REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA JACINTO NAVARRO VALLENILLA CARÚPANO- ESTADO SUCRE MATERIAL DE APOYO DE MATEMÁTICAS TRAYECTO INICIAL Eloro por: L. Iseli Lugo L. Ro Slzr
LOS NÚMEROS REALES Los úeros,, se eoi úeros turles. El ojuto e los úeros turles se represet o l letr N, sí N {,, } Si se su os úeros turles el resulto es otro turl, pero si se rest el resulto o eesriete es u úero turl. Los úeros eteros represetos por Z y os por Z {,,,,0,,, } so erros jo ls operioes e su, rest y ultipliió, esto quiere eir que si ultiplios os úero eteros el resulto es otro úero etero. Si ergo los úeros eteros o so erros jo l ivisió, es eir que si iviios os úeros eteros el resulto o eesriete es u úero etero. Los úeros rioles, Q, expresos e l for, oe, so úeros eteros o istito e ero, es erro jo ls utro operioes. Si ergo o otepl toos los úeros que poeos oseguir. Por ejeplo π que es el períetro e u iruferei e rio, o es u úero riol. Tpoo. es u úero riol, este úero represet u soluió e l euió h y es u úero que está e l turlez, pues él es l logitu e l hipoteus e u triágulo retágulo o los os tetos igules. Estos úeros que o so rioles, pues o puee ser expresos e l for se ll úeros irrioles y se represet o l letr І. U iferei etre los úeros rioles y los irrioles está e su represetió eil. Los úeros rioles puee ser represetos por úeros eiles que o so extos teri ( 0. ) o por úeros eiles que se repite iefiiete ( 0., 0.09090 ). E io los úeros irrioles so represetos por úeros eiles que o teri y que o tiee igu perioii es eir que o tiee igu seuei que se repit.
Los úeros reles está foros por l uió e los úeros rioles (Q) e irrioles (І). L expresió es u úero irriol y por tto rel. Ejeplo.- Dig ules e los siguietes úeros so turles, eteros, irrioles, rioles y reles: ) -; ) ; ) 0. ; ) π + ; e) 0. Soluió: ) - es u úero etero, tié es riol pues puee ser esrito oo y es rel. ) es u úero riol pues puee ser esrito oo. Tié es rel. ) 0. es u úero riol pues puee ser esrito oo 0. Tié es rel. ) π + es u úero irriol. Oserve que oo π es irriol su expsió eil es ifiit o periói l surles oo resulto u úero uy expsió tié es ifiit o periói, tié es u úero rel. e) 0 es u úero turl, etero, riol y es rel. Ejeriio e esrrollo.- Elore u tl que ietifique ojuto uério y señle o u X el ojuto l ul perteee los siguietes úeros: ) π ) + ) -. Los úeros reles puee ser represetos e l ret rel. Pr ello se trz u líe ret y se esoge ritrriete u puto e ell, el ul represetrá el úero 0, luego se esoge u ui ptró e ei y prtir el 0 se he eiioes e u ui tto l izquier oo l ereh, los putos eios represet los úeros eteros e el ore o
e l figur. Los putos l ereh el 0 represetrá los úeros positivos y l izquier los úeros egtivos. Pr represetr geoétriete los úeros rioles poeos vleros e su for ixt: o <, este úero represet puee ser esrito oo. Ahor es lro que el úero +, por ejeplo el úero está / 0 es uies e isti l ereh el. L represetió el úero siétri o respeto l orige el úero 0. Hy étoos preisos pr represetr los úeros irrioles trvés e ostruioes geoétris, si ergo e est guí se hrá represetioes o uy exts e estos úeros trvés e los prieros ígitos e su represetió eil. Ejeriio e esrrollo: Represete proxiete los siguietes úeros e l ret rel. ) π ; ) + ; ) -. ; ) Algus propiees e los úeros reles A otiuió euios ls propiees ás iporttes e los úeros reles. Asu e lo que que e seió que,, y so úeros reles, teeos etoes:
.- Propie outtiv e l su Propie outtiv e l ultipliió + + Ejeplo + +.- Propie soitiv e l su Propie soitiv e l ultipliió ( + ) + + ( + ) ( ) ( ) ( + ) + + ( + ( ) ( ) Ejeplo ) Coetrios E os sos E os sos 0, pero es ás rápio el álulo e l prier El eleeto eutro es el que o l operió que osiereos ej ilterle el úero..- Eleeto eutro e l Eleeto eutro e l ultipliió: su: 0 el + 0 El iverso e u úero es el que o l operió que osiereos os proue el eleeto eutro e l operió..- Iverso e l su: + ( ) 0 Iverso e l ultipliió: El iverso e l ultipliió es eoto e osioes por. El úero 0 o tiee iverso pr l ultipliió y que o existe igú úero que ultiplio por 0 e.. Esto es.- Propie trsitiv: Si y etoes Ejeplo: Si seos que x y y y etoes x
.- Propie istriutiv l izquier Propie istriutiv l ereh ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) + Ejeplo Coetrios E toos los sos L rest se efie oo l operió ivers e l su: + ( ) Reuere que ( ) es el iverso u opuesto e. Muhs vees usos l efiiió l esriir u rest oo u su: 9 + ( 9) Pr efiir el prouto usos l propie soitiv A otiuió listos u serie e propiees e los úeros egtivos e uh utili: Propiees Ejeplos Coetrios () ( ) Reesritur ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) El sigo eos se istriuye L propie istriutiv tié se uple o l iferei Ejeplo.- Deostrr que + Soluió: Teeos que + ( ). Ahor por l propie outtiv + ( ) ( ) +. Por l propie trsitiv e l su result que ( ) +, quito los prétesis e el lo ereho teeos l igul ese.
E geerl teeos que: x y y + x Ejeriios e esrrollo: Deostrr ) ( y x) ( x y) ) ( x + ) ( x ) + Propiees el ero.- 0 0.- Si 0 etoes 0 ó 0. L ivisió, es efii trvés e l ultipliió: Si 0, etoes Doe es el iverso por l ultipliió Pr l ivisió tié se eple l otió Reoro que siguiete otió vees, l ivisió tié puee ser efii o l ( ) Co est otió poeos iterpretr por ejeplo que es io L propie el ero perite justifir porque l ivisió etre 0, 0, o está efii. - Si 0 y 0 etoes 0 0, pero o es ero. - 0 0 tpoo está efii. Si 0 0 etoes 0 0 es eir que 0 etre 0 puiese r ulquier vlor lo ul o tiee setio.
Pr frioes presetos el siguiete reuro e propiees: Propiees Ejeplos Coetrios El sigo eos se puee trsferir ulquier prte e l frió ± ± + + Su o iferei o igul eoior ± ± Su e ruz, reoele uo los eoiores o tiee ftores oues 9 9 Multipliió e frioes ; ) ( ) ( Frioes equivletes Ley e Celió: es u ftor e el ueror y e el eoior Multipliió e u úero etero por u frió Reesriturs. Reesriturs 0 Divisió 9 9 9 Divisió trvés e u ultipliió Divisió etre u úero rel ulquier y u frió
Divisió etre u frió y u úero. Ejeplo.- Relie y siplifique ls siguietes expresioes: x ) ( + ) ; ) ( )( ) ; ) ; ) ( ) ; e) + Soluió: ) Se us priero l propie istriutiv x x x ( + ) + + x + x ; Se reliz l ultipliió e frioes Se siplifi uso l ley e elió. x + Oserve: e este tipo e situió se istriuye y luego se siplifi ) Se us priero l propie soitiv ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) (( )( ) ) ( )() ) Poeos istriuir priero. Se reliz l ultipliió e frioes 0 ) Pr l ivisió reesriios l expresió oo frió x( ) x ( ) ( ) x x x x ( ) 8 8. Se us l ley e elió e) Usos priero l propie soitiv e l su + + + + + Ls frioes tiee igul eoior
Pr expresioes uéris ás oplis se ee tor e uet que lo priero que se resuelve o elii so los prétesis ás iteros, o ie hieo l operió iter o ie plio lgu propie e los úeros reles. Luego se proee relizr ls ultipliioes o ivisioes pltes e izquier ereh y filete ls sus y rests. Ejeplo.- Relie y siplifique ls siguietes expresioes: ) ; ) ) ( + ; ) ) ( + Soluió: ) Resolveos priero l iferei e el ueror e 0 Aplios l ole C pr resolver l ivisió plte, luego proeeos siplifir pr filete relizr l iferei plte. Posteriorete e este texto se relizr ls sus e frioes uso l téi el íio oú últiplo e los eoiores. ) Resolveos priero el prétesis ) ( ) ( ) ( + + + Psos resolver l ultipliió plte: ) ( + y filete resolveos l iferei: ) E est prte, preferios eliir los prétesis uso l propie istriutiv, pues oservos que l plirl e este ejeplo espree el eoior 0 0 ) ( + + + Ejeriio e esrrollo.- Relie y siplifique:
) ( ) ) ( ) Ejeriios ) Dig ules e los siguietes úeros so turles, eteros, irrioles, rioles y reles:.).) π ;.) ;.) 0.).;.) ) Represete proxiete los siguietes úeros e l ret rel. π.) -;.) + ;.) - ;.) ;.) ) Relie y siplifique ls siguietes expresioes:.) ( ) 9 x ;.) ( )( )( ) ;.) ( ) ;.) x ;.) 8 ( + )0 + + x ;.).) ( )( x + ) ;.) 0 ()( ) ;.8) ( )( ) + ;.9) ( ) ;.0) 0.) ;.) ( ) ( ) ;.) ( ) ( ).) ( 9 0 ; ;.) ( ).) ( + ).) ( + ) ;.8) ;.9) + + ;.0) ) ;.) ;.) ;.) ; ) Dig uál e ls siguietes proposiioes so verers. Justifique.) ( )L iferei etre os úeros rioles es u úero riol.) ( ) + ;.) ( ) ( x y) x y
.) ( ).) ( ) x x x x x + + ;.) ( ) ; x x + ;.) ( ) L iferei e os úeros irrioles puee ser riol Respuests:.) es u úero etero, tié es riol y es rel..) es u úero irriol y es rel;.) es u úero irriol y es rel;.) es u úero etero, tié es riol y es rel,.) es u úero etero, tié es riol y es rel.) es u úero turl etero, tié es riol y es rel x.) ;.) 0) ;.) ;.) ;.) ;.) x ;.) 0 ;.8) x ;.9) ;.0) 0 ;.) No está efiio;.) ;.) ;.) ; x.) ;.)-; -) ;.8) -;.9) ;.0) 9 ;.) ;.) ;.) ;.) ; ) Verers:.);.) y.) Ejeriios iioles ) Relie y siplifique ls expresioes siguietes:.) ;.) ( ( + ) ( 0 ) ( + + ) 9 + Respuests:.) ;.) ;.) ;.) ) ;.) ( ) ;.) ;.) ( ) ;.8) ( + ).8) 0 ;.) 8 ;.) ;.) ;.) ;.) ;
VUELVE A EMPEZAR Auque siets el sio, Auque el triufo te oe, Auque u error te lstie, Auque u triió te hier, Auque u ilusió te pgue, Auque el olor quee tus ojos, Auque igore tus esfuerzos, Auque l igrtitu se l pg, Auque l iopresió orte tu ris, Auque too prez. VUELVE A EMPEZAR
EXPONENTES L poteiió o otió expoeil es u otió pr revir u ultipliió: Notió: vees, pr u etero positivo y 0. Se lee oo elevo l o ás revio: l. es ll l se y el expoete o potei e ii el úero e vees que se repite el ftor. Presetos otiuió vrios ejeplos ilustrtivos Ejeplo.- ) 8; ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ) e) ( + ) ( + ) ( + ) Oservioes:.- Si egtivo etoes es positivo si es pr y egtivo si es ipr, oo poeos preir e el ejeplo terior e y..- U expresió oo x o sipleete x es u esritur revi e ( x ), oe se puee lizr que l oveió es que priero se he l potei y luego l ultipliió por. De er siilr x represet ( x ) y x quiere eir ( ) ( x ).- x (x) Coveió: L potei es l prier operió que se ejeut frete ultipliioes, ivisioes, sus o rests o io e sigo.
Ejeplo.- Evlur ) ; ) ; ) Soluió: ) ) ( ) 8 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 Apliió ( ) ; Ejeplo.- U opñí pretee uetr su prouió e los próxios ños, uplio l prouió o respeto l ño terior. Cuál será su prouió ul etro e ños, si l tul es e 00 rtíulos por ño? Soluió: Oserve que espués e u ño l prouió es 00 A los os ños se terá el ole el prier ño ( 00) A los tres ños se terá el ole el seguo ño ( 00) 00 A los utro ños se terá el ole el terer ño ( 00) 00 0000 rtíulos. Defiiió e Expoetes Negtivos y Cero Los sos expoetes egtivos o ero se efie oo: Defiiió: Si 0 se efie 0 y si u etero positivo. 0 0 o está efiio Ejeplo.- ) 0 ; ) 8 ; ) ( ) 0 ; ( x + ) ( x + ) 0 (x ). ) e) ;
Ejeriio e esrrollo.- Coplete l igul ) 0 ) ( π ) + ) (x PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES E l siguiete tl se preset ls propiees ás iporttes e expoetes Propie Ejeplo Justifiió sólo pr el so turl + + ( ) ( ) vees vees vees + + ) ( 8 ) ( vees + + ) ( ( ) ( ) 8 ( ) ) ( ) ( ) ( 9. 0 9 Ejeriio / / 8 Ejeriio
RAZÓN, PROPORCIÓN Y PORCENTAJE. E estísti se trj itesete o rzoes, proporioes y poretjes oo tié e quíi y e uestr gstrooí, etre otrs. Geerlete soleos eir: e es fi hy io () eerros por 0 vs, e ese sló hy tres () hers por vró, tres () tzs e hri por u () e zúr, se plt (sier) u t e rj por etros uros e tierr, et. Se rá lgus oioes geerles e rzó, proporió, poretjes y regl e tres. Rzó L rzó es u relió e oprió etre os gitues o ties. L rzó es el oiete iio (pero o lulo) e os ties o gitues. Dos ties puee oprrse e os ers: - Hllo e uto exee u l otr, es eir restáols - Hllo uts vees otiee u l otr, es eir iviiéols. De esto, se ivie e os lses e rzoes: - Rzó ritéti o por iferei. - Rzó geoétri o por oiete L que se estuirá e este urso es l rzó geoétri o por oiete que es l que ás se utilizrá. RAZÓN GEOMÉTRICA O POR COCIENTE. Se ll rzó geoétri etre os úeros y ( 0) l oiete e l ivisió e por. El úero reie el ore e teeete e l rzó y el úero e oseuete e l rzó. Sióliete expresos es, se expres:, o tié
Ejeplos: - L rzó es 0 se esrie: 0, 0, - L rzó etre los úeros y es : :0 0 ; 0 ; : 0 - E u sló e lse hy os vroes por siete hers. L rzó e vroes her es: es, y se esrie:,, : - Supogos que u utoóvil reorre 8 K. por gloes e gsoli. Cuál es el reiieto el utoóvil por gló e gsoli? Soluió: Llreos reiieto el utoóvil l rzó e los kilóetros reorrios etre los gloes osuios. Así, reiieto el utoóvil 8 k gl k gl Es eir, el reiieto el utoóvil es kilóetros por gló e gsoli. RAZONES IGUALES. Se ll serie e rzoes igules l igul e os o ás rzoes. Sióliete: f g. es u serie e rzoes igules. h
Not: D u rzó, existe ifiits rzoes igules ell. Ejeplo: 0 9 0 PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE UNA SERIE DE RAZONES IGUALES. E to serie e rzoes igules, l rzó etre l su e los teeetes y l su e los oseuetes es igul u ulquier e ls rzoes e l serie Sióliete: Se e f g h i j, etoes + + e + g + i + + f + h + j... i j Ejeplo: 0 9 0 L rzó se siplifió por.. (, ) + + 9 + + + 0 + + 0 + Ejeriios D l siguiete serie e rzoes igules, plir l propie fuetl.. 8 8 0. 0. 8 9 0 8 8
Ativi.- E u sló e lse el I.U.T.J.N.V. hy vroes y hers. L rzó e vroes hers es:.- E u ro se eesit oieros por tripultes. L rzó e oieros por tripultes es:.- E u terreo se plt u t e rj por. L rzó e t e rj por es:.- E u fi se reoge pietoes por ts. L rzó e pietoes por ts es: Ejeriios..- Se vee lirets por Bs., uál es l rzó e lirets Bs.?.- ills áutis es lo iso que 900 etros. Cuál es l rzó e ills áutis etros?.- Hy js e rjs, e oes y e gos. Hllr l rzó e js e rjs js e fruts..- U fári e lzos proue pres e zptos e lleros hors. Cuál es l rzó etre pres e zptos y ls hors?.- Pr el leo e oputors se utiliz etros e le. Cuál es l rzó etre ls oputors y los etros e le?
PROPORCIÓN. U proporió es l igul etre os rzoes geoétris. Sióliete. E l proporió Ejeplo: Ls rzoes, es u proporió y se lee: es oo es 0, y se ll extreos; y se ll eios. y 0 so igules, por tto es u proporió. 0 0 PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES Teore: E to proporió el prouto e los eios es igul l prouto e los extreos. Sióliete: Coo por ejeplo: Si Veos si ests proporioes so verers., etoes x x. 8, sí (8) () () (), por tto l proporió es verer.. ; () (0) () (0) 0 0
900, por lo tto l proporió es fls..- Deterir u tério e u proporió, ooios los otros tres. ) 9, resolvieo: () () () 9 El terio e l proporió es 8 ) () () () () 8 8, el terio e l proporió es. Ejeriios.. Verifique que ls siguietes proporioes so verers o flss: ) : 0 8: 0 ) ) : 0:. Deterir u tério e u proporió, ooios los otros tres. ) 0. 0.0 ) 0. ) : :. E u refugio e iles l rzó e perros gtos es e :. Si hy 0 perros, Cuátos so los gtos?. L rzó e ills kilóetros es oo es. Si reorro 8 ills, Cuátos kilóetros reorro?. Si utro liros uest Bs.00, Cuáto ostrá oes?
. Cio ris uest BS., Cuáto ostrá ris?. Los / e l pi e u estque so 00 litros, Cuál será l pi e los /9 el iso estque? PROPORCIONALIDAD DIRECTA Supógse que el preio e litro e lehe es e Bs.,; ooio el preio uitrio (preio por ui) se puee lulr fáilete el preio e ulquier ti e litros e lehe, ultiplio el úero e litros por el preio uitrio. Lo terior os perite elorr u tl, oe x represet l ti e litros e lehe y y el preio orrespoiete LITROS DE LECHE PRECIO(Bs.) x y,,, 8,8,, 8, Oserveos que si uetos el úero e litros e lehe, el preio uet e l is proporió, y si isiuye el úero e litros e lehe, el preio isiuye e l is proporió. Cuo ourre lo terior, se ie que el preio vrí e for iretete proporiol l ti e litros e lehe. Es eir:
Si x es l ei e l gitu P e y es l ei e l gitu Q, etoes P y Q so iretete proporioles si proporioli. x k, oe k y reie el ore e ostte e E uestro ejeplo, l rzó etre el preio y l ti e lehe (e litros) es Bs.,. Luego, l ostte e proporioli es k Bs., por litros. Nótese que k oiie o el preio uitrio. Ejeplo Los tos e l tl siguiete, orrespoe úero e oreros y piezs e ierto rtíulo que proue iriete OBREROS PIEZAS x y Deterir l ostte e 0 0 proporioli 0 900 Soluió: 0 0 00 Oserveos que el úero e oreros y ls piezs prouis iriete so iretete proporioles, y que 0 0 900 0 00 90, luego l ostte e proporioli k es 90 0 0 piezs iris por orero. E geerl, O P Si O oreros he P piezs y O oreros he P piezs, etoes O P L siguiete propie se eue e lo terior expuesto. Propie Si os gitues so iretete proporioles, l rzó etre os ties e u gitu es igul l rzó etre ls ties orrespoietes e l otr. Ejeplo Cio lápies uest BS.,. Cuáto uest lápies?
Soluió. Supoieo que el osto C es iretete proporiol l ti e lápies opros, tereos u euió relioo C y, sí: C k, E uestro so, C,; luego k 0,9. Por lo tto, el osto e lápies será *0,9 0,80 Bs. Soluió. Coo C es iretete proporiol, se terá que el oiete el osto e lápies etre, será igul l osto e lápies etre. O se, ( ) C( ) C( ) C El osto e los lápies es Bs. 0,80,, ( ) 0, 80 C Soluió. Coo C es iretete proporiol, tereos que si el osto e io lápies es, Bs. el osto e lápiz será igul e,; y, el osto e oe lápies será igul oe vees el osto e uo. O se, C( ), 0,80. LOS REPARTOS PROPORCIONALES Se trt el tipo e situió e l que hy que reprtir u ti e lgu gitu etre iversos sujetos e uero o ierts rzoes estleis etre éstos. Se ee her + + + + uso e l siguiete propie:, etoes y.
Ejeplo: E l epres MAZECA, l rzó e T.S.U. e iistrió e Epres T.S.U. Mereo Agríol es e :. Si hy trjores e l epres. Cuátos so e Aiistrió y uátos e Mereo? Soluió: Se A el úero e T.S.U. e Aiistrió e Epres M el úero e T.S.U. e Mereo Agríol, seos que A+M y A M. M, etoes 8 y A A + M + M 8 M * 8 A + M + y A * y A 8 ( plio l fórul terior) Así, M * y A * 8, lo que sigifi que e l epres hy 8 e Epres y e Mereo Agríol T.S.U. e Aiistrió Ejeriio : L rzó e prtios gos prtios perios e i equipo fvorito es 8 :.Si e totl Cuátos gro? Cuátos periero? jugro prtios, Ejeriios vrios..- E u iert fári, u operor ep e u hor js, Cuáts eprá e 8 hors? E hors?.- Cio lápies uest Bs. 0,8, Cuáto uest lápies?.- Si u ei oe e huevos uest Bs., Cuáto uest siete oes?.- U etro tiee 00, Cuátos etíetros hy e /0 e u etro?
.- Al uestior u uestr e 0 persos, e ells iiro que su refreso fvorito er Pepsi-Col. Si l uestr er represettiv, A utos e e 00 persos le gust l Pepsi-Col?.- Dos igos ee reprtirse Bs..000. Ls ties respetivs está e l rzó :. Cuáto iero reiirá uo?.- Ls ees e Croli y Mrel está e l rzó :. Que e tiee u, si l su e sus ees es 80 ños? 8.- L su e os úeros es 9 y está e l rzó :. Clul el vlor e úero 9.- L iferei etre los pesos e os vehíulos es.00 Kg. y está e l rzó :. Clulr el peso e vehíulo. 0.- El uto e Wilfreo tiee u estque e gsoli o u pi e 0 L. Coo se v e pseo, lle el estque, por lo que pg Bs.. Si el osto e l gsoli Bs... Qué prte el estque est o gsoli? PROPORCIONALIDAD INVERSA Co uh freuei se preset este tipo e situió: E u fári áquis e l is lse (igul reiieto) reliz u trjo e 8 hors. Si se ei l it e ls áquis relizr el iso trjo, etoes eesit el ole el tiepo. Es eir, si áquis reliz el trjo e 8 hors, áquis hrí igul trjo e hors. De uero o lo terior, poeos elorr l siguiete tl, oe x represet el úero e áquis y t el tiepo que eesit pr relizr el iso trjo, sí: NÚMERO DE MÁQUINAS TIEMPO(hors) x t 8
8 8 Oserveos que si se uet el úero e áquis, isiuye el tiepo e que se reliz el trjo y si se isiuye el úero e áquis, uet el tiepo. Cuo ourre lo terior, se ie que el úero e áquis vrí e for iversete proporiol l tiepo. Deios que os gitues vrí e for iversete proporiol, uo el prouto e ls ties orrespoietes, es u ostte. Es eir: Si x es l ei e l gitu P e y es l ei e l gitu Q, etoes P y Q so iversete proporioles, si x.y k, oe k es l ostte e proporioli. E uestro ejeplo k 8, represet el tiepo e urió totl pr efetur l or por áqui o se, k 8 hors. E geerl, Si áquis efetú u trjo e t oo l ti e áquis y el tiepo so iversete proporioles, etoes : t t o hors t t y áquis reliz igul trjo e t hors, Ejeplo: El lquiler e u s es e Bs. 00, si e ell vive io () estuites pgrí Bs.00 /u. Si e l is s por el iso lquiler vive iez (0) estuites. Cuáto pgrí? Soluió: Oserveos que ei que uet el úero e estuites, el preio pgr isiuye, por tto se trt e u prole e proporioli ivers, sí: Plteo l
euió: ee pgr Bs.0 p p p, luego 0 p 00 p 0 00 0, luego estuite NOTA: Dos gitues so iversete proporioles uo l uetr el vlor e u vrile l otr isiuye y vievers. Ejeriios..- Etre persos pit u s e ís. Cuáts persos se eesit pr relizr el iso trjo e ís?.- U us eor hors etre Puerto L Cruz y Crúpo u veloi proeio e 80 K/hr. A que veloi proeio se esplzó otro vehíulo que hizo el iso reorrio e 8 hors? PORCENTAJE COMO APLICACIÓN El oepto e poretje, que tiee u gr iporti etro e l eooí, es u pliió e l proporioli iret. L rzó e proporioli pr su uso e poretjes tiee oo se 00 Defiiió: El tto por ieto es u proporioli que se estlee o se 00; pr expresr que l rzó se estlee o se 00 se us el sigo %. Ejeplo: E u hetáre que se sier 0 ts e lehoss, so e lehos pjrito; l rzó e proporioli es 0 ( e 0), si ios l se, se 00, se tiee
( por 00), lo que se puee expres oo %, si se esrie e for eil 00 0., es el tto por uo; ests so os fors equivletes %( e 00) o 0.(0. e ui) El tto por ieto (%) es el úero e uies que se to por ieto. poretje se ts E estísti se ee ser uy uioso l esoger l se pr expresr el tto por ieto Ejeplo: E u orrl e go vuo, se eotró iles sos y 8 eferos; el téio iforó lo siguiete: El % e los iles está eferos. Soluió: 8 0.(%), es eir toó oo se los sos y l iforió orret es tor oo se el úero totl e iles; 0 se 8 0.(% eferos). Por tto, l iforió suiistr por el téio es iorret. Ejeriios:.- Los proutores e lehe, uet el preio el litro e lehe e Bs., Bs., y sostiee que uetro el preio e 0 %, explique:.- Sore que se lulro.- Cuál es el ueto rel?.- E 8 fis e u polió veezol, iero e u ño hers y 08 hos e u go ovio; hlle:
.- El poretje e hos y el poretje e hers sore el totl e ios.- Sore l se el totl e ios, el poretje e que ls hers super los hos.- El poretje que represet los hos sore l se el totl e hers is..- El gu e r otiee,g e sl por 00g e gu. Cuátos gros e sl hy e kg e gu e r?.- El suelo e u orero es Bs. 00 esules. Si se rejust e u %, eterie el uevo suelo..- E u fi e fé que otiee.00 ts e fé, el téio e l fi, iforó que % e l pltió tiee Roy, Qué ti e ts tiee Roy?.- L prouió totl e fé e u fi fue e.00 kg. Al veer el fé se eotró que el % teí Bro, Cuátos kilogros e l prouió otiee Bro?.- Si el P.V.P e u per es e Bs. y l uetro Bs. Cuál es el poretje e ueto? 8.- U trjor horr es Bs. 0, que es el,% se su suelo. Cuál es su suelo esul?