MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 6 Curso preprtorio de l prueb de cceso l universidd pr myores de 5 ños curso 1/11 Nuri Torrdo Robles Deprtmento de Estdístic Universidd Crlos III de Mdrid
Índice generl 6. CÁLCULO INTEGRAL 71 6.1. INTEGRAL INDEFINIDA............................... 71 6.. INTEGRAL DEFINIDA................................ 74 6.3. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES: ÁREAS DE FUNCIONES...... 77 6.4. EJERCICIOS RESUELTOS DE EXAMEN...................... 8
7 ÍNDICE GENERAL
CAPÍTULO 6 CÁLCULO INTEGRAL En este cpítulo, definiremos el concepto de integrl de funciones de un vrible. Al igul que en el tem de derivds (cpítulo 5), prenderemos utilizr regls pr clculr de un form rápid y sencill integrles, tnto indefinids como definids. Además, veremos un plicción interesnte de l integrl definid pr hllr áres de regiones delimitds por funciones. 6.1. INTEGRAL INDEFINIDA. Sen dos funciones F : R R indefinid de f, y se denot por y f : R R, se dice que l función F es l integrl f(x)dx = F (x), si se verific que F = f. Recordemos que F es l derivd primer de l función F. Se denomin integrndo l función f. Debemos tener en cuent que un función f tiene infinits integrles, en el sentido de que ls funciones F (x) = x 5 y G(x) = x + 4, mbs son integrles de f(x) = x, y que si derivmos F y G (F (x) = x = f(x) y G (x) = x = f(x)) obtenemos l función f. Esto es 71
7 CAPÍTULO 6. CÁLCULO INTEGRAL debido que F y G solmente difieren en un constnte c, que recibe el nombre de constnte de integrción. Por tnto, l integrl indefinid de f es el conjunto de tods ls funciones cuy expresión se obtiene sumndo F un constnte c, es decir, f(x)dx = F (x) + c. Ejemplo 1. Clculr l integrl indefinid de f(x) = x 3. Solución: f(x)dx = x 3 dx = 1 4 x4 + c. Luego, F (x) = 1 4 x4. Clculndo l primer derivd de F (x) podremos sber si l integrl es correct. F (x) = 1 4 4x3 = x 3 = f(x). Pr poder clculr l integrl indefinid de un función debemos prender lguns regls de integrción, como ls que se resumen en l siguiente tbl: Sum (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx Rest (f(x) g(x))dx = f(x)dx g(x)dx Producto por un constnte k g(x)dx = k g(x)dx Aunque existen diferentes métodos pr hllr l integrl indefinid de un función, tles como, l integrción por prtes, el cmbio de vrible, l integrción de funciones rcionles y l integrción de funciones trigonométrics, quí nos ocupremos únicmente de ls integrles inmedits, ls cules se presentn en l siguiente tbl:
6.1. INTEGRAL INDEFINIDA. 73 Tipo Función Integrl Constnte f(x) = dx = x + c Identidd f(x) = x x dx = x + c Potencil f(x) = g(x) n g (x) g(x) n g (x) dx = g(x)n+1 n + 1 Exponencil f(x) = e g(x) g (x) e g(x) g (x)dx = e g(x) + c Logrítmic f(x) = g (x) g (x) dx = ln g(x) + c g(x) g(x) + c Es interesnte comprr est tbl con l correspondiente l de derivds del cpítulo 5. Ejemplo. - Tipo: Constnte Función f(x) = 5 Integrl 5 dx = 5x + c - Tipo: Potencil Función f(x) = x 3 f(x) = x (x 3) 5 f(x) = x (x 3 1) 3 Integrl x 3 dx = x3+1 3 + 1 = x4 4 + c x (x 3) 5 dx = 1 x (x 3) 5 dx = 1 (x 3) 5+1 + c 5 + 1 = (x 3) 6 + c 1 x (x 3 1) 3 dx = x (x 3 1) 3 dx = 1 3x (x 3 1) 3 dx 3 = 1 (x 3 1) 3+1 = (x3 1) 1 = 3 3 + 1 6 6(x 3 1) + c - Tipo: Irrcionl Función f(x) = 3 x Integrl 3 xdx = x 1/3 dx = x1+1/3 1 + 1/3 = x4/3 4/3 = 3 3 x 4 4 + c
74 CAPÍTULO 6. CÁLCULO INTEGRAL - Tipo: Exponencil Función f(x) = (x + 3) e x +3x 5 f(x) = x e x3 +4 Integrl (x + 3) e x +3x 5 dx = e x +3x 5 + c x e x3 +4 dx = 1 3x e x3 +4 dx = 1 +4 3 3 ex3 + c - Tipo: Logrítmic Función x3 f(x) = x 4 + 7 x f(x) = 6x + Integrl x 3 x 4 + 7 dx = 1 4x 3 4 x 4 + 7 dx = ln ( x 4 + 7 ) + c x 6x + dx = 1 1x 1 6x + dx = ln(6x + ) + c 6.. INTEGRAL DEFINIDA. L integrl definid difiere de l integrl indefinid en que l primer se clcul en un intervlo [, b] de mner que el límite inferior de l integrl es y el límite superior es b, es decir, b f(x)dx. Dich integrl represent el árel de l región del plno comprendid entre l gráfic de l función f(x), ls rects x =, x = b y el eje de bsciss.
6.. INTEGRAL DEFINIDA. 75 Pr clculr l integrl definid de un función f(x) utilizremos l Regl de Brrow, de modo que si F (x) verific que F = f, entonces se cumple: b f(x)dx = F (b) F (). Tmbién debemos de tener en cuent ls regls de integrción, que coinciden con ls que vimos pr l integrl indefinid. Así: Sum Rest Producto por un constnte b b b (f(x) + g(x))dx = (f(x) g(x))dx = k g(x)dx = k b b b f(x)dx + f(x)dx g(x)dx b b g(x)dx g(x)dx Ejemplo 3. Clculr l integrl definid Solución: (x 3 4x + 8)dx. Primermente clculmos l integrl indefinid. (x 3 4x + 8)dx = x 3 4 xdx + = x4 4 x + 8x + c = F (x) + c. 8dx = x3+1 3 + 1 4 x1+1 1 + 1 + 8x Por lo tnto, F (x) = x4 4 x + 8x. A continución, hllmos los vlores de F () y F (). F () = 4 4 + 8 = 1 y F () = 4 4 + 8 =. Luego, l integrl pedid será: (x 3 4x + 8)dx = F () F () = 1.
76 CAPÍTULO 6. CÁLCULO INTEGRAL Alguns propieddes importntes de ls integrles definids son ls siguientes: Signo de l integrl: Si f(x) > en el intervlo [, b], l integrl definid es positiv, es decir, Si f(x) < en el intervlo [, b], l integrl definid es negtiv, es decir, Si = b, entonces l integrl se nul: f(x)dx =. Si f(x) es continu en el intervlo [, b], entonces Si f(x) es continu en [, b], [, c] y [c, b], entonces b f(x)dx = c f(x)dx + b b c f(x)dx = f(x)dx. b b b f(x)dx. f(x)dx >. f(x)dx <. Ejemplo 4. Clculr l integrl definid Solución: 5 3 ( x + 3x + )dx. Primermente clculmos l integrl indefinid. ( x + 3x + )dx = x + 3 xdx + = x3 3 + 3 x + x + c = F (x) + c. dx = x+1 + 1 + 3 x1+1 1 + 1 + x Por lo tnto, F (x) = x3 3 + 3 x + x. A continución, hllmos los vlores de F (5) y F (3). F (5) = 53 3 + 3 5 + 5 = 35 6 y F (3) = 33 3 + 3 3 + 3 = 1.
6.3. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES: ÁREAS DE FUNCIONES. 77 Luego, l integrl pedid será: 5 3 ( x + 3x + )dx = F (5) F (3) = 35 6 1 = 14 3. Como f(x) = x + 3x + <, entonces l integrl definid en el intervlo [3, 5] es negtiv. 6.3. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES: ÁREAS DE FUNCIONES. Un plicción interesnte de ls integrles definids es que pueden utilizrse pr clculr el áre de un región delimitd por funciones. En relidd, es lgo implícito en l propi definición de l mism. Veremos dos csos, en el primero hllremos el áre delimitd por l gráfic de un función dd y el eje de bsciss, y en el segundo el áre delimitd por ls gráfics de dos funciones dds. El áre delimitd por l gráfic de un función dd y el eje de bsciss en el intervlo [, b] se define como: A = b f(x) dx. Pr clculr el áre delimitd por l gráfic de un función dd y el eje de bsciss lo más sencillo es seguir los siguientes psos: 1. Hllr los puntos de corte de l función dd f(x) y el eje de bsciss pr obtener el intervlo [, b].. Clculr l integrl indefinid de f(x). 3. Aplicr l regl de Brrow pr obtener el vlor del áre.
78 CAPÍTULO 6. CÁLCULO INTEGRAL Ejemplo 5. Clculr el áre que delimitd por l función f(x) = x 3 + 6x 8x y el eje de bsciss. Solución: En el siguiente gráfico podemos ver l representción de l función dd. Relizremos los psos indicdos nteriormente pr solucionr el problem. Primero hllmos los puntos de corte de l función dd f(x) y el eje de bsciss: f(x) = x 3 + 6x 8x = x(x 6x + 8) = x = y x 6x + 8 =. Resolviendo l ecución de segundo grdo obtenemos que x 6x+8 = cundo x = y x = 4. Por lo tnto, los intervlos de integrción son: [, ] y [, 4]. El segundo pso consiste en clculr l integrl indefinid: ( x f(x)dx = 3 + 6x 8x ) dx = x 3 dx + 6 x dx 8 xdx = x3+1 4 + 6 x+1 3 8 x1+1 = x4 4 + x3 4x + c. Por lo tnto, F (x) = x4 4 + x3 4x. Finlmente, plicmos l regl de Brrow pr clculr ls integrles definids en los dos intervlos de integrción. 4 f(x)dx = f(x)dx = 4 ( x 3 + 6x 8x ) dx = F () F () = 4 = 4, ( x 3 + 6x 8x ) dx = F (4) F () = ( 4) = 4.
6.3. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES: ÁREAS DE FUNCIONES. 79 Luego, el áre pedid es: 4 f(x) dx = 4 x 3 + 6x 8x ( dx = x 3 6x + 8x ) dx 4 + ( x 3 + 6x 8x ) dx = 4 + 4 = 8. El áre delimitd por l gráfic de dos funciones dds f y g en el intervlo [, b] se define como: A = b f(x) g(x) dx. Pr clculr el áre delimitd por l gráfic de dos funciones dds f y g relizremos los siguientes psos: 1. Hllr los puntos de corte de ls funciones dds f(x) y g(x) pr obtener el intervlo [, b].. Clculr l integrl indefinid de f(x) g(x). 3. Aplicr l regl de Brrow pr obtener el vlor del áre. Ejemplo 6. Clculr el áre de l región delimitd por ls gráfics de ls funciones f(x) = x 1 y g(x) = x + 1. Solución: Comenzmos clculndo los puntos de corte de ls dos funciones pr obtener los límites de integrción. f(x) = x 1 = x + 1 = g(x) x 1 x 1 = x x =.
8 CAPÍTULO 6. CÁLCULO INTEGRAL Resolviendo l ecución de segundo grdo obtenemos que x x = cundo x = y x = 1. Por lo tnto, el intervlo de integrción es [ 1, ]. Ahor, hllremos l integrl indefinid de f(x) g(x). Como f(x) g(x) <, entonces f(x) g(x) = g(x) f(x). (g(x) f(x)) dx = ( x + x + ) dx = x3 3 + x + x + c = F (x) + c. Finlmente plicmos l regl de Brrow pr obtener el áre: 1 f(x) g(x) dx = F () F ( 1) = 1 3 ( 7 6 ) = 9. En el siguiente gráfico podemos ver l representción de ls funciones dds. 6.4. EJERCICIOS RESUELTOS DE EXAMEN. 1. (, opción A). Dd l función definid en los números reles slvo en x =, f(x) = 3 x x. Clculr el áre de l región pln cotd por l gráfic de f(x) y el semieje OX. Solución:
6.4. EJERCICIOS RESUELTOS DE EXAMEN. 81 Primero hllmos los puntos de corte de l función dd f(x) y el eje de bsciss: f(x) = 3 x x = 3x x x = 3x x = y x. Resolviendo l ecución de segundo grdo obtenemos que 3x x = cundo x = y x = 1. Por lo tnto, el intervlo de integrción es [1, ]. El segundo pso consiste en clculr l integrl indefinid de f(x), como f(x) > en [1, ] entonces f(x) = f(x). Así: f(x) dx = ( 3 x ) dx = 3x x x ln x + c. Por lo tnto, F (x) = 3x x clculr el áre pedid: ln x. Finlmente, plicmos l regl de Brrow pr 1 f(x) dx = F () F (1) = 4 ln 5 = 3 ln.. (3, opción A). Se consider l función definid por: f(x) = xe x. Clculr el áre del recinto plno cotdo por l gráfic de dich función pr x, el eje OX y l rect x =.
8 CAPÍTULO 6. CÁLCULO INTEGRAL Solución: L representción gráfic del áre que debemos clculr es l siguiente: Como l función dd f(x) solmente cort l eje OX en x =, entonces el áre pedid está delimitd por f(x) en el intervlo [, ]. f(x)dx = xe x dx = 1 xe x dx = 1 ] ex = 1 ( e 4 1 ).