INGENIEÍA TÉCNICA INDUSTIAL EXÁMENES ESUELTOS CUSO 007-008 EGULACIÓN AUTOMÁTICA ESPECIALIDAD ELÉCTICOS Profeore: Jeú Paiagua Carlo Etrada
EGULACION AUTOMATICA Primera covocatoria 5 de eero de 008 Ejercicio puto Se deea cotrolar e poició u putero láer mediate el iguiete itema: Ut e et Jm fm /50 K Jp fp Lo valore de lo parámetro del itema o: Ke 0.07 V/rad* - Kp 0.05 Nw*m/A.5 Ω Jmotor.5 x 0-4 Kg*m fmotor. x 0-4 Nw*m/ rad* - Jplataforma 5 x 0 - Kg*m fplataforma 75 x 0 - Nw*m/ rad* - ago de teió de etrada al motor /- 0 V. Señal realimetació de poició U motor de CC cotrolado por iducido mueve ua plataforma giratoria mediate u piñó, formado co ella u egraaje cuyo factor de reducció e 50. Para realimetar la poició e utilia u eor de poició poteciométrico cuya gaacia K de.55 V/radia. Se pide: a Fució de traferecia del itema idicado e bucle abierto cojuto motor plataforma. b Dieñar el regulador má ecillo para que el itema realimetado preete el iguiete comportamieto: i obreocilació, co u error de poició e régime permaete ulo y tiempo de repueta igual o meor a 0.7 egudo. c Para ua etrada ecaló uidad, e deea aber i la acció iicial del regulador calculado e el puto aterior aturará el itema, teiedo e cueta el rago de la teió de etrada al motor. Ejercicio.5 puto La repueta de u itema a u ecaló uidad viee dada por la gráfica motrada al fial de ete ejercicio. Se pide: a Fució de traferecia del itema coiderado ua gaacia de 0.5. b Si para u cotrol e utilia u regulador itegral co u cero e y ua cotate de itegració Ki, idicar lo itervalo de Ki que hace el itema e bucle cerrado etable, ietable y margialmete etable.
Ejercicio puto Dado u itema dicreto cuyo diagrama de polo y cero e el plao Z la X idica lo polo y lo O idica lo cero e el motrado e el diagrama iguiete y cuya gaacia etática e de 0: Z Imag -.5-0.8 0.5 0.8 - eal Se pide: a Dieñar el regulador má ecillo mediate el método de impoició de polo, que cumpla co la iguiete epecificacioe: ep 0 ev S.O. 0%, Tr g Demuetra que e puede ajutar todo lo parámetro co ua úica cotate. b Dearrollar u programa que utilice el regulador aterior, e el que exita u modo maual y uo automático, co poibilidad de paar de maual a automático i golpe. c Calcular la expreió geeral de la ecuecia e k de la alida e bucle cerrado, utiliado el regulador ateriormete calculado, ate u ecaló uidad.
Cuetioe de práctica.5 puto El iguiete código e Matlab permite el cálculo de la repueta al impulo de u itema de primer orde báico: tfialiput Tiempo fial de imulació ; Kiput Gaacia itema de primer orde ; Tiput Cotate de tiempo ; um[k 0]; de[t ]; periodotfial/000; t0:periodo:tfial; uoelegtht,; limum,de,u,t; plott, Ecribir, de forma imilar al ejemplo motrado, el código e Matlab a utiliar para viualiar gráficamete la repueta al ecaló de amplitud 4 y la derivada de eta repueta amplificada por u factor de 5 de u itema de egudo orde báico co gaacia etática. La gaacia e deberá aigar explícitamete e el mimo código y el reto de parámetro e le pedirá al uuario. Obteer la expreió temporal de la alida de u itema de egudo orde báico ate ua etrada ecaló de amplitud. Lo parámetro del itema o K5, ω 4, ξ. Calcula el valor fial de la alida aplicado el teorema del valor iicial y demuetra que coicide co el de la expreió temporal. Se realia el cotrol cláico del águlo de u motor de corriete cotiua mediate u regulador proporcioal. Se pretede eguir ua referecia ecaló de rad. La teió de alida de la caja de reguladore aalógico utiliada para realiar el cotrol e la iguiete: Tambié e dipoe de la gráfica correpodiete a la evolució del águlo a cotrolar: 4
a Se correpode el traitorio de eta eguda gráfica co el de la repueta a ua etrada ecaló de u itema de egudo orde ubamortiguado? aoa la repueta. b Que iformació cualitativa puede deducir del régime permaete de cada ua de la do gráfica. 4 Para realiar el cotrol digital de voltaje de u circuito e dipoe de ua tarjeta de E/S cuyo rago e de ± 5 voltio para lectura de teioe y de 0 a 5 voltio para la ecritura. Si el circuito a cotrolar trabaja e u rago de ± 0 voltio, qué habría que hacer para olucioar la dicrepacia de rago co repecto a la tarjeta de E/S? 5
EGULACION AUTOMATICA eolució Primera covocatoria 5 de eero de 008 Ejercicio a La fució d e traferecia del itema motor-plataforma: La obteemo a partir del iguiete diagrama de bloque: puto Θ G U Jp fp U Kp - - Θ Jm fm Θ Ke Modificamo el diagrama para que o quede do bucle de realimetació: U Θ Kp - - Jm fm Θ Jp fp Ke Dearrollado de forma uceiva la fucioe de traferecia de lo bucle o queda: Θ u Jm Sutituyedo valore: Kp Jp fm fp KpKe Θ u 50.7 0 4 0.0.50 4 0.004 0.0 0.00585 0.085 b Se cierra el bucle de realimetació co u eor poteciométrico de cotate K.55 V/rad. Por uetra parte añadimo ua acomodació del mimo valor y ua ve implificado el diagrama o queda el bucle de realimetació uitaria: 6
K 0.0.55 Kr - 0.00585 0. 085 Como la fució de traferecia del itema a cotrolar ya icluye u itegrador, pue e de tipo, el regulador má ecillo que podemo probar para cumplir co la epecificacioe del ejercicio e el proporcioal Kr. Por tato la fució de traferecia e bucle cerrado erá: 0.0 Kr.55 F 0.00585 0.085 0.0 Kr.55 0.00585 0.085 F 0.00585 Kr.55 0.0 0.085 Kr.55 0.0 F 0.00585 Kr.55 0.0 0.085 Kr.55 0.0 F 5.99Kr 4.05 5.99Kr E u itema de egudo orde y por tato para coeguir o teer obreocilació y u tiempo de repueta lo má rápido poible elegimo u coeficiete de amortiguamieto de ξ Críticamete amortiguado. Sabemo que: 4.05 ω > ω 7.055 5.99Kr ω > Kr 9.89 Veamo i cumple el tiempo de repueta pedido: 4.75 Tr 0.67eg 7eg ω Por lo tato el regulador pedido erá 9.89 c El itema que teemo e el iguiete.55 9.89 0.0 E - 0.00585 0. 085 U S Para calcular la acció del regulador U e el mometo iicial utiliaremo el teorema del valor iicial de la iguiete forma: 7
U E U S S E F G 0.0 0.00585 0.085 49.7 4.05 49.7 Siedo E la etrada, S la alida y G la fució de traferecia del itema i teer e cueta la acomodació K, F e la fució de traferecia e bucle cerrado, que ya tiee e cueta la acomodació. Ahora, para ua etrada E / Ecaló uidad tedremo: U F 0.908 4.09 t 0 lim U lim E lim G 0.0 0.805 0.9944 4.5 Como e mayor que 0V, el itema aturará. Ejercicio.5 puto a De la gráfica dada acamo lo iguiete valore, para ete itema ubamortiguado: Valor de pico.5 Tiempo de pico.45 Tiempo de repueta. Por lo que la obreocilació erá igual a Vpico Vfial.5 S. O. 0.5 ξ 0.4 Vfial El coeficiete de amortiguamieto lo hemo obteido de la gráfica que etablece la relació etre la cotate de amortiguamieto y el valor de la obreocilació para u itema ubamortiguado. De la fórmula del tiempo de repueta teemo: Tr π π. ω.46 0.4ω ζω Por lo tato utituyedo lo valore para u itema de egudo orde ubamortiguado puro Kω G ξω ω 0.5 5.95.9458 5.95 b Se poe el itema aterior e cacada co u regulador 8
K Por lo tato la fució de traferecia e bucle cerrado erá: F G G.9565K.9458 5.95.9565K F.9458.9565K 5.95.9565K 8.86875K Para ver el efecto de la K obre la etabilidad del itema aplicamo el criterio de outh. Para ello elaboramo la iguiete tabla: 5.95.9565K.9458 8.86875K.504 5.75074K 8.86875K. 9458 0 0 8.86875K El criterio de etabilidad etablece que e la primera columa o debe haber valore ulo y e toda ella lo coeficiete que aparece deberá er del mimo igo. Por lo tato: 8.86875K > 0 implica K>0 y.504.806k.9458 Etoce: > 0.504.806K > 0 K <.68867 0 < K <.68867 Sitema etable K.68867 Sitema margialmete etable K >.6886 Sitema ietable Ejercicio puto a De acuerdo al diagrama de polo y cero propueto y al valor de la gaacia dado, el itema tedrá la iguiete fució de traferecia e : 9
.5 0.8 G 0 0.8 0.5 Se oberva que u cero fuera de la oa de etabilidad de u itema e el plao Z, e decir fuera del círculo uidad, ademá tiee parte real egativa. Para el dieño del regulador lo primero que hacemo e aular lo polo y cero etable: 0.5 0.8 K 0.8 Y dado que la epecificacioe del itema fial icluye que el error de poició e régime permaete debe er ulo, añadiremo u itegrador: 0.5 0.8 K 0.8 Por tato:.5 ' G 0K G y la fució de traferecia e bucle cerrado erá: G.5 F 0K G 0K.5 0K F 0K.5 5K 0K Ete itema e de primer orde, por lo que o habrá obreocilacioe, y tiee u polo e: 5K p 0K El tiempo de muetreo T deberá er por lo meo 0 vece má pequeño que el tiempo de repueta, por lo que elegimo T 0. g. Vamo a calcular lo valore que puede tomar la K para que e cumpla la epecificacioe idicada. Para que e cumpla el tiempo de repueta requerido el valor de la K erá: tr τ g 0 p e t e 0. 5K 0 0.7408 0K 0.056 K 0.0666 0
Para que e cumpla que el error de velocidad e régime permaete ea meor o igual a, la K deberá valer: e v T 0. 0. 0.004 Kv lim G' 0K.5 K K 0.004 Por lo tato e puede elegir valore de K que cumple imultáeamete la ateriore codicioe. Elegimo K 0.06 Por lo que el regulador dieñado tedrá la iguiete expreió: 0.5 0.8 0.06 0.8 b Vamo a dearrollar el regulador para obteer el valor de la acció e fució del error y de la muetra ateriore de la propia acció: U 0.5 0.8 0.06 ε 0.8 U U.8 0.8 0.8 ε 0.06 0.5 ε 0.06. 0.8 0.4 Hallado la traformada Z ivera de cada uo de lo térmio tedremo: U [] k.8u[ k ] 0.8U[ k ] 0.06ε[ k] 0.078 ε[ k ] 0.04 ε[ k ] y dejado e u lado la acció e el mometo K: U [] k 0.06ε[] k 0.078 ε[ k ] 0.04 ε[ k ].8U[ k ] 0.8U[ k ] Por lo que la etecia para el programa erá: Accio 0.06*error - 0.078*error_at - 0.04*error_at_at.8*Accio_at -0.8* Accio_at_at; Siedo error_at, la muetra del error calculada e la iteració aterior a la actual, Accio_at, la muetra de la acció calculada e la iteració aterior, y Accio_at_at, la calculada e la iteració aterior a la aterior al mometo actual. El programa e la parte correpodiete al pao de maual a automático i golpe erá: eferecia:leer_referecia; alida:leer_alida; error:alida-referecia; Si maual Accio: leer_acció_maual; Accio_at:Accio-0.06*error/.8; Accio_at_at:0; error_at:0; i o
Accio 0.06*error - 0.078*error_at - 0.04*error_at_at.8*Accio_at - 0.8* Accio_at_at; Accio_at_at:Accio_at; Accio_at:Accio; error_at:error; Fi i_maual SacarAccio; c La alida para u ecaló uidad, para el itema co el regulador dieñado e el apartado aterior, erá la iguiete: S E F 0.75.5 0.065 S 0.75.5 0.065 0.75 A B 0.065 Calculado lo valore de A y B: A B.5 0.065.5 0.065.666.666 S 0.9975 0.645 0.065 Calculado la traformada ivera de Z, tedremo: k k k 0.9955 0.645 0.065 0.065
Práctica.5 puto U poible código ería el iguiete: tfialiput Tiempo fial de imulació: ; K; wiput Frecuecia atural: ; xiiput Coeficiete de amortiguamieto: ; um_ec4*k*w^; de_ec[ *xi*w w^]; um_der5*[4*k*w^ 0]; de_der[ *xi*w w^]; periodotfial/000; t0:periodo:tfial; uoelegtht,; _eclimum_ec,de_ec,u,t; plott,_ec paue _derlimum_der,de_der,u,t; plott,_der La expreió de la alida e el domiio de Laplace e: S 5 4 40 4 4 La alida e puede decompoer como uma de fraccioe: fracció debida al polo imple e 0 y debida al polo de multiplicidad e -4. Eto umado, aí como la fracció reultate de la uma de ello, e muetra a cotiuació: S A B 4 C 4 A C 8A B 4C 4 6A Igualado la do expreioe de la alida e obtiee u itema de ecuacioe que o permite hallar lo valore de A, B y C: 6A 40 8A B 4C 0 A C 0 A 5, B 60, C 5 Fialmete St e hallará acudiedo a la tabla de atitraformada: S t L 5 L 60 4 L 5 4 5 60te 4t 5e 4t
El valor fial de la alida e obtiee de eta expreió haciedo el límite cuado el tiempo tiede a ifiito: lím S t lím 5 60te t t 4t 5e 4t 5 Tambié e puede obteer aplicado el teorema del valor fial a S: 40 lím S t lím S lím t 0 0 4 Como e lógico ha coicidido co el valor ateriormete calculado. 5 a Se correpode el traitorio de eta eguda gráfica co el de la repueta a ua etrada ecaló de u itema de egudo orde ubamortiguado? aoa la repueta. No e correpode debido a que preeta ua rampa de pediete cotate. Eta pediete e debida al ecaló de acció de 0 voltio obervado e la primera gráfica y producido por la aturació de la alida de la caja de reguladore aalógico. La repueta iicial obervada e la gráfica eguda e obtedría mediate el iguiete diagrama de bloque: 0 U K m τ m ω θ dode la velocidad agular e régime permaete, al er la repueta a u itema de primer orde báico, tomaría u valor cotate igual 0K m que al er itegrado da lugar a la recta de pediete 0K m obervada e la eguda gráfica. b Que iformació cualitativa puede deducir del régime permaete de cada ua de la do gráfica. E el régime permaete correpodiete al águlo e oberva que exite u error de poició ditito de cero, úicamete explicable i exite ua perturbació de par que e opoga al par proporcioado por el motor, por ejemplo el par reitete M r producido por la fricció eca que e muetra e el iguiete diagrama de bloque: θ ref K θ K U M r K p M m - - J f θ K e K θ 4
Ete par deberá er opueto pero del mimo valor al par motor M m producido al alimetar el iducido del motor co la teió de régime permaete obervada e la primera gráfica y debida al error. E por eto que, al er M m t-m r t0, el águlo e régime permaete permaece ivariable, mateiédoe el error de poició a pear de er detectado por el itema. 4 Para olucioar la dicrepacia ua poible opció ería realiar ua adaptació de valore utiliado tato hardware como oftware: La acció digital calculada mediate oftware e el rago de ± 0 voltio e traformaría, tambié por oftware y utiliado ua traformació lieal, e ua eñal e el rago de alida permitido de la tarjeta de 0 a 5 voltio. La alida de la tarjeta e paaría a travé de ua etapa de adaptació hardware e la que e deharía el cambio hecho por oftware, paado de uevo la eñal al rago de ± 0 voltio. Eta eñal fial ería el voltaje utiliado para cotrolar el circuito. Por otro lado, el voltaje de alida del circuito, e el rago de ± 0 voltio, e traformaría, mediate ua traformació lieal proporcioada por ua etapa de adaptació hardware, e u eñal compredida e el rago de ± 5 voltio, apta para er leída por la tarjeta. Poteriormete, mediate oftware, e deharía ete cambio, recuperádoe el valor origial de la alida e el rago de ± 0 voltio. 5
EGULACION AUTOMATICA Seguda covocatoria 7 de Juio de 008 Ejercicio X puto U Kp Ke Jm Fm P m Poteciómetro lieal para realimetació poició, Kpot El itema de la figura coite e ua plataforma de maa m que e deplaada horiotalmete mediate u huillo ifí de cotate P, movido por u motor de cotiua cotrolado por iducido co cotate eléctrica Ke, cotate de par Kp, ua reitecia de iducido, iercia e el rotor Jm y roamieto vicoo Fm. La plataforma e puede deplaar a cualquier poició X detro del rago permitido por el huillo. Se pide: a. Obteer la fució de traferecia de la cadea abierta X/U. b. Si upoemo que la fució de traferecia del cojuto motor, huillo y plataforma.5 e G y que e utiliará u poteciómetro lieal co Kpot V/m para coocer la poició de la plataforma, calcular el regulador má ecillo y etable, que i obreocilació y co u error de velocidad ulo tiee u tiempo de repueta meor de g. c. Calcular la acció iicial y fial del regulador para ua etrada ecaló uidad y ua rampa uidad, jutifica lo reultado e cada cao. d. aoa cuál erá la alida e régime permaete del itema realimetado co el regulador calculado e el apartado b i e el mimo itate que e utilia u ecaló uidad como etrada, aparece ua perturbació e forma de ecaló uidad, e el puto idicado e la figura iguiete: E - ε Perturbació / G S S 6
Ejercicio.75 puto Dado el itema iguiete: - a. Determiar la etabilidad del itema e bucle cerrado mediate la aplicació de la traformada bilieal y el criterio de outh. Ayuda matemática: ab a b a bab a-b a -b -a bab b. aoa como e llega a la mima cocluió mediate el aálii de lo polo e el plao Z. c. aoa, i realiar cálculo, i el itema erá etable o o, cuado a la etrada e ve de u ecaló uitario e utilice ua rampa uitaria. Ejercicio.75 puto El iguiete programa repreeta ua parte de la implemetació programada de u regulador digital dieñado mediate el método cláico, utiliado diferecia hacia atrá: COMIENZO... Itegral:0; Bucle eferecia:iputadc; Salida: iputadc; Error:eferecia-Salida; Itegral:Itegral0.04*Error; Accio:0.66*Error0.666*Itegral; OuputDACAccio; Eperar_iguiete_itate_T;... FIN Ete programa e utilia para el cotrol por ordeador del itema: G.097 Se pide: a. Obteer la fució de traferecia del regulador implemetado e el programa, idicado el periodo de muetreo que ha ido utiliado e el dieño. b. Determiar el comportamieto del itema realimetado calculado la obreocilacio, el tiempo de repueta, lo errore de poició y de velocidad al utiliar el programa aterior co el itema G. c. Dieña u uevo regulador e tiempo dicreto para G, mediate el método de aigació de polo y cero, de forma que e obtega u itema i obreocilació, co u error de poició ulo y co u tiempo de repueta meor de egudo, utiliado u periodo de muetreo de T0.. d. Implemeta e forma programada el regulador obteido, co la poibilidad de paar de maual a automático i golpe. 7
Práctica.5 puto El iguiete código e Matlab permite el cálculo de la repueta al impulo de u itema de primer orde báico: tfialiput Tiempo fial de imulació ; Kiput Gaacia itema de primer orde ; Tiput Cotate de tiempo ; um[k 0]; de[t ]; periodotfial/000; t0:periodo:tfial; uoelegtht,; limum,de,u,t; plott, Ecribir, de forma imilar al ejemplo motrado, el código e Matlab a utiliar para viualiar gráficamete la repueta al ecaló de amplitud y a la rampa de pediete p de u itema de primer orde completo. La amplitud del ecaló e deberá aigar explícitamete e el mimo código y el reto de parámetro e le pedirá al uuario. Obteer la expreió temporal de la alida de u itema de egudo orde báico ate ua etrada rampa de pediete. Lo parámetro del itema o K5, ω 4, ξ. 0. 5 Sea el iguiete regulador PI: Adapta la otació utiliada e el modelo aalítico a la otació exitete e la caja de reguladore motrada a cotiuació. Sobre el equema de la caja realia el ajute de lo comutadore y poteciómetro. 4 E u proyecto perteeciete al etoro de dearrollo CVI e oberva la preecia del fichero p9.uir y p9.c. a Qué relació hay etre ello? b Cómo e podría implemetar e ete etoro el cálculo de la acció cada periodo de muetreo? Y la itroducció de lo parámetro del regulador? 8
EGULACION AUTOMATICA eolució Seguda covocatoria 7 de Juio de 008 Ejercicio puto El itema motrado correpode a u motor de corriete cotiua que mueve ua maa que e deplaa e ua trayectoria lieal gracia a la acció de u huillo. Al par del motor e opodrá la fuera iercial ejercida por la maa a travé de dicho huillo, por lo tato el equema de bloque de la cadea abierta erá: P m U K p - - J m f m Θ P X Ke Simplificamo, acado el bloque del huillo hacia la alida: U K p - - J m f m Θ P X P m Ke La fució de traferecia del bucle itero erá: Θ r J f m m P m Para el bucle cerrado, añadiedo el bloque del huillo o quedará: X u J m Ke J K f m P m K m p f P m m p P P J m P K p m f m K p Ke 9
b El itema realimetado, teiedo e cueta que e eceita u acomodació igual a la cotate del poteciómetro utiliado e la realimetació y habiedo implificado el itema erá el iguiete: - K pot.5 G Para coeguir u error de velocidad de cero erá eceario que el itema ea de tipo II, como e de tipo I, eceitaremo u regulador co ua parte itegral. Probamo co u PI, compeado el polo del itema: K Si calculamo la fució de traferecia e bucle cerrado para calcular el valor de K: G K F 7 G 7K De acuerdo co el criterio de outh el itema o e etable, por lo que probamo co u PID K τ NOTA: Eta expreió para el PID e la mima que τ K p e la τ que e ha hecho K K p τ Por lo tato la fució de traferecia e bucle cerrado e: F G G τ 7K 7Kτ 7K E u itema de egudo orde co cero, para que o exita obreocilació y el tiempo de repueta ea el máximo dieñamo u itema críticamete amortiguado, forado ζ, de la fució de traferecia aterior tedremo: ω 7 K 4.75 4.75 tr K ω 7K Para K.. 7 τ ξω 7K τ 0.4 K Por lo tato el regulador pedido erá: 0
0.4. o.56 0.4 0.4 c La acció del regulador e cualquier mometo erá: U E U S S U F G U F E G Siedo E la etrada, S la alida, G la fució de traferecia del itema i teer e cueta la acomodació Kpot y F la fució de traferecia e bucle cerrado. Para la etrada ecaló uidad, aplicado el teorema del valor fial e iicial, e tedrá la iguiete expreioe: Acció iicial F U t 0 lim U lim E G.54 0.4 lim 9.498.54.5 Debido a la acció derivativa del regulador. U t U t Acció fial F lim U lim E 0 0 G 6.44 lim 0.66.4 9.498.54 0 Lógico por e u itema de tipo II, el error de poició e cero y el regulador o e régime permaete o eceita corregir. Para la rampa uidad, aplicado el teorema del valor fial e iicial, e tedrá la iguiete expreioe: U t Acció iicial 0 lim U F lim E G.66.4 6.44 lim 9.498.54.66.4 6.44 lim 6.44.66 9.498.54 8.75 La derivada de ua rampa toma u valor fiito y por tato o atura el regulador
Acció fial.5.54 6.44.54 9.498.4.66 6.44 lim lim lim 0 0 0 t U E G F U t U E régime permaete ete e el valor eceario para mateer el error de velocidad a cero, teiedo e cueta la gaacia del itema a cotrolar. d E régime permaete la perturbació e la cadea directa e verá compeada por el bucle de cotrol que icluye u itegrador e u regulador. Eto hará que el error de poició depué de la deaparició del traitorio erá ulo. Eto e puede ver calculado la expreió de la alida cuado ocurre ua perturbació: Kpot G Kpot G Kpot G S Kpot G Kpot G S S S E Kpot G S ε ε Sutituyedo lo valore de la fucioe S y G y de Kpot, el valor de eta alida para tiempo ifiito régime permaete lo podemo calcular co el teorema del valor fial, aí ecotramo que la parte correpodiete a la perturbació tiede a cero y la alida olo depede de la etrada. 0 lim 0 S t S Ejercicio.75 puto a. Primero calculamo la fució de traferecia e bucle cerrado: - F Para coocer la etabilidad utiliamo la ecuació caracterítica, e decir el deomiador, al que aplicamo la traformació bilieal, e decir: EC
Aplicado la traformada bilieal: EC EC EC EC 9 9 Ahora aplicamo outh 4 4 0 0 0 4 4 5 5 Como ha aparecido ua fila toda cero el itema o erá etable, para aber i e margialmete etable obteemo el poliomio co lo valore de lo coeficiete de la fila aterior y derivamo, utiliaremo lo coeficiete de ete uevo poliomio, e decir: y y' 4 4 4 4 4 0 0 4 Como todo lo coeficiete de la primera columa o del mimo igo, el itema por lo tato e margialmete etable. b. Lo polo del itema erá la raíce de la ecuació caracterítica, e decir: La raíce o: 0 0 0 0. 0. j0.948 j0.948 Si calculamo el módulo de la do última vemo que e igual a 0.999999, e decir que dicho polo etará obre el circulo uidad. Cuado eto ocurre el itema e margialmete etable, tal y como hemo comprobado e el apartado a.
c. La etabilidad de u itema e ua caracterítica itríeca a el mimo y o depede de la etrada, por lo tato el itema erá iempre margialmete etable, co u ecaló o co ua rampa. Ejercicio.75 puto a. Vemo que el algoritmo del regulador etá e do itruccioe, como ocurre cuado e utilia el método cláico de dieño del algoritmo: Itegral:Itegral0.04*Error; Accio:0.66*Error0.666*Itegral; La primera itrucció erá la correpodiete a la itegral, de aquí deducimo que el periodo utiliado ha ido T0.04 egudo. De eta itrucció obteemo la forma dicretiada de la itegral e la que e ha utiliado la diferecia hacia atrá: e T I e T I I De la iguiete itrucció obteemo la expreió del regulador utiliado: 0.9805 0.46 0.66 0.46 0.66 0.666 0.66 0.666 0.66 0.666 0.66 T e U T e U e T e U b. Para aplicar ete regulador al itema dado, e eceario dicretiarlo previamete. Supoiedo que e utilia u bloqueador de orde cero, tedremo: 0.9804 0.096 0.495 0.495.097 0.495 0.495 0 e e L Z L Z G B T T E bucle abierto y coiderado la compeació del polo del itema co el cero del regulador tedremo: 0.0067 0.9804 0.096 0.9805 0.46 0 G B E bucle cerrado erá: 4 0.99 0.0067 0.0067 0.0067 0 0 G B G B F
E u itema de primer orde cuyo polo e p 0.99. Dado que p e T Tedremo: l0.99 0.0067 Sp 0.675 T 0.04 Por lo tato el itema o tiee obreocilació auque e cai margialmete etable, ya que el polo e Z etá muy cerca del circulo uidad, el error de poició e ulo porque el regulador icorpora u itegrador. Va a er tambié u itema muy leto, el tiempo de repueta e calcula e bae a la cotate de tiempo: τ 5.970 Tr τ 7.9egudo.47 El error de velocidad lo calcularemo como evt/kv, e dode Kv lim B0G 0.0067 0.04 ev 5.970 0.057 c. Para calcular el regulador debemo teer el itema dicretiado co el correpodiete tiempo de muetreo, e ete cao T0.. 0.495 e B0G Z L 0. 495.097 e T T 0.094 0.9057 Debemo mateer el itema de primer orde, compeado el polo y debemo añadir u itegrador para coeguir el error ulo de poició que e olicita, por lo tato el regulador pedido erá: 0.9057 K Calculamo K, aplicado el tiempo de repueta olicitado. La fució de traferecia e bucle cerrado co el regulador erá: B0G F B G 0 K 0.094 K 0.094 El polo e erá: Zp K 0. 094 e T Como queremo que Tr, e el plao S el itema deberá teer ua cotate de tiempo: τ T r 0.6666 S r.5 0.6666 Por tato la K para que el polo e S ea ete erá eceario que el polo e Z ea:.50. Zp K 0.094 e 0.7408 K.7487 Tambié e debe cumplir el polo e el plao Z quede detro del circulo uidad de etabilidad: 5
K 0.094 < 0 < K <.089 Por lo que elegimo K, y el regulador pedido erá: 0.9057 d. Para programar debemo traformar la fució de traferecia del regulador e ua expreió e tiempo dicreto k, que pueda er programada: 0.9057.77 U e e.775 e U U U U e.77 e k k k k Utiliaremo la variable Accio para la ecuecia U k y Error para e k. Como o pide que el programa pae de modo maual a automático i golpe aplicaremo la iicialiació de la acció e bae a itate previo e el que la variable Acció_aterior ira tomado lo valore eceario, egú el mado maual, para que e el mometo del cambio la Accio ea igual a la maual: AccioAcc_maual K error * error/k accio_aterior La parte del programa que o iterea podría er la idicada a cotiuació, previamete e habrá declarado e iicialiado toda la variable a utiliar e el programa: BUCLE eferecia: Leer_etrada_referecia; Salida:Leer_etrada_alida; Erroreferecia-Salida; SI_maual Acc_maual : Leer_etrad_maual; Accio_aterior: Acc_maual * Error; Error_aterior:0; Accio:Acc_maual; Ele Accio:Accio_aterior * Error.77 * Error_aterior; Error_aterior:Error; Accio_aterior:Accio; Fi_i_maual SalidaAccio; Eperar_iguiete_itate_T; FIN BUCLE 6
Práctica.5 puto U poible código ería el iguiete: tfialiput Tiempo fial de imulació: ; Kiput Gaacia itema de primer orde: ; aiput Cotate de tiempo del umerador: ; Tiput Cotate de tiempo del deomiador: ; piput Pediete de la rampa de etrada: ; um_ec*k*[a ]; de_ec[t ]; um_rampap*k*[a ]; de_rampa[t 0]; periodotfial/000; t0:periodo:tfial; uoelegtht,; _eclimum_ec,de_ec,u,t; _rampalimum_rampa,de_rampa,u,t; plott,_ec,t,_rampa Obteer la expreió temporal de la alida de u itema de egudo orde báico ate ua etrada rampa de pediete. Lo parámetro del itema o K5, ω 4, ξ. La expreió de la alida e el domiio de Laplace y u decompoició e fraccioe má ecilla e: S 5 4 60 El poliomio del umerador queda: A 4 4 4 4 B D A 8B C 4D 8A 6B 6A 60 Proporcioa u itema de 4 ecuacioe co 4 icógita co la iguiete olució: B C D B D 0 A 8B C 4D 0 8A 6B 0 6A 60 A 0 ; B 5 ; C 0 ; D 5 Sutituyedo e la expreió de S: 0 5 S 0 5 4 4 La obteció de St utiliado la tabla de atitraformada e imediata: S t 0t 5 0te 4t 5e 4t Igualado el regulador dado a la expreió del regulador de la caja de reguladore obtego lo parámetro eceario para éte: 7
0. 5 K Ti K T i Ti K T 5 0.T i i.5 El ajute a realiar obre el equema de la caja e el iguiete: 4 E u proyecto perteeciete al etoro de dearrollo CVI e oberva la preecia del fichero p9.uir y p9.c. a Qué relació hay etre ello? El fichero p9.uir e el fichero iicial dode e crea la patalla del pael de mado y e defie la fucioe a llamar al iteractuar co lo mado. Al compilar el fichero p9.uir e crea automáticamete lo fichero p9.h y p9.c. p9.h e el fichero de cabecera de la fucioe aociada a lo mado y p9.c e el fichero dode e ecuetra el código de eta fucioe. Nada má compilar el fichero p9.uir el fichero p9.c ólo cotiee el equeleto de la fucioe el cual deberá er completado por el programador de la aplicació. b Cómo e podría implemetar e ete etoro el cálculo de la acció cada periodo de muetreo? Y la itroducció de lo parámetro del regulador? El cálculo de la acció e puede implemetar mediate ua fució aociada al objeto timer que e llamada mediate ua iterrupció cada periodo de muetreo. La itroducció de lo parámetro del regulador e implemetaría mediate ua fució que e llamada cada ve que el uuario iteractúa co el mado correpodiete. Eta fució leerá el valor que e ee mometo tega el mado y aociará ete valor a la variable correpodiete. 8
EGULACION AUTOMATICA Tercera covocatoria 4 de Septiembre de 008 Ejercicio puto p El itema de la figura coite e u motor de corriete cotiua cotrolado por iducido co reitecia del iducido, cotate de par Kp, y cotate eléctrica Ke, que mueve ua maa m, horiotalmete y i roamieto, mediate u reductor de relació y u huillo de relació p. Úicamete e coiderará ua iercia J cocetrada e el eje del motor y olo e coiderará el roamieto f e el propio eje del motor. La maa del reductor y del huillo o depreciable. Se pide: a Dibujar el diagrama de bloque del itema aterior y obteer la expreió de la fució X de traferecia, iedo U la teió de etrada al motor y X el U deplaamieto lieal de la maa m. b Si quiiéramo cotrolar e velocidad el movimieto de la maa m utiliado u eor de velocidad, co cotate Kω, colocado e el propio eje del motor, Cuál debería er la acomodació? Te e cueta que la coiga utiliada erá la velocidad deeada de la maa m, y que el eor etá ate del reductor y del huillo. 0.5 c Dieñar el regulador má ecillo para el cotrol de la poició X de la maa m, de tal forma que el itema realimetado preete SO0, Tr 0,4 egudo y el error de eguimieto de rampa ev<0,. No coiderar el poible problema de aturació del regulador. Para obteer la realimetació del valor de la poició de la maa m e utiliará u eor de poició, de cotate Kpo0.0 V/m, que mide directamete la poició de eta maa. Utiliar como fució de traferecia del itema: X 6 G. U 0.05 d Idica i la acció del regulador calculado e el apartado aterior e aturararía e algú mometo, cuado la etrada del itema cotrolado e u ecaló uidad y teiedo e cueta ua alimetació del itema de ±4 V. E cao de que aí fuee, idica co que otro regulador e podría evitar. 0.5 9
Ejercicio.5 puto U itema de egudo orde, que cuado a la eñal de etrada e u ecaló preeta ua obreocilació del 0%, cuyo pico e da a lo egudo y que i ete ecaló e de uidade la alida e régime permaete e de 0.5 uidade i error, e cotrolado mediate u regulador del tipo itegral puro de gaacia Kr. a Determiar el rago de valore de Kr para que lo polo del itema cotrolado apareca e el emiplao iquierdo del plao S. b E que parte del plao Z aparecerá lo polo ateriore al aplicarle la traformació Ze ST.0.5 Ejercicio puto No ecarga implemetar e forma programada u regulador dicreto para el itema G, de tal forma que el itema cotrolado ea u itema críticamete amortiguado y co u tiempo de repueta de 0.475 egudo. Para coeguirlo repode a la iguiete cuetioe: a Obté la expreió de la ecuació caracterítica e S y e Z del itema que cumplirá la codicioe ateriore. 0.5 b Dicretia el itema cotiuo abiedo que e utilia u bloqueador de orde cero y u tiempo de meutreo de T0.. 0.5 c Dieña el regulador por el método de aigació directa de polo y cero, teiedo e cueta que, ademá, e deea que el error de poició e régime permaete ea ulo. Te e cueta el grado de la ecuació caracterítica obteida e a. 8. 5.5 d Supoiedo que el regulador obteido ea, realíalo e 0.45 0. forma de programa, co la poibilidad de paar de modo maual a modo automático, i golpe. e Idica cómo e obtiee la ecuecia de poderació 0.5 Práctica.5 puto El iguiete código e Matlab permite el cálculo de la repueta a la rampa de u itema de primer orde báico: tfialiput Tiempo fial de imulació ; Kiput Gaacia itema de primer orde ; Tiput Cotate de tiempo ; um[k]; de[t ]; periodotfial/000; t0:periodo:tfial; rt; limum,de,r,t; plott, Ecribir, de forma imilar al ejemplo motrado, el código e Matlab a utiliar para viualiar gráficamete la repueta al ecaló de amplitud y a la rampa parabólica uitaria de u 0
itema de egudo orde báico. La amplitud del ecaló e deberá aigar explícitamete e el mimo código y el reto de parámetro e le pedirá al uuario. Obteer la expreió temporal de la alida de u itema de egudo orde co cero ate ua etrada ecaló de amplitud 5. Lo parámetro del itema o K5, ω 4, ξ, a. 5 0.5 Sea el iguiete regulador: Adapta la otació utiliada e el modelo aalítico a la otació exitete e la caja de reguladore motrada a cotiuació. Sobre el equema de la caja realia el ajute de lo comutadore y poteciómetro. 4 Explica detalladamete, ayudádote co gráfica, cómo realiate la idetificació del itema correpodiete al motor de corriete cotiua de tu pueto.
EGULACION AUTOMATICA eolució Seguda covocatoria 7 de Juio de 008 Ejercicio puto a El itema motrado correpode a u motor de corriete cotiua que mueve ua maa que e deplaa e ua trayectoria lieal, horiotal y i roamieto gracia a la acció de u reductor y u huillo. Al par del motor e opodrá la fuera iercial ejercida por la maa a travé de dicho elemeto, por lo tato el equema de bloque de la cadea abierta erá: P m U K p - - J m f m Θ P X Ke Simplificamo, acado el bloque del huillo hacia la alida: U K p - - J m f m Θ P X P m Ke La fució de traferecia del bucle itero erá: Θ r J m fm P m Para el bucle cerrado, añadiedo el bloque del reductor y del huillo o quedará: X u K p P m J m f m K p Ke P m J m f m P P J m P m K p f m K pke
b Si queremo cotrolar la velocidad de la maa eceitamo realimetar u velocidad, i el eor etá colocado e el eje del motor o dará ua velocidad proporcioal a la de la maa. Si la velocidad de la maa e Vm, la del eor erá Vm*/p, ya que e el reductor el piñó que etá e el eje del motor va vece má rápido que la rueda grade, y a u ve la velocidad de eta rueda etará e ua relació de /p co repecto a la maa, debido al factor p del huillo. Por lo tato la referecia que pogamo erá eceario multiplicarla por y dividirla por p, para que cuado e calcule el error e el retador la velocidade etá ecalada e la mima proporció. Ademá el propio eor tiee ua cotate Kω, que traduce la velocidad e eñal y que por tato itroduce otro factor de proporcioalidad. Teiedo e cueta todo eto tedremo: Vref Kω p - Ve Vm P Kω c El itema realimetado, teiedo e cueta que e eceita u acomodació igual a la cotate del poteciómetro utiliado e la realimetació de la poició de la maa y habiedo implificado el itema erá el iguiete: X ref - K pot 0.0 6 G 0.05 Xm Para coeguir u error de poició cero erá eceario que el itema ea de tipo I, como ya lo e probamo co u regulador proporcioal: K Calculamo la fució de traferecia e bucle cerrado para calcular el valor de K: G 0.0 F G 0.0 0.06K 0.05 0.06K F 0.06K 0.K Elegimo ξ, de tal forma que el tiempo de repueta erá el má rápido i obreocilació: ω 0 0
t r 4.75 ω 4.75 0 0.475 > 0.4 No e cumple el tiempo de repueta pedido. Probaremo co u PD, ya que el problema de aturació que puede dar ete regulador o e tiee e cueta e ete ejercicio. K 0.05 Calculado la fució de traferecia e bucle cerrado co ete uevo regulador, tedremo: G F G 0.06K 0.06K 0.06 K τ Tr τ 0.4 K 0.06K 0.06K 5 Co K5 ya cumplimo co el tiempo de repueta pedido, veamo i tambié e cumple el error de velocidad pedido: e e v K v v K v 0.06K 0.5 0.06 5 7.5 Co el valor de K calculado e cumple toda la codicioe idicada e el euciado. Por lo que ya teemo el regulador pedido: 0. 5 05 d La acció del regulador e cualquier mometo erá: U E U S S U F G U F E G U t 0 lim F lim U lim E G 0.05 0. 6 Debido a la acció derivativa del regulador. Por lo que e el mometo iicial e producirá ua aturació e la acció del regulador co ua alimetació fiita. El regulador que habría utiliar para evitar eta aturació ería u PAF, que cueta co u polo ajutable egú u parámetro α que permite evitar la aturació. 4
Ejercicio.5 puto b. Primero obteemo el itema que cumple co la codicioe dada: Como tiee ua obreocilació del 0% erá u itema de egudo orde ubamortiguado. Aí: ξπ SO e ζ 00 0 ξ 0.6 El mometo e el que ocurre el máximo de la obreocilació e el tiempo de pico, por lo que tedremo: t p π π ωd ω ω d ω d ξ.965 Por último calculamo la gaacia: cuado la etrada e u ecaló de uidade, la alida e régime permaete e 0.5, y como o hay error, la gaacia tiee que er K0.5. El itema completo erá: 0.5.965 G 0.6.965.965 0.968.56.855 K r - 0.968.56.855 F 0.968K r.56.855 0.968K r La ecuació caracterítica erá: EC.56.855 0. 968 Aplicado outh: K r.855.56 0.968Kr.56.855 0.968K r. 56 0 0 0.968Kr 5
Para que el itema ea etable e eceario que todo lo coeficiete de la primera columa ea del mimo igo, por lo que.56.855 0.968K.56 0.968K > 0 K > 0 r r r > 0 K r < 9.448 Luego lo valore que hace que el itema cotrolado ea etable o: 0 < K r < 9.448 b. Todo lo polo que cae detro del emiplao iquierdo del plao S o etable, y cuado e hace la traformació Ze ST paa a ocupar el iterior del circulo uidad e el plao Z. Ejercicio puto a. Obteemo e S la ecuació caracterítica del itema que cumplirá co la codicioe impueta e el euciado: ξ EC ω ω 4.75 tr 4.75 ω 0 EC ω 0 00 Obteemo lo polo de eta ecuació:, 0 Polo doble Calculamo lo polo e Z que correpode a lo ateriore co u T0., que erá el utiliado e el apartado iguiete para la dicretiació del itema: T 0T, e e 0.6787 doble La ecuació caracterítica e Z erá por tato: EC 0.6787 0.678 0.5 b. Dicretiamo el itema co T0. : B G 0 e e 0.T 0.T Z L 0.06556 0.967 Z L 0. 0. c. Ahora dieñamo el regulador pedido, para eo aulamo el polo del itema y como o pide que el error de poició ea ulo añadimo u itegrador. Como la ecuació caracterítica del itema que cumple la codicioe del euciado que ha ido obteida e el apartado a e de egudo orde debido a que teíamo do codicioe: que fuera críticamete amortiguado y u tiempo de repueta determiado co olo u parámetro de ajute K o e uficiete. Para teer otro parámetro añadimo u polo -a. El regulador tedrá por tato la iguiete forma: 6
K 0.967 a E bucle abierto tedremo: 0.06556 B0 G K a E bucle cerrado erá: B0G F B G 0 K 0.06556 a a 0.06556K La ecuació caracterítica de ete itema la comparamo termio a termio co la obteida e el apartado a: a a 0.065568K 0.678 0.5 De aquí deducimo u itema de do ecuacioe co do icógita: a 0.678 a 0.6 a 0.06556K 0.5 K.707 Luego el regulador pedido erá:.707 0.967 0.6 d. Para programar debemo traformar la fució de traferecia del regulador e ua expreió e tiempo dicreto k, que pueda er programada: U 8. 5.5 8. 5.5 e 0.45 0. 045 0. 8. e 5.5 e U 0.45U 0.U k k k U 0.45U 8. e 5.5 e k k 0.U Utiliaremo la variable Accio para la ecuecia U k y Error para e k. Como o pide que el programa pae de modo maual a automático i golpe aplicaremo la iicialiació de la acció e bae a itate previo e el que la variable Acció_aterior ira tomado lo valore eceario, egú el mado maual, para que e el mometo del cambio la Accio ea igual a la maual: AccioAcc_maual K error * error/k accio_aterior La cotate del error e cero porque o hay muetra de error e el itate K, la cotate de la variable Acció aterior e 0.45, la demá variable tiee que etar iicialiada a cero La parte del programa que o iterea podría er la idicada a cotiuació, previamete e habrá declarado e iicialiado toda la variable a utiliar e el programa: 7
BUCLE eferecia: Leer_etrada_referecia; Salida:Leer_etrada_alida; Erroreferecia-Salida; SI_maual Acc_maual : Leer_etrad_maual; Accio_aterior: Acc_maual /0.45; Error_aterior:0; Error_aterior_at:0; Accio_aterior_at:0; Accio:Acc_maual; Ele Accio:0.45*Accio_aterior 8.* Error_aterior 5.5 * Error_aterior_at 0.*Accio_aterior_at; Error_aterior_at:Error_aterior; Error_aterior:Error; Accio_aterior_at:Accio_aterior; Accio_aterior:Accio; Fi_i_maual SalidaAccio; Eperar_iguiete_itate_T; FIN BUCLE e. La ecuecia de poderació por defiició e la repueta del itema al impulo, y e obtiee mediate la traformada ivera de Laplace para paar del plao S al tiempo cotiuo t de la fució de traferecia del itema. E decir dada ua ecuecia de poderació de u itema decoocido, al hacer la traformada de Laplace de eta ecuecia ecotramo la fució de traferecia e S del itema. Práctica.5 puto U poible código ería el iguiete: tfialiput Tiempo fial de imulació: ; Kiput Gaacia itema de egudo orde báico: ; wiput Frecuecia atural del itema de egudo orde báico: ; xiiput Coeficiete de amortiguamieto del itema de egudo orde báico: ; A; um_ec[a*k*w^ 0]; de_ec[ *xi*w w^]; um_rpu K*w^; de_rpu[ *xi*w w^ 0]; periodotfial/000; t0:periodo:tfial; rt; _eclimum_ec,de_ec,r,t _rpulimum_rpu,de_rpu,r,t plott,_ec,t,_rpu Obteer la expreió temporal de la alida de u itema de egudo orde co cero ate ua etrada ecaló de amplitud 5. Lo parámetro del itema o K5, ω 4, ξ, a. La expreió de la alida e el domiio de Laplace e: 8
4 400 4 00 4 4 5 5 S Como el egudo umado o e ecuetra e la tabla de atitraformada e decompoe e fraccioe má ecilla: 4 6 4 8 4 4 4 400 A C B A C A C B A Lo valore de A, B y C e halla reolviedo el iguiete itema: 5 00 5 400 6 0 4 8 0 C B A A C B A C A S queda por lo tato: 4 5 5 4 00 4 5 4 00 5 4 00 S La expreió temporal e obtiee aplicado atitraformada: t t e te t S 4 4 5 5 00 Primero e iguala el regulador dado a la expreió del regulador de la caja de reguladore: 5 0.5 T T T T K T T T K d d i i d d i α α Para obteer lo parámetro upodré que T i y T d 5. Co eto valore el cálculo de K y α e imediato:.5 0.5.5 0 i i T K T K 0. d d T T α α Sea el iguiete regulador: 5 0.5 El ajute a realiar obre el equema de la caja e el iguiete: 9
4 Explica detalladamete, ayudádote co gráfica, cómo realiate la idetificació del itema correpodiete al motor de corriete cotiua de tu pueto. Se deja el dearrollo al lector. 40