Examen Parcial de Sistemas de Potencia II 2007 Estabilidad Transitoria: Ecuación de Oscilación

Transcripción

1 Examen Parcial e Sistemas e Potencia II 7 Estabilia Transitoria: Ecación e Oscilación Problema. Un generaor sincrónico a 6 Hz, posee na constante e inercia e H = 5MJ/MVA y na reactancia transitoria e eje irecto X =. p., esta conectao a na barra e potencia infinita a través e n circito pramente resistivo como se mestra en la sigiente figra. X t =. X ' =. X L =. X L =. V =. El generaor entrega na potencia real e P elec =.8 p., y Q elec =.74 p. a la barra e potencia infinita cyo voltaje es. p.. Una falla trifásica ocrre en la mita e na línea, y la cal es espejaa por la pesta fera e servicio e la línea, meiante la apertra simltanea e ambos extremos e la línea... La falla es espejaa en. segnos. Obtener la solción nmérica e la ecación e oscilación, empleano el métoo e Eler, con n paso e tiempo Δt =.5 segnos. Efecté la simlación nmérica hasta t =.5. [ Pts] NOTA: Usar cinco (5 ecimales... Si se consiera qe la falla es sostenia por. segnos. Obtener la solción nmérica e la ecación e oscilación, empleano el métoo e Rnge-Ktta e 4to oren, con n paso e tiempo Δt =. segnos. Efecté la simlación nmérica hasta t =. [5 Pts] Problema.Un sistema e transmisión e 6 Hz, kv, mostrao en la Figra sigiente. Tabla. Datos e líneas y transformaores Barra a Zserie Y Paralelo Barra R X B Tranf -. - Tranf Línea Línea -5 ( Línea -5 ( Línea Este sistema tiene os ( generaores e inercia finita. Los atos e los transformaores y las líneas se mestran en la Tabla. Una falla trifásica ocrre en la mita e na e las líneas entre las barras -5 (. Meiante la solción pretalla el fljo e potencia se mestra en la Tabla. Gen Tranf Loa 4 4 Tranf Gen ( ( Loa5 Determine la ecación e oscilación para caa na e las máqinas: (. antes e la falla y, (. rante el períoo e falla [5 Pts]. Los generaores tienen reactancias y valores e H qe se expresan en la base e MVA en la sigiente forma: Gen: x =.67 p., H =. MJ/MVA y Gen: x =. p., H = 8. MJ/MVA. Tabla Datos e Barra y Valores e Fljo e Potencia Antes e la Falla Barra Voltaje Generación Loa P gen Q gen P loa Q loa Problema. Apliqe Rnge Ktta e 4to Oren, con h =.5, para resolver el sigiente problema. yy' ( xy = y( = Determine y(.5 [ pts]

2 Problema. Un generaor sincrónico a 6 Hz, posee na constante e inercia e H = 5MJ/MVA y na reactancia transitoria e eje irecto X =. p., esta conectao a na barra e potencia infinita a través e n circito pramente resistivo como se mestra en la sigiente figra. X t =. X ' =. X L =. X L =. V =. El generaor entrega na potencia real e P elec =.8 p., y Q elec =.74 p. a la barra e potencia infinita cyo voltaje es. p.. Una falla trifásica ocrre en la mita e na línea, y la cal es espejaa por la pesta fera e servicio e la línea, meiante la apertra simltanea e ambos extremos e la línea... La falla es espejaa en. segnos. Obtener la solción nmérica e la ecación e oscilación, empleano el métoo e Eler, con n paso e tiempo Δt =.5 segnos. Efecté la simlación nmérica hasta t =.5. [ Pts] NOTA: Usar cinco (5 ecimales. Resolción. La impeancia e transferencia entre el voltaje generaor y la barra e potencia infinita Antes e qe ocrra la falla, la reactancia entre los pntos A y B pee ser encontraa por la combinación serie paralelo: H = 5. La potencia aparente es aa por: A x' =.. X =.. =.65 p.... E B =. B H = S.8.74 j I = = =.8.74 jp. V. El voltaje interno e la maqina E es ao por: E ' = V jx I =. (.65 j(.8.74 j = p. La ecación e potencia eléctrica antes e la pertrbación qea aa por: EB..7 Pelec = senδ P elec = senδ P elec =. 8senδ ANTES X. 65 Sieno el ánglo e operación estable inicial: P elec =.8 =.8senδ.4444 = senδ δ = =.4655ra Drante la falla se tiene, qe la línea fallaa se ivie en os, resltano el iagrama e impeancias como en la Figra sigiente.. x' =.. A B.5 H = 5. Se efectúa na transformación e estrella a elta y se logra: A X =.8.5 B E B =. H = V =. H = 5. H = La reactancia eqivalente entre el generaor y la barra e potencia infinita reslta ser:

3 X = =.8 p..5 La ecación e potencia eléctrica antes e la pertrbación qea aa por: EB..7 Pelec = senδ P elec = senδ P elec =. 65senδ DURANTE X. 8 Cano la falla es espejaa, la línea fallaa es pesta fera e servicio, resltano el iagrama e reactancias como sige. x' =.. A. B E B =. H =.76 H = Done la reactancia eqivalente entre el generaor y la barra e potencia infinita reslta ser: X =... =.8 p. De tal moo qe la potencia eléctrica espés e la falla qea aa por: EB..7 Pelec = senδ P elec = senδ P elec =. 465senδ DESPUÉS X. 8 Se procee a plantear las ecaciones e oscilación, e la forma: f = π ( P mec P elec H H = 5 MJ/MVA, f = 6 Hz. ANTES e la pertrbación reslta: 6π 5 = (.8.8senδ π (.8.8senδ DURANTE la pertrbación reslta: 6π 5 = (.8.65senδ π (.8.65senδ DESPUÉS la pertrbación reslta: 6π 5 = = senδ = (.8.465senδ π (.8.465senδ = = senδ = = senδ.. Consiere qe la falla es espejaa en. segnos. Obtener la solción nmérica e la ecación e oscilación, empleano el métoo e Eler, con n paso e tiempo Δt =.5 segnos. Efecté la simlación nmérica hasta t =.5. [ Pts] NOTA: Usar cinco (5 ecimales. Las ecaciones e oscilaciones a consierar resltan ser: = senδ t [,. = senδ t [.,.5] Se proceió a implementar n programa en Matlab : % Métoo e Eler Problema. Parcial SP-7 % Programa PEler.m clc; clear; % Parámetros e Simlación H=5.; % Constante e Inercia f=6 % Frecencia el Sistema en Hz t= % Tiempo inicial e la Simlación tn=.5 % Tiempo final e la simlación Dt=.5; % Incremento e Tiempo tstep=. % Tiempo e cambio e estao: Se retira la falla y=.4655% Anglo inicial e Operación e la Maqina [Raianes] x=; % Diferencial e Velocia Inicial : [P.] N=(tn-t/Dt % Calclar Nmero e Pntos a Simlar

4 for I=:N ti(i=tidt; % Calclar tiempo Ti y(i=ydt(x; % Anglo i x(i=xdt(pif/h(.8-.65sin(y; % Velocia i if ti>=tstep x(i=xdt(pif/h( sin(y; en y=y(i; % Actalizar el Anglo x=x(i; % Actalizar la Velocia en Tabla.. Resltaos Meiante Métoo e Eler con paso e integración.5 segnos, Problema.. i t i ω i δ i [ra] δ i [Graos] Velocia [p.] Tiempo [seg] Anglo e Potencia [Graos] Tiempo [seg] Figra. Trazao e la Velocia y Anglo e Potencia, para la solción por métoo e Eler con paso e integración.5 segnos Solción con el Métoo e Eler con n paso e integración e. segnos

5 5 4 Velocia [p.] Tiempo [seg] Anglo e Potencia [Graos] Tiempo [seg] Figra. Trazao e la Velocia y Anglo e Potencia, para la solción por métoo e Eler con paso e integración. segnos Para n mejor análisis se ha proceio a efectar la simlación e la misma pertrbación empleano el métoo e integración e Rnge-Ktta e 4to oren, con el mismo paso e integración se tiene: 5 4 Velocia [p.] Tiempo [seg]

6 Anglo e Potencia [Graos] Tiempo [seg] Figra. Trazao e la Velocia y Anglo e Potencia, para la solción por métoo e Rnge-Ktta e 4to Oren con paso e integración.5 segnos

7 . Si se consiera qe la falla es sostenia por. segnos. Obtener la solción nmérica e la ecación e oscilación, empleano el métoo e Rnge-Ktta e 4 to oren, con n paso e tiempo Δt =. segnos. Efecté la simlación nmérica hasta t =. [5 Pts] Para na falla sostenia la ecación e oscilación a resolver qea ao por: = senδ t [,. Se procee a emprener la simlación meiante n simple programa en Matlab : % Métoo Rnge-Ktta e 4to oren % Problema. Parcial, SP-7 % Parámetros e Simlación clc; clear H=5.; % Constante e Inercia f=6 % Frecencia el Sistema en Hz t= % Tiempo inicial e la Simlación tn=. % Tiempo final e la simlación Dt=.; % Incremento e Tiempo tstep=. % Tiempo e cambio e estao: Se retira la falla y=asin(.8/.8 % Anglo inicial e Operación e la Maqina [Raianes] x=; % Diferencial e Velocia Inicial : [P.] Y=[y;x]; N=(tn-t/Dt % Calclar Nmero e Pntos a Simlar for I=:N ti(i=tidt; % Constantes para Delta K(=Dt(Y(; K(=Dt(Y(K(/; K(=Dt(Y(K(/; K4(=Dt(Y(K(; if ti(i<tstep K(=Dt(pif/H(.8-.65sin(Y(; K(=Dt(pif/H(.8-.65sin(Y(K(/; K(=Dt(pif/H(.8-.65sin(Y(K(/; K4(=Dt(pif/H(.8-.65sin(Y(K(; en if ti(i>=tstep K(=Dt(pif/H( sin(Y(; K(=Dt(pif/H( sin(Y(K(/; K(=Dt(pif/H( sin(Y(K(/; K4(=Dt(pif/H( sin(Y(K(; en Y=Y/6(K'K'K'K4' Y=Y; en Tabla.. Resltaos e las constantes el Métoo e Rnge-Ktta e 4to Oren para caa pnto con paso e integración. segnos. Problema.. i t i K K K K Tabla.. Resltaos e la Velocia y Anglo e Potencia empleano el Métoo e Rnge-Ktta e 4to Oren para caa pnto con paso e integración. segnos. Problema.. i t i ω i [p.] δ i [ra] δ i [Graos]

8 5 Anglo e Potencia [Graos] Tiempo [seg].5 Velocia [p.] Tiempo [seg] Figra. Trazao e la Velocia y Anglo e Potencia, para la solción por métoo e Rnge-Ktta e 4to Oren con paso e integración. segnos. Problema..

9 Problema.Un sistema e transmisión e 6 Hz, kv, mostrao en la Figra sigiente. Tabla. Datos e líneas y transformaores 4 Barra a Zserie Y Paralelo Gen Tranf Barra R X B Tranf -. - Tranf ( Línea Línea -5 ( ( Loa 4 Línea -5 ( Línea Este sistema tiene os ( generaores e inercia Tranf finita. Los atos e los transformaores y las líneas se mestran en la Tabla. Una falla trifásica ocrre en la Loa5 mita e na e las líneas entre las barras -5 (. Meiante la solción pretalla el fljo e potencia se Gen mestra en la Tabla. Determine la ecación e oscilación para caa na e las máqinas: (. antes e la falla y, (. rante el períoo e falla [5 Pts]. Los generaores tienen reactancias y valores e H qe se expresan en la base e MVA en la sigiente forma: Gen: x =.67 p., H =. MJ/MVA y Gen: x =. p., H = 8. MJ/MVA. Tabla Datos e Barra y Valores e Fljo e Potencia Antes e la Falla Barra Voltaje Generación Loa P gen Q gen P loa Q loa Resolción. Partieno e los resltaos el fljo e potencia se procee al cálclo e la corriente en terminales e caa generaor, antes e la inserción e la pertrbación. geni i S I geni = para i =,. V Se procee en el caso e caa generaor: S.5.7 j I gen = I gen = I gen = p. V I gen = gen gen V S j I gen = I gen = p Conocieno qe se esta empleano el moelo clásico para la simlación e las maqinas sincrónicas, se conoce: i x' i Done: De tal moo qe reslta para caa maqina: i i i I geni E ' = jx' I V geni ( gen E '..858 p. = jx' I V = j.67 i V i =

10 ( gen E ' p. = jx' I V = j..87 Para el caso e la barra e potencia infinita se cmple: E =.. p. ' De tal moo, qe los ánglos e potencia, e las máqinas y, pee ser referio a este ánglo como referencia resltano: δ = δ δ = δ Con los resltaos e los fljos e potencia, se procee a moelar las cargas, como na impeancia constante, consierano: i i V i P loai jq loai De tal moo, qe operano para caa carga se tiene: Y Y loa loa 5 loa loa = Sloai Y loai = V i Vloai S..44 j = = Y jp V (.8 loa = = loa 5 loa 5 S.5.6 j = = Y jp V (. loa 5 = = Para la conición previa a la falla el sistema reslta: Y =. 595 j '4.4j 4 ' j j.4 j j j I gen j j.49 j Y loa = j. j. j 5 j 5.49 j Y = j '5 j I gen Y loa = jp. 5 ' La matriz Amitancia e barra corresponiente pee ser fácilmente calclaa, meiante n simple programa elaborao en Matlab a líneas e comano.

11 % Problema 6.9 el Stavenson. % Problema. Examen Parcial. SP-7. % Valores e Amitancias % Generaores y=/(.67i y=/(.i % Transformaores y4=/(.i y5=/(.4i % Líneas e Transmisión y4=/(.7.4i y5=/(.8.47i y45=/(.8.i B4=-.8i B5=-.98i B45=-.6i % Impeancias e las Cargas Yloa4=(.-.44i/.8^ Yloa5=(.5-.6i/.^ % Formacion e la Matriz Ybs, Elemento a elemento % Elementos e la Diagonal Y=yy4/(yy4 Y=y5y/(y5y Y=y4y5y5B4/B5/B5/ Y44=y4(y4y/(y4yB45/B4/Yloa4y45 Y55=y5y5y45B45/B5Yloa5(y5y/(y5y % Elementos Fera e la Diagonal Y=; Y=; Y4=-y4y/(yy4; Y5=; Y=; Y=; Y4=; Y5=-y5y/(y5y; Y=Y; Y=Y; Y4=-y4; Y5=-y5; Y4=Y4; Y4=Y4; Y4=Y4; Y45=-y45; Y5=Y5; Y5=Y5; Y5=Y5; Y54=Y45; % Matriz Amitancia e Barra Ybs=[Y Y Y Y4 Y5; Y Y Y Y4 Y5; Y Y Y Y4 Y5; Y4 Y4 Y4 Y44 Y45; Y5 Y5 Y5 Y54 Y55 ] Efectano la respectiva corria el programa reslta qe los elementos propios e la matriz amitancia e barra ANTES DE LA PERTURBACIÓN RESULTA: Y = i Y = i Y = i Y44 = i Y55 = i Mientras qe matriz amitancia e barra reslta: Ybs = Colmns throgh i i i i i i i i i i i Colmn i i i i Por consieraciones e espacio se presenta la matriz con solo catro ecimales:

12 Y bs.6 j =.6 j 7.49 j 7.49 j j j j.6 j j j j 7.49 j j j j Se procee a eliminar las barras 4 y 5, meiante na rección e Kron Yre = i.86.77i i.86.77i i i i i i De tal moo se procee al cálclo e la potencia eléctrica entregaa por caa maqina a la barra e potencia infinita: P elec = G Y cos P elec = G Y cos ( δ θ ( δ θ Sstityeno valores reslta para la máqina : P elec ( = cos δ ( P elec = cos δ MAQUINA Sstityeno valores reslta para la máqina : P elec ( = cos δ ( P elec = cos δ MAQUINA Finalmente las ecaciones e oscilación ANTES e la pertrbación resltan ser: H. δ f = π 6π ( = (.5 [ cos ( δ ] P mec P elec δ = sen δ (.575 MAQUINA δ f = π 6π ( = (.85 [ cos ( δ ] H P mec P elec 8. δ = sen δ (.9786 MAQUINA δ δ = sen δ = sen δ (.575 (.9786

13 Cano ocrre la pertrbación se trata e na falla por cortocircito sólio en la mita e na e las líneas e transmisión -5. El iagrama e reactancia en esta sitación reslta: Y =. 595 j '4.4j 4 ' j j j.4j j j YL / YL / Y L = j /.49 j Y loa = j. j. j 5 j 5.49 j Y = j '5 j Y loa = jp. 5 ' Se constrye la neva matriz e amitancias DURANTE la conición e falla: Y bs.6 j =.6 j 7.49 j 7.49 j j j.6 j j j j 7.49 j j j Se procee a aplicar rección e Kron para eliminar las barras 4 y 5: Yre = i.9.i i.9.i i i i i i De tal moo se procee al cálclo e la potencia eléctrica entregaa por caa maqina a la barra e potencia infinita: P elec ' = E G Y cos P elec = G Y cos ( δ θ ( δ θ Sstityeno valores reslta para la máqina : P elec ( 9.54 = cos δ ( 9.54 P = cos δ MAQUINA elec Sstityeno valores reslta para la máqina : P elec ( = cos δ ( P elec = cos δ MAQUINA Finalmente las ecaciones e oscilación ANTES e la pertrbación resltan ser:

14 δ f = π 6π ( = (.5 [ cos ( δ 9.54 ] H P mec P elec. δ = sen δ (.54 MAQUINA δ f = π 6π ( = (.85 [ cos ( δ ] H P mec P elec 8. δ = sen δ (.7554 MAQUINA δ δ = sen δ = sen δ (.54 (.7554

15 Problema. Apliqe Rnge Ktta e 4 to Oren, con h =.5, para resolver el sigiente problema. yy' ( xy = y( = Determine y(.5 [ pts] NOTA: Problema propesto en la sección.7 e [] Resolción. Se tiene qe el problema a resolver pee ser reescrito e la forma: y' = f ( x, y y( x = x = y De tal moo, qe reorenano las ecaciones se tiene: ( xy y' = y y ( x = = Se iscretiza el problema para x [,.5], con Δx =.5. Para efectar los cálclos e na manera mas atomática, se proceió a implementar n programa en Matlab. % Métoo Rnge-Ktta e 4to oren % Problema Parcial, SP-7 % Parámetros e Simlación clc; clear x=. % Pnto inicial e la Simlación xn=.5 % Pnto final e la simlación h=.5; % Paso e integración h Y=.; % Conición inicial e la variable epeniente Nmero=(xn-x/h; % Calclar Nmero e Pntos a Simlar for II=:Nmero X(II=xh % Constantes para Y K=h(-(xY-/Y K=h(-((xh/(YK/-/(YK/ K=h(-((xh/(YK/-/(YK/ K4=h(-((xh(YK-/(YK Y(II=Y/6(KKKK4 Y=Y(II; % Actalizar y Almacenar Valores yi x=x(ii; % Actalizar y Almacenar Valores xi en Se tiene qe: X =.5 K = K = -.5 K = K4 = -.8 Y(x=.5 = En forma aproximaa se tiene qe y(x =.5 = 77/ =

16 .95 Y X Figra 5. Trazao e la Resolción el Problema por métoo e Rnge-Ktta e 4to Oren con paso e integración. segnos. Empleano n paso e integración mcho menor con Rnge-Ktta e 4to oren, Δx =., se tiene qe la solción e la ecación iferencial es y(x =.5 = []. W. Allen Smith. Análisis Nmérico. Prentice Hall Hispanoamericana S.A. 988.