LA MEDIANA ROBUSTA SOBRE UN ÁRBOL CUANDO LA DEMANDA ES INCIERTA M.J. Caós M. Maríez 2 M. Mocholí V. Navarro 3 U. de Valeca Florda Uversara U. de Valeca U. de Valeca mara..caos@uv.es marsam@florda-u.es mauel.mochol@uv.es vale.avarro@uv.es Resume El problema de la p-medaa es u modelo básco de localzacó e redes dode las logudes de las arsas (dsacas los pesos de los vérces (demadas so coocdos. Cosse e ecorar p puos de la red de modo que se mmce la dsaca oal poderada ere esos puos los vérces. Como la maoría de problemas de localzacó, se ulza para omar decsoes a largo plazo e u eoro cero. E cosecueca, la hpóess de que los daos so deermsas o parece apropada para resolver u problema real. E ese rabao preseamos el problema de la medaa sobre u árbol co cerdumbre e las demadas, resuelo medae éccas de opmzacó robusa. E cocreo, hemos supueso que la cerdumbre vee refleada por el hecho de que cada demada puede varar e u rago de valores. Nuesro obevo es cosegur ua solucó que, cuado los daos ome algú valor e el fuuro, mmce la demada o aedda cuo cose o esé mu leos del mímo cose que hubésemos obedo de saber co aelacó el auéco valor de los daos. Pueso que la forma de plaear maemácamee ese obevo o es úca, preseamos comparamos varas opcoes ere las que puede elegr el decsor. Palabras clave: Localzacó, medaa, escearos, opmzacó robusa. INTRODUCCIÓN El problema de la p-medaa es u modelo básco de localzacó cuado la esrucura opológca subacee del problema es ua red e la que las logudes de las arsas (dsacas los pesos de los vérces (demadas so coocdos. Cosse e ecorar p puos de la red de modo que se mmce la dsaca oal (o meda poderada ere esos puos los vérces. Fue roducdo por Hakm (964,965 que demosró la propedad de opmaldad e los vérces, a saber, que sempre ese ua p-medaa e los vérces de la red. Supoer que los daos so deermsas esácos, s embargo, es poco realsa, pues la maoría provee de esmacoes sobre hechos que odavía Deparameo de Maemáca Ecoómco-Empresaral. Avda dels Tarogers, s/, Edfco Deparameal Oreal, 4607 Valeca. Teléfoo: 963828369. Fa: 963828370. 2 Deparameo de Maemácas Esadísca. Re E Jaume I, 2, 46470 Caarroa. Teléfoo:96220380. Fa: 96269933. 3 Deparameo de Fazas Empresarales. Avda dels Tarogers, s/, Edfco Deparameal Oreal, 4607 Valeca. Teléfoo: 963828369. Fa: 963828370.
o se ha producdo de los cuales, e muchos casos, o ha formacó hsórca. Además, esas apromacoes eacas debe proecarse haca el fuuro para u largo perodo de empo e el cual los cambos e el eoro so mu dfícles, so mposbles, de predecr. Así, surge de forma aural los modelos méodos que acepa cerdumbre e los daos, como el aálss de sesbldad, aálss paramérco, modelos dámcos modelos esocáscos. U resume de ellos aparece e el arículo de Owe Dask (998. Más receemee se ha aplcado ambé éccas borrosas [Caós, Ivorra Ler (999, 200] éccas de opmzacó robusa [Kouvels Yu (997, Che L (998, Serra Maraov (998, Caós Mocholí (998, Averbakh Berma (2000]. Las éccas de opmzacó robusa, al coraro que el aálss de sesbldad o el aálss paramérco, cosdera que la cerdumbre es ua caracerísca heree al ssema que, e lugar de elmarla, es mucho más provechoso hacer u esfuerzo para esrucurarla hasa dode sea posble, eederla maearla. La opmzacó robusa o ecesa que la cerdumbre esé provocada por u solo parámero (el empo, como la opmzacó dámca, ampoco que esa ua dsrbucó de probabldad asocada, como la opmzacó esocásca, requso o rval e problemas que, como los de localzacó, esuda feómeos úcos co poca o gua formacó hsórca. Cualquer écca robusa ha de segur res pasos [Kouvels Yu (997]:. Plafcacó de los escearos. U escearo es ua realzacó poecal de los daos ceros del problema. La flosofía de la opmzacó robusa es la de esar preparados para efrearse a (cas cualquer suceso fuuro. Por ao, del bue dseño de los escearos depede el éo o el fracaso de odo el proceso poseror. 2. Eleccó de u crero de robusez. Pueso que es mposble que sepamos que va a ocurrr e el fuuro, el crero de robusez debe llevaros a ua solucó del problema que se pore be bao cualquer escearo. 3. Plaeameo de u modelo coordado. El modelo coordado recoge el crero de robusez, la formacó proporcoada por odos los escearos, ua vez plaeado, puede resolverse por éccas coocdas. Cuado el decsor obee ua solucó para el modelo cooordado desea que esé lo más cerca posble de la facbldad de la opmaldad para odos cada uo de los escearos. Para ello, se adme desvacoes respeco de la facbldad la opmaldad se ea mmzar ambas [Mulve, Vaderbe Zeos (995]; o be se supoe que los escearos ee solucoes facbles e comú sólo se perme desvacoes respeco a la opmaldad [Kouvels Yu (997]. Todos los rabaos que aplca éccas robusas al problema de la p-medaa, ecepo el de Caós Mocholí (998, rabaa bao la úlma hpóess; es decr, supoe que odas las resrccoes de odos los escearos debe cumplrse. E parcular, supoe que oda la demada debe ser aedda. S embargo, e alguos casos podría eresar dear ua pequeña pare de la demada sasfecha a cambo de oras compesacoes. Ese úlmo caso es el que plaeamos. E ese rabao cosderamos el problema de la medaa sobre u árbol e el que la cerdumbre vee refleada por el hecho de que cada demada puede varar e u rago de valores. El cálculo de esos ervalos puede realzarse por el méodo propueso por Caós Mocholí (998. Nuesro obevo es cosegur ua solucó que, cuado los daos ome algú valor e el fuuro, mmce la demada sasfecha cuo cose o esé mu leos del mímo cose que hubésemos obedo de haber coocdo co aelacó
dcho valor. Pueso que la forma de plaear maemácamee ese obevo o es úca, preseamos comparamos varas opcoes ere las que puede elegr el decsor. 2 CÁLCULO DE LOS ESCENARIOS E Caós, Maríez Mocholí (200 preseamos dos procedmeos para maear los fos escearos que aparece cuado las demadas de u problema de la medaa vee dadas e forma de ervalos. Cuado o coocemos cual es el comporameo de cada demada dero de su rago posble de valores, el algormo ESCEGEN os perme calcular odos los ópmos posbles al meos u escearo asocado a cada uo. S sabemos que el comporameo de odas las demadas vee deermado por u úco parámero, podemos ulzar el algormo ESCEPAR para calcular odas las medaas odos los escearos asocados a cada ua de ellas. E ambos casos los cálculos o depede de las dsacas. Recordemos como se calculaba los escearos e el segudo caso. Cosderemos u árbol T=(V,E, dode V={v,...,v } es el couo de vérces E el de arsas. Cada arsa ee asocada ua logud posva coocda. Supogamos que cada vérce ee ua demada cera asocada represeada por u ervalo. Así, ω =[ ω, ω ] es la demada del vérce v, para =,...,. Es evdee que eemos fos escearos. Al couo de odos los escearos lo llamaremos S. Dado u escearo s S, deoamos por ω s el valor de la demada de v e dcho escearo. Obvamee, se cumplrá que ω ω s ω. Para odo par de puos e de T, d(, es la dsaca ere e, calculada como la logud del úco camo ere e. Supogamos que odos los pesos puede ser escros como ua fucó leal de u úco parámero [L,U] deoemos por m a la medaa correspodee al 0 escearo obedo para el valor 0. Teorema [Erku Tasel (992]. Para odo [L,U] ese ua medaa m e el camo que ue m L m U. Además, Erku Tasel (992 demosraro que se podía calcular los subervalos de [L,U] para los que era ópma cada ua de las medaas de escearo. Aplcado su méodo a uesro problema, obeemos el sguee algormo: a = Algormo ESCEPAR INPUT. Iroducr como daos el árbol T las demadas ω, =,...,. INICIALIZACIÓN. Paramerzar las demadas, hacedo ω ( = a + b, co [0,], ω b = ω - ω. PASO. Calcular el vérce cal del camo de las medaas ópmas, m 0, correspodee al escearo co pesos ω (0 para =,...,, el vérce fal, m correspodee al escearo co pesos ω ( para =,..,, medae algú algormo coocdo. PASO 2. Calcular el camo desde m 0 hasa m, reumerar los vérces del camo como { m 0 =v (,v (2,..., m =v (k } asgar a cada vérce del camo el peso del subárbol del cual es raíz ωc ( ( = ac ( + bc (, para (=,...,k.
PASO 3. Calcular los puos de rupura del parámero medae la sguee epresó: ( ac( +... + ac( + ( ac( + +... + ac( k ((+ =. para (=,...,k-. ( bc( +... + bc( ( bc( + +... + bc( k dode ((+ represea el valor de para el cual oda la arsa (v (, v (+ so medaas. OUTPUT. Obeer como resulado M, el couo de las medaas de escearo; ST, el couo de los subervalos del parámero ; SP, el couo de los escearos defdos por subervalos de las demadas. Eemplo. Cosderemos el árbol T:. 4 4 6 5 5 4 4 8 6 3 5 Las demadas de cada vérce so ω = [0,9], ω 2 = [5,8], ω 3 = [6,30], ω 4 = [5,20], ω 5 = [225,250], ω 6 = [50,85], ω 7 = [65,90], ω 8 = [50,350], ω 9 = [45,70], ω 0 = [5,20], ω = [3,40], ω 2 = [23,26]. Para calcular los vérces cal (vérce 2 fal (vérce 7 del camo de las medaas hemos ulzado el algormo de Goldma (97 cua compledad algorímca es O(. El camo de las medaas es M = {(,(2,(3}={2,4,7} co pesos ωc 2 ( = 325 + 68, ωc 4 ( = 55 + 50 ωc 7 ( = 260 + 250
el couo ST vee dado por: MEDIANA VALORES DE Vérce 2 [0, 5/6[ Arsa (2,4 5/6 Vérce 4 ]5/6, 0/[ Arsa (4,7 0/ Vérce 7 ]0/, ] A parr de ST, el cálculo de SP es medao. 3 PLANTEAMIENTO DEL MODELO COORDINADO Nuesro crero de robusez esá perfecamee defdo. Es u crero e eseca bobevo pueso que raa de mmzar la demada o aedda por la solucó robusa al msmo empo que obee u cose cercao al cose mímo que se hubera obedo de saber co aelacó que escearo se ba a realzar. La forma de plaear maemácamee ese crero e u modelo coordado o es úca. Bao la hpóess de que las dsacas so coocdas, plaeamos res modelos coordados: Modelo : su obevo cosse e la mmzacó de las desvacoes respeco de la demada o aedda e cada uo de los escearos el cose asocado a la solucó robusa. M M k ( ( ( + ( ( = DD 2 +, = d s. a. : = = = ω 0 ( ω ω [ ω + ( ω ω ( ] ( ( = ω 0, + { 0,}, =,..., ( + + DD =,..., k =,..., = =, = =,..., k (. (.2 (.3 (.4 (.5 (.6
E ese modelo, además de los parámeros defdos aerormee, aparece d = d(v.v M que es ua cosae de escala. Pueso que las desvacoes vee epresadas e udades de produco el cose e udades moearas se hace ecesaro ulzar u coefcee de poderacó. E el eemplo 2 hemos ulzado M =, = 2 Las varables de localzacó so varables baras que vale s localzamos u cero de servco e el vérce 0 e caso coraro. Las varables de asgacó represea la demada del vérce aedda desde el vérce. Las varables DD ( so las desvacoes respeco de la demada aedda e los escearos para los que el ópmo es el vérce (. Por úlmo, la ecuacó (. dca el úmero de ceros de servco que ha que localzar, las ecuacoes (.2 represea que el vérce o aederá demada s o ha gú cero de servco ubcado e él, la ecuacó (.3 dca que la demada oal del vérce que puede ser aedda desde odos los ceros de servco debe esar compredda ere el valor de su demada míma máma la ecuacó (.5 recoge la desvacó DD ( de la demada oal aedda por el modelo coordado co respeco a cada escearo parcular e el que el ópmo es el vérce (. Modelo 2: su obevo es la mmzacó de las desvacoes del cose de la solucó robusa respeco de los coses de cada escearo. s. a. : M = = 0 k ( ( ( + ( ( = ( ω ω [ d ( ω + ( ω ω ( ] = = ω ( ( 0, = ω { 0,} +, =,..., ( + DC 2 =,..., k d =,..., + DC =, = d =,..., k (2. (2.2 (2.3 (2.4 (2.5 (2.6 E ese modelo, las varables DC ( represea la desvacó del cose oal del modelo coordado respeco del cose de los escearos cuo ópmo es el vérce ( la ecuacó (2.5 recoge las desvacoes respeco del cose.
Modelo 3: su obevo es ua combacó de los obevos de los dos modelos aerores. s. a. : M = = 0 = k k 2 ( ( ( + ( ( DD( + ( ( ( + ( ( = ( ω ω ( ω + ( ω ω [ ω + ( ω ω ( ] ( ( = ω = ω + 0, { 0,}, =,..., ( + + DC + DD =,..., k = =,..., = =, = =, = d M d DC =,..., k 2 =,..., k (3. (3.2 (3.3 (3.4 (3.5 (3.6 (3.7 Eemplo 2. Cosderemos el árbol T del eemplo cua marz de dsacas es la sguee: 0 4 8 0 2 4 5 20 9 8 5 7 4 0 4 6 8 0 6 5 4 3 8 4 0 0 2 4 5 20 9 8 5 7 0 6 0 0 4 4 5 0 9 20 7 9 2 8 2 4 0 8 9 24 23 6 3 5 4 0 4 4 8 0 9 4 3 24 2 23 D = 5 5 5 9 9 0 5 4 25 22 24 20 6 20 0 24 4 5 0 9 30 27 29 9 5 9 9 23 3 4 9 0 29 26 28 8 4 8 20 6 24 25 30 29 0 9 5 5 7 3 2 22 27 26 9 0 8 7 3 7 9 5 23 24 29 28 8 0 Co esa abla de dsacas, las solucoes obedas para cada uo de los modelos so las sguees: Modelo Modelo 2 Modelo 3 Localzacó ópma Vérce 4 Vérce 7 Vérce 4 Cose ópmo 923,403 9236,632 9236,632 Demada oal aedda 869,529 847,337 872,045 Tabla : Tabla solucoes
Demada aedda Modelo Demada aedda Modelo 2 Demada aedda Modelo 3 Demada Máma Demada Míma Vérce 0 5,63 5,07 5,675 9 Vérce 2 5 6,87 6,690 6,892 8 Vérce 3 6 24,732 23,888 24,828 30 Vérce 4 5 4,356 3,45 4,458 20 Vérce 5 225 240,593 239,085 240,764 250 Vérce 6 50 7,830 69,720 72,069 85 Vérce 7 65 80,593 79,085 80,764 90 Vérce 8 50 274,744 262,683 276, 350 Vérce 9 45 60,593 59,085 60,764 70 Vérce 0 5 8,9 7,87 8,53 20 Vérce 3 36,63 36,07 36,675 40 Vérce 2 23 24,87 24,690 24,892 26 Tabla 2: Tabla de demada aedda Modelo Modelo 2 Modelo 3 DD(2 23,667-26,83 DD(4 0-0 DD(7-05,06 - -02,50 DC(2-996,67 996,67 DC(4-0 0 DC(7 - -946,458-946,458 Tabla 3: Tabla de desvacoes Los resulados compuacoales de las ablas 2 demuesra que cada uo de los modelos correspode a ua acud dferee del decsor. El modelo, al coraro que el modelo 2, es coservador respeco a la demada aedda pero o así respeco al cose, eso es, dada cualquer realzacó fuura, la probabldad de que dee demada s aeder es meor que e el modelo 2, pero la dfereca ere el cose fuuro real el cose esmado por el modelo puede llegar a ser mu ala. E ese sedo, podemos afrmar que el modelo es más adecuado e el caso de localzacó de ceros de servco públcos el modelo 2 es preferble para ceros de servco prvados. Por úlmo, el modelo 3 ea cubrr ambas posbldades smuláeamee. Desde ese puo de vsa, es el meor de los modelos. S embargo, el esfuerzo compuacoal que requere es mucho maor que el de los modelos 2. Por ello, e cada caso e cocreo, el decsor deberá valorar el bomo efceca-cose compuacoal, elgedo el modelo más adecuado para su problema real. Por úlmo, la abla 3 recoge el valor de las desvacoes e cada uo de los modelos. Pueso que la fucó de demada oal la fucó de cose so crecees e la demada, es lógco que cada uo de los modelos ee ausar las desvacoes a la desvacó "ceral" correspodee al vérce ceral del camo de las medaas
ópmas, e ese caso, el vérce 4. Ello o mplca, como se demuesra e el modelo 2, que dcho vérce ceral sea sempre la ubcacó ópma para el modelo coordado. 4 CONCLUSIONES E ese rabao hemos preseado el problema de la medaa sobre u árbol co cerdumbre e las demadas resuelo medae éccas de opmzacó robusa. Esa cerdumbre vee dada por ervalos, eso es, hemos esablecdo la hpóess de que la demada de cada vérce varía e u rago coocdo de valores. Además hemos supueso que el comporameo de odas las demadas vee deermado por u úco parámero. E al caso, podemos calcular eplícamee u úmero fo de ópmos odos los escearos asocados a cada uo de esos. Co esos daos hemos plaeado res modelos coordados cuos obevos so, respecvamee, cubrrse respeco a odas las posbles demadas fuuras, cubrrse respeco a odos los posbles coses fuuros o cubrrse respeco a ambas suacoes. Por supueso, el esfuerzo compuacoal asocado a cada uo de los modelos o es el msmo. Por ello, el decsor debe valorar su obevo preferee free al cose compuacoal para elegr el meor modelo e cada caso cocreo. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS AVERBAKH, I. BERMAN, O. (2000: "Mma Regre Meda Locao o a Nework uder Ucera". INFORMS Joural o Compug, Vol. 2, pp. 04-0. CANÓS, M.J. MOCHOLÍ, M. (998: "Téccas de opmzacó robusa aplcadas al problema de la p-medaa e codcoes de cerdumbre". Acas de las VI Joradas de ASEPUMA, Uversdad de Saago de Composela, pp.49-56. CANÓS, M.J., IVORRA, C. LIERN, V. (999: "A Eac Algorhm for he Fuzz p- Meda Problem". Europea Joural of Operaoal Research, Vol. 6, pp. 80-86. CANÓS, M.J., IVORRA, C. LIERN, V. (200: "The Fuzz p-meda Problem: A Global Aalss of he Soluos". Europea Joural of Operaoal Research, Vol. 30, pp. 430-436. CANÓS, M.J., MARTÍNEZ, M. MOCHOLÍ, M. (200: "Cálculo de escearos para la medaa robusa cuado la demada es cera". Acas de las IX Joradas de ASEPUMA, Uversdad de Las Palmas de Gra Caara, pp. 89. CHEN, B. LIN, C.S. (998: "Mma-Regre Robus -Meda Locao o a Tree". Neworks, Vol. 3, pp. 93-03. ERKUT, E. TANSEL, B.C. (992: "O Paramerc Medas of Trees". Trasporao Scece, Vol. 26, pp. 49-56. GOLDMAN, A.J. (97: "Opmal Ceer Locao Smple Neworks". Trasporao Scece, Vol. 5, pp. 22-22.
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