: Definición AFND. Un utómt finito no-determinist es un quíntupl (Q, Σ, δ, q0, F ) donde: Q es un conjunto finito no vcío de estdos; Σ es un conjunto finito no vcío de símbolos de entrd; δ es l función de trnsición l cul recibe un estdo q y símbolo de entrd y regres un subconjunto de Q; q0 es el estdo inicil perteneciente Q; F es el subconjunto de estdos de ceptción de Q. L tbl de trnsición de un fnd es igul l de uno determinist. Respecto l digrm de trnsición, l únic diferenci es que ls trnsiciones del tipo δ(q, ) = se omiten. Dos dupls de Q Σ están relcionds, esto es (q, x) (p, y), si x = y y demás p δ(q, ). Esto represent un posible movimiento en el utómt. Pr representr más de un movimiento, se consider l relción definid igul que en el cso determinist. Ejemplo 15. Se A = (Q, Σ, δ, q0, F ) el utómt descrito medinte el digrm de trnsición que se muestr en l figur 3.1. En este cso Q = {q0, q1, q2 }, Σ = {0, 1}, F = {q2 } y demás: δ(q0, 0) = {q0 } δ(q1, 0) = δ(q2, 0) = δ(q0, 1) = {q0, q1 } δ(q1, 1) = {q2 } δ(q2, 1) = L trnsición δ(q0, 1) = {q0, q1 } signific que estndo en q0 l recibir 1 hy dos posibiliddes: quedrse en q0 o psr l estdo q1. L trnsición δ(q1, 1) = {q2 } se interpret como estndo en q1, l recibir 1 se ps con seguridd q2. Por ejemplo, l cden puede ser leíd de muchs forms. Un cmino consiste en permnecer en q0 durnte tod l lectur:

29 3.1 Autómts finito no-determinists 25 0, 1 q0 1 1 q1 q2 Fig. 3.1 fnd que cept ls cdens del lfbeto binrio que terminn en 11. (q0, 00011) (q0, 0011) (q0, 011) (q0, 11) (q0, 1) (q0, ε). (q1, 1) (q2, ε). Otro cmino puede ser, por ejemplo, l siguiente rut: (q0, 00011) (q0, 0011) (q0, 011) (q0, 11) Finlmente, l trnsición δ(q2, 0) = se puede interpretr como «estndo en q2 si se recibe l señl 1 entonces no se v ningún estdo». Por ejemplo, un posible cmino de lectur pr l cden es el siguiente: (q0, 11100) (q1, 1100) (q2, 100). Por este cmino y no se puede vnzr y concluir el proceso de lectur de Se tienen l vist ls siguientes disimilitudes respecto los utómts determinists. Dd un cden w y un estdo q: en un fd siempre existe un cmino (q, w) (p, ε). Es decir, l cden siempre se puede terminr de leer prtir de culquier estdo q, diferenci de un fnd. Por ejemplo, l dupl (q1, 0101) no está relciond con ningun otr dupl distint; un fnd puede tener vrios cminos de recorrido de lectur de un cden, diferenci de un fd. Igul que en el cso de un fd se tiene que un cden de símbolos de entrd w es distinguid por un fnd si y solo si existe un cmino: (q0, w) (q, ε) donde q es un estdo de ceptción. Por ejemplo, el utómt del ejemplo 15 cept como lenguje l conjunto de cdens binris que terminn en 11. Alterntivmente, tmbién en este cso se puede definir el lenguje ceptdo por un utómt medinte un función de trnsición extendid.

30 26 3 Autómts no-determinists Definición L(A). Se q es un estdo y sen x y, respectivmente, un cden y un símbolo de entrd. L función de trnsición extendid δ de un fnd A = (Q, Σ, δ, q0, F ) se define inductivmente: r. inicil δ (q, ε) = {q}; r. inductiv δ (q, x) = {p1,..., pm } implic: δ (q, x) = m [ δ(pi, ). i=1 Si δ (q, x) = entonces δ (q, x) =. Al conjunto L(A) = {w Σ : δ (q0, w) F 6= } se le llm lenguje ceptdo por A. Con est definición de función de trnsición extendid, se cumple l siguiente propiedd [ejercicio 39]. Propiedd 3. Se δ l función de trnsición de un fnd. Pr todo estdo q y cden de símbolos de entrd w: δ (q, w) = {r Q : (q, w) (r, ε)}. Ejemplo 16. Se A el fnd con lfbeto Σ de símbolos de texto plno: " " q0 q1 q2 Σ \ {"} Es fácil reconocer el siguiente recorrido: (q0, "hol mundo") (q1, hol mundo") (q1, ") (q2, ε). Aunque el utómt es no-determinist, este es el único cmino que prtir de l dupl (q0, "hol mundo") el proceso se concluye con l lectur complet de l cden "hol mundo". Por tnto, δ (q0, "hol mundo") = {q2 }. Por otro ldo, δ (q0, hol mundo) =, pues de entrd δ (q0, h) =. Este utómt distingue ls frses escrits entre comills, sin que prezcn comills en el interior [ejercicio

31 3.1 Autómts finito no-determinists 27 43]. Note que por ejemplo l cden "mir" no es ceptd unque se llegue l estdo de ceptción q 2. En este cso el único recorrido prtir del inicio es: (q 0, "mir") (q 1, mir") (q 1, ") (q 2, ). L cden no es ceptd pues el proceso se pró ntes de terminr l lectur de l cden complet, pues δ(q 2, ) =. Ejemplo 17. Se Σ = {, b, c} un lfbeto. Se está interesdo en diseñr un utómt que disting quells cdens en Σ cuy últim entrd prezc l menos dos veces. Por ejemplo, ls cdens bc, bbbcc y bcccb deben ser distinguids, mientrs ls cdens bbccbb, bbc no. Se propone el siguiente utómt finito no-determinist: q, b, c b, c q 0 b q b b q f c, c c q c, b Se supone que existe un cden ceptd w = x con x {b, c}. Es decir l últim entrd de w no prece l menos dos veces pero es ceptd por el utómt. Entonces, (q 0, x) (r, ) pr lgún estdo r q, pues x no contiene símbolos. A prtir de (r, ) es imposible llegr q f, pues el único estdo que cundo recibe se cmbi q f es precismente q. Se lleg un contrdicción. Si w = xb o w = xc se rzon de igul mner. Se w un cden cuy últim entrd prece l menos dos veces en l cden, digmos w = xy, donde y {b, c} y x Σ. Pr este cso, se h preferido usr l notción de dupls, pues l representción es muy clr, y que evidentemente existe el cmino:

32 28 3 (q0, xy) (q0, y) (q, y) Autómts no-determinists (q, ) (qf, ε). Si l últim entrd es b o c se rzon de l mism form. List de ejercicios de l sección 3.1 Ejercicio 37. Pr cd uno de los incisos, diseñe un fnd que cepte únicmente cdens binris tles que: 1. terminen en 0011; 2. contengn l menos tres unos; 3. comiencen en 110 y cben en 0110; 4. contengn l subcden Ejercicio 38. Modifique l fnd del ejemplo 16 pr que disting quells cdens que contengn l menos un frse entre comills. Ejercicio 39. Pruebe l propiedd 3. Sugerenci: demuestre por inducción, que pr todo n 0, P (n): si w = n y r δ (q, w) entonces (q, w) (r, ε). Q(n): si (q, w) (r, ε) en n movimientos entonces r δ (q, w). Ejercicio 40. Demuestre el ejercicio 26 suponiendo que el utómt A es nodeterminist. Concluy que si δ (q, x) = {p1..., pm }, pr lgunos estdos q, p1, p2,..., pm y cden de símbolos de entrd x, entonces pr culquier cden de símbolos de entrd w: δ (q, xw) = δ (p1, w) δ (pm, w). Ejercicio 41. Se A el utómt del ejemplo 15, verifique que L(A) es el conjunto de cdens binris que terminn en 11. Ejercicio 42. Diseñe un fnd que cepte como lenguje el conjunto de números nturles que terminn en 3, 6 o 9. Ejercicio 43. Se A el utómt del ejemplo 16, pruebe que L(A) es el conjunto de cdens de un texto plno de l form w = "x" donde x (Σ \ {"}). Ejercicio 44. Demuestre que si un lenguje es ceptdo por un fd entonces es ceptdo por un fnd.

33 3.2 Autómts con trnsiciones instntánes Autómts con trnsiciones instntánes Como y se h visto ntes, l cden εbbcεcc es igul l cden bbccc. A veces, en el diseño de un utómt, es más fácil pensr que ε es tmbién un entrd de l cden. El siguiente digrm: p1 ε ε q p2 ε p3 se podrí interpretr como: prtir del estdo q es posible ir los estdos p1, p2 o p3 «instntánemente», sin hber recibido lgún símbolo de entrd. L definición forml de un utómt finito no-determinist con trnsiciones instntánes A = (Q, Σ, δ, q0, F ) brevido fnd-ε es exctmente igul l de un utómt finito no-determinist, slvo que el dominio de l función δ es: Q Σ {ε}. Al igul que ntes, dos dupls de Q Σ estn relcionds, esto es: (q, x) (p, y), si x = y y p δ(q, ). Tome en cuent, que pr utómts con trnsiciones instntánes, puede ser l cden vcí, en este cso se tendrí (q, y) (p, y). Al igul que en los csos nteriores, pr representr más de un movimiento, se consider l relción. Ejemplo 18. Consideremos el fnd-ε que se muestr en l figur 3.2. L trnsición δ(q0, ε) = {q1, p1 } se interpret como sigue: prtir del estdo inicil q0 se puede cmbir instntánemente l estdo q1 o l estdo p1 sin necesidd de hber recibido señl lgun. El resto de ls trnsiciones se interpretn igul que en un fnd. Note que tn solo l cden w = 1 dmite cutro cminos de lectur que llevn un dupl de l form (q, ε):

34 30 3 Autómts no-determinists q1 1 q2 1 q3 p1 0 p2 0 p3 ε 0, 1 q0 ε Fig. 3.2 Autómt que cept ls cdens binris que cbn en 11 o en 00. (q0, 1) (q0, ε) (q0, ε) (q1, ε) (q0, ε) (p1, ε) (q1, 1) (q2, ε) Como es de esperrse, un cden es distinguid por el fnd-ε si existe un cmino tl que prtir del estdo inicil, l recorrer el utómt se lleg un estdo de ceptción. En este utómt, ls trnsiciones instntánes que prten de q0 nos bren l posibilidd de distinguir ls cdens que terminn en 11 o que cbn en 00. Pr definir l función de trnsición δ se requiere primero estblecer l conjunto de estdos los que se lleg de form instntáne prtir de un estdo. Definición clu(q). Ddo un utómt finito no-determinist con trnsiciones instntánes y función de trnsición δ, se define l clusur respecto ε de un estdo q se denotrá clu(q) de mner inductiv: r. inicil q clu(q); r. inductiv si p clu(q) entonces δ(p, ε) clu(q). Como es de esperrse, se tiene l siguiente propiedd [ejercicio 47]:

35 3.2 Autómts con trnsiciones instntánes 31 Propiedd 4. Se δ l función de trnsición de un fnd-ε con conjunto de estdos Q. Pr todo estdo q Q: clu(q) = {r Q : (q, ε) (r, ε)}. Ejemplo 19. Se Σ = {, b, c}. Se está interesdo en diseñr un fnd-ε que disting quells cdens en Σ cuy últim entrd prezc lo más dos veces. Por ejemplo, ls cdens cccb, bbc y bcccb deben ser distinguids, mientrs ls cdens bcc, bbcb no. Se propone el utómt descrito medinte el siguiente digrm de trnsición [ejercicio 50]:, ε q p ε b, c b, c q 0 ε q b b, ε p b b q f ε, c, c c q c c, ε p c, b, b El cálculo de clu(q 0 ) siguiendo l definición del recudro serí de l siguiente mner: n. o de iterción estdos en clu(q 0 ) totl cumuldo 0 q 0 {q 0 } 1 δ(q 0, ε) = {q, q b, q c } {q 0, q, q b, q c } δ(q, ε) = {p } {q 0, q, q b, q c, p } 2 δ(q b, ε) = {p b } {q 0, q, q b, q c, p, p b } δ(q c, ε) = {p c } {q 0, q, q b, q c, p, p b, p c } Por tnto, clu(q 0 ) = {q 0, q, q b, q c, p, p b, p c }. De l mism form, se puede deducir que pr i =, b, c, clu(q i ) = {q i, p i } y clu(p i ) = {p i }. Por último, es fácil verificr que clu(q f ) = {q f }.

36 32 3 Autómts no-determinists Definición L(A). Se A un fnd-ε. Si q es un estdo y demás x y son, respectivmente, un cden y un símbolo de entrd, l función de trnsición extendid se define inductivmente como sigue: r. inicil ˆδ(q, ε) = clu(q); r. inductiv si ˆδ(q, x) = {p 1,..., p m } entonces: ˆδ(q, x) = k j = 1 clu(r j ), donde m i = 1 δ(p i, ) = {r 1,..., r k }. Si ˆδ(q, x) =, se define ˆδ(q, x) =. El lenguje ceptdo por A es el conjunto: L(A) = {w Σ : ˆδ(q 0, w) F }. Tmbién, como se h de esperr, en este cso se cumple l propiedd 3 pr fnd-ε. Es decir, pr todo estdo q y cden de símbolos de entrd w, ˆδ(q, w) es el conjunto de estdos r Q tles que (q, w) (r, ε) [ejercicio 47]. Por tnto, tmbién en el cso de los fnd-ε se tiene que L(A) es el conjunto de cdens w Σ tles que (q, w) (p, ε) donde p es un estdo de ceptción. Ejemplo 20. Considere el utómt de l figur 3.2. Pr clculr ˆδ(q 0, 100) siguiendo l definición forml se procede como continución. Se tiene por supuesto que ˆδ(q 0, ε) = clu(q 0 ) = {q 0, q 1, p 1 }. Los psos de lectur de l cden 100 siguiendo l regl inductiv se explicn en l siguiente tbl: m i = 1 δ(p i, ) ˆδ(q0, x) = {p 1,..., p m } ˆδ(q 0, ε) = {q 0, q 1, p 1 } 1 {q 0, q 2 } ˆδ(q0, ε1) = {q 0, q 1, p 1, q 2 } 0 {q 0, p 2 } ˆδ(q0, ε10) = {q 0, q 1, p 1, p 2 } 0 {q 0, p 2, p 3 } ˆδ(q 0, ε100) = {q 0, q 1, p 1, p 2, p 3 } Por tnto, l cden 100 serí ceptd, pues el estdo de ceptción p 3 pertenece ˆδ(q 0, ε100). Se h de notr que diferenci de los utómts sin trnsiciones instntánes δ(q 0, 1) ˆδ(q 0, 1)!, pues δ(q 0, 1) = {q 0 } y sin embrgo l tbl nterior indic que ˆδ(q 0, 1) = {q 0, q 1, p 1, q 2 }.

37 3.2 Autómts con trnsiciones instntánes 33 Ejemplo 21. Si A el fnd-ε del ejemplo 18 entonces L(A) es el conjunto de cdens binris que cbn en 00 o en 11. Note que (q0, x) (q0, ε), pr tod cden binri x, entonces existen los siguientes recorridos pr ls cdens de l form x11 y x00: (q0, x11) (q0, 11) (q1, 11) (q2, 1) (q3, ε), (q0, x00) (q0, 00) (p1, 00) (p2, 0) (p3, ε). Pr ver que son el único tipo de cdens ceptds, se supone lo contrrio, es decir se ceptn cdens que cbn 10 o 01. Si ceptrn cdens del tipo w = x10, l hcer el cálculo preciso se llegrí que δ (q0, x10) no tiene lgún estdo de ceptción, independientemente de l cden x, lo que llev un contrdicción. De form similr se rzon pr w = x01. List de ejercicios de l sección 3.2 Ejercicio 45. Se L = {b, cd} un lenguje del lfbeto {, b, c, d}. Diseñe un fnd-ε que cepte L como lenguje. Ejercicio 46. Diseñe un fnd-ε que dmit un recorrido infinito prtir de (q0, w) pr lgun cden w. Es posible hcer esto si el utómt no tiene trnsiciones instntánes? Ejercicio 47. Demuestre por inducción sobre l longitud de w l propiedd 3 pero suponiendo que el utómt dmite trnsiciones instntánes. Note que el cso w = ε es de hecho l propiedd 4. Ejercicio 48. Se δ l función de trnsición de un fnd. Verifique que pr todo estdo q y símbolo de entrd, δ (q, ) = δ(q, ). De un ejemplo de que esto no ocurre con los fnd-ε. Ejercicio 49. Se D = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} y se L = D \ {ε}. Diseñe un fnd-ε que cepte como lenguje l conjunto constituido por los siguientes vlores numéricos y «símbolos»: 1. tods ls cdens en L; 2. ls cdens de l siguiente form, donde x, y y z están en L: -x.y -x.yez -xez -x.ye-z -xe-z x.y x.yez xez x.ye-z xe-z 3. ls cdens -Inf y +Inf (los dos infinitos); y 4. l cden NN (de not number en inglés).

38 34 3 Autómts no-determinists Ejercicio 50. Se A el fnd-ε del ejemplo 19. Demuestre que L(A) es el conjunto de cdens cuy últim entrd prece lo más dos veces. Ejercicio 51. Sen p y q dos estdos de un fnd-ε. Verifique que si p clu(q) entonces clu(p) clu(q). Ejercicio 52. Demuestre el ejercicio 26 suponiendo que el utómt A es un (p, yw) pr lgun fnd-ε. Pruebe demás que pr un fnd-ε, si (q, xw) cden de símbolos de entrd w, entonces (q, x) (p, y). Sugerenci: rzone por inducción sobre los movimientos respecto. 3.3 Equivlenci de los utómts finitos El objetivo de est sección es demostrr que ni el concepto de no-determinismo ni el de trnsiciones instntánes implicn l existenci de un clse de lengujes más generl l clse de lengujes ceptdos por los utómts finitos determinists. En otrs plbrs, ls tres máquins computcionles son equivlentes. En primer lugr, ddo un fnd AN siempre se puede encontrr un fd AD que cepte el mismo lenguje que AN. Por ejemplo, considere el utómt: q0 q L trnsición no-determinist δn (q0, ) = {q0, q} se puede pensr como determinist si le dmos l conjunto {q0, q} el significdo de l situción «estoy en q ó en r». Es decir, el conjunto {q0, q} su vez es un estdo. Estndo en el estdo {q0, q} de AD si recibo, es nturl psr l estdo ddo por el conjunto: δn (q0, ) δn (q, ). Es decir, el estdo en AD que represent todos los posibles estdos de llegd de AN prtiendo de q0 ó q l recibir. L ide, por tnto, es que los estdos de AD sen cd uno de los subconjuntos de QN, pero hbrá muchos que sen estdos inccesibles. Pr evitr hcer el cálculo de δd pr estdos inccesibles, se puede proceder su cálculo de form inductiv. Clrmente el estdo inicil de AD es {q0 }. A prtir de hí se encuentr δd ({q0 }, ) = {q0, q}. Por tnto, el