IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 006 (Modelo Septiembre) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (1 5 putos) Represete gráficamete el recito defiido por el siguiete sistema de iecuacioes: x 3(y 3); x + 3y 36; x 15; x 0; y 0. (1 puto) Calcule los vértices del recito. c) (0 5 putos) Obtega el valor máximo de la fució F(x, y) = 8x + 1y e este recito e idique dóde se alcaza. Solució (, ( y (c) Fució Objetivo F(x,y) = 8x + 1y. Restriccioes: Que so las desigualdades x 3(y 3); x + 3y 36; x 15; x 0; y 0; y las trasformamos e igualdades, y ya so rectas, x = 3(y 3); x + 3y = 36; x = 15; x = 0; y = 0. Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = x/3 + 3; y = -x/3 + 1; x = 15; x = 0; y = 0; Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, y el recito e el cual estará los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes de las rectas de dos e dos. De x = 0 e y = 0. El puto de corte es A(0,0) De x = 15 e y = 0. El puto de corte es B(15,0) De x = 15 e y = -x/3 + 1; teemos y =. El puto de corte es C(15,) De y = -x/3 + 1 e y = x/3 + 3; teemos -x/3 + 1 = x/3 + 3, es decir -x + 36 = x + 9, luego 7 = 3x, luego x = 9 e y = 6, y el puto de corte es D(9,6) De x = 0 e y = x/3 + 3, teemos y = 3, y el puto de corte es E(0,3) Vemos que los vértices del recito so: A(0;0), B(15,0), C(15;), D(9,6) y E (0;3). Calculemos el máximo de la fució F(x,y) = 8x + 1y e dicha regió. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(0;0), B(15,0), C(15;), D(9,6) y E (0;3). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(0,0) = 8(0)+1(0) = 0; F(15,0) = 8(15)+1(0) = 10; F(15,) = 8(15)+1() = 144; F(9,6) = 8(9)+1(6) = 144; F(0,3) = 8(0)+1(3) = 36. Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 144 (el valor mayor e los vértices) y se alcaza e los vértices C(15,) y D(9,6), es decir e todo el segmeto que ue el vértice C co el vértice D. EJERCICIO _A (1 5 putos) La gráfica de la fució derivada de ua fució f es la parábola de vértice (0,) que corta al eje de abscisas e los putos (-3,0) y (3,0). A partir de dicha gráfica, determie los itervalos de crecimieto y decrecimieto de la fució f. (1 5 putos) Calcule los extremos relativos de la fució g(x) = x 3 3x. gjrubio@hotmail.com 1
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 006 (Modelo Septiembre) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Solució La gráfica de la fució derivada de ua fució f es la parábola de vértice (0,) que corta al eje de abscisas e los putos (-3,0) y (3,0). A partir de dicha gráfica, determie los itervalos de crecimieto y decrecimieto de la fució f. Co los datos ateriores la gráfica de f (es ua parábola, que tiee el vértice ecima de los cortes co el eje OX, luego tiee las ramas hacia abajo), es parecida a: Observado la gráfica de f (x) vemos que f (x) > 0 (ecima del eje OX) e el itervalo (-3,3), es decir f estrictamete creciete ( ) e el itervalo (-3,3). Observado la gráfica de f (x) vemos que f (x) < 0 (debajo del eje OX) e el itervalo (-,-3) (3,+ ), es decir f estrictamete decreciete ( ) e el itervalo (-,-3) (3,+ ). Por defiició x = -3 es u míimo relativo. Por defiició x = 3 es u máximo relativo. Calcule los extremos relativos de la fució g(x) = x 3 3x. Estudiamos su primera derivada g (x). g(x) = x 3 3x, g (x) = 3x 3. De g (x) = 0, teemos 3x 3 = 0, de dode x = ± 1. Que será los posibles extremos relativos. De g (-) = 3(-) 3 = 9 > 0, vemos que g (x) > 0 e el itervalo (-,-1), es decir g(x) es estrictamete e el itervalo (-,-1) creciete ( ) De g (0) = 3(0) 3 = -3 < 0, vemos que g (x) < 0 e el itervalo (-1,+1), es decir g(x) es estrictamete decreciete ( ) e el itervalo (-1,+1) De g () = 3() 3 = 9 > 0, vemos que g (x) > 0 e el itervalo (-,-1), es decir g(x) es estrictamete creciete ( ) e el itervalo (1,+ ) Por defiició x = -1 es u máximo relativo. Por defiició x = 1 es u míimo relativo. Tambié podíamos haber visto que g (-1) < 0. ( g (x) = 6x, luego g (-1) = -6 < 0 ); y que g (1) > 0. ( g (x) = 6x, luego g (1) = 6 > 0 ) EJERCICIO 3_A Parte I Laura tiee u dado co tres caras pitadas de azul y las otras tres de rojo. María tiee otro dado co tres caras pitadas de rojo, dos de verde y ua de azul. Cada ua tira su dado y observa el color. (1 puto) Describa el espacio muestral asociado y las probabilidades de los sucesos elemetales. (1 puto) Si sale los dos colores iguales gaa Laura; y si sale el color verde, gaa María. Calcule la probabilidad que tiee cada ua de gaar. Solució Laura tiee u dado co tres caras pitadas de azul y las otras tres de rojo. María tiee otro dado co tres caras pitadas de rojo, dos de verde y ua de azul. Cada ua tira su dado y observa el color. gjrubio@hotmail.com
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 006 (Modelo Septiembre) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Describa el espacio muestral asociado y las probabilidades de los sucesos elemetales. Sea los sucesos A L, R L, A M, R M, V M los sucesos salir color azul al lazar Laura su dado, salir color rojo al lazar Laura su dado, salir color azul al lazar María su dado, salir color rojo al lazar María su dado y salir color verde al lazar María su dado. El espacio muestral es R = { A L - A M ; A L - R M ; A L - V M ;R L - A M, ; R L - R M y R L - V M } Al lazar cada uo su dado los sucesos geerados so idepedietes, es decir p(a B) = p(a) p(b). Teemos p(a L ) = 3/6 = 1/, p(r L ) = 3/6 = 1/, p(a M ) = 1/6, p(r M ) = 3/6 = 1/ y p(v M ) = /6 = 1/3. Todo esto se puede hacer por u diagrama de árbol poiedo 1º los resultados de Laura y después los de María. Veamos ya las probabilidades de los sucesos elemetales del espacio muestral: p(a L - A M ) = p(a L A M ) = p(a L ) p(a M ) = (1/) (1/6) = 1/1. p(a L - R M ) = p(a L R M ) = p(a L ) p(r M ) = (1/) (1/) = 1/4. p(a L - V M ) = p(a L V M ) = p(a L ) p(v M ) = (1/) (1/3) = 1/6. p(r L - A M ) = p(r L A M ) = p(r L ) p(a M ) = (1/) (1/6) = 1/1. p(r L - R M ) = p(r L R M ) = p(r L ) p(r M ) = (1/) (1/) = 1/4. p(r L - V M ) = p(r L V M ) = p(r L ) p(v M ) = (1/) (1/3) = 1/6. Si sale los dos colores iguales gaa Laura; y si sale el color verde, gaa María. Calcule la probabilidad que tiee cada ua de gaar. p(gaa Laur = p(sale dos colores iguales) = p(a L A M ) + p(r L R M ) = (1/1) + (1/4) = 1/3. p(gaa Marí = p(sale color verde) = p(a L V M ) + p(r L V M ) = (1/6) + (1/6) = 1/3. Vemos que tiee la misma probabilidad de gaar. EJERCICIO 3_A Parte II (1 puto) Los valores: 5, 61, 58, 49, 53, 60, 68, 50, 53 costituye ua muestra aleatoria de ua variable aleatoria Normal, co desviació típica 6. Obtega u itervalo de cofiaza para la media de la població, co u ivel de cofiaza del 9%. (1 puto) Se desea estimar la media poblacioal de otra variable aleatoria Normal, co variaza 49, mediate la media de ua muestra aleatoria. Obtega el tamaño míimo de la muestra para que el error máximo de la estimació, mediate u itervalo de cofiaza al 97%, sea meor o igual que. Solució σ Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, σ ) o X N(µ, σ ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: σ σ I.C. (µ) = x z 1 α/,x + z1 α/ = (a, dode z 1-α/ y z α/ = - z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ σ Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es E = z1 α /, para el itervalo de la media. σ Pero la amplitud del itervalo es b a = z1 α / = E, de dode E = (b /, por tato el tamaño gjrubio@hotmail.com 3
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 006 (Modelo Septiembre) Solució Germá-Jesús Rubio Lua míimo de la muestra es = z 1- α/. σ E. Los valores: 5, 61, 58, 49, 53, 60, 68, 50, 53 costituye ua muestra aleatoria de ua variable aleatoria Normal, co desviació típica 6. Obtega u itervalo de cofiaza para la media de la població, co u ivel de cofiaza del 9%. Datos del problema: σ = 6, = 9, x = (5+61+58+49+53+60+68+50+53)/9 = 56, ivel de cofiaza = 9% = 0 9 = 1 - α, de dode α = 0 08. De 1 α = 0 9, teemos α = 1-0 9 = 0 08, de dode α/ = 0 08/ = 0 04 De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = 1-0 04 = 0 96. Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad 0 96 o viee, y la más próxima es 0 9599 que correspode a z 1-α/ = 1 75 (iterpolado z 1-α/ = 1 7511), por tato el itervalo de cofiaza pedido es: σ σ I.C. (µ) = x z 1 α/,x + z1 α/ = 6 6 56-1'75,56+1'75 9 9 = (5 5,59 5) Se desea estimar la media poblacioal de otra variable aleatoria Normal, co variaza 49, mediate la media de ua muestra aleatoria. Obtega el tamaño míimo de la muestra para que el error máximo de la estimació, mediate u itervalo de cofiaza al 97%, sea meor o igual que. Datos del problema: σ = 49, luego σ = 7, E, co el ivel de cofiaza ivel de cofiaza = 97% = 0 97 = = 1 - α, de dode α = 0 03. De 1 α = 0 97, teemos α = 1-0 97 = 0 03, de dode α/ = 0 03/ = 0 015 De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = 1-0 015 = 0 985. Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad 0 985 viee, y correspode a z 1-α/ = 17. z 1- α/. σ '17 7 De = E 57 684, es decir el tamaño míimo es = 58. OPCIÓN B EJERCICIO 1_B (3 putos) El cajero de u baco sólo dispoe de billetes de 10, 0 y 50 euros. Hemos sacado 90 euros del baco y el cajero os ha etregado exactamete 8 billetes. El úmero de billetes de 10 euros que os ha dado es el doble del de 0 euros. Platee y resuelva el sistema de ecuacioes lieales asociado a este problema para obteer el úmero de billetes de cada tipo que os ha etregado el cajero. Solució El cajero de u baco sólo dispoe de billetes de 10, 0 y 50 euros. Hemos sacado 90 euros del baco y el cajero os ha etregado exactamete 8 billetes. El úmero de billetes de 10 euros que os ha dado es el doble del de 0 euros. Platee y resuelva el sistema de ecuacioes lieales asociado a este problema para obteer el úmero de billetes de cada tipo que os ha etregado el cajero. x = º billetes de 10 y = º billetes de 0 z = º billetes de 50 De, Hemos sacado 90 euros del baco, teemos: 10x + 0y + 50z = 90. De, el cajero os ha etregado 8 billetes, teemos: x + y + z = 8. De, El úmero de billetes de 10 euros es el doble del de 0 euros, teemos: x = y. El sistema de ecuacioes pedido es: 10x + 0y + 50z = 90 x + y + z = 8 x = y gjrubio@hotmail.com 4
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 006 (Modelo Septiembre) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Sustituimos la 3ª ecuació x = y e las dos primeras, quedádoos: 10(y) + 0y + 50z = 90 40y + 50z = 90 4y + 5z = 9 (y) + y + z = 8 3y + z = 8 z = 8 3y. Sustituyedo e la aterior teemos: 4y + 5(8-3y) = 9 4y + 40-15y = 9 11 = y, luego x = (1) = y z = 8 3(1) = 5. El cajero os ha dado dos billetes de 10, u billete de 0 y cico billetes de 50. EJERCICIO _B Se cosidera la fució f(x) = - x. (1 puto) Halle la ecuació de la recta tagete a la gráfica de esa fució e el puto de abscisa x = 1. (1 puto) Estudie su mootoía. c) (1 puto) Calcule sus asítotas. Solució Se cosidera la fució f(x) =. - x Halle la ecuació de la recta tagete a la gráfica de esa fució e el puto de abscisa x = 1. Ates de empezar vemos que la gráfica de f es ua hipérbola y que o está defiida e el º que aula el deomiador, e este caso x =, es decir f está defiida e R {}. La recta tagete e x = 1 es y f(1) = f (1)(x 1) (-1) ( - x) - () (-1) 1 f(x) =. f'(x) = =. - x ( - x) ( - x) Luego f(1) = 3/1 = 3 y f (1) = 1/1 = 1, por tato la recta tagete es y 3 = (1)(x 1). Estudie su mootoía. No está pidiedo el estudio de la 1ª derivada, y os saldrá crecimieto, decrecimieto, etc.. 1 Sabemos que f'(x) = ( - x) De f (x) = 0, teemos 1 = 0, lo cual es absurdo, por tato f o tiee extremos relativos (tambié lo sabíamos pues su gráfica es ua hipérbola, la cual o tiee extremos), por tato dadole u solo valor del domiio de f a f veremos su mootoía. De f (0) = 1/ = 1/4 > 0, vemos que f (x) > 0 e su domiio R {}, es decir f(x) es estrictamete creciete ( ) e R {}. c) Calcule sus asítotas. Sabemos que los cocietes de fucioes poliómicas tiee ua asítota horizotal (A.H.) si coicide el grado del umerador co el del deomiador, que es uestro caso, y además dicha A.H. es la misma e ±. Tambié sabemos que los úmeros que aula el deomiador so asítotas verticales (A.V.) si el límite e dicho úmero es, que tambié es uestro caso. Teemos f(x) =, cuya grafica es ua hipérbola y sabemos tiee ua A.V. y ua A.H. - x El úmero que aula el deomiador (-x=0) es x =, y como lim x - x = 5/0+ = +, la recta x = es ua A.V. de f. Como lim x + - x = lim (-x/-x) = x + lim (1) = 1, la recta y = 1 es ua A.H. e ±. x + gjrubio@hotmail.com 5
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 006 (Modelo Septiembre) Solució Germá-Jesús Rubio Lua EJERCICIO 3_B Parte I De u estudio sobre accidetes de tráfico se dedujero los siguietes datos: E el 3% de los casos o se llevaba puesto el cituró de seguridad, e el 65% o se respetaro los límites de velocidad permitidos y e el 30% de los casos se cumplía ambas ormas, es decir, llevaba puesto el cituró y respetaba los límites de velocidad. (1 puto) Calcule la probabilidad de que, e u accidete de tráfico, o se haya cumplido algua de las dos ormas. (1 puto) Razoe si so idepedietes los sucesos llevar puesto el cituró y respetar los límites de velocidad. Solució De u estudio sobre accidetes de tráfico se dedujero los siguietes datos: E el 3% de los casos o se llevaba puesto el cituró de seguridad, e el 65% o se respetaro los límites de velocidad permitidos y e el 30% de los casos se cumplía ambas ormas, es decir, llevaba puesto el cituró y respetaba los límites de velocidad. Calcule la probabilidad de que, e u accidete de tráfico, o se haya cumplido algua de las dos ormas. Sea A y B los sucesos llevar puestos cituró y respetar límites velocidad. Del problema teemos p(a C ) = 3% = 0 3, p(b C ) = 65% = 0 65 y p(a B) = 30% = 0 3. Sabemos que p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B); A y B so idepedietes si p(a B) = p(a) p(b); p(a C ) = 1 - p(a); p(a C B C ) = {Ley de Morga} = p(a B) C = {suceso cotrario} = 1 - p(a B). De p(a C ) = 1 - p(a), teemos p(a) = 1 0 3 = 0 77. De p(b C ) = 1 - p(b), teemos p(b) = 1 0 65 = 0 35. Me pide p(o cituró ó o respetar velocidad) = p(a C B C ) = p(a B) C = 1 - p(a B) = 1 0 3 = 0 7. Razoe si so idepedietes los sucesos llevar puesto el cituró y respetar los límites de velocidad. De 0 3 0 77 0 35, teemos que p(a B) p(a) p(b) y los sucesos A y B o so idepedietes, es decir depede el llevar puesto el cituró y respetar los límites de velocidad. EJERCICIO 3_B Parte II ( putos) E ua muestra aleatoria de 1000 persoas de ua ciudad, 400 vota a u determiado partido político. Calcule u itervalo de cofiaza al 96% para la proporció de votates de ese partido e la ciudad. Solució Sabemos que si 30 para la proporció muestral p, el estimador PROPORCIÓN MUESTRAL p sigue ua ormal N( p q p, ) que es la distribució muestral de proporcioes, dode q = 1- p, y geeralmete escribimos p N( p q p, ) o p N( p q p, ). Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció p de las muestras es: p q ˆ ˆ p q ˆ ˆ I.C.(p) = p ˆ - z ˆ 1 α/.,p + z 1 α/. = (b- dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ )=1-α/. gjrubio@hotmail.com 6
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 006 (Modelo Septiembre) Solució Germá-Jesús Rubio Lua El error cometido es E < z 1 α /. p(1 ˆ p) ˆ = (b-/, de dode el tamaño de la muestra es > ˆˆ. (z 1-α/ ).p.q E E ua muestra aleatoria de 1000 persoas de ua ciudad, 400 vota a u determiado partido político. Calcule u itervalo de cofiaza al 96% para la proporció de votates de ese partido e la ciudad. Datos del problema: p = 400/1000 = 0 4, q = 1-0 7 = 0 6, = 1000, ivel de cofiaza 1 α = 96% = = 0 96, de dode α = 0 04 = 4% como ivel de sigificació. De α = 0 04 teemos α/ = 0 0 De la igualdad p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = 1-0 0 = 0 98, que se mira e la tabla de la distribució Normal N(0,1), y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/. Mirado e la tabla de la N(0,1) vemos que el valor 0 98 o viee e la tabla y el valor más próximo es 0 9798, que correspode a z 1-α/ = 05 (iterpolado z 1-α/ = 054). Por tato el itervalo de cofiaza pedido es: p q ˆ ˆ I.C.(p) = p ˆ - z ˆ 1 α/.,p + z 1 α/. (0 3684; 0 43176) p q ˆ ˆ = 0'4 0'6 0'4 0'6 0 ' 4 - ' 05,0 ' 4 + ' 05 1000 1000 gjrubio@hotmail.com 7