APÍTULO UTOS EN EL DOMNO DE LA FEUENA... SSTEMAS LNEALES NAANTES. roducció. U iema lieal ivariae e repreea uualmee mediae u bloque e el que e muera ao la exciació como la repuea Exciació x ( Siema lieal ivariae epuea ( Figura. Al aplicar la lee pricipio que rige el comporamieo de lo elemeo del iema e obiee u problema de valor iicial de orde:, aí: d ( d ( d ( d( a a a... a a0 ( f ( d d d d Dode: f() depede de la exciació u m primera derivada, aí: m m m d x( d x( d x( d x( f ( bm b b... b b0 x( m m m m m d d d d La codicioe iiciale del iema o la iguiee: ( ( ), '( ), ''( ),..., ) 0 0 0 ( 0) Haciedo uo del operador: D, la ecuació diferecial del iema e la iguiee: m m ( a D a D... a D a ) ( ( b D b D... b D b ) x( 0 m m 0 Aalizar el iema coie e deermiar la repuea ae ua exciació deermiada abiedo que el iema eá iicialmee e repoo, eo e, la codicioe iiciale o iguale a cero. Para llevar a cabo el aálii e eceario reolver la ecuació diferecial. ecordemo que la olució geeral de la ecuació diferecial coie de do pare, a aber: ua olució complemearia ua olució forzada. La olució complemearia e ua combiació lieal de la: olucioe de la homogéea, miera que la olució forzada depede de la exciació.
Solució complemearia. La homogéea aociada a la ecuació diferecial eá dada por: ( a D a D... a D a ) ( 0 0 La ecuació caraceríica de la ecuació diferecial viee dada por: ( a λ a λ... a λ a ) ( 0 0 A parir de la ecuació caraceríica e ecuera la: olucioe liealmee idepediee de la homogéea u combiació lieal e la olució complemearia, aí: c( ( (... ( La olució forzada depede de la exciació, por el momeo, coideramo el cao e que la exciació e la eñal ecaló uiario. epuea al ecaló uiario repuea al impulo. uado la exciació e el ecaló uiario la ecuació diferecial e la iguiee: ( D a D a D... a D a ) ( Ku( 0 Dode K e ua coae real: K / a De acuerdo co lo eudiado e el curo de ecuacioe difereciale, la olució geeral de la ecuació diferecial e: ge( a ( ( (... ( K / 0 E la expreió aerior, el úlimo érmio e la olució paricular o repuea forzada del iema. La coae de iegració de la olució geeral e ecuera co bae e la codicioe iiciale. Depué de hallar la coae arbiraria e ecribe la repuea al ecaló uiario: e(). La repuea al impulo uiario o repuea aural del iema e deermia mediae la derivada co repeco al iempo de la repuea al ecaló uiario, aí: Ejemplo.. d h () d e () U iema lieal ivariae, iicialmee e repoo, eá regido por la ecuació diferecial: ( D D 4D ) ( x( Deermie la repuea al ecaló uiario: x() u() la repuea aural.
Solució. o bae e lo decrio previamee, la olució paricular e: p / Por ora pare, la ecuació caraceríica e: λ λ 4λ ( λ )( λ λ ) 0 La raíce de la ecuació caraceríica o: λ λ, λ ± j. E coecuecia la olució geeral e: [ ] ge() e e co() e e() u() Derivado do vece evaluado e la codicioe iiciale ecoramo que la repuea al ecaló uiario viee dada por: [ e e co( e e( ] u( ) e( A parir de la repuea al ecaló uiario e deermia la repuea aural, aí: [ co( ] u( ) h( e epuea ae cualquier exciació. La iegral de covolució. De acuerdo co lo eudiado previamee e el curo previo de circuio, la repuea ae la exciació: x( e la iegral de covolució: ( h( * x( h( τ ) x( τ ) dτ h( τ ) x( τ ) dτ 0 El eudiae puede verificar que i la exciació e: x () 0 e u (), la repuea e: ( 0 e 0 τ ( co( τ )) e 0 ( τ ) Evaluado la iegral, e iee: ( 0e e( u( [ ] ) dτ u( A coiuació e muera la gráfica de la repuea al ecaló, la repuea aural la repuea a la exciació dada. E la figura. e ilura ao la repuea al ecaló como la repuea aural. ecuerde que la repuea aural e la repuea al impulo uiario. E la figura. e muera la repuea ae la exciació dada. La raformada de Laplace. E el curo de ecuacioe difereciale e eudió la raformada de Laplace para paar ua fució del domiio de iempo al domiio de la frecuecia compleja:, co la iguiee defiició:
L { f } e ( 0 f ( d Siedo u úmero complejo que iee pare real pare imagiaria, aí: iee uidade de radiae/egudo. σ 4 jω Figura. Figura. Se coviee e que la fucioe e el domiio de la frecuecia e deoa por maúcula. Para la fucioe má comue de igeiería iempre e poible paar del domiio del iempo al de la frecuecia vicevera. E la abla.. aparece la fucioe elemeale e ambo domiio: f(): Fució e el domiio de iempo F(): Fució e el domiio de frecuecia. δ( ): fució impulo u( : fució ecaló uiario a e u( : fució expoecial a e( ω u ( ) : fució eo ω ω co( ω u ( ) : fució coeo ω α u( : Fució poecia co α Γ( α ), α > α u(): fució poecia co,.,,...! Tabla. A coiuació, e la abla., e ilura la propiedade má imporae de la raformada de Laplace.
Domiio de iempo Domiio de la frecuecia af () g() af() G() a e f() F( a) f( a) u( a) a e F() f( a a F ( a ) Df () F() f () 0 f( τ) dτ F () 0 f () DF() f() Fudu ( ) f()* g() FG () () 5 Tabla. Fució de raferecia de u iema lieal ivariae. E el domiio de iempo, la relació ere la erada la alida para u iema lieal ivariae e la ecuació diferecial: m m ( a D a D... a D a ) ( ( b D b D... b D b ) x( 0 m m 0 Si aplicamo la raformada de Laplace, eiedo e cuea que la codicioe iiciale o iguale a cero, e obiee: m m ( a a... a a) Y ( ) ( b b... b b) X ( ) 0 m m 0 La relació ere la alida la erada e el domiio de la frecuecia recibe el ombre de fució de raferecia del iema e deoa como: H(). m m m b m bm bm... b b H () a a a... b b 0 0 omo puede vere, la fució de raferecia e ua fució racioal e puede exprear e la forma: K ( z)( z)( z)...( zm ) H () ( p )( p )( p )...( p ) La raíce del umerador o lo cero de la fució de raferecia: z, z,..., z m La raíce del deomiador o lo polo de la fució de raferecia: p, p,..., p Segú e podrá coaar poeriormee, u iema lieal ivariae iee ua fució de raferecia al que el úmero de polo e maor o igual que el úmero de cero. Pueo que lo cero lo polo o úmero complejo, e puede hacer u diagrama e el plao complejo e el que e idique u ubicació, dicho diagrama recibe el ombre de diagrama de polo cero de la fució de raferecia.
6 Pueo que la alida e el domiio de la frecuecia e el produco ere la fució de raferecia la erada, podemo ecribir: Y() H() X () uado la exciació e la fució impulo, la alida e la repuea aural, e decir, la raformada ivera de la fució de raferecia. El procedimieo uual para hallar la ivera de ua fució: F() e el de decompoer e fraccioe parciale. U cao de paricular ieré e el correpodiee al cao e que umerador deomiador ea del mimo grado, cao e el cual aparece la fució impulo uiario. Ejemplo.. La fució de raferecia de u iema lieal ivariae eá dada por: H () Deermie la repuea aural, la repuea al ecaló uiario la repuea a la exciació: x () e u () Solució. La fució de raferecia e puede exprear e la forma: H () E coecuecia, la repuea aural eá dada por: h () () e δ u () e u () E cuao a la repuea al ecaló uiario, e puede proceder de do maera diia, a aber: a. Mediae la iegral de la repuea aural: e() h( τ) dτ H () b. Mediae la ivera de Ye( ) ( )( ) Decompoiedo e fraccioe parciale, eemo: Ye() ( ) E coecuecia, la repuea al ecaló uiario e: e() e e u() Para hallar la repuea a la fució: e u( parimo de la correpodiee raformada de Laplace, aí: Y ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0
Decompoiedo e fraccioe parciale, e iee: Y () ( ) 7 Tomado la raformada ivera de Laplace, e ecuera que: [ ] () e e e u () EJEOS... U iema lieal ivariae, iicialmee e repoo, eá regido por la iguiee ecuació diferecial: D D D 6 () ( D D)() x ( ) a. Ecuere la fució de raferecia del iema dibuje el diagrama de polo cero. b. Ecuere la repuea aural del circuio repreee gráficamee. c. Ecuere la repuea al ecaló uiario repreee gráficamee.. La repuea al ecaló uiario de u iema lieal ivariae eá dada por: [ ] e() e() co() u() a. Ecuere la repuea aural del iema. b. Ecuere la fució de raferecia dibuje el diagrama de polo cero. c. Ecuere la repuea del iema ae la iguiee exciacioe: x( u(), x () e u(), x( co()() u. La fució de raferecia de u iema lieal ivariae eá dada por: 6 H () 4 6 5 a. Dibuje el diagrama de polo cero b. Ecuere la repuea aural c. Ecuere la repuea del iema ae cada ua de la iguiee (Solamee la forma, e decir, o deermie la coae del dearrollo e fraccioe parciale) x () u(), x () e( )() u, x () co()() u, x e () co( )() u. 6 4 4. Lo polo cero de la fució de raferecia de u iema o lo iguiee: z 0 z, z ± j p p p, p4 ± j a. Ecuere la fució de raferecia abiedo que: H( ) b. Deermie la forma de la repuea del iema ae la iguiee exciacioe:
x( u() x () e co()() u x( e u() x4 () e u() x () e e()() u 5 8 5. La fució de raferecia de u filro paabaja de egudo orde eá dada por: ω p H () zω ω p p Dode: ω p e la frecuecia de pao, eo e, cuado la exciació e ua eñal eoidal de frecuecia iferior a: ω p, la alida, e eado eacioario, e ora eñal eoidal co la mima ampliud, miera que i la frecuecia de la eñal de erada e uperior a ω p la alida e prácicamee cero. De oro lado, z e el coeficiee de amoriguamieo oma valore e el iervalo: z > 0. uado 0 < z < e dice que el movimieo e ubamoriguado. uado z e dice que el movimieo e críicamee amoriguado. uado z > e dice que el movimieo e obreamoriguado. o la iformació aerior: a. Tome: ω p z 5. deermie la repuea ae la iguiee exciacioe repreee gráficamee. x() u () x () e x() e(. 05u )() x ( ) e( 5u )() 4 b. epia el pao aerior co lo iguiee dao: ω p z c. epia el pao aerior co lo iguiee dao: ω p 5 z 5 6. La fució de raferecia de u filro paabada de egudo orde eá dada por: H () B B ω 0 Dode: B e el acho de bada ω 0 e la frecuecia ceral. El fucioamieo del iema e el iguiee: uado la exciació e ua eñal eoidal de frecuecia: ω 0, la alida e ambié ua eñal eoidal co la mima ampliud. ualquier exciació que ega ua frecuecia diferee de ω 0 coducirá a ua repuea de ampliud mucho meor que la ampliud de la eñal de erada. o bae e la iformació preeada: a. Tome: B ω 0 5 ecuere la repuea ae la iguiee exciacioe repreee gráficamee: x() u () x () e e( u )() x() e(. 05u )() x () e( 5)() u 4
b. epia el pao aerior co lo iguiee dao: B ω 5 c. epia el pao aerior co lo iguiee dao: B 0. ω 5 0 0 9 7. La fució de raferecia de u iema lieal ivariae eá dada por: H () a. Dibuje el diagrama de polo cero. b. Deermie la repuea aural repreee gráficamee. c. Deermie la repuea al ecaló uiario repreee gráficamee. d. Deermie la repuea del iema ae la iguiee exciacioe repreee gráficamee. x () e co()() u x () co( () u x () e()() u 8. La fució de raferecia de u iema eá dada por: 0. 0 H () 0 a. Deermie la repuea al ecaló uiario repreee gráficamee. b. Deermie la repuea del iema ae la iguiee exciacioe repreee gráficamee. x () e e( () u x () co()() u x () co( 0() u x () e( 0)() u 4 9. La fució de raferecia de u iema lieal ivariae eá dada por: H () K a. Dibuje el diagrama de polo cero para diferee valore de K. b. Deermie la repuea ae la iguiee exciacioe repreee gráficamee. x () u() x () e u() x () e()() u x () e( () u.tome: K 4.. ESTABLDAD. Defiició. oideremo u iema lieal ivariae cua fució de raferecia eá dada por: K( z)( z)( z)...( zm) H ( ), pk σ k jω k ( p )( p )( p )...( p ) La eabilidad del iema eá aociada co la ubicació de lo polo de: H (), aí:
0 a. El iema e eable i odo lo polo eá a la izquierda del eje imagiario, e decir, para odo valor de k e verifica que: σ k < 0. E ee cao, upoiedo que lo polo o diferee ere í, la repuea aural del iema e de la forma: k σ j k k 0 k h () e e. E claro que: lim h () 0. b. El iema e ieable i al meo uo de lo polo eá a la derecha del eje imagiario o i e iee polo múliple obre el eje imagiario. c. El iema e margialmee eable i preea polo imple obre el eje imagiario. Ejemplo.. Deermie i lo iguiee iema o eable, ieable o margialmee eable: a. H ( ) b. c. H ( ) ( ) d. H ( ) 4 4 H ( ) 4 Solució. El eudiae puede verificar lo iguiee: a. Eable b. Margialmee eable c. eable d. eable. Poliomio de Hurwiz. oideremo u poliomio racioal eero, e decir, de coeficiee reale, aí: P( ) a a a a... a 0 El poliomio e puede exprear mediae ua pare par ora impar, aí: P ( ) [ a a...] [ a 4 5 a4 a a5 Se dice que el poliomio e de Hurwiz i u raíce eá a la izquierda del eje imagiario o o imple obre el eje imagiario. Ua codició ecearia para que u poliomio ea de Hurwiz, e que odo lo coeficiee del poliomio o poiivo, a meo que ea ericamee par o ericamee par. Lo aerior igifica que i alguo de lo coeficiee e egaivo, el poliomio edrá raíce a la derecha del eje imagiario. De oro lado, i el poliomio o e par i impar uo de lo coeficiee e cero, el poliomio o puede er de Hurwiz. Ejemplo.4. El eudiae puede verificar que lo iguiee poliomio o o de Hurwiz:...]
4 a. P ( ) 4 b. P ( ) 4 c. P ( ) 4 Ua codició de uficiecia para que u poliomio ea de Hurwiz e que la fracció coiuada ere u pare par e impar ega odo u cociee poiivo. Si ecribimo el poliomio mediae u pare par e impar, aí: P ( ) M ( ) N( ), la fracció coiuada e la iguiee: M ( ) N( ) q q q... Ejemplo.5. 4 Deermie i el iguiee poliomio e de Hurwiz: 5 4. Solució. La fracció coiuada e la iguiee: 4 4 5 9 7 49 7 8. o bae e lo plaeado previamee, el poliomio o e de Hurwiz. Se puede geeralizar el hecho de que por cada cociee egaivo ha ua raíz a la derecha del eje imagiario. Para uero ejemplo, el poliomio iee do raíce a la izquierda del eje imagiario do a la derecha. E efeco, i e ua u paquee como Mahcad o Malab, e puede verificar lo aerior. uado el poliomio e ericamee par o impar, la fracció coiuada e hace ere P( ) el poliomio u primera derivada: P'( ) Ejemplo.6. Deermie i el iguiee poliomio e de Hurwiz: 5 P( ) 5 Solució. La fracció coiuada e la iguiee: 5 5 4 5 5 5 5 omo puede vere, el poliomio e de Hurwiz. 9 5 6 6 45
EJEOS... Deermie lo valore de: k, de al maera que lo iguiee poliomio ea de Hurwiz. 4 a. P ( ) k 5 4 4 b. P ( ) k c. P( ) k k 5 d. P ( ) k. epoda i la iguiee afirmacioe o fala o verdadera juifique: a. Si u poliomio iee u coeficiee poiivo eoce e de Hurwiz. b. Si el deomiador de la fució de raferecia e u poliomio de Hurwiz eoce el iema e eable o margialmee eable. c. El produco de do poliomio de Hurwiz e de Hurwiz. d. Ua combiació lieal de do poliomio de Hurwiz e de Hurwiz. e. Si u iema iee la fució de raferecia: H ( ), e eable. 5. Deermie lo valore de K para que la iguiee fució circuial ega u polo cero reale alerado: F( ) K 8.. UTOS EN EL DOMNO DE LA FEUENA roducció. oideremo u circuio L erie como lo ilura la figura.4. La le de Kirchhoff para volaje eablece que: v ( v ( v ( v ( L i L L ( v i i ( () i () Figura.4. Figura.5.
o bae e lo pricipio circuiale, eemo: v ( i( d v L ( L i( d v ( i( d v (0 ) 0 i( d Supoiedo que el iema eá iicialmee e repoo aplicado la raformada de Laplace, eemo: ( ) ( ) ( ) ( ) L A parir de la relacioe ere la corriee el volaje e lo elemeo, e iee: ( ) ( ) L ( ) L ( ) ( ) ( ) El circuio de la figura.5, e el equivalee e el domiio de la frecuecia del circuio de la figura.4. mpedacia de u elemeo circuial. La relació ere el volaje la corriee e u elemeo e el domiio de la frecuecia recibe el ombre de impedacia del elemeo. Puede vere que: a. La impedacia del reior e: Z ( ), e decir, la impedacia de u reior e coae e igual a u reiecia. b. La impedacia del iducor e: Z L ( ) L, e decir, la impedacia de u iducor e direcamee proporcioal a la frecuecia. c. La impedacia del capacior e: Z ( ) /, e decir, la impedacia de capacior e iveramee proporcioal a la frecuecia. Admiacia de u elemeo circuial. E la relació ere la corriee el volaje e el domiio de la frecuecia, e decir, la admiacia e el ivero de la impedacia. Evideemee, la admiacia de lo re elemeo circuiale báico o: a. Para el reior: Y ( ) / b. Para el iducor: Y L ( ) / L c. Para el capacior: Y ( ) i
.4. TÉNAS DE SMPLFAÓN DE UTOS 4 Elemeo e erie. Do elemeo circuiale co impedacia idividuale: Z ( ) Z ( ) coecado e erie e puede raar, para efeco de aálii, como u olo elemeo cua impedacia equivalee e la uma de la impedacia idividuale, aí: Elemeo e paralelo. Ze ( ) Z( ) Z ( ) Do elemeo circuiale co admiacia idividuale: Y ( ) Y ( ) coecado e paralelo, e puede raar, para efeco de aálii, como u olo elemeo cua admiacia equivalee e la uma de la admiacia idividuale, aí: Traformació de fuee reale. Ye ( ) Y( ) Y ( ) Para efeco de aálii, ua fuee real de volaje: e () e erie co ua impedacia: Z() e equivalee a ua fuee real de corriee: e () e paralelo co la impedacia: Z (). La equivalecia de la fuee implica que: Equivalee Thévei. ( ) Z( ) ( ) e e a b e () () Z e a b Figura.6. Figura.7. El iema de la figura.6 e u circuio cualquiera e iee acceo al mimo por lo ermiale: a b. El circuio de la figura.7 e el equivalee Thévei ere a b i e verifica que:. e () : e el volaje de circuio abiero ere lo ermiale dado.. Z e () : e el cociee ere el volaje de circuio abiero la corriee de corocircuio. Para ecorar el equivalee Thévei ere do puo dado de u circuio e procede de la mima forma que i fuera circuio reiivo, e decir, haciedo la do prueba o aplicado la écica de implificació.
.5. TÉNAS DE ANÁLSS DE UTOS 5 U circuio e el domiio de la frecuecia e puede aalizar por el méodo de la corriee de malla o por el méodo de lo volaje de odo, de la mima forma que para circuio reiivo. Fucioe circuiale e el domiio de la frecuecia. oideremo el circuio de la figura.8, que eá alimeado por ua fuee ideal de volaje: i (). Si a la alida e coloca ua impedacia: Z L (), eamo iereado e deermiar la gaacia de volaje la admiacia de erada del iema. () i () i 0( ) () Z L Figura.8. i( ) La admiacia de erada del circuio e defie como: Yi ( ) i ( ) 0 ( ) La gaacia de volaje del iema e defie como: G( ) i ( ) Tao la admiacia de erada como la gaacia de volaje o fucioe racioale de variable compleja: σ jω. La fucioe circuiale mecioada e obiee aalizado el circuio mediae la écica de aálii previamee decria. Ejemplo.7. Deermie la admiacia de erada la gaacia de volaje para el circuio de la figura.9. L i () () i o () Figura.9. Solució. Aplicado la Le de Kirchhoff para corriee, e iee:
L i o o o 6 Depejado el volaje de alida, reula: ( ) o i ( ) L L La fució de raferecia queda e la forma: G( ) L L o bae e lo eudiado previamee, la frecuecia aural de ocilació el amoriguamieo del iema viee dado por: ω L α o bae e lo aerior, la gaacia de volaje del iema eá dada por: G( ) ω α ω E cuao a la admiacia de erada, el eudiae puede verificar que viee dada por: Y ) L( α α ω ) i( Puede vere que amba fucioe circuiale iee lo mimo polo. E cuao a lo cero, la gaacia de volaje o iee cero fiio la admiacia de erada preea u cero fiio. La ubicació de lo polo cero depede de lo valore de lo parámero circuiale. Se puede preear re iuacioe diferee, a aber: a) Movimieo obreamoriguado: α > ω b) Movimieo críicamee amoriguado: α ω c) Movimieo ubamoriguado: α < ω. o la iformació dada por la fucioe circuiale podemo deermiar la corriee de erada el volaje de alida cualquiera que ea la exciació. Por ejemplo, i lo parámero del circuio o: 0 Ω 0.05F L H, eemo: 0 0.5( ) ( ) Y ( ) 0 0 G i
Ejemplo.8. 7 Para el circuio del ejemplo aerior a. Deermie el volaje de alida cuado la exciació e la eñal ecaló uiario repreee gráficamee. b. Efecúe la imulació e SPE compare lo reulado. Solució. a. La fució de raferecia del iema e: o ( ) 0 H ( ) i ( ) 0 Pueo que la exciació e la eñal ecaló uiario, eemo: i ( ) E coecuecia, el volaje de alida e el domiio de la frecuecia e: o ( ) ( 0 0) La raformada ivera de Laplace de: o () e la repuea e el domiio de iempo. vo ( e co( e e( u( La repuea aural e la derivada de la repuea al ecaló. La figura.0 muera la repuea a la exciació ecaló uiario, miera que e la figura. e muera la repuea aural del iema. La gráfica e obuviero co el paquee Mahcad e procearo por Pai. Figura.0 Figura. Se deja al eudiae la imulació del circuio. Ejemplo.9. oidere el circuio de la figura.
8 a. Ecuere la fució de raferecia. b. Tome lo iguiee dao: L dibuje el diagrama de polo cero. c. Ecriba la fució de raferecia e forma facorizada. d. Deermie la repuea al ecaló uiario la repuea aural. epreee gráficamee. e. Efecúe la imulació co SPE compare reulado. Solució. a. La ecuacioe del circuio e obiee al aplicar la le de Kirchhoff para corriee e lo odo roulado co: x, o L x L o i () Figura. i x L x o x L L 0 x o o El iema e orgaiza de la iguiee maera: L L L i L x L o 0 L eolviedo el iema, e ecuera que: G ) L (L L ) (6L ) ( 4 b. o lo dao dado, e iee que: (4 L) G ( ) 4 4 0 8 4
9 El diagrama de polo cero e muera e la figura. e obiee uado el paquee Malab co la iguiee iruccioe: [4,] d [,,0,8,4] pzmap(, d) Del diagrama e viualiza lo cero lo polo, aí: ero: z 0. 5 Polo: 4.785 0.07 0.704 j 0.9 0.704 j0. 9 Figura. c. La fució de raferecia e forma facorizada e la iguiee: G ( ) ( 0.07)( 4.785)(.408.6) La repuea al ecaló uiario e el domiio de la frecuecia e: ( ) o ( 0.07)( 4.785)(.408.6 ) Aplicado la raformada ivera de Laplace, obeemo la repuea al ecaló uiario e el domiio de iempo: aí: ve( 0.0546e 4.785 0.04e 0.07 0.0967e 0.704 co(0.9 0.e 0.704 e(0.9 La figura.4.5 muera la repuea al ecaló la repuea aural del circuio. Para la gráfica e uó el paquee: MATHAD.
0 Figura.4 Figura.5 Ejemplo.0. Para el circuio de la figura.6, repia el procedimieo del ejemplo aerior. Tome: k 0.5. L L () i () o Figura.6 Solució. a. El eudiae puede verificar que la ecuació maricial del iema e: L M S M L S 0 i Dode: M k L L kl e la iducacia muua de la bobia acoplada. eolviedo el iema ecoramo la corriee: co bae e el reulado e ecuera el volaje de alida como: o ( ) ( ). ( ( kl ) 0 ) ( ) ( ) ( i k L L kl L) b. o lo dao dado, la fució de raferecia del circuio e:
G ( ) 4 6 8 6 Se deja al eudiae el dibujar el diagrama de polo cero. Oberve que lo polo del circuio o reale ha do que o iguale. c. La fució de raferecia e u forma facorizada e: G ( ) 0.75( )( ( 4/)( ) ) d. La repuea al ecaló uiario eá dada por: vo( e 4 e u( EJEOS.5.. Para el circuio de la figura.9. a) Ecoja lo valore de lo elemeo ale que: ω 0π α ω b) Deermie la repuea del circuio ae la iguiee exciacioe: u(, e(60π u(, e(600π ) u(. E el circuio de la figura.9, iercambie el iducor el capacior deermie la gaacia de volaje.. Para el circuio de la figura., ome lo iguiee dao:, 0. 5, L repia el procedimieo del ejemplo.9. 4. Para el circuio de la figura.6, repia el procedimieo del ejemplo.0 co: k 0.5 0.5 L () i L o () Figura.7
5. Para el circuio de la figura.7, repia el problema aerior. 6. Deermie la fució de raferecia la repuea al ecaló uiario para el circuio de la figura.8. Tome valore apropiado para α,, () i αo() () o Figura.8. 7. epia el problema aerior i e la figura.8 e iercambia lo capaciore co lo reiore..6. EDES DE DOS PUETOS. roducció. oideremo u circuio que o iee fuee idepediee que iee do ermiale de acceo, al como lo ilura la figura.9. La variable circuiale o lo do volaje la do corriee. Nuero ieré coie e deermiar la ecuacioe del iema cuado do de la variable o fucioe de la ora do. Figura.9 Parámero de admiacia de corocircuio. Supogamo que la variable idepediee o lo volaje, e al cao, la ecuacioe del circuio o la iguiee: E forma maricial, e iee:
o bae e la ecuacioe del circuio, lo parámero de admiacia de corocircuio e defie de la iguiee maera: 0 0 0 El circuio equivalee, e érmio de lo parámero de admiacia de corocircuio e muera e la figura.0. Lo parámero de admiacia de corocircuio e puede deermiar aplicado la écica de aálii previamee preeada. 0 Ejemplo.. Figura.0 Deermie lo parámero de admiacia de corocircuio para el circuio de la figura.. L x L Figura. La ecuacioe del circuio o: x ( x) ( x) L L x Depejado x e la ercera ecuació, e obiee: x L
L ( L L ) x L L L 4 eemplazado el reulado aerior e la do primera ecuacioe, obeemo: L L L L L L L L L L L L L L L L Puede oare que: L L L L Lo aerior e ciero para cualquier circuio paivo. Admiacia de erada gaacia de volaje. A parir de lo parámero de admiacia de corocircuio e puede deermiar la fucioe circuiale de ieré cuado a la erada e coloca ua fuee ideal de volaje a la alida e coeca ua carga reiiva, al como lo ilura la figura.. () i o () Figura. La ecuacioe del circuio o: i ( eolviedo imuláeamee la ecuacioe, obeemo: ) o ( ) o ( ) G( ) ( ) i Y i ( ) Ejemplo.. Lo parámero de admiacia de corocircuio de u circuio viee dado por:
5 4 4 4 4 4 ) ( a. Deermie la gaacia de volaje del circuio cuado e le coeca ua carga: 9Ω 0. b. Dibuje el diagrama de polo cero c. Ecuere la repuea al ecaló uiario repreee gráficamee. Solució. a. La gaacia de volaje del circuio e: 0 67 66 0 8 4 4 9 0 4 ) ( G b. La fució iee u cero doble e el orige re polo, dado por: 0.57 0.65 0.57 0.65 j p j p p Figura. La figura. ilura el diagrama de polo cero. Se puede obervar el cero doble e el orige. c. Para hallar la repuea al ecaló uiario ecribimo la gaacia de volaje e forma facorizada, aí: G o ) 5 6 )(0 ( 8 ) ( ) (
6 La raformada ivera de Laplace de la alida, cua gráfica e muera e la figura.4 e: 6 6 98 0.65 vo ( e e co(0.57 e(0.57 u( 4 4 56 Figura.4 Parámero de impedacia de circuio abiero. Supogamo que la variable idepediee o lo volaje, e al cao, la ecuacioe del circuio o la iguiee: z z z z E forma maricial, e iee: z z z z o bae e la ecuacioe del circuio, lo parámero de impedacia de circuio abiero e defie de la iguiee maera: z 0 z 0 z 0 z 0 z z z z Figura.5 El circuio equivalee, e érmio de lo parámero de impedacia de circuio abiero e muera e la figura.5.
7 Lo parámero de admiacia de corocircuio e puede deermiar aplicado la écica de aálii previamee preeada. Ejemplo.. Deermie lo parámero de impedacia de circuio abiero para el circuio de la figura.6 L x L La ecuacioe del circuio o: Figura.6 ( L ) L( ) L( ) Por imple ipecció, reula la mariz de lo parámero de impedacia de circuio abiero, aí: z z L L L L z z elacioe ere lo parámero lo parámero z A parir de lo parámero de admiacia de corocircuio e puede obeer lo parámero de impedacia de circuio abiero vicevera, aí: Muliplicado por la ivera, e iee que: E coecuecia, la mariz de lo parámero de impedacia de circuio abiero e la ivera de la mariz de parámero de admiacia de corocircuio.
z z z z 8 De maera imilar, la mariz: e la ivera de la mariz: z. z z z z Ejemplo.4. A parir de lo parámero de impedacia de circuio abiero obeido e el ejemplo aerior, deermie lo parámero de admiacia de corocircuio. Solució. o bae e lo preeado, e iee: Dearrollado la ivera, e obiee: L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L E geeral, la ivera de la mariz e: z z z z Parámero híbrido. Auque e puede defiir do ipo de parámero híbrido, o limiaremo a lo parámero má comúmee uilizado, e lo que la variable idepediee o: la corriee de erada el volaje de alida. Aí la coa, la ecuacioe del circuio o: h h h h E forma maricial, e iee:
h h h h 9 o bae e la ecuacioe del circuio, lo parámero híbrido e defie de la iguiee maera: h 0 h 0 h 0 h 0 El circuio equivalee, e érmio de lo parámero híbrido, e muera e la figura.7. Lo parámero de admiacia de corocircuio e puede deermiar aplicado la écica de aálii previamee preeada. Lo parámero híbrido o iee la mima uidade; lo aerior puede vere aalizado la defiicioe de arriba. Uualmee e uiliza lo parámero híbrido para modelar el raior bipolar a baja frecuecia. h h h h Figura.7 ZA() ZB() Z() Figura.8 EJEOS.6.. La figura.8 muera u circuio erella. Deermie: a. Lo parámero de impedacia de circuio abiero b. Lo parámero de admiacia de corocircuio.. epia el ejercicio aerior para el circuio dela de la figura.9.
0 Z() ZA () ZB() Figura.9. Ecuere la fórmula de raformació de lo parámero de admiacia de corocircuio a parir de lo parámero híbrido. 4. Deermie lo parámero de admiacia de corocircuio para el circuio de la figura.0. Figura.0 5. Para el circuio de la figura.0 e coloca ua fuee ideal de volaje a la erada u reior a la alida. a. Deermie la fució de raferecia. b. Dibuje el diagrama de polo cero para u valor cualquiera de:. c. Deermie la repuea al ecaló uiario repreee gráficamee. α Figura.
6. Deermie lo parámero de impedacia de circuio abiero para el circuio de la figura.. 7. Para el circuio de la figura aerior e coloca ua fuee ideal de volaje a la erada u reior a la alida. a. Deermie la fució de raferecia. b. Dibuje el diagrama de polo cero para u valor cualquiera de: diferee valore de α c. Deermie la repuea al ecaló uiario repreee gráficamee. 8. Para el circuio de la figura. deermie lo parámero de impedacia de circuio abiero. M kl. o bae e el reulado, deermie lo parámero de admiacia de corocircuio. L L Figura. 9. Para el circuio de la figura aerior e coloca ua fuee ideal de volaje a la erada u reior a la alida. a. Deermie la fució de raferecia. b. Dibuje el diagrama de polo cero para u valor cualquiera de:, L, diferee valore de k c. Deermie la repuea al ecaló uiario repreee gráficamee. 0. oidere el circuio de la figura.. L L Figura. Deermie lo parámero de impedacia de circuio abiero. M kl. o bae e el reulado, deermie lo parámero de admiacia de corocircuio.
. Para el circuio de la figura aerior: a. Deermie la fució de raferecia cuado e excia co ua fuee ideal de volaje e le coeca ua carga:. b. Tome diferee valore para lo parámero deermie la repuea al ecaló uiario.. epia el problema aerior i e el circuio e iercambia el capacior el reior de erada.