1 1r Unidd s 1. Dominio de Polinomiles y Rcionles Cundo los pensmientos brumn nuestr mente es momento de tomr un pus, respirr, y reformulr ides. Unos minutos pr desconectrse resultn de provecho pr volver renovdos y listos. Descripción Cundo leemos «Zon restringid» sbemos que es un sector l que no tiene cceso todo el mundo, usulmente v compñdo de «solo personl utorizdo». L primer frse nos indic un Restricción, un límite, un condición que estblece lo que no podemos hcer o dónde no podemos entrr. L segund frse nos indic qué persons pueden entrr, esto en mtemátic es conocido como Dominio. Conozcmos ls restricciones y dominio de funciones Polinomiles y Rcionles. 1
Conocimientos Previos Requeridos Definición de Funciones, Dominio y Rngo, Tbl de Vlores, Gráfico de Funciones, Función Afín. Contenido Crcterístics y Dominio de Funciones Polinomiles y Rcionles, Ejercicios Resueltos. Videos disponibles FUNCIONES. Algebrics. Polinomiles. Crcterístics, Dominio FUNCIONES. Algebrics. Rcionles. Crcterístics, Dominio FUNCIONES. Algebric. Hllr el Dominio. Ejercicio 1 FUNCIONES. Algebric. Hllr el Dominio. Ejercicio FUNCIONES. Algebric. Hllr el Dominio. Ejercicio 3 Se sugiere l visulizción de los videos por prte de los estudintes previo l encuentro, de tl mner que sen el punto de prtid pr desrrollr un dinámic prticiptiv, en l que se use eficientemente el tiempo pr fortlecer el Lenguje Mtemático y desrrollr destrez en ls operciones. Poner l dí est informción básic merit por lo menos encuentros, de mner que puedn desrrollrse práctics guids con oportunidd de intercmbir y clrr duds.
Guiones Didácticos FUNCIONES. Algebric. Polinomiles. Crcterístic, Dominio Funciones Polinomiles. Son funciones lgebrics cuy estructur se corresponde con l de un polinomio, es decir, un sum lgebric de términos compuestos por un fctor numérico, que es el coeficiente, y un potenci de x, donde los exponentes de x son números nturles. n n-1 n-1 L P x = x + x + x + + x + x + n n-1 n- 1 n Crcterístics de ls Funciones Polinomiles Culquier se el polinomio, l vrible x está como bse de potencis de exponente nturl. Y l vrible, x, tom vlores reles Entonces, el resultdo de ests potencis son números reles. Los coeficientes son vlores reles. Entonces, el producto de los coeficientes y ls potencis son números reles. Lo que signific que cd término del polinomio es un vlor rel. x n, n x x n n n x n Finlmente, l sum de vlores reles result un vlor rel, n n-1 n-1 L P x = x + x + x + + x + x + n n-1 n- 1 P(x) entonces pr vlores reles de x los polinomios tienen imágenes reles. Si x P(x) De todo lo nterior se deduce que l vrible puede tomr culquier vlor rel, sin restricción. Restricción. Son condiciones bsds en definiciones o propieddes mtemátic, y que limitn los vlores que puede tomr un vrible pr que l función exist en los reles.. Dominio de ls Funciones Polinomiles En ls primers lecciones de funciones prendimos que el dominio de un función es el conjunto de vlores reles de x pr los que l función tiene imágenes reles. Pr ls funciones Polinomiles, todos los vlores reles de l vrible x tienen imágenes reles. En ls crcterístics de est función vimos que l vrible puede tomr culquier vlor rel, sin restricción, por lo tnto el dominio de ls funciones Polinomiles es todos los reles. Dom f = x 3
Funciones Polinomiles Notbles Ls funciones Polinomiles notbles son: función constnte, se obtiene cundo todos los coeficientes son ceros excepto el término independiente. Función Constnte. Su imgen es l mism pr culquier vlor de l vrible. f x = C Se obtiene cundo todos los coeficientes, excepto el término independiente,, son ceros. n n-1 n-1 P x = x + x + x + L + x + x + n n-1 n- 1 = C Función Afín. Su imgen es un polinomio de grdo 1, de form f(x) = mx + b Se trt de un función polinomil en l que todos los coeficientes son ceros excepto el del término de grdo uno y el término independiente, el gráfico de est función es un rect. n n-1 n-1 P x = x + x + x + L + x + x + n n-1 n- 1 1= m, = b Te invito revisr ls lecciones de Función Afín pr recordr. En l sección de videos disponibles, págin, tienes cceso ellos trvés de los enlces. Función Cudrátic. Su imgen es un polinomio de grdo, de form f(x) = x + bx + c Se obtiene cundo son cero todos los coeficientes de ls potencis de x, excepto los de x, x y el término independiente. b c n n-1 n-1 P x = x + x + x + L + x + x + n n-1 n- 1 = 1 =b =c Est función es notble y se estudi de mner prticulr en l sección de Función Cudrátic, Mtemátic de 3er ño, 3er Lpso. FUNCIONES. Algebric. Rcionles. Crcterístic, Dominio Funciones Rcionles. Son funciones lgebrics cuy estructur (imgen) es un frcción, con numerdor función y denomindor función, es decir, en el numerdor hy un expresión que contiene vrible y en el denomindor hy expresión que contiene vrible. Rx = qx Crcterístics de ls Funciones Polinomiles Desde estudios básicos prendimos que ls frcciones tienen un restricción o limitnte nturl, y es que no existe l división entre cero, por lo que el denomindor de l frcción debe ser distinto de cero. b, b 4
Ahor bien, En l función rcionl el denomindor es un expresión vrible, representd quí por q(x). Entonces q(x) debe ser distint de cero pr que l frcción pued resultr vlores reles. qx q x Dominio de ls Funciones Polinomiles Sbemos que el dominio de un función es el conjunto de vlores reles de x pr los que l función tiene imágenes reles. Pr ls funciones rcionles, el dominio es el conjunto de todos los vlores de l vrible x tles que el denomindor, q(x), se distinto de cero. Dom f = {x / q(x) L definición de este conjunto dominio está bsd en l restricción que presentmos en ls crcterístics. FUNCIONES. Algebric. Hllr el Dominio. Ejercicio 1 Hllr el dominio de l función: x + 3 f x = x - 7 1ro. Identificmos el tipo de función. L imgen de f es un frcción que tiene como numerdor un polinomio de grdo 1 y como denomindor un polinomio de grdo 1. Tod vez que l imgen de un función se un frcción que teng vrible en el denomindor se trt de un función rcionl. x + 3 Polinomio de grdo 1 f x = x - 7 Polinomio de grdo 1 Funcionl Rcionl f x = qx L función rcionl tiene restricción? En l lección teóric de funciones rcionles vimos que el denomindor de l frcción de un función rcionl debe ser distinto de cero, porque no existe l división entre cero. Entonces x 7 debe ser distinto de cero, por ser el denomindor de l frcción de l función rcionl dd. f x = qx x + 3 f x = x - 7 Ahor debemos resolver l desiguldd, despejmos x. x 7 Sólo hy un número rel que no se puede tomr, el 7. El dominio de est función es: Todos los vlores reles menos el 7. Dom f = {7 Restricción qx x - 7 Not: Pr excluir un número rel específico lo encerrmos entre llves, esto ocurre igul si se trt de dos o más números siempre que sen vlores puntules y no intervlos. 5
FUNCIONES. Algebric. Hllr el Dominio. Ejercicio Hllr el dominio de l función: 7 f x = x - 5 1ro. Identificmos el tipo de función. L imgen de f es un frcción que tiene como numerdor un número irrcionl, y como denomindor un polinomio de grdo. Tod vez que l imgen de un función se un frcción que teng vrible en el denomindor se trt de un función rcionl. 7 Número Irrcionl x - 5 Polinomio de grdo Funcionl Rcionl f x = qx Pr ls funciones rcionles el denomindor de l frcción debe ser distinto de cero, porque no existe l división entre cero. Entonces x 5 debe ser distinto de cero, por ser el denomindor de l frcción de l función rcionl dd. f x = qx 7 f x = x - 5 Restricción q x x - 5 Ahor debemos resolver l desiguldd, psmos 5, que está restndo, sumndo l otro ldo de l desiguldd. Cundo estudimos Ecuciones de segundo grdo o cudrátic, prendimos que l despejr un incógnit con exponente pr, debemos considerr el doble signo en l solución. Al despejr x de est desiguldd nos qued, x distinto de más o menos 5. Tmbién podemos decir, x distinto de -5 y x distinto de 5. Qué podemos concluir de l s relciones obtenids?. x 5 x 5 x 5 x 5 Vemos que x debe ser distint de -5 y 5 específicmente, sí que puede tomr culquier de los demás vlores reles. Como el dominio son todos los vlores que puede tomr l vrible x, entonces el dominio de est función es todos los vlores reles menos más o menos 5. Tmbién podemos decir que el dominio es todos los reles menos el -5 y el 5. Dom f = {±5 Dom f = {-5, 5 6
FUNCIONES. Algebric. Hllr el Dominio. Ejercicio 3 Hllr el dominio de l función: 1ro. Identificmos el tipo de función. x 1 fx = + x +1 3x + 6 L imgen de f es l sum de dos frcciones: Un tiene como numerdor un monomio de grdo 1 y como denomindor un binomio de grdo, Y l otr tiene como numerdor un número y como denomindor un polinomio de grdo 1. x Monomio de grdo 1 x +1 Binomio de grdo 1 3x + 6 Número Rel Binomio de grdo 1 Sbemos que si l imgen de l función contiene frcción con vrible en el denomindor se trt de un función rcionl. L función rcionl tiene restricción? El denomindor de un frcción debe ser distinto de cero. En est función tenemos dos denomindores, entonces: Resolveremos cd desiguldd pr obtener los vlores que no se deben tomr: 1r desiguldd, psmos 1 restndo l otro ldo, en este punto obtenemos l solución por nálisis de propieddes. x +1 3x + 6 x -1 Recordemos. Tod potenci con exponente pr result, positiv si l bse es distint de cero, y cero si l bse es cero. Es decir, Si l bse de l potenci es un número distinto de cero (negtivo o positivo) el resultdo d positivo. Si l bse de l potenci es cero, el resultdo de l potenci es cero. Si x es positivo o cero, entonces es distinto de -1 pr culquier vlor de x. L desiguldd se cumple pr todos los números reles. L solución de l 1r desiguldd es todos los reles. x Es positiv o cero x -1 x S 1 = x d desiguldd, psmos 6 restndo l otro ldo, y luego el 3 dividiendo. l simplificr est frcción nos qued 3x + 6 3x 6 x 6 x 3 x puede tomr culquier vlor menos el -. S = x {- 7
El dominio son todos los vlores que puede tomr l vrible, x. De l primer frcción sbemos que no hy restricción, x puede tomr culquier vlor rel. De l segund frcción sbemos que x puede tomr culquier vlor rel menos el -, el dominio debe stisfcer mbs condiciones, entonces el dominio es todos los vlores reles menos el -. Domf = {- 8
Emprejndo el Lenguje Restricción: Son condiciones bsds en definiciones o propieddes mtemátics, que limitn los vlores que puede tomr un vrible pr que l función exist en los reles. Dominio de un Función: es el conjunto de vlores reles de x pr los que l función tiene imágenes reles. Funciones Polinomiles. Son funciones lgebrics cuy estructur se corresponde con l de un polinomio. Función Constnte. Su imgen es l mism pr culquier vlor de l vrible, f(x) = C Función Afín. Su imgen es un polinomio de grdo 1, de form: f(x) = mx + b Función Cudrátic. Su imgen es un polinomio de grdo : f(x) = x + bx + c Funciones Rcionles. Son funciones lgebrics cuy estructur (imgen) es un frcción, con l menos denomindor función. 9
Emprejndo el Lenguje Hllr el dominio de ls siguientes funciones: f x = x -1 4x + 7 f x = x -16-1 f x = x - 7x + 6 1.. 3. 4. 4 3 f x = x x x 3 x + 5 Lo Hicimos Bien? Dominios 1. Dom 1 f = R - Dom f = R -. 3. Dom = R - 3,1, 4. Dom = R - f f 1