12 I N F E R E N C I A E S T A D Í S T I C A II (CONTRASTE DE HIPÓTESIS)

12 I N F E R E N C I A E S T A D Í S T I C A II (CONTRASTE DE HIPÓTESIS) 1 Supogamos que ua variable aleatoria X sigue ua ley N(µ; =,9). A partir de ua muestra de tamaño = 1, se obtiee ua media muestral x 1 = 1, 7. Se desea cotrastar la hipótesis ula H : µ = 1,68 frete a la hipótesis alterativa H 1 : µ > 1,68, co u ivel de sigificació α =,5 Si X fuese mucho mayor que µ = 1, 68 habría que pesar que H o es cierta, e icliarse por H 1. Se trata por tato de determiar ua catidad K tal que la probabilidad P( X µ > K ) sea pequeña: el ivel de sigificació P( X µ > K ) = α, lo que equivale a P( X µ + K ) = 1 α. Si la variable aleatoria X sigue ua ley ormal N(µ; ), etoces la media X µ muestral X sigue ua ley ormal N(µ; ) y la variable tipificada ua ormal N(; 1). Si H : µ = µ = 1,68 es cierta, etoces probabilidad de aceptar H es: P( Z < z1 ) = 1 α, luego α Z X µ = ~ N(; 1), y la X µ < = z α 1 α P X < µ α + z1 α = 1 P 1 Etoces = z α y la regió de aceptació para H es, el itervalo: K 1 R A = + z ; µ 1 α 12 EPR CONTRASTE DE HIPÓTESIS 163

E uestro caso ( Z z ) = ( z ) = 1 '5 ' 95 P < 1 α Φ 1 α = Buscado e la tabla de Φ ( z ) o usado EXCEL, obteemos 1 z1 = Φ (,95 ) = α 1,645. Por tato:,9 1 R A = + z = ; 1,68 + 1,645 = ] ; 1,6948[ ; µ 1 α Como x 1 = 1, 7 R A, hay razoes para rechazar la hipótesis ula H :µ=1,7. (El cotraste es sigificativo estadísticamete). La regió de rechazo resulta ser: R R = = [,6948; + [ 1, por lo que el cotraste realizado se dice que es uilateral o de ua cola. 164 ESTADÍSTICA J. Sáchez-Mª. S. Sáchez

2 Supogamos que ua variable aleatoria X sigue ua ley N(µ; = 12). A partir de ua muestra de X de tamaño = 1, se obtiee ua media muestral x 1 = 157. Se desea cotrastar la hipótesis ula H : µ = 16 frete a la hipótesis alterativa H 1 : µ 16, co u ivel de sigificació α =,5 Si X distase mucho de 16 habría que pesar que H o es cierta e icliarse por H 1. Se trata por tato de determiar ua catidad K tal que la probabilidad P( X µ > K ) sea pequeña: el ivel de sigificació P( X µ > K ) = α, lo que equivale a P( µ K X µ + K ) = 1 α. Si H : µ = µ = 16 es cierta, etoces probabilidad de aceptar H es: ( z < Z < z ) = α P 1 α / 2 1 α / 2 1 X µ Z = ~ N(; 1), y la X µ < < P z1 α / 2 z1 α / 2 = 1 µ z1 α / 2 < X < µ + z1 α / α = P 2 1 α itervalo Así, = z1 α /. La regió de aceptació para H es, por tato, el K 2 R A = z1 α / 2 ; µ + z1 / 2 µ α E uestro caso ( z < Z < z ) = 1,5, 95 P 1 α / 2 1 α / 2 =. Pero 12 EPR CONTRASTE DE HIPÓTESIS 165

P( Z < z1 α / 2 ) P( Z < z1 α / 2 ) = P( Z < z1 α / 2 ) [ 1 P( Z < z1 α / 2 )]= 1,95 ) = 2 = 2 P( Z < z1 α / 2 ) 1 =,95 P( Z < z1 α / 2 =,975 tato: Buscado e la tabla de Φ ( z ), o co EXCEL, obteemos z = 1, 96. Por 1 α 2 12 12 1 R A = 16 (1,96 ) ; 16 + (1,96 ) = ] 1576,48; 1623,52[ 1 Como x 1 = 157 R A, se rechaza la hipótesis ula H : µ = 16 al ivel de sigificació del 5%. (El cotraste es sigificativo estadísticamete). La regió de rechazo resulta ser: R R = = ] 1576,48] [ 1623,52; + [ ; &, por lo que el cotraste realizado se dice que es bilateral o de dos colas. 166 ESTADÍSTICA J. Sáchez-Mª. S. Sáchez

3 Supogamos que la vida media de las bombillas de 6 vatios de ua determiada marca está garatizada por lo meos e 8 horas, co ua desviació típica de 12 horas. Se elige al azar 25 bombillas de u pedido y se comprueba que la vida media de la muestra es de 75 horas. Al ivel de sigificació α =,5, habría que rechazar el pedido por o cumplir la garatía? (Cotrastar H : µ = 8 frete a la hipótesis alterativa H 1 : µ < 8, ya que sólo iteresa saber si la media llega al valor míimo de garatía o o) Si X fuese mucho meor que µ = 8 habría que pesar que H o es cierta, e icliarse por H 1. Se trata por tato de determiar ua catidad K tal que la probabilidad P( µ X > K ) sea pequeña: el ivel de sigificació P( µ X > K ) = α, lo que equivale a P( X < µ K ) = α, luego ( X > µ K ) = 1 α P Si la variable aleatoria X sigue ua ley ormal N(µ; ), etoces la media X µ muestral X sigue ua ley ormal N(µ; ) y la variable tipificada ua ormal N(; 1). Si H : µ = µ = 8 es cierta, etoces P( Z z1 α ) = α, luego P( Z > z1 α ) = 1 α, y Z X µ = ~ N(; 1), y: X µ = P > z1 α 1 α P X > µ α z1 α = 1 12 EPR CONTRASTE DE HIPÓTESIS 167

Así, = z α. La regió de aceptació para H es, por tato, el itervalo K 1 R A = µ α z 1 ; + E uestro caso ( Z z ) = ( z ) = 1 '5 ' 95 P < 1 α Φ 1 α = tato: Buscado e la tabla de Φ ( z ) o usado EXCEL obteemos z 1 = 1, 645. Por α R A = ; + = 8 (1,645 ). ; + = ] 76,52; + [ µ z 1 α 12 25 Como x 25 =75 R A, se rechaza la hipótesis ula H : µ = 8. (El cotraste es sigificativo estadísticamete). La regió de rechazo resulta ser: R R ] ;76,52] =, por lo que el cotraste realizado se dice que es uilateral o de ua cola. 168 ESTADÍSTICA J. Sáchez-Mª. S. Sáchez

4 La logitud media de ua muestra de 625 tubos de ua producció es de 2,5 mm. Puede cosiderarse razoablemete, co u ivel de sigificació α =,1, que la muestra ha sido extraída aleatoriamete de ua població de logitud media 2 mm y desviació típica,1 mm? (Cotrastar H : µ = 2 frete a la hipótesis alterativa H 1 : µ > 2) Si H : µ = µ = 2 es cierta, etoces aceptar H es: P( Z < z1 ) = 1 α, luego α Z X µ = ~ N(; 1), y la probabilidad de X µ < = z α 1 α P X < µ α + z1 α = 1 P 1 Etoces = z α y la regió de aceptació para H es, el itervalo: K 1 R A = ; + z1 µ α E uestro caso ( Z z ) = ( z ) = 1 '1 ' 99 P < 1 α Φ 1 α = Buscado e la tabla de Φ ( z ) o usado EXCEL, obteemos 1 z1 α = Φ (,99 ) = 2,33. Por tato:,,1 625 R A = + z = ; 2 + 2,33 = ] ; 2,93[ ; µ 1 α 12 EPR CONTRASTE DE HIPÓTESIS 169

Como x 625 = 2, 5 R A, hay razoes para rechazar la hipótesis ula H :µ=2. (El cotraste es sigificativo estadísticamete). La regió de rechazo resulta ser: R R = = [,93; + [ es uilateral o de ua cola. 2, y el cotraste realizado 17 ESTADÍSTICA J. Sáchez-Mª. S. Sáchez

5 U laboratorio elabora u cierto producto químico e umerosas fases. Se sabe que el úmero medio de uidades fabricadas por fase es de 22 uidades, co ua desviació típica de 12 uidades. Después de u cambio e el procedimieto de obteció, la producció e 25 fases mostró aproximadamete la misma variaza y ua producció media de 225 uidades. Cotrastar la hipótesis de que el cambio e el procedimieto o icremetó la producció sigificativamete, a) al ivel de sigificació del,5, b) al ivel,1. (Cotrastar H : µ = 22 frete a la hipótesis alterativa H 1 : µ > 22) Se trata de ver cómo afecta el ivel de sigificació al hecho de aceptar o rechazar la hipótesis ula: e el caso a) se tiee Como x 25 = 225 R A, hay razoes para rechazar la hipótesis ula H :µ=2. (El cotraste es sigificativo estadísticamete). E el caso b): Ahora x 25 = 225 R A, y se acepta la hipótesis ula H :µ=2. (El cotraste o es sigificativo estadísticamete). 12 EPR CONTRASTE DE HIPÓTESIS 171

6 El promedio de la carga de rotura de u cierto metal ( fuerza de tracció míima que ha de ejercerse por uidad de secció para que tega lugar la rotura ) es de 8 kp/mm 2. Ua muestra de 64 piezas de dicho metal es tratada químicamete midiédose uevamete la carga de rotura de todas las piezas. Se ecuetra que el promedio es ahora 8,5 kp/mm 2. Supoiedo que la desviació típica de la carga de rotura es 2 kp/mm 2 ates y después del tratamieto químico, cotrastar la hipótesis, al,5 y al,1, de que el producto químico o tiee efecto sobre la carga de rotura del metal. (Reflexioar sobre si debería emplearse u test de ua o dos colas, teiedo e cueta que, ates del tratamieto, o se sabe si la carga de rotura aumetará o dismiuirá). Puesto que o se cooce de atemao si el tratamieto aumeta o dismiuye la carga de rotura, lo adecuado es realizar u cotraste de dos colas. Como x 64 = 8, 5 R A, hay razoes para rechazar la hipótesis ula H :µ = 8. (El cotraste es sigificativo estadísticamete). Ahora x 25 = 8, 5 R A, y se acepta la hipótesis ula H :µ = 8. (El cotraste o es sigificativo estadísticamete). 172 ESTADÍSTICA J. Sáchez-Mª. S. Sáchez

7 Para comprobar si ua moeda está bie equilibrada se laza 1 veces y se aota el úmero de caras, C. La proporció de caras obteida e la muestra es C etoces pc =. Si la moeda es correcta, la proporció poblacioal es p =,5. 1 Cotrastar la hipótesis ula H : p =,5 frete a la hipótesis alterativa H 1 : p,5, co u ivel de sigificació α =,5 e los casos: a) C = 38 b) C = 46 c) C = 58 (E el tercer caso, sería coveiete cambiar H 1 : p,5 por H 1 : p > 5, y repetir el experimeto.) La distribució muestral de la proporció de caras e las muestras de tamaño C p( 1 p ), P =, sigue aproximadamete ua ley ormal N(p; ), dode p es la probabilidad costate de cara e cada lazamieto. Si H :p = p es cierta, etoces P p la variable Z = sigue aproximadamete ua N(;1), y la probabilidad de p (1 p ) aceptar H es: ( z < Z < z ) α P 1 α / 2 1 α / 2 1 P p z P z1 α / 2 < < z1 α / 2 1 p (1 p ) p ( 1 p P p α p (1 p ) 1 α / 2 < P < p + z1 α / 2 1 ) α 12 EPR CONTRASTE DE HIPÓTESIS 173

La regió de aceptació para H es, por tato, el itervalo R A = p z p (1 p ) ; + z 1 α / 2 1 α / 2 p p (1 p ) Sea p (1 p ) K = z1 α / 2. Etoces teemos: E el caso a) la proporció e la muestra C 38 = = ' 38 RA, y hay razoes 1 para rechazar la hipótesis ula H : p = 5. Se podría pesar que la moeda da mayor proporció de cruces que de caras. E el caso b) la proporció e la muestra C 46 = = ' 46 RA, y se acepta la 1 hipótesis ula H : p = 5. Como se sabe, el aceptar H : p = 5, o sigifica que sea cierta. Sigifica que la probabilidad de aceptarla siedo cierta es muy alta: 1 α = 95. No hay motivos para pesar que la moeda esté trucada. E el caso c) la proporció e la muestra C 58 = = ' 58 RA, y se puede 1 aceptar la hipótesis ula H : p = 5, pero es de sospechar que la proporció de caras es mayor que la de cruces. Esto ivita a cotrastar, después de obteer otra muestra, la hipótesis H : p = 5 frete a H 1 : p > 5. 174 ESTADÍSTICA J. Sáchez-Mª. S. Sáchez

8 Se va a estudiar la posibilidad de desequilibrio de u dado ordiario. De 9 tiradas del dado ha salido 14 seises. Usar este resultado para cotrastar la hipótesis ula de que el dado está bie equilibrado (H : p = 1/6) empleado u test de doble cola co u ivel de sigificació a) del,5 b) del,1 14 E los dos casos la proporció de seises pˆ = =, 1556 perteece a la regió de 9 aceptació y se acepta la hipótesis ula: 12 EPR CONTRASTE DE HIPÓTESIS 175

9 Se pesó que el 5% de artículos maufacturados por ua cadea de producció era defectuosos. Tomar H : p =,5 como hipótesis ula y formular ua regla de decisió para cotrastarla, al ivel de sigificació del 1%, frete a la hipótesis alterativa de dos colas. Supoer que el tamaño de la muestra extraída es 4. Si de esta muestra 26 artículos so defectuosos, qué decisió se debe tomar? 26 La proporció artículos defectuosos e la muestra pˆ = =, 65 perteece a la 4 regió de aceptació y se acepta la hipótesis ula: 176 ESTADÍSTICA J. Sáchez-Mª. S. Sáchez

1 E u Istituto las otas de Selectividad de Matemáticas, cosideradas durate varios años, da u porcetaje promedio del 55% de aprobados. E 23, de u grupo de 1 estudiates que se examiaro, aprobaro 62. Cotrastar la hipótesis de que este fue u úmero sigificativamete alto de aprobados y que 23 fue u bue año para los estudiates de Matemáticas de dicho Istituto. Usar α =,1 (Cotrastar H : p =,55 frete a la hipótesis alterativa H 1 : p >,55) La distribució muestral de la proporció de aprobados e las muestras de A p( 1 p ) tamaño, P =, sigue aproximadamete ua ley ormal N(p; ). Si P p H :p=p es cierta, etoces la variable Z = sigue aproximadamete ua p (1 p ) N(;1), y la probabilidad de aceptar H es: ( Z z ) 1 α P 1 α P p P z1 p (1 p ) α α 1 p ( 1 p ) P P p + α z1 1 Puesto que la proporció de aprobados es mayor o igual que cero, la regió de aceptació para H es, por tato, el itervalo R A = ; p p (1 p + z1 / 2 α ) Sea p (1 p ) K = z1 α. Etoces teemos: 12 EPR CONTRASTE DE HIPÓTESIS 177

La proporció de aprobados e la muestra es pˆ =, 62. Está e la regió de aceptació, luego o es lo suficietemete grade como para poder rechazar la hipótesis ula H. Así, o podemos cocluir que, para u ivel de sigificació α del 1%, los estudiates del 23 sea sigificativamete mejores que los de los años ateriores. Si la proporció muestral de aprobados e 23 hubiese sido mayor que,6657, la hipótesis H de que los estudiates de 23 o so mejores que los ateriores, tedría que ser rechazada al ivel del 1%. Como esto o ocurre, H o puede ser rechazada. 178 ESTADÍSTICA J. Sáchez-Mª. S. Sáchez