Jun nonio González o Proesor de emáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd ITEGRCIÓ ITEGRES IDEFIIDS ÉTODOS DE ITEGRCIÓ PRIITIV DE U FUCIÓ ITEGR IDEFIID Sen y F dos unciones reles deinids en un mismo dominio Diremos que F es un unción primiiv de, o simplemene un primiiv de F, si F iene por derivd En noción dierencil: EJEPOS: F es primiiv de F ' F es primiiv de Si, enonces puede ser F Si, enonces puede ser F sen d F d operción que permie oener un primiiv F prir de un unción recie el nomre de ITEGRCIÓ Si eise l unción F se dice que l unción es inegrle Un unción puede ener vris primiivs, por ejemplo, l unción, ener como primiivs ls unciones F, F, F 7, y que ' ' ' F F F podrí Teniendo en cuen eso, podrímos demosrr l siguiene Proposición Sen, F, G res unciones deinids de D en R, l que F y G son dos primiivs de Enonces, l unción F G es or unción de D en R y demás es consne De oro modo: Dos primiivs de un mism unción se dierencin lo sumo en un consne En eeco, si F y G son primiivs de l mism unción, quiere decir que F ' y G ' Resndo, miemro miemro, ms igulddes, endremos: F ' G' 0 F G' 0 F G ce F G ce DEFIICIÓ F G ce Dd un unción, se llm inegrl indeinid de l conjuno de sus ininis F primiivs { } ITEGRCIÓ IDEFIID ÉTODOS DE ITEGRCIÓ 99
Jun nonio González o Proesor de emáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd inegrl indeinid se represen por d El símolo se lee «inegrl de» y d se llm inegrndo El número rel recie el nomre de «consne de inegrción» EJEPOS: d sen y que l derivd del seno es el eno d d inegrl indeinid es un mili de unciones dependiene de un prámero cuys gráics se oienen por rslción de un primiiv Pr l deerminción de un primiiv es necesrio conocer l consne de inegrción; pr ello necesimos lgun or condición, como puede ser el vlor que om l unción primiiv en un puno del dominio o un puno por el que ps l gráic de l unción Ejemplo: Hll un primiiv de l unción, cuy gráic ps por el puno P, s primiivs de son de l orm F Pueso que l gráic ps por P,, endremos F Por no, l primiiv pedid será F Hllr l ecución de l primiiv de l unción e que ps por el puno P0, s primiivs de son de l orm F e Pueso que l gráic ps por P0,, endremos 0 F 0 e Por no, l primiiv uscd será F e Siendo F ', pr culquier primiiv F de, se veriicrá que df F' d d En consecuenci, l epresión d es l dierencil de culquier primiiv de y, por no, podemos escriir df F en priculr d o mién: d d d F d ITEGRCIÓ IDEFIID ÉTODOS DE ITEGRCIÓ 00
Jun nonio González o Proesor de emáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Ess epresiones nos eslecen que ls operciones dierencir e inegrr son operciones inverss o recíprocs PROPIEDDES IEES DE ITEGRCIÓ Inegrl de l sum o dierenci inegrl de l sum dierenci de dos unciones es igul l sum dierenci de l inegrles de dichs unciones Ejemplo: g d d ± ± g d d d d k sen k sen sen k k Inegrl del produco de un número rel por un unción inegrl del produco de un número rel por un unción es igul l número rel por l inegrl de l unción Ejemplo: e d e d e k d k d uilizción de ess dos propieddes consiuye el méodo de descomposición: conviene descomponer lo más posile el inegrndo plicndo l propiedd disriuiv, susiuyendo l epresión de l unción por or equivlene, sumndo o resndo un mism cnidd, muliplicndo y dividiendo por un mismo número Ejemplos: d d d d d d g g d g d d g TIPOS FUDETES DE ITEGRCIÓ d inegrción es el proceso recíproco de l derivción; por eso, l lecur de l l de derivds de derech izquierd nos proporcion ls primiivs de ls unciones elemenles no en l orm simple como en l orm compues Ess primiivs que se oienen direcmene de l l de derivds se llmn inmedis, y el conjuno de ells, inegrles inmedis ITEGRCIÓ IDEFIID ÉTODOS DE ITEGRCIÓ 0
Jun nonio González o Proesor de emáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Tods ls écnics de inegrción consisen en rnsormr el inegrndo hs oener un unción que reconozcmos como inmedi Por ello, el conocimieno y memorizción de los siguienes ipos es imprescindile pr inicirse en l inegrción ITEGRES DE FUCIOES EEETES: T I P O S F O R S S I P E S COPUESTS Poencil α α α α α d α ' d α ogrímico ' d d e d e ' e d e Eponencil d ' d Seno d sen ' d sen Coseno sen d ' sen d sec d g 'sec d g Tngene g d g g ' d g ' d g d g ec d cg 'ec d cg Congene cg d cg g ' d g ' d cg d sen cg sen ' d rcsen d rcsen rco seno rco eno rc rc d rcsen d rcsen ' rc rc ' d rcg d rcg rco ngene rccg rccg rco congene ' d rcg d rcg rccg rccg ITEGRCIÓ IDEFIID ÉTODOS DE ITEGRCIÓ 0
Jun nonio González o Proesor de emáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd EJEPOS: Tipo poencil: orm simple d d d d d d d d d d Cominndo l inegrl inmedi de ipo poencil con ls propieddes lineles de l inegrl indeinid, podemos inegrr unciones de ipo polinómico: d d d d d d d d d 7 7 7 7 7 7 Vemos que el proceso de inegrción lo hemos plicdo ls unciones poenciles dejndo los coeicienes l mrgen del proceso Sin emrgo, no hce l dr odos los psos como en el ejemplo nerior, sino que se puede y se dee inegrr direcmene como en el siguiene ejemplo: ITEGRCIÓ IDEFIID ÉTODOS DE ITEGRCIÓ 0
Jun nonio González o Proesor de emáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd d 7 9 7 7 d d d d d d d 8 8 8 8 d d 8 Tipo poencil: orm compues { } d ' { } d ' 0 0 d d d ' { } d sen ' sen { } d g ' sec g d d g g g g g ' d d d d ' ' ITEGRCIÓ IDEFIID ÉTODOS DE ITEGRCIÓ 0
Jun nonio González o Proesor de emáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd 9 9 Tipo logrímico: d d d d sen sen g d d d cg d d sen sen sen sen d d sen sen sen d d rcg rcg rcg d d rcsen rcsen rcsen Tipo eponencil: d d e d e d e e d e d e d d d e d e d e sen sen e d e sen sen sen e sen d e sen d e rcsen e rcsen rcsen d e d e rcg e rcg rcg d e d e ITEGRCIÓ IDEFIID ÉTODOS DE ITEGRCIÓ 0
Jun nonio González o Proesor de emáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Tipo rigonomérico seno, eno, ngene, d d sen d d sen d d sen d d sen sen d sen d sen sen d sen d sen d sen sen d sen d sen d sen d e sen e d e d g g d g d d g g d g g d g sec d g sec g d g g sec d g d g g ' sen d sec d sec d g d d 7 cg 7 sen 7 7 sen 7 7 d d g d cg cg d cg d d cg ITEGRCIÓ IDEFIID ÉTODOS DE ITEGRCIÓ 0
Jun nonio González o Proesor de emáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Tipo rco seno, rco ngene, d d d rcsen d d d rcsen e d e e d e e rcsen d d d d rcsen d d d d d rcsen d d d rcg 9 d d d rcg d d d d rcg 9 9 9 9 d d d rcg d d rcgsen sen sen d d d d 8 d rcg 0 ITEGRCIÓ IDEFIID ÉTODOS DE ITEGRCIÓ 07
Jun nonio González o Proesor de emáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd ÉTODOS DE ITEGRCIÓ Dd un inegrl se dee reconocer primero si se dp uno de los ipos undmenles o si se puede reducir lguno de ellos hciendo rnsormciones elemenles; en cso conrrio, hrá que plicr oros procedimienos pr su cálculo que recien el nomre de ÉTODOS DE ITEGRCIÓ ÉTODO DE SUSTITUCIÓ Es un consecuenci direc de l derivción de unciones compuess Como su nomre indic, se r de susiuir l vrile "" por un unción de or vrile "", g, de orm que el inegrndo se rnsorme en oro más sencillo Ese proceso puede hcerse de dos orms: FOR DIRECT Se hce g, de donde d g' d Susiuyendo en l inegrl, nos qued: [ g ] d g' d FOR RECÍPROC Se hce u, de donde d u' d, y se despej coninución y d pr susiuirlos en l inegrl Pr erminr el proceso se clcul l inegrl en l nuev vrile y después se deshce el cmio Es evidene que si l inegrl resulne del cmio es más complicd que l de prid, el cmio relizdo no es el decudo y deemos uscr oro OT: Siempre que se pued deemos de evir empler ese méodo y uilizr los ipos undmenles EJEPOS Clcul I d Hcemos l susiución Clculmos l dierencil de : d d y susiuimos en l inegrl que desemos clculr Tendremos: I d d d d rcg { deshciendo el cmio de vrile} rcg ITEGRCIÓ IDEFIID ÉTODOS DE ITEGRCIÓ 08
Jun nonio González o Proesor de emáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd d Clcul I Hcemos el cmio Clculmos l dierencil de : d d y susiuimos d I d { deshciendo el cmio} d Se podrí resolver l inegrl direcmene, sin necesidd de uilizr el méodo de susiución, emplendo l órmul de inegrción de unciones poenciles en su orm compues: I d d d d rcg I d ' d Hcemos el cmio rcg y clculmos l dierencil de Tendremos: d d d Susiuyendo en l inegrl nos qued: d rcg rcg I d d d Direcmene: rcg rcg I d d rcg d Hcemos l susiución Clculmos l dierencil de : d d y susiuimos en l inegrl que desemos clculr Tendremos: d d d d ' ITEGRCIÓ IDEFIID ÉTODOS DE ITEGRCIÓ 09
Jun nonio González o Proesor de emáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd ÉTODO DE ITEGRCIÓ POR PRTES El méodo de inegrción por pres se s en l derivd del produco de unciones prir de él rremos de uscr un regl que nos permi clculr l inegrl de un produco de unciones Consideremos dos unciones u u y v v de vrile, ms derivles dierencil del produco uv será: d u v u dv v du u dv d u v v du Inegrndo mos miemros, oenemos: u dv d u v v du u dv u v v du que es l órmul de inegrción por pres En el momeno de plicr es órmul de inegrción por pres deeremos de ener cuiddo en el momeno de elegir qué llmmos "u" y qué "dv" Si l inegrl que qued, después de plicr dich órmul, es más complicd que l de prid, signiic que hrá que cmir nuesr elección En lguns ocsiones l inegrl que qued después de plicr l órmul de inegrción por pres, es del mismo ipo que l de prid y endrímos que volver plicr el méodo En ors ocsiones, después de plicr l inegrción por pres un o dos veces, puede ocurrir que oengmos l mism inegrl de prid En ese cso, s despejr l inegrl pr oener l primiiv EJEPOS: I d Si hcemos u y dv d oenemos: du d y v plicndo l órmul de inegrción por pres, resul: I d d d En ocsiones el méodo de inegrción por pres no es n direco como podrí precer oservndo el ejemplo nerior, sino que llegmos l resuldo inl después de plicr dos o más veces dicho méodo: I sen d Hcemos el cmio u dv du d sen d v Susiuyendo en l órmul de inegrción por pres nos qued: sen d d d En l nuev inegrl que nos h resuldo, volvemos plicr el méodo de pres; hcemos: ITEGRCIÓ IDEFIID ÉTODOS DE ITEGRCIÓ 0
Jun nonio González o Proesor de emáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd y susiuimos u dv du d v d sen [ sen sen d] d [ sen ] sen sen d sen d Hcemos u dv sen d du d v y susiuimos en l órmul de inegrción por pres: sen d sen d sen d inegrl que nos qued, después de plicr pres, es del mismo ipo que l que queremos clculr En consecuenci, volvemos plicr el mismo procedimieno En ell hcemos: u dv y susiuimos nuevmene: sen d sen d sen du sen d v d sen sen d sen d os h vuelo h quedr l mism inegrl del principio Enonces, psndo l primer miemro nos qued: rcsen d sen d sen sen d [ sen ] Hcemos el siguiene cmio: u dv rcsen du d v d Susiuyendo en l órmul de inegrción por pres oenemos: ITEGRCIÓ IDEFIID ÉTODOS DE ITEGRCIÓ
Jun nonio González o Proesor de emáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd rcsen d rcsen rcsen rcsen d rcsen d rcsen d EJERCICIOS PROPUESTOS Clcul ls inegrles indeinids de ls siguienes unciones: e d d d n d e d rcg d e d sen d rcg d d d e d ITEGRCIÓ DE FUCIOES RCIOES Un unción rcionl es un cociene de dos polinomios, es decir, es de l orm: P, donde P y Q son dos polinomios en Q s unciones rcionles esán deinids en odo el conjuno de números reles slvo en los que se nul el denomindor ne l inegrl de un unción rcionl, lo primero que deemos compror es que no se puedn plicr los ipos undmenles que conengn unciones de ese ipo, ser: n ' n d ' d n n n n ' d ' d rcg Cundo no se puedn plicr los ipos neriores, ls unciones rcionles se inegrn por el méodo de rnsormción en rcciones simples que endrán por denomindor polinomios de primer o segundo grdo irreduciles ITEGRCIÓ IDEFIID ÉTODOS DE ITEGRCIÓ
Jun nonio González o Proesor de emáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd En odo el proceso de inegrción rcionl medine rcciones simples supondremos que el grdo del numerdor es menor que el grdo del denomindor, pues en cso conrrio podemos dividir y oendrímos P C Q R dividiendo enre Q nos qued: P R C Q Q y l inegrción se reduce inegrr un polinomio C que será inmedi y l unción R rcionl, con el grdo del numerdor menor que el del denomindor Q Pr inegrr un unción de ese ipo uilizremos el ÉTODO DE DESCOPOSICIÓ E FRCCIOES SIPES Ese méodo cons de res pres ien dierencids: Cálculo de ls ríces del denomindor descomposición en cores del denomindor Descomposición de l unción en sum de rcciones simples c Inegrción de los sumndos P Consideremos l unción, donde el grdo del numerdor es menor que el Q grdo del denomindor y sigmos los psos indicdos neriormene: descomposición en cores del denomindor se eecurá por los méodos conocidos en cursos neriores Regl de Ruini, si el polinomio es de grdo myor que dos Supongmos que el polinomio Q iene ls siguienes ríces k ríces reles y s ríces complejs, que serán conjugds dos dos Ríces reles: se presen r veces grdo de muliplicidd de l ríz se presen r veces se presen r veces k Ríces complejs: k z i z i z i z i z i z s s s s s s i En ese cso l unción rcionl de l siguiene orm: P se puede descomponer en rcciones simples Q ITEGRCIÓ IDEFIID ÉTODOS DE ITEGRCIÓ
Jun nonio González o Proesor de emáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd s s s s r k r k k r r r r z D z D z D z D C C C Q P k k Sumndo ls rcciones en cuyos denomindores precen ríces complejs conjugds, nos qued: s s s s r k r k k r r r r C C C Q P k k Podemos oservr que por cd ríz precen ns rcciones como indic su grdo de muliplicidd número de veces que se presen un ríz: los numerdores de dichs rcciones son coeicienes indeermindos y los denominres son de l orm ríz elevndo dich dierenci desde uno hs el grdo de muliplicidd El procedimieno pr clculr los coeicienes indeermindos lo veremos con lgunos ejemplos inegrción de nuesr unción rcionl será l sum de ls inegrles de cd un de ls rcciones simples: c inegrción de ls rcciones simples en que se h descompueso l unción rcionl se hce medine los ipos nes visos: s que ienen eponene unidd en el denomindor son logrimos neperinos i i i d d Ors son de ipo poencil: n i n i n i n i n n d d Y un ercer ipo correspondiene ls ríces complejs de l orm d en cuy resolución precerán, en generl, un logrimo y un rco ngene Vemos como podemos resolver es inegrl: d d d d d ITEGRCIÓ IDEFIID ÉTODOS DE ITEGRCIÓ
Jun nonio González o Proesor de emáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd [ ] [ ] [ ] [ ] d d d d d rcg EJEPOS: Clculr d I 9 Resolución: Clculmos ls ríces del denomindor, resolviendo l ecución: ± 0 9 Descomponemos l unción del inegrndo en rcciones simples, de l orm: 9 9 9 c Pueso que los denomindores son igules, pr que ls rcciones sen igules endrán que ser igules los numerdores Por no: d Pr clculr los coeicienes y se podrán empler disinos méodos: IDETIFICCIÓ DE COEFICIETES Pr plicr ese méodo, ordenmos el polinomio que prece con coeicienes indeermindos: e ideniicmos los coeicienes de igul poenci de, resolviendo el sisem que nos resul: 0 0 ITEGRCIÓ IDEFIID ÉTODOS DE ITEGRCIÓ
Jun nonio González o Proesor de emáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd VORES UÉRICOS En l epresión nerior, se le signn vlores l indeermind, nos como coeicienes indeermindos engmos, oeniéndose de es mner un sisem de ns ecuciones como coeicienes engmos que clculr Resolviendo ese sisem oendrímos los coeicienes uscdos El sisem que se oiene por ese procedimieno, se simpliic si los vlores que dmos l indeermind son los mismos que los de ls ríces del denomindor En el cso de que huiese más coeicienes que ríces y le signmos los vlores que quermos: Si Si e Oenidos los coeicienes, podemos psr inegrr l unción dd: [ ] d d d d I Clculr: d I Pueso que el grdo del numerdor es myor que el grdo del denomindor, deemos dividir numerdor enre denomindor oeniendo l siguiene descomposición: plicndo el méodo de inegrción rcionl l rcción resulne: Descomponemos en rcciones simples: C C de donde: C Dndo vlores l indeermind: 0 Pr C C Pr C Pr 8 c Enonces, clculmos l inegrl: d d d I ITEGRCIÓ IDEFIID ÉTODOS DE ITEGRCIÓ
Jun nonio González o Proesor de emáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd d d d d d Clcul: d I l ser el grdo del denomindor myor que el del numerdor, plicmos direcmene el méodo de descomposición en rcciones simples Clculmos ls ríces del denomindor: i i 0 0 0 Hemos oenido un ríz rel y dos ríces complejs conjugds Por no, l descomposición en rcciones simples nos qued de l orm: l ser los denomindores igules, endrán que serlo mién los numerdores: Dndo vlores l indeermind, oenemos: 0 Pr 0 8 8 0 Pr Pr c Oenido el vlor de los prámeros, psmos clculr l inegrl: d d d d d d d d d d d I d d rcg ITEGRCIÓ IDEFIID ÉTODOS DE ITEGRCIÓ 7
Jun nonio González o Proesor de emáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd EJERCICIOS d d 8 d 7 d 7 d d d d d d ITEGRCIÓ POR REDUCCIÓ DE ITEGRDO inegrción indeinid de lguns unciones puede resulr más ácil y cómod si medine un decudo cmio de vrile podemos reducirls unciones cuy inegrción y conocemos Vemos lgunos csos ineresnes: Inegrción de unciones de Pr inegrr ese ipo de unciones se hce el cmio de vrile inegrndo en un unción de l vrile Ejemplos: e e d e Hcemos el cmio e, con lo que Susiuyendo en l inegrl, nos qued de l orm: e e e, e d d d d d que rnsorm el d d d d d d e e d e e d Hcemos el cmio e, con lo que Susiuyendo en l inegrl, nos qued de l orm: e e d d e e d d d d d d d e e d d e ITEGRCIÓ IDEFIID ÉTODOS DE ITEGRCIÓ 8
Jun nonio González o Proesor de emáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Inegrción de unciones con poencis de eponene rccionrio c p d q Pr clculr inegrles del ipo R,,, d se eecú el cmio de vrile m donde m m c m, d,, q Ejemplo: d Clculmos el mínimo común múliplo de los índices de los rdicles: m m c m, y hcemos el cmio d d Susiuyendo en nuesr inegrl, nos qued: d d d d Teniendo en cuen que con lo cul: d d d ITEGRCIÓ DE FUCIOES TRIGOOÉTRICS myor pre de ls inegrles de unciones rigonomérics pueden resolverse hciendo rnsormciones en el inegrndo eniendo en cuen ls ideniddes viss en el curso nerior, lguns de ls cules recordmos coninución: sen g sec cg ec sen sen sen sen y [ sen y sen y ] y [ y y ] sen sen sen y [ y y ] EJEPOS sen d ITEGRCIÓ IDEFIID ÉTODOS DE ITEGRCIÓ 9
Jun nonio González o Proesor de emáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd d sen d d d sen d d d d sen sen sen d sen sen d d d d d d sen d d sen d d sen d d d d d sen sen 8 sen d sen d d d d d sen d d d d [ ] d [ ] d d d d d sen sen ITEGRCIÓ IDEFIID ÉTODOS DE ITEGRCIÓ 0
Jun nonio González o Proesor de emáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd sen d sen 7d sen d 7 [ sen sen ] d [ sen 7 sen ] 7 7sen 7d sen d d ITEGRCIÓ DE FUCIOES TRSCEDETES: R sen, d R design un unción rcionl en sen y Ese ipo de inegrles puede reducirse rcionles medine un simple cmio de vrile s susiuciones más recuenes son: Si R es un unción impr de, es decir: R R relizremos l susiución sen d d Si R es un unción impr en sen, es decir: R sen Rsen hremos l susiución sen d d Si Rsen, no cmi cundo se cmi l vez sen por sen y por, se rcionliz medine l susiución g d d En odos los csos l unción Rsen, se puede rcionlizr medine l susiución g, de donde sen d d Ejemplos sen d Hciendo el cmio sen sen d d endremos: d sen sen d d d d d sen Hcemos el cmio sen d d con lo que l inegrl nos qued: ITEGRCIÓ IDEFIID ÉTODOS DE ITEGRCIÓ
Jun nonio González o Proesor de emáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd d d d d d d sen sen sen sen d Hcemos el cmio d d g y l inegrl nos qued: d d d d d g g g d Relizmos l susiución generl, g de donde sen, y d d con lo que nos qued: d d d d d d d g g g rcgg rcg Clcul: ITEGRCIÓ IDEFIID ÉTODOS DE ITEGRCIÓ