Continuidad. Funciones

I. E. S. Siete Colins (Ceut) Deprtmento de Mtemátics Mtemátics de º de Bchillerto Continuidd de Funciones Por Jvier Crroquino CZs Ctedrático de mtemátics del I.E.S. Siete Colins Ceut 005

Continuidd De Funciones Jvier Crroquino Cñs

Mtemátics de º de bchillerto Ciencis de l Nturlez y l Slud Tecnologí Continuidd De Funciones Por Jvier Crroquino Cñs Ctedrático de mtemátics I.E.S. Siete Colins (Ceut) Deprtmento de Mtemátics Ceut 005

Jvier Crroquino Cñs I.E.S. Siete Colins (Deprtmento de Mtemátics) Continuidd de Funciones Depósito Legl : CE&4&005 ISBN : 84&689&6&7 Número de Registro : 05455 Ceut 005

Prólogo Coloquilmente entendemos por continuidd como lgo que tiene l propiedd o culidd de no interrumpirse. Vlg como ejemplo rel l tryectori que sigue un proyectil desde el momento de su lnzmiento hst su impcto en un lugr. Dich tryectori se puede considerr como un líne continu, es decir, no se interrumpe y luego continu desde otro punto. En el ámbito de ls funciones reles de vrible rel, lo podemos socir l hecho de que l gráfic de un función es un líne ininterrumpid (líne continu) en el conjunto donde se encuentre definid, esto es, puede dibujrse sin necesidd de levntr el lápiz del ppel. El estudio de l continuidd está íntimmente ligdo l de límite de un función, por lo que el bordje de este tem debe ser posterior l tituldo Límites de funciones que se present en l mism colección. Debe considerrse l continuidd de un función como lgo fundmentl de estudir pr conocer posteriormente otrs propieddes de ell. Insistimos en que este tem es un pso más pr lcnzr un objetivo mrcdo, el estudio y conocimiento de ls propieddes de ls funciones reles de vrible rel.

Mtemátics º de bchillerto I Continuidd de funciones Índice Págin.Introducción....Continuidd de un función en un punto... 3.Discontinuidd de un función en un punto... Ejemplo... 3 Ejemplo... 4 Ejemplo 3... 5 Ejemplo 4... 6 Ejemplo 5... 7 Ejemplo 6... 8 4.Otr definición de continuidd de un función en un punto.9 Ejemplo 7... Ejemplo 8... Ejemplo 9... 4 5.Continuidd de un función en un intervlo bierto... 5 Ejemplo 0... 6 6.Continuidd de un función en su dominio... 6 Ejemplo... 6 7.Continuidd lterl en un punto... 7 Ejemplo... 0 8.Función continu en un intervlo cerrdo... Ejemplo 3... Ejemplo 4... 3 Ejemplo 5... 4 9.Teorem de Bolzno... 4 Ejemplo 6... 7 Ejemplo 7... 7 Ejemplo 8... 8 0.Teorem de los vlores intermedios o de Drboux... 9 Ejemplo 9... 30.Teorem... 3 Ejemplo 0... 33 Ejemplo... 34.Continuidd y cotción de un función. Teorem... 35 Ejemplo... 35 3.Teorem de Weierstrss... 36 Ejemplo 3... 37

Mtemátics de º de bchillerto Págin Continuidd de funciones Continuidd de funciones.introducción.- En este tem vmos estudir l propiedd que tiene o no un función de que su gráfic se un líne ininterrumpid en todo su recorrido o en un prte de él. Digmos que pr frontr este tem es conveniente que el lumno se fmilirice con otros que previmente hn debido ser estudidos y que mencionmos seguidmente: Î Funciones reles de vrible rel. Ï Gráfics de funciones reles de vrible rel. Ð Propieddes y forms de ls funciones reles de vrible rel. Ñ Límites de funciones..continuidd de un función en un punto.- Se y = f (x) un función rel de vrible rel. Se un número rel. En un sistem de ejes, podemos considerr x = un punto del eje de bciss. Vmos definir un concepto nuevo: función continu en un punto f ( x) es continu en x = ) f ( ), es decir, D b) Existe lim f ( x) c) lim f ( x) = f ( ) f Es decir, l función f es continu en x = si verific tres condiciones: ) El número pertenece l dominio de l función, esto es, f (). b) Existe (es un número finito) el límite de f cundo x tiende. c) Dicho límite coincide con l imgen de. Cundo esto ocurre se dice que (lguns forms de decirlo): l función f es continu en x = l función f es continu en l función f es continu en el punto x = f es continu en x = f es continu en etc. Observ que utilizmos el concepto de límite pr sber si un función es continu en.

Mtemátics de º de bchillerto Págin Continuidd de funciones Ahor veremos l interpretción gráfic de este concepto. Observ que en ls figurs.,.b y.c l gráfic de l función trvies l rect verticl sobre el punto x = sin dr un slto, esto es, podemos dibujr l gráfic de l función f (x) en un entorno de sin necesidd de levntr el lápiz del ppel. Nótese que en culquier de ls tres figurs nteriores se verificn lo siguiente puntos: f ( ) ( lo hemos reclcdo con un punto negro) lim f ( x) ( se interpret en l grfic & ) lim f ( x) = f ( ) Gráficmente se interpret como que l líne que represent l función puede trvesr l rect verticl de ecución x = sin dr un slto. En l figur. hemos representdo un gráfic continu en x = y creciente en dicho punto, en l figur.b l función tmbién es continu en x =, pero decreciente, mientrs que en l figur.c es continu y constnte en x =. 3.Discontinuidd de un función en un punto.- Si un función no es continu en un punto, se dice que es discontinu en ese punto o que no es continu en él. Es evidente que pr que un función no se continu en debe fllr lgun de ls condiciones ), b) o c) mencionds nteriormente (págin ) Vemos gráficmente lgun de ls situciones posibles que hcen que un función f (x) no se continu en x =. figur : En este cso l función no es continu en x = porque f () no. Apréciese que hemos indicdo este hecho con un punto blnco en l gráfic.

Mtemátics de º de bchillerto Págin 3 Continuidd de funciones figur 3: En este cso ocurre lo siguiente: ) f () (unque es un punto isldo del resto de l gráfic). b) lim f ( x ) = l, es decir, el límite de f cundo x tiende. c) Nótese que lim f ( x ) = l f ( ) Conclusión: f no es continu en x = porque fll l condición c) Nótese que pr trvesr l rect verticl dibujd en x =, es necesrio levntr el lápiz un punto. El tipo de discontinuidd mostrdo en l figur 3 se llm discontinuidd evitble porque si hcemos que f () = l (es decir, si hcemos que l imgen de se l), l función f serí continu en x =. Gráficmente serí trsldr el punto negro y siturlo sobre el punto blnco. figur 4: En este cso ocurre lo siguiente: ) f (), es decir, 0D f lim f ( x) = f ( ) b) lim f ( x) = l + Los límites lterles en x = n y son distintos, por lo que lim f ( x) no. c) Al no cumplirse l condición b), no puede cumplirse c), es decir: lim f ( x) f ( ) Conclusión: f no es continu en x = porque fll l condición b). Nótese que pr trvesr l rect verticl dibujd en x =, es necesrio levntr el lápiz y dr un slto pr continur l gráfic. Este tipo de discontinuidd se llm discontinuidd inevitble y tmbién se expres diciendo que f present un slto de discontinuidd en. Obsérvese que hemos señldo que f () (punto negro). Si ese punto fuese blnco, estrímos indicndo que f () no, por lo que fllrí l condición ). Ejemplo.- Se l función f (x) = x &3. Queremos estudir su continuidd en el punto x = 5. Vemos:

Mtemátics de º de bchillerto Págin 4 Continuidd de funciones ) f ( 5) f ( x) = x 3continu en x = 5 b) lim f ( x) 5 c) lim f ( x) = f ( 5) 5 Anlicemos cd un de ls condiciones: ) f (5) = 5 & 3 =. Por tnto, l imgen de 5, esto es, 50D f b) lim f ( x) = lim ( x 3) = 5 3 =. Por tnto, el límite de f cundo x tiende 5. 5 5 c) lim f ( x) = f ( 5) = 5 Observ que l gráfic de l función f (x) = x&3 es un rect que vmos dibujr: Tbl de vlores x y = x&3 3 0 5 L simple observción de l figur 5, nos permite precir que l rect que represent l función f (x)= x&3 trvies l rect verticl x = 5 (que no hemos dibujdo) sin ininterrupción. A simple vist se preci que: lim f ( x) = f ( 5) = 5 Ejemplo.- x 6 Queremos estudir l continuidd de gx ( ) = en el punto x = 4. x 4 Vemos: ) g( 4) x 6 g( x) = continu en x = 4 b) lim g( x) x 4 4 c) lim g( x) = g( 4) 4 Anlicemos cd un de ls condiciones: 4 6 6 6 0 ) g( 4) = = = R Por tnto, 4 no tiene imgen. Recordemos que ls 4 4 0 0 igulddes nteriores no son igulddes numérics

Mtemátics de º de bchillerto Págin 5 Continuidd de funciones Y podemos segurr que l función g no es continu en el punto x = 4. No obstnte vmos comprobr ls otrs condiciones. x 6 4 6 0 b) lim gx ( ) = lim = = Indetermindo 4 4 x 4 4 4 0 Slvemos l indeterminción fctorizndo (descomponiendo en fctores) el numerdor: x ( x ) ( x ) lim gx ( ) = 6 lim lim lim ( x ) x = + 4 4 x = + 4 = 4 + 4 = 8 4 4 4 4 4 4 Por tnto, el límite de g (x) cundo x tiende 4, y vle 8. c) L condición c) no se cumple por no existir g (4). Vmos representr gráficmente (figur 6) l función g (x): x 6 ( x+ 4) ( x4) gx ( ) = = = { x + 4 x 4 x 4 si x 4 L expresión nterior nos indic que: x 6 x + 4 si x 4 gx ( ) = = x 4 no si x = 4 Si representmos l función f (x) = x + 4 y el punto (4, 8) de su gráfic lo eliminmos, obtenemos l gráfic de l función g (x), esto es, un rect excepto en el punto de bcis x = 4, punto en el que l función g present un discontinuidd evitble. Si queremos que l función se continu, podemos definir l función siguiente: x 6 si x 4 f ( x)= x 4 8 si x = 4 L gráfic de l función f (x) serí exctmente igul l de g (x) excepto en que el punto (4,8) pertenece su gráfic. Ejemplo 3.- Vemos: Se l función h( x) es continu en x = hx ( ) = 4. Queremos estudir su continuidd en el punto x = &. x + ) h( ) b) lim h( x) c) lim h( x) = h( ) Anlicemos ) 4 4 h( ) = = R + 0 Por tnto, no h(&) Y sbemos que h no es continu en x = & Aunque y hemos cumplido el objetivo mrcdo, vmos estudir el límite de l función h cundo x tiende & : 4 4 4 lim hx ( ) = lim = = = ±? Debemos hllr los límites lterles. x + + 0

Mtemátics de º de bchillerto Págin 6 Continuidd de funciones 4 x + 4 + + x + Dibujemos l gráfic de h (x): 4 + 4 0 lim hx ( ) = lim = = = + 4 + 4 0 lim hx ( ) = lim = = = + + En el punto x = & l función h tiene un síntot verticl, por l izquierd hci rrib y por l derech hci bjo. Tbl de vlores x h (x) &3 4 & &4 &4 0 & & & +4 & + &4 &6 & &4 0 + +4 0 & figur 7 Apréciese en l figur 7 que l función tiene un síntot verticl (l rect x = &) y otr horizontl ( rect y = 0 o eje de bciss). Obsérvese el slto de discontinuidd que se produce en x = &, Ejemplo 4.- Se l función definid por intervlos: f ( x) = x si x 3 x + 6 si x > 3 Vemos lguns cuestiones de est función. Dominio: Fácilmente se preci que todo número tiene imgen, por lo que D f = ú Continuidd: Tmbién se observ con fcilidd que pr culquier punto (distinto de 3)l función es continu en dicho punto. Debemos tener dud sobre l continuidd en x = 3. Vemos: ) f ( 3) f ( x) es continu en x = 3 b) lim f ( x) 3 c) lim f ( x) = f ( 3) 3 Anlicemos el ) : f (3) = 3& = 6 & = 4. Por tnto, f (3) y vle 4.

Mtemátics de º de bchillerto Págin 7 Continuidd de funciones Anlicemos el b) : Como l función f tiene dos forms distints, un l izquierd de x = 3 y otr l derech, debemos estudir los límites lterles en dicho punto. lim f ( x) = lim ( x ) = 3 = 6 = 4 ( 4 ) 3 3 / lim f ( x) + lim f ( x) = lim ( x + 6) = ( 3 ) + 6 = 3 + 6 = 3( 3 ) 3 + + 3 3 No el límite de f (x) cundo x tiende 3 porque los límites lterles son distintos. Apréciese lo siguiente: Pr vlores de x infinitmente próximos 3 por su izquierd, ls imágenes son números infinitmente próximos 4 por su izquierd Pr vlores de x infinitmente próximos 3 por su derech, ls imágenes son números infinitmente próximos 3 por su izquierd Comprobemos utilizndo un clculdor: x = f = 9999 ( 9999) 3 9998 f ( 3 ) = 4 es decir x = 3 000 f ( 3 000) = 9999 + f ( 3 ) = 3 Conclusión: L función f no es continu en el punto x = 3 Gráfic: Dibujemos l gráfic f (x) Tbls de vlores x < 3 y = x- x > 3 y = &x+6 0 & 4 0 6 0 3 & 4 & 3 + 3 & En l figur 8 hemos representdo l gráfic de l función f que está compuest de dos semirrects. Nótese que el punto (3,4) pertenece l semirrect de l izquierd, mientrs que el punto (3,3) no pertenece l de l derech. A simple vist se preci que: + f ( 3 ) = 4 y f ( 3 ) = 3 En este cso se dice que l función f present un slto de discontinuidd en x = 3, siendo est discontinuidd inevitble. Tmbién podemos decir que l función es discontinu en x = 3. Ejemplo 5.- 3 x 6 si x < Se l función gx ( ) = Queremos estudi l continuidd en x = & 3 x si x

Mtemátics de º de bchillerto Págin 8 Continuidd de funciones Vemos: ) g( ) g( x) es continu en x = b) lim g( x) c) lim g( x) = g( ) Estudiemos l condición ) : 3 g( ) = ( ) = 3. Por tnto, l imgen de & y vle &3. Estudiemos l condición b) : En este cso es necesrio hllr los límites lterles. 3 3 lim gx ( ) = lim ( x 6) = ( ) 6= 3 6 = 3 lim gx ( ) = 3 3 3 lim gx ( ) = lim x = ( ) = 3 + + Por tnto, el límite de g (x) cundo x tiende & y su vlor es &3. Estudiemos l condición c) : lim gx ( ) = g( ) = 3 Conclusión : L función g es continu en el punto x = & Dibujemos l gráfic de g(x): Tbls de vlores x<& 3 y = x 6 x $& y = 3 x &4 0 & &3 &6 3 0 0 & & &3 + & + &3 + En l figur 9 pueden precirse lo obtenido nlíticmente, esto es: g( ) = 3 lim gx ( ) = 3 Nótese que l gráfic puede dibujrse en x = & y proximiddes sin necesidd de levntr el lápiz Ejemplo 6.- x si x < Se l función hx ( ) = 4 si x =. Estudir su comportmiento en x = y proximiddes. si x > Vemos: 3 Pr x = tenemos que h () = 4. Por tnto, 0D h 3 Estudiemos el límite de h(x) cundo x tiende.

Mtemátics de º de bchillerto Págin 9 Continuidd de funciones lim hx ( ) = lim x = ( ) lim hx ( ) = lim hx ( ) = lim = + + Debe comprenderse el siguiente significdo: 9 Pr vlores de x infinitmente próximos por su izquierd, ls imágenes h(x) tomn vlores infinitmente próximos por su izquierd 9 Pr vlores de x infinitmente próximos por su derech, ls imágenes h(x) tomn exctmente el vlor " 3 Estudiemos l continuidd en el punto x =. h( ) = 4 lim hx ( ) = lim hx ( ) h( ) h (x) no es continu en x = x 3 Dibujemos l gráfic de l función: Tbls de vlores x < y = x x > y = 3 0 0 6 & & + En l figur 0 hemos representdo ls dos semirrects que componen l función h(x) y el punto (,4) que tmbién pertenece l gráfic de h(x). Apréciese que hemos expresdo l ide de que ls rects se proximn l punto (,), pero no lo toc por ninguno de los dos ldos (señldo con un punto ") Digmos tmbién que l función h es discontinu en x =, pero se trt de un discontinuidd evitble porque si hcemos h() = en lugr de h() = 4, entonces l función será continu en x =. 4.Otr definición de continuidd de un función en un punto.- Se f (x) un función rel de vrible rel. Se D f el dominio de f. Es evidente que D f = ú o D f d ú Se un número rel del dominio de f, es decir, 0D f Vmos dr un nuev definición l concepto de continuidd de l función f en el punto. Recuerd que l función f puede ser continu o discontinu en el punto x = Se dice que l función f es continu en el punto x =, si pr culquier entorno que tomemos, de centro f (), siempre otro entorno de centro, tl que si x está en este último, su imgen f (x) está en el primero

Mtemátics de º de bchillerto Págin 0 Continuidd de funciones Anlicemos detenidmente est definición: ± Como l definición está dd pr un punto del dominio, sbemos que f (). ± Aunque f (), l función puede ser continu o discontinu en. Pr que f se continu en, debe ocurrir que: º Si tommos un entorno culquier de centro f () ÿÿ Comentrio: Ese entorno que elegimos nuestro ntojo, tendrá de centro l número f () y su rdio será del tmño que nosotros quermos. Si representmos ese entorno, estrá situdo en el eje de ordends (y que f () está llí). º Pr el entorno nterior, debe existir otro entorno de centro ÿÿ Comentrio: Este entorno se obtiene prtir del nterior y su rdio y no es nuestro ntojo, sino que viene condiciondo por el rdio del otro. Como el centro es, ese entorno estrá situdo en el eje de bciss (que es donde está el punto x = ). º Tl que si tommos un número culquier del último entorno ÿÿ Comentrio: Culquier número x que tomemos del entorno de centro obtenido nteriormente, será un numero del eje de bciss. º Entonces, l imgen de ese número x, es decir, f (x), debe estr dentro del primer entorno, es decir, f (x) debe estr en el eje de ordends y dentro del entorno de centro f () que hbímos elegido l principio. Pues bien, cundo esto ocurre pr culquier entorno que elijmos de centro f (), se dice que l función f es continu en el punto. (y) A l derech tenemos l definición nterior (recudro de l págin 9) en form mtemátic: f ( x) continu en x = 444444443 c 644444444444474444444444448 E f E si x E entonces f x E f ( ( )), ( ) ( ), ( ) ( ( )) ε α α ε Expliquemos gráficmente est definición (figur )

Mtemátics de º de bchillerto Págin Continuidd de funciones figur. En est figur tenemos un función f (x) continu en x =. Obsérvese que trvies l rect verticl x = de un modo continuo, es decir, sin dr un slto. Vemos que f cumple l definición de ser continu en. figur.c A prtir del entorno nterior hemos obtenido el entorno de centro y rdio δ, que está situdo en el eje de bciss. Nótese como hemos obtenido &δ pr conseguir que esté en el centro de E δ () = (&δ, +δ) figur.b En est figur se puede precir que hemos tomdo un entorno de centro f () y rdio ε, situdo en el eje de ordends. El entorno es E ε (f ()) = (f ()&ε, f ()+ε). Recordemos que el vlor de ε es el quermos. figur.d En est figur hemos tomdo un α culquier del entorno E δ () y podemos precir que su imgen f (α) pertenece l entorno E ε (f ()), es decir: Si α0e δ (), se verific que f (α)0e ε (f ()) L definición mtemátic (y) l podemos modificr si considermos lo siguiente: Î Identificmos E ε (f ()) con ε, es decir, en lugr de expresr pr todo entorno de centro f () y rdio ε, expresmos pr todo ε, y que pr culquier entorno que consideremos, el centro es siempre f (), mientrs que lo que vrí es el rdio ε. Ï Identificmos E δ () con δ, es decir, en lugr de expresr un entorno de centro y rdio δ, expresmos un δ, y que el entorno que se supone tiene siempre de centro, pero el rdio δ es vrible (depende de ε). Ð L expresión x0e δ () podemos modificrl considerndo que: x E ( ) x (, + ) < x < + Ñ L expresión f(x)0e ε (f ()) podemos modificrl considerndo que: ( ) f ( x) Eε f ( ) f ( ) ε < x < f ( ) + ε L nuev definición será: (yy) f ( x) es continu en x = 444444443 c 6444444444444447444444444444448 ε> 0, > 0 si < x < +, entonces f ( ) ε < f ( x) < f ( ) + ε Nuevmente, l definición (yy)puede modificrse si considermos lo siguiente: () < x < + < x < x < ( ) f ( ) ε < f ( x) < f ( ) + ε ε < f ( x) f ( ) < ε f ( x) f ( ) < ε L nuev definición será: (yyy) f ( x) es continu en x = 444444443 c 6444444444447444444444448 ε> 0, > 0 si x <, entonces f ( x) f ( ) < ε Est últim definición puede interpretrse del siguiente modo: f es continu en si pr culquier número positivo ε, otro número positivo δ tl que si x es un número que dist de menos de δ, entonces su imgen f (x) dist de f () menos de ε.

Mtemátics de º de bchillerto Págin Continuidd de funciones Ejemplo 7.- 3 5 L función f ( x) = x + tiene por gráfic un rect y es continu en todo punto. 4 Considerndo esto, comprobr l definición nterior pr x = y un ε = 0, es decir, encontrr el δ que corresponde ese ε. Vemos: f continu en ε > 0, > 0 si x <, entonces f ( x) f ( ) < ε Sbemos (el enuncido nos lo grntiz) que l función f es continu en x =. Por tnto, si tommos ε = 0, debe existir un δ. Busquemos es δ.: f ( x) f ( ) < 0 3 5 7 { x + < 0 3 x 3 < 0 4 4 ( ) 3 5 3 5 7 Aclremos (*) : Se debe que f ( x) = x + y que f ( ) = + = 4 4 4 Multiplicmos l últim desiguldd por (pr eliminr el denomindor): 3 3 ( ) x 3 < 0 x 3 < 0 3x 6 < 0 3 ( x ) < 0 3 x < 0 3 x < 0 x < x < x < 3 3 Observ que hemos demostrdo que x < f ( x) f ( ) < 0 5 0 Por tnto: Si x < entonces 5, f x f < 0 Conclusión: = 5 0 5 Lo nterior nos hce grntizr que si tommos un vlor pr x que diste de menos de /5, su imgen f (x) distrá de f ()=7/4 menos de 0. Hgmos un comprobción: 6 33 6 su imgen 33 ( ) ( ) Tommos x = + = E f = + = = 4 34375 33 Observ como f ( ) 6 5 6 3 33 6 5 4 39 3 f ( ) = 4 34375 4 5 = 0 09375 = 0 09375< 0 = ε Ejemplo 8.- Queremos verigur en qué puntos l función f ( x) = x + + x si x 0 ( ) f ( x) = x + + x x + ( x ) si x < 0 ( ) es discontinu. Vemos: Como l función está compuest de un vlor bsoluto, conviene definirl por intervlos. De l inecución (*) : x 0 x x

Mtemátics de º de bchillerto Págin 3 Continuidd de funciones De l inecución (**): x < 0 x < x < Por tnto: x x + si x < f ( x) = es l función f dd por intervlos. x + x si x Observ que: A l izquierd de x = 0 5 l gráfic de l función es un prábol ( y = x &x+) cortd. A l derech de x = 0 5 l gráfic de l función es otr prábol ( y = x +x) cortd. Estudiemos l continuidd en un punto < : f ( x) es continu en x = ) f ( ) b) lim f ( x) c) lim f ( x) = f ( ) En el recudro de l derech tenemos demostrdo que f (x) es continu en todo ( ) x, ) f ( ) = + b) lim f ( x) = lim ( x x + ) = = + c) lim ( ) ( ) = = + Estudiemos l continuidd en un punto > : ) f ( ) f ( x) es continu en x = b) lim f ( x) c) lim f ( x) = f ( ) En el recudro de l derech tenemos demostrdo x +, que f (x) es continu en todo ( ) Por tnto, l función es continu en (, ) (, + ) ) f ( ) = + b) lim f ( x) = lim ( x + x) = = + c) lim ( ) ( ) = = + Nos qued estudir l continuidd en el punto =. Vemos: f ( x) es continu en ) f ( ) b) lim f ( x) c) lim f ( x) = f ( )

Mtemátics de º de bchillerto Págin 4 Continuidd de funciones 5 ) f( ) = ( ) + = + = ( limgende ) 4 4 b) En este cso debemos estudir los límites lterles: 5 lim f ( x) = lim ( x x + ) = ( ) + = + = = 5 4 4 ( ) ( ) 5 lim f ( x) = 5 4 lim f ( x) = lim ( x + x) = ( ) + = + = = 5 + + 4 4 ( ) ( ) 5 c) lim f ( x) = f ( ) = 4 Por tnto, l función f es continu en x = 0 5 Conclusión finl: L función f es continu en todo ú, esto es, en ningún punto es discontinu. Ejemplo 9.- En este ejemplo vmos representr l función del ejemplo nterior y comprobremos los resultdos obtenidos en él. Vemos: gx ( ) = x x + Ls funciones son prábols. hx ( ) = x + x ( ( )) ( ) ( ) gx ( ) = x x + VerticeV &, g =, 0 ( ) ( ) hx ( ) = x + xvertice & W, h =, x < 0 5 y = x &x + 0 0 & 4 3 4 & 9 Pr dibujr f, dibujmos ls prábols nteriores y posteriormente considermos los intervlos donde cd un de ells está definid. 4 9 x $ 0 5 y = x +x 0 5 5 0 6 3 5 figur En ls tbls de l izquierd hemos ddo vlores ls prábols. Ls celds sombreds corresponden los puntos que pertenecen l función f (x). En l figur se preci como l función f (x) es continu en todo ú, incluido el punto x = 0 5, y que en este no se produce ningún slto de discontinuidd.

Mtemátics de º de bchillerto Págin 5 Continuidd de funciones 5.Continuidd de un función en un intervlo bierto.- 3 Se f (x) un función rel de vrible rel de dominio D f 3 Se A un intervlo bierto de ú, es decir, A = (,b) = { x0ú* < x < b } Se dice que l función f es continu en el intervlo bierto A, si es continu en cd punto de A Es decir: f continu en A c A, es f continu en c Vemos l interpretción gráfic de este concepto: figur 3. En est figur tenemos l gráfic de un función continu en todo el intervlo bierto (,b). Nótese que l gráfic trvies l frnj verticl formd por ls rects x = y x = b sin sltos, es decir, sin discontinuiddes. Puede precirse que en todo punto c de A, f es continu. No es necesrio que l gráfic corte ls rects x= y x = b figur 3.b En este cso l gráfic corresponde un función que trvies l frnj delimitd por los extremos del intervlo dndo un slto en un punto c de A. Hemos indicdo los límites lterles de f (x) cundo x tiende c, es decir, l y k. En c discontinuidd inevitble. L función no es continu en A. figur 3.c En este cso tmpoco l función es continu en el intervlo bierto A = (,b) porque en c0(,b) un discontinuidd evitble (señld con un punto blnco), es decir, l gráfic no trvies l frnj del intervlo si dr sltos. Podrímos hcer que f fuese continu en A, con sólo dr el vlor f (c) = k. En el bloque correspondiente l figur 3., hemos dicho que no es necesrio que l gráfic de l función corte ls rects x = y x = b. Ello es debido que los puntos y b no pertenecen l intervlo A = (,b), por lo que no se exige que l función se continu en ellos. Es posible que f (x) se discontinu en los puntos x = y x = b y se continu en el intervlo bierto A = (,b). Vemos un ejemplo de un función en l que se d l circunstnci de ser continu en un intervlo bierto (,b) y no serlo en los puntos y b.

Mtemátics de º de bchillerto Págin 6 Continuidd de funciones Ejemplo 0.- Se l función f ( x) =. x 9 Es evidente que D f = ú&{&3, 3 }= (&4,&3)c(&3,3)c(3,+4) Como f (&3) y f (3) no, f no es continu en &3 ni en 3. Si 0D f, es decir, si &3 y 3 se verific que: ) f ( ) = R, es decir, f () 9 b) lim f ( x) = lim, es decir,. x = 9 9 R c) lim f ( x) = f ( ) = 9 Por tnto, f es continu en todo su dominio, es decir: ] f (x) es continu en el intervlo (&4,&3) ] f (x) es continu en el intervlo (&3,3) ] f (x) es continu en el intervlo (3,+4) Vemos qué ocurre en x = &3: lim f ( x) = lim = = + = + 3 3 x 9 ( 3 ) 9 0 lim f ( x) = lim = + = = + + 3 3 x 9 ( 3 ) 9 0 Vemos qué ocurre en x = 3: lim f ( x) = lim = = = 3 3 x 9 ( 3 ) 9 0 lim f ( x) = lim = + = + = + + + 3 3 x 9 ( 3 ) 9 0 En l figur 4 tenemos l gráfic de l función en l que se preci que x = &3 y x = 3 son síntots verticles. En x = &3 es por l izquierd hci rrib y por l derech hci bjo En x = 3 es por l izquierd hci bjo y por l derech hci rrib. 6.Continuidd de un función en su dominio.- Se y = f (x) un función rel de vrible rel. Se D f dú su dominio. Se dice que l función f es continu en su dominio, si es continu en cd punto de él Es decir: f es continu en D f ] œ 0D f, f es continu en Gráficmente se interpret como que l líne que represent l función f puede dibujrse lo lrgo de todo su dominio sin levntr el lápiz del ppel, es decir, su gráfic no present ni sltos ni gujeros en su dominio (fuer de este l gráfic no ). Ejemplo.- Se l función polinómic de grdo y = f ( x) = x5. Su dominio es todo ú, es decir, D f = ú.

Mtemátics de º de bchillerto Págin 7 Continuidd de funciones Su gráfic es un rect, es decir, puede dibujrse lo lrgo de todo ú sin sltos de discontinuidd. Comprobemos que es continu en culquier punto 0ú. En efecto: º) f ( ) f continu en R º) lim f ( x). 3º) lim f ( x) = f ( ) Vemos que se cumplen ls tres condiciones, siendo un número culquier de ú: º) f ( ) = 5= un nº rel, es decir,. º) lim f ( x) = lim ( x 5) = 5= nº rel, es decir,. 3º) lim f ( x) = f ( ) = 5 Por tnto, f (x) = x&5 es continu en todo 0ú 7.Continuidd lterl en un punto.- Se y = f (x) un función rel de vrible rel. Se un número rel, es decir, 0ú. Vmos definir en concepto f continu en por su izquierd º) f ( ) f ( x) es continu en x = por suizquierd º ) lim f ( x) 3º ) lim f ( x) = f ( ) Es decir, f (x) es continu en x =, por su izquierd, si y sólo sí se cumplen tres condiciones: º) pertenece l dominio de f º) Existe el límite de f (x) cundo x tiende por su izquierd. 3º) El limite nterior coincide con l imgen de. Vemos l interpretción gráfic de este concepto:

Mtemátics de º de bchillerto Págin 8 Continuidd de funciones figur 5. En est figur tenemos l gráfic de un función f (x) cuy imgen en ( f () ) coincide con su límite cundo x 6 &, es decir: lim f ( x) = f ( ) L función f es continu en por su izquierd. Nótese que en este cso no f (x) l derech de figur 5.b En este cso l función f tmbién es continu en por su izquierd, y que: lim f ( x) f ( ) x = Nótese que l función tmbién l derech de, siendo: f ( ) = lim f ( x) lim f ( x) = k + figur 5.c En est figur tenemos l gráfic de un función que no es continu en x = por su izquierd. Puede precirse lo siguiente: f ( ) lim f ( x) = l f ( ) lim f ( x) = f ( ) + por lo que no es continu por l izquierd de. Vemos otr form de definir l continuidd por l izquierd de un punto: f (x) es continu en por su izquierd, si pr todo entorno de centro f () y rdio ε, otro entorno de centro y rdio δ, tl que si x está en l mitd izquierd de este último, su imgen f (x) pertenece quel. Mtemáticmente: f ( x) continu en, por su izquierd 444444444444443 c 64444444444444744444444444448 ε> 0, δ > 0 si δ < x < entonces f ( ) ε< f ( x) < f ( ) + ε Nótese que l expresión δ < x < equivle que x pertenece l mitd izquierd de E δ () Nótese que l expresión f ( ) ε < f ( x) < f ( ) + ε equivle que f (x) 0E ε (f ()). Vemos l interpretción gráfic de est definición: figur 6. : En est figur tenemos l gráfic de un función f (x) que es continu en x = por su izquierd. Hemos tomdo un ε > 0 culquier y considerdo el intervlo bierto (entorno de centro f ()) (f ()&ε,f ()+ ε ).

Mtemátics de º de bchillerto Págin 9 Continuidd de funciones figur 6.b : Podemos precir como, prtir del intervlo (f ()&ε,f ()+ ε ), esto es, prtir de ε, obtenemos el intervlo (&δ, +δ), esto es, obtenemos δ >0. figur 6.c : Aquí podemos ver como si tommos un x culquier, situdo en l mitd izquierd del entorno E δ () = (&δ, +δ), su imgen f (x) pertenece l entorno E ε (f ()) = (f ()&ε,f ()+ ε ). Ahor vmos definir en concepto f continu en por su derech º) f ( ) f ( x) es continu en x = por su derech º) lim f ( x) + 3º) lim f ( x) = f ( ) + Es decir, f (x) es continu en x =, por su derech, si y sólo sí se cumplen tres condiciones: º) pertenece l dominio de f º) Existe el límite de f (x) cundo x tiende por su derech. 3º) El limite nterior coincide con l imgen de. Vemos l interpretción gráfic de este concepto: figur 7. En est figur tenemos l gráfic de un función f (x) cuy imgen en ( f () ) coincide con su límite cundo x 6 +, es decir: lim f ( x) = f ( ) + L función f es continu en por su derech. Nótese que en este cso no f (x) l izquierd de figur 7.b En este cso l función f tmbién es continu en por su derech, y que: lim f ( x) f ( ) = + Nótese que l función tmbién l izquierd de, siendo: f ( ) = lim f ( x) lim f ( x) = l + figur 7.c En est figur tenemos l gráfic de un función que no es continu en x = por su derech. Puede precirse lo siguiente: f ( ) lim f ( x) = f ( ) lim f ( x) = k f ( ) + No es continu por l derech de, lo es por l izquierd. Vemos otr form de definir l continuidd de un función por l derech de un punto: f (x) es continu en por su derech, si pr todo entorno de centro f () y rdio ε, otro entorno de centro y rdio δ, tl que si x está en l mitd derech de este último, su imgen f (x) pertenece quel.

Mtemátics de º de bchillerto Págin 0 Continuidd de funciones Mtemáticmente: f ( x) continu en, por su derech 4444444444444 3 c 64444444444444744444444444448 ε> 0, δ > 0 si < x < + δ entonces f ( ) ε< f ( x) < f ( ) + ε Nótese que l expresión < x < + δ equivle que x pertenece l mitd derech de E δ () Nótese que l expresión f ( ) ε < f ( x) < f ( ) + ε equivle que f (x) 0E ε (f ()). Vemos l interpretción gráfic de est definición: figur 8. En est figur tenemos l gráfic de un función f (x) que es continu en x = por su derech. Hemos tomdo un ε > 0 culquier y considerdo el intervlo bierto de centro f () y rdio ε>0, o se, (f ()&ε,f ()+ ε ). figur 8.b Podemos precir como, prtir de dicho entorno del eje Y, es decir, del intervlo bierto (f ()&ε,f ()+ ε ), esto es, prtir de ε, obtenemos el intervlo, en el eje X, (&δ, +δ), esto es, obtenemos δ >0. figur 8.c Aquí podemos ver como si tommos un x culquier, situdo en l mitd derech del último entorno, es decir, de E δ () = (&δ, +δ), su imgen f (x) pertenece l primer entorno, es decir, E ε (f ()) = (f ()&ε,f ()+ ε ). Es evidente que un función es continu en x = sí y sólo sí lo es por mbos ldos. Ejemplo.- Se l siguiente función definid por intervlos: f ( x) = x + 3 si x x + 7 si x > Queremos estudir su continuidd en x = Vemos: Observmos que en x = se produce un cmbio en l form y specto de l función f Pr estudir l continuidd en ese punto es necesrio estudir ls continuiddes lterles Estudiemos l continuidd en x = por su izquierd.

Mtemátics de º de bchillerto Págin Continuidd de funciones f ( x) es continu en x = por su izquierd Vemos: f ( ) = + 3 = 5 ( l imgen de ) lim f ( x) = lim ( x + 3) = + 3= 5 ( 5 ) lim f ( x) = f ( ) = 5 f ( ) lim f ( x) lim f ( x) = f ( ) Por tnto, l función es continu en x = por su izquierd. Nótese que el límite es 5 (5 & ), esto es, l gráfic se cerc l punto (,5) por debjo. Estudiemos l continuidd en x = por su derech. f ( ) f ( x) es continu en x = por su derech lim f ( x) + lim f ( x) = f ( ) + Vemos: f ( ) = + 3 = 5 ( l imgen de ) lim f ( x) = + lim ( x + 7) = + 7= 5 ( 5 ) + + lim f ( x) = f ( ) = 5 + Dibujemos l gráfic de l función. Pr ello construimos dos tbls de vlores: x # y = x + 3 rect 5 0 3 Por tnto, l función es continu en x = por su derech. Nótese que el límite es 5 (5 & ), esto es, l gráfic se cerc l punto (,5) por debjo. x > y =&x + 7 rect 3 4 7 0 + 5 &

Mtemátics de º de bchillerto Págin Continuidd de funciones 8.Función continu en un intervlo cerrdo.- 3 Se y = f (x) un función rel de vrible rel. 3 Se [,b] un intervlo cerrdo de ú, es decir, [,b] dú Definimos el concepto función continu en el inervlo [,b] [ ] f ( x) es continu en, b Gráficmente: ( ) º) f ( x) es continu en el inervlo, b º) f ( x) es continu en x = por su derech. 3º) f ( x) es continu en x = b por su izquierd. En l figur 0 tenemos l gráfic de un función f (x) que verific: O O O f (x) es continu en el intervlo bierto (,b) f (x) es continu en x = por su derech, y que f () y demás lim f ( x) = f ( ) + f (x) es continu en x = b por su izquierd, y que f (b) y demás lim f ( x) = f ( b) b Quede clro que fuer del intervlo cerrdo [,b], l función f (x) puede existir. En l figur tenemos l gráfic de un función f (x) que verific: O O O f (x) es continu en el intervlo bierto (,b) f (x) es continu en x = por su derech, y que f () y demás lim f ( x) = f ( ) + f (x) no es continu en x = b por su izquierd, debido que f(b) y lim f ( x) = l, b pero f ( b) l En este cso, f (x) no es continu en el intervlo cerrdo [,b] Ejemplo 3.- L función f (x) = Lx (logritmo neperino de x) no es continu en el intervlo cerrdo [0,b] (siendo b>0) porque f (0) no. En culquier intervlo cerrdo [,b] con >0, si es

Mtemátics de º de bchillerto Págin 3 Continuidd de funciones continu, y que l función f (x) = Lx es continu en todo su dominio ú + = (0,+4). Ejemplo 4.- x + 6 si x < 0 Consideremos l función f ( x) = x + 8 si 0 x 5 si x > 5 Queremos estudir su continuidd en el intervlo cerrdo [0,5] Vemos: º) f ( x) es continu en el intervlo ( 05, ) f ( x) es continu en [ 05, ] º) f ( x) es continu en x = 0 por su derech. 3º) f ( x) es continu en x = 5 por su izquierd. º) Pr culquier α0(0,5) se verific que: f (α) = & α + 8. lim f ( x) = lim ( x + 8) = α + 8. α α lim f ( x) = f ( α) = α + 8 α º) Vemos si f (x) es continu en x = 0 por su derech: R f (0) = & 0 + 8 = 8 ( l imgen de 0). R lim f ( x) = lim ( x + 8) = 0+ 8 = 8 + 0 + 0 R lim f ( x) f ( 0) 8 0 + = = 3º) Vemos si f (x) es continu en x = 5 por su izquierd: R f (5) = & 5 + 8 = & ( l imgen de 5). R lim f ( x) = lim ( x + 8) = 5+ 8 = 5 5 R lim f ( x) f ( 5) 5 = = Vmos dibujr l gráfic de l función (figur ) pr precir los resultdos obtenidos de un modo visul. En l figur podemos precir como l función es continu en el intervlo cerrdo [0,5], y que en dicho intervlo su gráfic es un rect (un trozo de rect), tl que une el punto (0,8) con el punto (5,&) sin que se produzc ningún slto de discontinuidd en su recorrido entre ellos. Puede precirse demás que no es continu en x = 0 por su izquierd (sí lo es por su derech) y que en x = & es continu por mbos ldos (es continu). Por tnto, f (x) es continu en el intervlo bierto (0,5) Por tnto, f (x) es continu en x = 0 por su derech. Por tnto, f (x) es continu en x = 5 por su izquierd.

Mtemátics de º de bchillerto Págin 4 Continuidd de funciones Ejemplo 5.- x 3 si x 3 Se l función f ( x) = si 3< x 5. Queremos estudir su continuidd en [3,5] x 3 x + si x > 8 5 Vemos: º) f ( x) es continu en el intervlo ( 35, ) f ( x) es continu en [ 35, ] º) f ( x) es continu en x = 3 por su derech. 3º) f ( x) es continu en x = 5 por su izquierd. º) Pr culquier α0(3,5) se verific que: f ( α) = α 3 Por tnto, f (x) es lim f ( x) = lim =. continu en el α α x 3 α 3 intervlo bierto (3,5) lim f ( x) = f ( α) = α α 3 º) Vemos si f (x) es continu en x = 3 por su derech: R f (3) = 3 &3 = 9&3 = 6 ( l imgen de 3). L función f (x) no es R continu en x = 3 por lim f ( x) = lim = = = + + + x 3 + + 3 3 3 3 0 su derech. Nótese R lim f ( x) f ( 3) que en x = 3 hy 3 + síntot verticl por l derech y hci rrib. 3º) Aunque y sbemos que f (x) no es continu en el intervlo [3,5], vemos si f (x) es continu en x = 5 por su izquierd: R f () 5 = = = 0 5 ( l imgen de 5). 5 3 L función f (x) no es R continu en x = 5 por lim f ( x) = lim = = = 05 su izquierd. x 3 5 5 5 3 R lim f ( x) = f ( 5) = = 0 5 x 5 Conclusión : L función f (x) no es continu en el intervlo cerrdo [3,5] por no ser continu en x = 3 por su derech. 9.Teorem de Bolzno.- Este teorem está relciondo con l continuidd de un función en un intervlo cerrdo y dice lo siguiente: Si f (x) es un función continu en el intervlo cerrdo [,b] y demás, el signo de f () es distinto del signo de f (b), entonces un número t de [,b] tlque su imgen medinte f (x) es cero (es decir, f (t) = 0)

Mtemátics de º de bchillerto Págin 5 Continuidd de funciones Mtemáticmente: [ ] f ( x) continu en, b signo f ( ) signo f ( b) [ ] t, b f ( t) = 0 Demostrción: No vmos demostrr este importnte teorem mtemáticmente, pero si de un modo gráfico, y que se puede ver fácilmente. º Imginemos un intervlo cerrdo [,b] = { x0ú * # x # b } º Imginemos un función continu en [,b], es decir: œx0[,b], se verific que f (x) f (). Esto signific que el punto (, f ()) pertenece l gráfic de f (x). f (b). Esto signific que el punto (b, f (b)) pertenece l gráfic de f (x). L gráfic de l función es un líne rect o curv que une los puntos (, f ()) y (b, f (b)) de un modo continuo, es decir, sin dr ningún slto dentro del intervlo cerrdo [,b]. º Imginemos que el sino de f () es distinto del signo de f (b), es decir: Si f () > 0, entonces f (b) < 0 Si f () < 0, entonces f (b) > 0 Pues bien!, es evidente que en ests circunstncis, [ ] t, b f ( t) = 0 Es decir: L líne que represent l función cort l eje de bciss en el punto t0[,b] O lo que es lo mismo: El punto (t,0) pertenece l gráfic de l función f (x) figur 3. En este cso l función f es continu en [,b], con f ()>0 y f (b)<0. Nótese que un punto t0[,b] tl que f(t)=0, es decir, l gráfic cort l eje de bciss entre el punto y el punto b figur 3.b En este cso l función f es continu en [,b], con f ()<0 y f (b)>0. Nótese que un punto t0[,b] tl que f(t)=0, es decir, l gráfic cort l eje de bciss entre el punto y el punto b figur 3.c En este cso l función f es continu en [,b], con f ()=0 y f (b)>0. Nótese que un punto t0[,b] tl que f(t)=0, es decir, l gráfic cort l eje de bciss entre el punto y el punto b. En este cso es t =

Mtemátics de º de bchillerto Págin 6 Continuidd de funciones Tmbién puede drse lgun de ls situciones siguientes: figur 4. En este cso l función f es continu en [,b], con f ()>0 y f (b)<0. Nótese que n tres puntos t,t,t 3 0[,b] tl que f(t )=f(t )=f(t 3 )=0, es decir, l gráfic cort l eje de bciss tres veces entre el punto y el punto b figur 4.b En este cso l función f es continu en [,b], con f ()<0 y f (b)>0. Nótese que n infinitos puntos de [,b] tl que l gráfic se nul en ellos, es decir, l gráfic cort l eje de bciss entre y b en infinitos puntos. figur 4.c En este cso l función f es continu en [,b], con f ()<0 y f (b)>0. Nótese que n dos puntos t,t 0[,b] tl que f(t )=0 y f(t )=0 es decir, l gráfic cort l eje de bciss en dos puntos entre y b. Si no se cumplen ls hipótesis del teorem de Bolzno ( f (x) continu en el intervlo [,b] y signo de f () signo de f (b)), entonces, l tesis ( t0[,b] tl que f (t) = 0), pude cumplirse o no cumplirse. Veámoslo gráficmente: figur 5. f (x) no es continu en [,b] signo f () signo f (b) No se cumplen ls hipótesis Tmpoco se cumple l tesis: òt0 [,b] tl que f (t) = 0 figur 5.b.f (x) no es continu en [,b] signo f () signo f (b) No se cumplen ls hipótesis Sí se cumple l tesis: t0 [,b] tl que f (t) = 0 figur 5.c f (x) es continu en [,b] signo f () = signo f (b) No se cumplen ls hipótesis Sí se cumple l tesis: t,t 0 [,b] * f (t )=f(t ) = 0

Mtemátics de º de bchillerto Págin 7 Continuidd de funciones Ejemplo 6.- 3 x + 5x 7x0 Se l función f ( x) =. Queremos sber si un número rel x t tl que #t #3 y f (t) = 0. Vemos: Se trt de un ejemplo típico de plicción del Teorem de Bolzno. Consideremos el intervlo cerrdo [,3] Debemos ver si l función dd cumple ls hipótesis del Teorem de Bolzno en este intervlo, es decir: f ( x) continu en [ 3, ] Si entonces t [ 3, ] f ( t) = 0 signo f ( ) signo f ( 3) Nos preguntmos: Es f (x) continu en [,3]? 9 f (x) es continu en todo ú excepto en los puntos donde se nul el denomindor. x = 0 x = x= Por tnto, f (x) es continu en ú&{} = (&4,)c(,+4) Por tnto, f (x) es continu en [,3] Nos preguntmos: signo f () signo f (3)? 3 + 5 7 0 8 f ( ) = = = 9 < 0 9 signo f ( ) signo f ( 3) 3 3 + 53 73 0 8 f () 3 = = = 7 > 0 3 4 Es decir, se cumplen ls hipótesis del Teorem de Bolzno. Conclusión: Podemos segurr que un punto t 0[,3] tl que f (t) = 0, es decir: 3 t + 5t 7t0 = 0 siendo t 3 t Ejemplo 7.- Se l función f ( x) = cosx x +. Queremos sber si su gráfic cort l eje de bciss en lgún punto. Vemos: P Queremos sber si un punto P(t,0) que esté en l gráfic de f (x), es decir, el pr ordendo (t,0) pertenece l grfo de l función, esto es, (t,0)0g f P Recordemos que: (t,0)0g f ] f (t) = 0 P Ahor bien, f (t) = 0 equivle que cost t + = 0 Por tnto: El que l gráfic de f (x) corte l eje de bciss signific que l ecución cos x x + = 0 tiene solución ( un t0ú que verific l iguldd). Pr verigurlo, intentemos plicr el Teorem de Bolzno l función f (x) en lgún intervlo cerrdo [,b]. Vemos: X L función f ( x) = cosx x + es continu en todo ú (que es su dominio), y que es l sum de tres funciones continus ( y = cos x, y = &x e y = ). X Consideremos el intervlo cerrdo [0, π]. Evidentemente f (x) es continu en [0, π] porque es continu en todo ú y [0, π]dú. X Vemos el signo de f (x) en los extremos del intervlo [0, π]:

Mtemátics de º de bchillerto Págin 8 Continuidd de funciones x = 0 f () 0 = cos0 0+ = 0+ = > 0 x = π f ( π) = cosπ π + = π + = π < 0 signo f () 0 signo f ( π) Es decir, l función f (x) cumple ls hipótesis del Teorem de Bolzno en el intervlo cerrdo [0,π], por lo que podemos segurr que t0[0,π] * f (t) = 0. Por tnto: M L gráfic de f (x) cort l eje de bciss en, l menos, un punto. Dicho punto es de l form P(t,0) con 0<t<π. M Lo nterior equivle decir que l ecución cos x x + = 0 tiene, l menos, un solución t0(0,π), es decir, un número t (0<t<π) tl que cost t + = 0 Ejemplo 8.- L ecución de tercer grdo 5x 3 4x + 6x 8= 0 tiene lgun solución. Encontrr proximdmente un de ells, con un error menor o igul que. Vemos: 3 R Consideremos l función polinómic de grdo 3 : f ( x) = 5x 4x + 6x 8 R Por ser f (x) un función polinómic, es continu en todo su dominio ú y, por tnto, lo será en culquier intervlo cerrdo [,b]. R Es fácil deducir que l función f (x) cort l eje de bciss en, l menos, un punto, y que: 3 lim f ( x) = lim ( 5x 4x + 6x 8) = L función cort l eje de bciss en lgún punto y 3 que ps de un modo lim f ( x) = lim ( 5x 4x + 6x 8) = + continuo de &4 +4. + + R R R Si somos cpces de encontrr un intervlo [,+] en el que se cumpl el Teorem de Bolzno, hbremos demostrdo que un solución t tl que #t #+, es decir, hbremos encontrdo un solución t con un error menor o igul que un unidd. Busquemos ese intervlo: Probemos con el intervlo cerrdo [,] (en este intervlo l función es continu). 3 f () = 5 4 + 6 8 = < 0 signo f () signo f ( ) 3 f ( ) = 5 4 + 6 8 = 8 > 0 Por tnto: [ ] f ( x) continu en, t [, ] f ( t) 0 signo f () signo f ( ) = Conclusión: Existe un número t =...,es decir, < t < tl que 5 t 3 4 t + 6 t 8= 0 Existe un solución de l ecución 5x 4x + 6x 8= 0, comprendid entre y. R Pr encontrr un mejor proximción de t, podemos probr con el intervlo [, 5]. 3 f ( 5 ) = 5 5 4 5 + 6 5 8= 3 375> 0 t [ 5,,] f () = < 0 f ( t) 0 Y sbemos que l solución t está entre los números y 5.

Mtemátics de º de bchillerto Págin 9 Continuidd de funciones 0.Teorem de los vlores intermedios o de Drboux.- Este teorem, similr l de Bolzno, dice lo siguiente: Si f (x) es un función continu en el intervlo cerrdo [,b] y k es un número comprendido entre f () y f(b), entonces un número t perteneciente l intervlo (,b) tl que f (t) = k" Vmos expresrlo de otr form: Si f (x) es un función continu en el intervlo cerrdo [,b], entonces f tom todos los vlores comprendidos entre f () y f(b) Mtemáticmente: [ ] f ( x) continu en, b [ ( ), ( )] k f f b o k f b f [ ( ), ( )] ( ) t, b f ( t) = k [ ] [ ] Nótese que l disyunción k f ( ), f ( b) o k f ( b), f ( ) ser f() < f (b) o f (b) < f(). Vmos dr un explicción gráfic: se debe que puede figur 6. Tenemos un función f(x) continu en [,b] y k un número entre f() y f(b), es decir, k0[f (), f (b)]. Observ que en este cso es f()<f(b) y f()< k <f(b). L gráfic de f (x) ps del punto (,f ()) l punto (b,f (b)) sin sltos, esto es, en form continu. figur 6.b Hemos trzdo l rect (un trozo) de ecución y = k hst que cort l gráfic de f (x) en un punto. Nótese que con ls condiciones de l figur 6., es obligdo que dich rect corte l gráfic de f (x). En este cso cort en un sólo punto (podrí cortr en más). figur 6.c El punto l que nos hemos referido nteriormente será de l form (t,k), que por ser de l gráfic de f (x), tendremos que f (t) = k con < t < b Por tnto: Existe un punto t0(,b) tl que f (t) = k. En este cso t es único, pero podrí hber más de uno.

Mtemátics de º de bchillerto Págin 30 Continuidd de funciones Nótese que pr culquier número k que tomemos entre f () y f(b), t0(,b). Vemos otrs forms que puede tener l función f (x) dentro del intervlo [,b] figur 7. En este cso hemos representdo un función continu en el intervlo cerrdo [,b], tl que f () > f (b). Hemos tomdo un número culquier k tl que f (b) < k < f () y podemos observr que se verific el teorem de Drboux porque hy tres puntos t, t y t 3 tles que: f (t ) = f (t )= f (t 3 ) = k figur 7.b Este es un cso prticulr. L función f (x) es continu en el intervlo cerrdo [,b] y con l prticulridd de que f () = f (b). Aquí únicmente hy un vlor intermedio entre f () y f (b), que es k = f () = f (b). Se cumplen ls condiciones del teorem, por lo que n dos vlores t = y t = b pertenecientes l intervlo [,b] tles que: k = f (t ) = f (t ) figur 7.c En este cso l función f (x) no cumple ls hipótesis del teorem, y que un punto del intervlo cerrdo [,b] en el que es discontinu (nótese el punto " en l gráfic). Al tomr el punto k0[f (b), f ()], precimos que no t0[,b] tl que f (t) = k. Obsérvese que si tomásemos otro punto de [f (b), f ()], distinto de k, si existirí t. No obstnte, el teorem no se cumple en este cso. El Teorem de Drboux nos permitirá verigur, en lgunos csos, si un ecución tiene solución o no. Ejemplo 9.- Demostrr que l ecución con un error inferior un unidd. Vemos: x e x = 3 4 tiene solución y dr un vlor proximdo de est x 3 3 Por comodidd, expresmos l ecución de l form: e x = 4 x 3 Consideremos l función f ( x) = e x. Est función es continu en todo su dominio

Mtemátics de º de bchillerto Págin 3 Continuidd de funciones ú por ser un rest de dos funciones continus. Esto nos segur que f (x) es continu en culquier intervlo cerrdo [,b] de ú. 3 Intentemos encontrr un intervlo cerrdo [,b] en el que se cumpln ls hipótesis del 3 3 teorem de Drboux y demás ocurr que [ f ( ), f ( b) 4 ] o 4 [ f ( b), f ( ) ] 3 Probemos con el intervlo [0,] x f ( x) = e x continu en [ 0, ] 0 f () 0 = e 0 = e 0 = en este cso f () < f () 0 f () = e = e = 0 78K Es decir, l gráfic de f (x) une los puntos P(0,) y Q(,0 78...) de un form continu. 3 Consideremos el punto = 0 75 4 [ f (), f () 0 ] = [ 0 78K, ] Por el Teorem de los Vlores Intermedios, podemos segurr que: [ 0] 3 t, f ( t) = 4 Es decir: t 3 t [ 0, ] e t =, esto es, l ecución dd tiene solución. 4 L solución es t0[0,], es decir, t = 0..., por lo que está dd con un error inferior. 3 Ayuddos de un progrm vmos representr el problem gráficmente pr comprobr l solución: figur 8 En l figur 8 tenemos representd l función x f ( x) = e x que puede precirse que es continu en el intervlo cerrdo [0,], con f (0) = y f () = e& = 0 78..., es decir, f (0) > f (). Observ que hemos considerdo el punto 0 75 comprendido entre los vlores f () y f (0) y como l gráfic de f (x) y l rect horizontl y = 0 75, se cortn en un punto de bcis t0[0,], esto es, f (t) = 0 75. x Lo nterior nos segur que l ecución e x = 3 es decir, tiene 4, e x x = 3 4, solución dentro del intervlo (0,). L solución, sin yud de l gráfic, podemos segurr que es igul t = 0..., pero hciendo cso l representción de l figur 8, precimos que t 0 3, es decir: e 3 t t = 4 con t 0 3

Mtemátics de º de bchillerto Págin 3 Continuidd de funciones.teorem.- El siguiente teorem nos servirá pr verigur si lguns ecuciones de complicd resolución, tienen solución, pudiendo incluso determinr est de un modo proximdo. Si f (x) y g(x) son dos funciones continus en el intervlo cerrdo [,b] y se verific que f()<g() y f (b)>g(b), entonces un número t0(,b) tl que f (t) = g (t). Otr form de expresr el teorem el l siguiente: Si f (x) y g(x) son dos funciones continus en el intervlo cerrdo [,b] y se verific que f()<g() y f (b)>g(b), entonces ls gráfics de mbs funciones se cortn en un punto de l form P(t,k), siendo t0(,b) y k = f (t) = g(t) NOTA: Ls condiciones f()<g() y f (b)>g(b) se pueden substituir por f()>g() y f (b)<g(b) Mtemáticmente serí: f ( x) continu en [, b] g ( x) continu en [, b] t (, b) f ( t) = g( t) f ( ) < g( ) f ( b) > g( b) Vemos l interpretción gráfic: figur 9. f (x) y g(x) son continus en [,b]. En este cso es f ()<g() y f (b)>g(b), es decir, ls gráfics se cortn en un punto. t (, b) f ( t) = g( t) figur 9.b f (x) y g(x) son continus en [,b]. En este cso es f ()>g() y f (b)<g(b), es decir, ls gráfics se cortn en un punto. t (, b) f ( t) = g( t)

Mtemátics de º de bchillerto Págin 33 Continuidd de funciones Ejemplo 0.- x Demostrr que l ecución e = x 4x + 4tiene, l menos, un solución. Posteriormente dibujr sus gráfics y comprobr l nci de dich solución. Vemos: [ Consideremos ls funciones siguientes: x Como mbs funciones f ( x) = e que es continu en todo R son continus en todo ú, g ( x) = x 4x + 4 que es continu en todo R lo serán en culquier intervlo cerrdo [,b] [ Busquemos un intervlo cerrdo [,b] en el que se cumpln ls hipótesis del teorem de ls funciones que se cortn: m Probemos con el intervlo [0,] x f ( x) = e continu en [ 0, ] g( x) = x 4x + 4continu en [ 0, ] f () 0 < g() 0 En este cso 0 f () 0 = e = ; g() 0 = 0 4 0+ 4 = 4 f () > g() f () = e = e ; g() = 4 + 4 = m Ls funciones f (x) y g(x) verificn ls hipótesis del teorem en [0,]. Por tnto: t (,) 0 f () t = g() t t Es decir, t (,) 0 e = t 4t + 4 (l ecución dd tiene solución). m L solución de l ecución es un número de l form t = 0... (entre 0 y ). [ Ahor dibujremos ls gráfics de mbs funciones pr comprobr que se cortn: 4 L función y = g(x)= x & 4x + 4 es un prábol de vértice: V, g ( ) = ( 0, ) ( ) x y = x & 4x + 4 4 3 0 4 4 4 4 L función y = f (x) = e x debe ser de sobr conocid por el lumno. Su gráfic puede precirse en l figur 30. 4 En l figur 30 se observ como ls gráfics de f (x) y g( x) se cortn en un punto P de bcis t0(0,), es decir: (, t f ()) t es el mismo punto P. (, tgt ()) A simple vist se preci que t 0 65

Mtemátics de º de bchillerto Págin 34 Continuidd de funciones Ejemplo.- Demostrr que l ecución x Lx = tiene solución. Vemos: U Expresemos l ecución de l form Lx = x U Consideremos ls funciones siguientes: f ( x) = Lx y g( x) = x U L función f (x) es continu en el intervlo infinito (0,+4), es decir, en ú + L función g (x) es continu en ú&{0}= (&4,0)c(0,+4) U Intentemos encontrr un intervlo cerrdo [,b] en el que se cumpln ls condiciones del teorem de l funciones que se cortn (quede clro que puede que dicho intervlo no exist). Probemos con el intervlo cerrdo [,e] + f ( x) = Lx continu en [, e] R g( x) = continu en [, e] (, 0) ( 0, + ) x f () = L= 0 f () < g() t (, e) f () t = g() t g() = = f () e = Le = f () e > g() e ge () = < e U Vemos que se cumplen ls condiciones (hipótesis) del teorem y, por tnto, l tesis. Así que: Existe un número t tl que < t < e y que verific: t Lt =, esto es, l ecución dd tiene solución. Dibujemos ls gráfic de mbs funciones pr comprobr los resultdos: En l figur 3 tenemos representds ls gráfics de ls funciones f (x)=lx y g (x) = x &. Puede precirse que mbs son continus en el intervlo cerrdo [,e] (que no hemos representdo) y que ls gráfics se cortn en un punto situdo en l verticl de dicho intervlo, es decir: t [, e] f () t = g() t es decir, L t = t A simple vist podemos dr un proximción de l solución de l ecución: t 75 Después de ver l gráfic, notmos que podímos hber elegido el intervlo [,] en lugr de [, e], por lo que obtendrímos que t0[,].

Mtemátics de º de bchillerto Págin 35 Continuidd de funciones.continuidd y cotción de un función. Teorem.- El siguiente teorem relcion l continuidd de un función en un intervlo con l cotción de est. Si un función es continu en un intervlo cerrdo [,b], entonces está cotd en él. Mtemáticmente: [ ] R [ ] f ( x) continu en, b k, m x, b es k f ( x) m Es decir: W f (x) es un función continu en [,b]. Esto signific que es continu en todo el intervlo bierto (,b), es continu en por su derech y continu en b por su izquierd. W Entonces n dos números k y m tles que k #f (x) #m pr culquier x 0[,b]. El número k es un cot inferior de f (x) reltiv l intervlo [,b] El número m es un cot superior de f (x) reltiv l intervlo [,b] W Lo nterior no impide que l función pued superr ls cots k y m fuer del intervlo [,b], es decir, puede ser que: W x [, b] tl que f ( x) < k x [, b] tl que f ( x) > m es decir, ls cots se refieren l intervlo. Vemos l interpretción gráfic de este teorem: En l figur 3 tenemos dibujd l gráfic de un función f (x) continu en el intervlo cerrdo [,b]. Nótese como n dos números k (cot inferior) y m (cot superior) de f (x), tles que œx0[,b] es k # f (x) # m, esto es, l función f (x) está cotd en el intervlo [,b]. Puede ocurrir que fuer de ese intervlo l función no esté cotd por los números k y m. Ejemplo.- Consideremos l función f (x) = Lx & x. Queremos sber si está cotd en el inervlo cerrdo [,].

Mtemátics de º de bchillerto Págin 36 Continuidd de funciones Vemos: P f (x) = Lx & x es un rest de dos funciones, y = Lx e y = x P L función y = Lx es continu en el inervlo (0,+4), por lo que lo será en culquier intervlo [,b]d(0,+4). L función y = x es continu en todo ú, por lo que lo será en culquier intervlo [,b]d(0,+4)dú. P L rest de dos funciones continus es continu, por lo que f (x) = Lx & x es continu en (0,+4) y, por tnto, lo será en culquier intervlo [,b]d(0,+4). Conclusión: Como f (x) = Lx & x es continu en el intervlo [,], está cotd en él. 3.Teorem de Weierstrss.- Este teorem relcion l continuidd de un función en un intervlo cerrdo con l nci de extremos (máximo y mínimo) de l función en dicho intervlo. Si f (x) es un función continu en el intervlo cerrdo [,b], entonces un número α de [,b] en el cul l función lcnz el mínimo y otro número β de [,b] en el cul lcnz el máximo, dentro de dicho intervlo Mtemáticmente: f ( x) continu, [ b, ] x [ b, ] es f( ) f( x) f( ) en [, b] αβ α β Vemos l interpretción gráfic: figur 33. f (x) continu en [,b]. En α lcnz el mínimo y en β el máximo, siendo f (α) = k y f (β) = m figur 33.b f (x) continu en [,b]. En lcnz el mínimo y en b el máximo, siendo f () = k (mínimo) y f (b) = m(máximo) figur 33.c f (x) continu en [,b]. En este cso l función lcnz el máximo y el mínimo en infinitos puntos del intervlo.

Mtemátics de º de bchillerto Págin 37 Continuidd de funciones Ejemplo 3.- Se l función f ( x) = x e x. Queremos contestr ls siguientes pregunts: ) Podemos segurr que está cotd en el intervlo [&3,&]? b) Podemos segurr que está cotd en el intervlo [&,]? Vemos: K L función f (x) es un cociente de otrs dos funciones: gx ( ) = e x yhx ( ) = x K e x L función gx ( ) = es continu en ú&{0}= (&4,0)c(0,+4) L función hx ( ) = x es continu en todo ú, pero se nul en x =& y x = L función f ( x) = e x es continu en todo ú excepto los puntos x =&, x = 0 y x x = Según lo nterior, l función f (x) es continu en el intervlo cerrdo [&3,&], por lo que plicndo el teorem de Weierstrss, podemos segurr que está cotd (superior e inferiormente) en el intervlo cerrdo [&3,&], es decir: [ 3 ] [ 3 ] αβ,, x, es k = f ( α) f ( x) f ( β) = m En α l función lcnz el mínimo cuyo vlor es k En β l función lcnz el máximo, cuyo vlor es m. L función f (x) no es continu en el intervlo cerrdo [&,], porque no es continu en el punto 00 [&,] ni continu por l derech en &0 [&,], ni continu por l izquierd en 0 [&,], por lo que no podemos segurr que esté cotd en dicho intervlo (quede clro que esto no signific que no lo esté). K No obstnte, vemos que ocurre en x = y x = &: e x e e e lim f ( x) = lim = = = = ± (síntot verticl en x = ) x 0 0 Y sbemos que en [&,] no está cotd. ( e x ) e e e lim f ( x) = lim = = = = ± x ( ) 0 0 (síntot verticl en x = &)