Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Repaso de números reales y de funciones 47 Tema 70 Repaso de números reales y de funciones El conjunto de los números reales El conjunto de los números reales, R, es el más amplio de los números usuales Puede considerarse como una sucesiva ampliación de los demás conjuntos numéricos, cumpliéndose que: N Z Q R Esquemáticamente: Naturales Enteros Racionales Reales Negativos Fraccionarios Irracionales Cuando no se advierte nada se trabaja con números reales Esto es, el número de partida o el buscado es un número real, no debiendo restringirlo a natural, entero o racional Esta premisa es muy importante y necesaria en Análisis Matemático (en Cálculo) Así, los conceptos de función, de límite, de derivada tienen significado en R, y pueden resultar no válidos para los demás conjuntos numéricos Por eso, al definir el conjunto de los números reales hay que precisar los conceptos (Aunque aquí se seguirá siendo generalista, al menos se concretarán algunos conceptos) La recta real Los números reales pueden representarse sobre una recta Así: A cada punto de la recta le corresponde un número real; y al revés, a cada número real le corresponde un punto de la recta La recta real es compacta : no tiene ningún punto vacío, sin rellenar Entre cada dos números reales siempre hay otro número real Así, entre 0,65 y 0,66 está, por ejemplo, 0,65 Entre 0,65 y 0,65 está 0,650 En consecuencia, entre cada dos números reales hay infinitos números reales Los números reales con infinitas cifras decimales suelen aproimarse, pero hay que saber que se ha hecho una aproimación Cuando se opera debe hacerse con el número real eacto, no con su aproimación Y cuando se da un resultado debe darse el número real, aunque puede convenir dar su aproimación para entender mejor el resultado Así, por ejemplo si un resultado es puede darse 5, 66, pero no dar como solución sólo 5,66 Definición aiomática de R El conjunto de los números reales se puede definir de manera aiomática como sigue: ) R tiene estructura algebraica de cuerpo: la terna (R, +, ) es un cuerpo Con esto se quiere decir que en R hay definidas dos operaciones + y, suma y producto, que cumplen las siguientes propiedades: Respecto de la suma: Asociativa: a + b + c = ( a + b) + c = a + ( b + c) Conmutativa: a + b = b + a Eiste neutro, que es el 0, que cumple: a + 0 = 0 + a = a Todo elemento de R tiene opuesto El opuesto de a se escribe a y cumple: a + ( a) = 0 wwwmatematicasjmmmcom
Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Repaso de números reales y de funciones 48 Respecto del producto: Asociativa: a b c = ( a b) c = a ( b c) Conmutativa: a b = b a Eiste elemento unidad, que es el, que cumple: a = a = a Todo elemento de R, distinto de 0, tiene inverso El inverso de a se escribe o a y a cumple que: a = a Además se verifica la propiedad distributiva: a ( b + c) = a b + a c ) R es un conjunto totalmente ordenado Esto quiere decir que dados dos número reales, e y, se cumple alguna de las desigualdades siguientes: < y, o bien, y < (El símbolo < puede sustituirse por ) < y significa que y > 0 y significa que y 0 Gráficamente, un número real es mayor que otro si está representado a su derecha Los números situados a la izquierda del 0 se llaman negativos; los situados a su derecha, positivos Además se verifican: Si y + z y + z, para cualesquiera, y, z R Si y z yz, para cualesquiera, y R y z 0 Si y z yz, para cualesquiera, y R y z 0 Observación: El conjunto de los números racionales, Q, verifica las propiedades anteriores Lo que hace más potente a R es el siguiente aioma ) Aioma del etremo superior: "Todo conjunto de números reales no vacío y acotado superiormente posee etremo superior" Esto es, si A es un conjunto de números reales, A, y está acotado superiormente, entonces A tiene una cota superior mínima Cota: Un conjunto A R está acotado superiormente si eiste un número k, tal que para todo A se cumple que k A k se le llama cota de A Un conjunto A puede tener infinitas cotas (Análogo para cota inferior) Etremo superior (m): es la menor de las cotas superiores de A; la cota superior mínima (también se llama supremo) Si m A, se le llama máimo, pues coincide con el mayor número de A (Análogo para etremo inferior; mínimo) a) El conjunto de los números reales que son menores que, A = { R < }, está acotado superiormente por 7, y por, y por, El etremo superior, la cota superior mínima es Este conjunto no tiene máimo: no puede concretarse; se sabe que es,999 b) El conjunto de los números reales B = { R }, está acotado superiormente por,, y por,, y por,0 La cota superior mínima de B es Este conjunto tiene un valor máimo, que es c) El conjunto de los números reales C = { R < }, está acotado inferiormente por 0, y por 0,9, y por, que es el etremo inferior, la cota inferior máima; coincide con el mínimo de C (Este conjunto también está acotado superiormente por ) wwwmatematicasjmmmcom
Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Repaso de números reales y de funciones 49 Intervalos Los intervalos son subconjuntos de la recta real Intervalo abierto (a, b) = todos los números reales que son mayores que a y menores que b: R a < < b (a, b) = { } a) (, ) = { R < < } b) (, ) = { R > } Intervalo cerrado [a, b] = todos los números reales que son mayores o iguales que a y R a b menores o iguales que b: [a, b] = { } Ejemplo: [0, ] = { R 0 } Los intervalos pueden definirse también utilizando el concepto de valor absoluto,, cuya, si 0 definición es: =, si < 0 Con esto, se tiene: ) < k k < < k Por tanto, decir que Igualmente, < k equivale a decir que ( k, k) k k k [ k, k] ) De manera análoga: a < k k < a < k a k < < a + k ( a k, a + k) a k k a k a k a + k a) < < < (, ) b) < [, ] [ a k a + k] c) < < < < < 5 (, 5) d) + 4 4 + 4 6 [ 6, ], Observación: Al conjunto de números reales que cumple la desigualdad a < r se le llama también entorno de centro a y radio r, y se denota por E r (a) Así, E ( ) = (, + ) = (, 5), es el entorno de centro y radio < ) Las epresiones > k o a k definen los intervalos: > k < k o > k (, k) (k, + ) a k a k o a k (, a k] [ a + k, + ) wwwmatematicasjmmmcom
Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Repaso de números reales y de funciones 50 Funciones reales de variable real Una función f, de una variable real, es una regla que asigna un único número real y a cada número de su dominio Puede indicarse así: f: R R; y = f () Por tanto, una función puede definirse como un conjunto de pares (, y) de manera que no hay pares con el mismo primer elemento Así, por ejemplo, los pares (, ) y (, ) no pueden pertenecer a la misma función, pues eso indicaría que al número le corresponden dos números, el y el, en contra de que la correspondencia debe ser única A se la llama variable independiente Cuando se representa se hace en el eje horizontal, el eje de abscisas, el eje OX La y es la variable dependiente Se representa en el eje vertical o de ordenadas, el eje OY Ambas variables son números reales Las funciones reales suelen darse mediante una fórmula o epresión algebraica Por ejemplo: f ( ) = ; g( ) = + También se escribe: y = ; y = El domino de la función lo forman los números para los cuales eiste el valor de f () Dom(f) = { R f () eiste} El valor de f () no eiste cuando alguna de las operaciones que la definen no puede realizarse Por ejemplo: la división por cero, la raíz de un número negativo, el logaritmo de un número menor o igual que cero; (En esos casos, al operar con calculadora saldrá el mensaje de ERROR) Otras veces será la naturaleza del problema lo que restringa su dominio; por ejemplo, un tiempo o una longitud no pueden tomar valores negativos La imagen o recorrido de la función es el conjunto de valores que toma f () cuando pertenece al dominio; es, por tanto, el conjunto de resultados Im(f) = {y R y = f (), Dom(f)} Gráfica de una función Las funciones de variable real suelen representarse en el plano cartesiano mediante una línea Las coordenadas de esos puntos vienen dadas por los pares (, y) = (, f () ), siendo del dominio de f a) La función f ( ) = asocia al número f() = = ; a 0 Los pares de elementos relacionados pueden darse con ayuda de una tabla Así: 0 4 f() 0 0 4 4 0 Representando en el plano cartesiano esos pares (puntos (0, 0), (, ), (, ), (, 0), (, 4), (4, 4) ) y uniéndolos mediante una línea continua se obtiene la gráfica de dicha función El dominio de esta función es Dom(f) = R, todos los números reales, pues para cualquier número real tiene sentido (puede hacerse) la operación El recorrido de f ( ) = es el conjunto de resultados que tome la epresión para cualquier valor de Por tratarse de una parábola, el valor más pequeño del recorrido se da en el vértice, V(/, 9/4) Por tanto, su recorrido es el conjunto Im(f) = [ 9/4, + ) wwwmatematicasjmmmcom
Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Repaso de números reales y de funciones 5 b) La función g( ) = + asocia al número g ( ) = = = ; a 0 En cambio, a 4 no puede asociarle ningún número real, pues g ( 4) = 4 = El dominio de g () está formado por los números reales menores o iguales que : Dom(g) = { R } = (, ] El recorrido de g( ) = + son los resultados que se obtienen al calcular la raíz cuando : son los números reales mayores o iguales que 0 Esto es, Im(g) = [0, + ) + c) La función h ( ) = no está definida cuando = ; su dominio es: Dom(h) = R {} d) La función e( t) = 80t, que determina el espacio recorrido por un vehículo que se mueve a 80 km/h durante un tiempo t, sólo tiene sentido para t 0 Si lo que se conoce es la gráfica de la función y = f (), entonces: El dominio viene dado por los valores del eje horizontal (eje OX) que tienen correspondiente Si la vertical por corta a la gráfica de f entonces es del dominio de f La imagen, f( 0 ), de un número 0, es el valor de la distancia, medida verticalmente, desde 0 hasta la gráfica de f Si la gráfica transcurre por debajo del eje, la imagen es negativa El recorrido viene dado por los valores del eje vertical (eje OY) que son correspondiente de algún del dominio Si la horizontal por y0 corta a la gráfica de f entonces y 0 pertenece al recorrido de f Para la función dada en la figura adjunta: Dom(f) = [0, 6); Im(f) = [, 5] Observación: Si alguna recta vertical corta a la gráfica de f en más de un punto, entonces esa línea no define a una función Funciones definidas a trozos Una función puede venir definida mediante varias epresiones algebraicas La manera de darlas suele ser: f( ), si a f ( ) = f ( ), si > a Se indica así que la función que actúa para los valores de a es f (), y para los valores de a es f () Ejemplo: si La función f ( ) =, asocia a los números menores o iguales que, el valor si > ; y a los mayores que, el resultado de Algunos pares de valores son: Para : (, 0), (, 4), (0, 0), (, ), (, ), (, 0), Para > : (4, ), (5, ), (6, ), (7, ), Su gráfica sería la adjunta wwwmatematicasjmmmcom
Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Repaso de números reales y de funciones 5 Funciones usuales Funciones polinómicas n Son de la forma f ( ) = an + + a + a + a0, con n un número natural El dominio de definición de estas funciones es todo R: están definidas siempre El grado de una función polinómica es el del polinomio correspondiente La función polinómica de de grado n corta al eje OX en un máimo de n puntos Las abscisas n de los puntos de corte son las soluciones de la ecuación an + + a + a + a0 = 0 Ejemplo: La función f ( ) =, corta al eje OX en las soluciones de la ecuación = 0 Estas soluciones son =, doble, y = Como puede observarse, f ( ) = = ( + ) ( ) El punto de corte con el eje OY se obtiene dando a el valor 0 La gráfica de esta función es la adjunta Funciones racionales P( ) Las funciones racionales son de la forma f ( ) =, donde P () y Q () son polinomios Q( ) Estas funciones están definidas para todo valor de que no anule el denominador Estas funciones pueden tener asíntotas: verticales, en los ceros del denominador; horizontales si el grado del numerador es menor o igual que el grado del denominador, oblicuas si el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador + a) El dominio de f ( ) = es R {0, }; su denominador se anula para = 0 y = Tiene dos asíntotas verticales, que son las rectas = 0 y = La recta y = 0 es asíntota horizontal + b) La función f ( ) = está definida para todo R; su + denominador no se anula nunca Funciones con radicales Son de la forma y = n f ( ), siendo n natural y f () cualquier otra función Estas funciones están definidas cuando está definida f () y, además, puede hacerse la raíz Por tanto: ) Las funciones radicales de índice par están definidas sólo si f ( ) 0 ) Las funciones radicales de índice impar están definidas siempre que lo esté f () a) f ( ) = está definida para Dom(f) = [, + ) b) f ( ) = está definida para todo R c) f ( ) = está definida para todo R {} wwwmatematicasjmmmcom
Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Repaso de números reales y de funciones 5 d) f ( ) = + 4 está definida para todo R, pues el radicando nunca es negativo e) ( ) = f 4 está definida cuando 4 0 (, ] [, + ) Observación: Para determinar el dominio de estas funciones conviene recordar la resolución de inecuaciones con radicales La función eponencial Es de la forma f ( ) = a y = a, a > 0 y a Características fundamentales: Su domino es R Siempre toma valores positivos Esto es: f ( ) = a > 0, para todo Si la base a >, la función siempre es creciente Si la base 0 < a <, la función siempre es decreciente Corta al eje OY en y =, pues a 0 =, para cualquier valor de a El eje OX, la recta y = 0, es una asíntota horizontal de la función; hacia si a >, y hacia + si 0 < a < Observación: La función Así, por ejemplo: siempre f f ( ) = a es idéntica a ( ) En consecuencia, = = Dos casos comunes de la función eponencial son f ( ) =, y la misma que a f f ( ) = a ( ) = a con a > es decreciente f 0 ( ) = y f = ( ) e También son frecuentes f ( ) = 0 y f ( ) = e Estas últimas funciones pueden escribirse como f ( ) = y f ( ) = 0 e g( ) La función general f ( ) = a está definida siempre que lo esté g() Ejemplo: = f ( ) está definida para todo número real distinto de : Dom = R {} La función logarítmica La más sencilla es f ( ) = log a y = log a (a > 0; a ) Para las bases usuales, a = 0 y a = e: f ( ) = log y f ( ) = ln Características fundamentales: Su dominio es R +, los reales positivos: > 0 Toma valores que van desde a + : Recorrido = (, + ) El eje OY, la recta = 0, es asíntota vertical de su curva Si a > (que es lo usual), la función es creciente (Si 0 < a <, la función será decreciente) La función general f ( ) = log g( ) está definida siempre que g() > 0 a wwwmatematicasjmmmcom
Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Repaso de números reales y de funciones 54 a) f ( ) = log( + ) está definida siempre que + > 0 ; esto es, cuando > Por tanto, su dominio es el intervalo (, + ) b) ( ) = log( f + ) está definida siempre, pues + > 0 para todo c) f ( ) = log está definida siempre que > 0 (, ) (, + ) f () Observación: Como f ( ) = log a = a, se deduce que las funciones eponencial y logarítmica son inversas; esto es, si aplicamos sucesivamente el logaritmo y la eponencial en la misma base, volvemos al punto de partida O sea: a log log a = y a a = Funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente Las epresiones más sencillas de estas funciones son: f ( ) = sen f ( ) = cos f ( ) = tag Características fundamentales de seno y coseno: Su dominio de definición es R Por tanto, es un número real; no es un ángulo propiamente dicho: si se quiere, es un ángulo en radianes, no en grados Los valores que toman varían entre y : el recorrido de ambas es el intervalo [, ] Son periódicas de periodo p = π Esto es: sen = sen( + π ) ; cos = cos( + π) La función seno es simétrica respecto del origen f ( ) = sen ( ) = sen = f ( ) La función coseno es simétrica respecto del eje OY f ( ) = cos ( ) = cos = f ( ) Sus gráficas son las siguientes: Características fundamentales de la tangente: π Su dominio de definición es R + k π, pues para π π = ± + kπ se anula el denominador: cos ± + k π = 0 Toma valores que varían entre y + : su recorrido es todo R Es periódica de periodo p = π Esto es: tag = tag ( + π), para cualquier valor de su dominio π Tiene por asíntotas verticales las rectas = ± + kπ Observación: Las calculadoras trabajan estas funciones en el modo radianes: MODE RAD Suelen designarse con las letras sin, cos y tan, que aquí se emplearán también wwwmatematicasjmmmcom