Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos MATEMÁTICAS BÁSICAS SISTEMAS DE ECUACIONES SISTEMAS DE ECUACIONES Un ecución linel con dos incógnits x y y es un expresión de l form,, c R y y son diferentes de cero. x + y c, donde Tod ecución linel con dos incógnits tiene un número ilimitdo de soluciones de l form (, y) gráfic determin un rect. Ejemplos. ) L ecución linel + y 0, (, ) y ( ) ) L ecución linel, (, ) y ( ) x y su x tiene entre sus ilimitds soluciones los vlores: (, ), ( ) 0,, x tiene entre sus ilimitds soluciones los vlores: (, 0), (,9), Un sistem de ecuciones es un conjunto de ecuciones que poseen incógnits. Pr indicr que vris ecuciones formn un sistem, se rc el conjunto de tods ells con un llve. Un sistem de dos ecuciones lineles con incógnits x y y, tmién llmdo ecuciones simultánes de dos por dos es de l form: x + x + y y donde,,, son coeficientes reles y, son términos independientes. En cd un de ls ecuciones, por lo menos uno de los coeficientes de ls incógnits es diferente de cero. Los sistems de dos ecuciones lineles con dos incógnits que surgen del plntemiento de un prolem, generlmente no tienen l form estándr, sin emrgo, dee otenerse. Resolver un sistem de este tipo es encontrr los pres de números x y y que stisfcen ms ecuciones, si existen. Gráficmente, un solución del sistem es un punto común ms rects P x, y. ( ) En un sistem de dos ecuciones lineles: Si ls dos rects que se cruzn en un punto, éste represent l solución del sistem. En este cso el sistem es comptile determindo. Si ls dos rects coinciden en todos sus puntos, tiene infinits soluciones. En este cso el sistem es comptile indetermindo. Si ls dos rects son prlels, no tienen ningún punto común. En este cso el sistem es incomptile y no tiene solución.
Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE DOS ECUACIONES Y DOS INCÓGNITAS Existen cinco métodos pr resolver sistems de ecuciones: Igulción Sum y rest (eliminción) Sustitución Determinntes Gráfico MÉTODO DE IGUALACIÓN El método de igulción consiste en relizr los siguientes psos: Se despej l mism incógnit en ls dos ecuciones. Se iguln ls expresiones despejds y se otiene un ecución linel pr l otr incógnit. Se resuelve l ecución linel. Se sustituye este vlor en culquier de ls dos expresiones despejds fin de otener el vlor de l otr. Se reliz l comproción. Ejemplos. Aplicndo el método de igulción, resolver los siguientes sistems de ecuciones: x 0 ) x + y 0 + y + y De l primer ecución se despej x : x de l segund ecución tmién se despej x : x se iguln ests dos últims ecuciones: + y y resolviendo pr y: ( + y) ( y) + y 0y y + 0y y y sustituyendo en l primer ecución despejd, se otiene el vlor de l otr incógnit: + x ( ) ( ) 0 Por lo tnto: x y y. Comproción: + 9 + ( ) ( )
Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos 9x ) x + y + y + y De l primer ecución se despej x : x 9 de l segund ecución tmién se despej x : x + y se iguln ests dos últims ecuciones: resolviendo pr y: ( + y) ( ) + y 7 y + y 7 y y sustituyendo en l primer ecución despejd, se otiene el vlor de l otr incógnit: + ( ) 0 x 0 9( 0) ( ) 0 + Por lo tnto: x 0 y y. Comproción: 0 + 0 ( ) ( ) x + y x 9 ) y + x + y 7 0 L primer ecución, se multiplic por 9 : x + y 9 x 9 9x x y x 9 l segund ecución, se multiplic por 70 : y + x + 70 y 70 70y 0y 0 7x + 7x + 0y 7 0 x el sistem se convierte su form estándr: 7x + 0y x de l primer ecución se despej y: y + 7x de l segund ecución tmién se despej y: y 0 x + 7x se iguln ests dos últims ecuciones: 0 resolviendo pr x : 0 x + 7x 0 00x 7 x 00 x + x 7 + 0 ( ) ( )
Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos x x sustituyendo en l primer ecución despejd, se otiene el vlor de l otr incógnit: + 7( ) + 0 y 0 0 0 ( ) + + 9 Por lo tnto: x y y. Comproción: 9 9 9 ( ) ( ) + + 7 7 7 + + 0 0 0 0 MÉTODO DE SUMA Y RESTA (ELIMINACIÓN) El método de sum y rest, tmién llmdo de eliminción consiste en efectur el procedimiento siguiente: Se multiplic cd ecución por constntes de modo que los coeficientes de l vrile eliminr resulten igules en vlor soluto pero con signos opuestos. Se sumn ms ecuciones pr otener un nuev ecución en términos solmente de l otr vrile. Se resuelve l ecución linel. Se despej l otr vrile de culquier de ls ecuciones del sistem. Se sustituye el vlor otenido en l expresión despejd pr otener el vlor de l otr. Se reliz l comproción. Ejemplos. Resolver los siguientes sistems de ecuciones por el método de eliminción: ) x x + y Se multiplic l primer ecución por y se sum l segund: x x + y x x de l primer ecución se despej l otr incógnit y se sustituye el vlor otenido: x y + x + ( ) 7 ( ) ( 7) + Por lo tnto: x y y 7. Comproción: + 7 ( ) ( )
Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos ) x + y 0 x + 7y Se multiplic l segund ecución por y se sum l primer: x + y 0 0x x x de l primer ecución se despej l otr incógnit y se sustituye el vlor otenido: 0 + x 0 + x 0 + ( ) 0 + y 7 7 7 7 Por lo tnto: x y y. Comproción: ( ) + ( ) + 0 ( ) + 7( ) 0 + x y 9 ) x + y 9 x + 7y 7 Se multiplic l primer ecución por y se sum l segund: x + y 9 9y y 9 de l primer ecución se despej l otr incógnit y se sustituye el vlor otenido: 9 + 9y 9 + 9( ) 9 9 0 x ( ) ( ) 0 + 99 9 Por lo tnto: x y y. Comproción: + 0 9 ( ) ( ) MÉTODO DE SUSTITUCIÓN El método de sustitución consiste en efectur los siguientes psos: Despejr un de ls incógnits de un de ls ecuciones. Sustituir l expresión despejd en l otr ecución. Se resuelve l ecución linel, generlmente frccionri. Se sustituye este vlor en l expresión despej fin de otener el vlor de l otr. Se reliz l comproción. Ejemplos. Medinte el método de sustitución, resolver los siguientes sistems de ecuciones: ) 9x + 7y 7 x + y
Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos 7 7y De l primer ecución se despej x : x 9 7 7y se sustituye en l segund ecución: + y 9 7 7y multiplicndo por 9 : 9 + y 9( ) ( 7 7 ) + 0 9 y y + y 0 + y 0 + 0y 0 0 y 0 7 7y 7 7( ) 7 sustituyendo en l ecución despejd: x 9 9 9 9 9( ) + 7( ) + 7 Por lo tnto: x y y. Comproción: + 0 + ( ) ( ) x + y 9 ) 7x y 9 De l primer ecución se despej x : x 9 se sustituye en l segund ecución: 7 y 9 multiplicndo por 7 y 79 + y y + y + y y 9 9 9 sustituyendo en l ecución despejd: x ( ) + + 9 Por lo tnto: x y y. Comproción: 7( ) : ( ) ( )( ) ( ) ) 0x + y x + y De l primer ecución se despej x : 7 x 0
Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos 7 se sustituye en l segund ecución: + y simplificndo: ( 7 ) + y 7 + y + y y + y 7 y y ( ) + 0 sustituyendo en l ecución despejd: x 0 0 0 0 Por lo tnto: x y y. Comproción: 0 ( ) + ( ) 0 ( ) + ( ) MÉTODO DE DETERMINANTES Ddo un rreglo de números de l form:, su determinnte: denotdo por, es el resultdo de l operción: y represent el producto de números que conformn su digonl principl (l que se dirige hci jo) menos el producto de números que conformn su digonl secundri (l que se dirige hci rri). Ejemplos. Clculr los siguientes determinntes: ) ( ) ( ) 0 ) ( ) ( ) + 7 ) ( )( ) ( )( 7) 9 + 7 7 0 ) ( 0) ( )( 0) + 0 0 Ddo un sistem de l form: x + x + y y El determinnte del Sistem es el determinnte del rreglo formdo por los coeficientes de ls incógnits. 7
Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos El determinnte de l incógnit x es el que se otiene sustituyendo en el rreglo del sistem l column de los coeficientes de l incógnit x por l column de los términos independientes. El determinnte de l incógnit y es el que se otiene sustituyendo en el rreglo del sistem l column de los coeficientes de l incógnit y por l column de los términos independientes. L Regl de Crmer estlece que ddo un sistem de ecuciones lineles cuyos términos independientes no son cero, el vlor de cd incógnit se otiene dividiendo el determinnte de l incógnit por el determinnte del sistem. Esto es: x x y y En este método solo interesn los coeficientes numéricos incluyendo su signo y, en mos csos, el denomindor es el mismo. Ejemplos. Por medio de determinntes, resolver los siguientes sistems de ecuciones: ) x x + y x y ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) Por lo tnto: x y y 0 ) x + y x 0 0 + 0 0 0. Comproción: ( ) ( 0) + 0 ( ) + ( 0) 0
Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos x y ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) Por lo tnto: x y ) x + y 7 x + y 7 7 7 x y 7 Por lo tnto: ) 7 7 7 7 + 7 y. Comproción: 7 ( ) 7( ) ( )( ) ( )( ) 9 + 7 ( ) ( )( 7) 0 + ( )( ) ( )( ) 9 + x y x 0x x 0 y. Comproción: ( ) ( ) + ( )( ) 0( ) 0 + 0 0 ( ) + ( ) ( ) ( ) + 0 + + 7 + + 0 7 9
Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos 0 y 0 ( ) 0( ) 70 0 ( )( ) 0( ) 0 + 0 0 0 Al no existir división por cero, el sistem es incomptile. MÉTODO GRÁFICO Como y se mencionó, cd ecución linel de un sistem represent un rect. Esto implic que l representción de un sistem de dos ecuciones lineles con dos incógnits consiste en un pr de rects y recuérdese que: Si se cortn, el sistem es comptile determindo y ls coordends del punto de corte son l solución del sistem. Si ls rects son coincidentes (son l mism rect), el sistem es comptile indetermindo y sus soluciones son todos los puntos de l rect. Si ls rects son prlels, el sistem es incomptile. Pr fines de grficción conviene despejr de ms ecuciones l vrile y. Se puede elorr un tl de vlores o se uicn los puntos en que cruzn los ejes coordendos pr cd rect, se trzn y se nliz su comportmiento. Ejemplos. Resolver los siguientes sistems de ecuciones plicndo el método gráfico: ) x+ y x Solución Pr l primer ecución: 0 y 0 x 0 x 0., 0 Si x 0 y y. Si l rect ps por los puntos (, ) y ( ) Pr l segund ecución: y 0 x x 0., 0 Si x 0 y. Si l rect ps por los puntos (, ) y ( ) - x + y 0 - - x grficndo se otiene que l solución es el punto de intersección ( x, y), es decir (, ) ( ) + ( ) + 0 comproción: ( ) ( ) - y - - - - x 0
Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos ) x + y 9 x + y Solución Pr l primer ecución: 9 Si x 0 y 9 y 0. 9 Si y 0 x 9 x. 0 0.., 0 l rect ps por los puntos (, ) y ( ) Pr l segund ecución: x 0 y y. y 0 x x 0., 0 Si Si l rect ps por los puntos (, ) y ( ) - - - y - - x + y grficndo se otiene que l solución es el punto de intersección ( x, y), es decir (,. ) ( ) + (. ) + 9 comproción: ( ) + (. ) + x + y 9 x ) x + y x 0y 0 Solución Pr l primer ecución: y 0 x x, 0 Si x 0 y y Si l rect ps por los puntos ( 0, ) y ( ) Pr l segund ecución: 0 0 0 y 0 x 0 x, 0 Si x 0 0y 0 y Si l rect ps por los puntos ( 0 ), y ( ) - - x 0y 0 - y x - - x + y grficndo se otiene que l solución es el punto de intersección ( x, y), es decir (, 0) ( ) + 0 ( ) + 0 comproción: ( ) 0( 0) 0 0 0
Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos PROBLEMAS CON SISTEMAS DE DOS ECUACIONES Y DOS INCÓGNITAS Muchos prolems técnicos y científicos requieren l resolución de sistems de ecuciones lineles. Se trt de un tem fundmentl pr tods ls disciplins que utilizn ls mtemátics de un mner u otr. En muchos prolems existe dependenci entre ls diferentes mgnitudes o vriles que intervienen, y menudo, se expres en form de ecución linel. Dentro del proceso de resolución de prolems con sistems de ecuciones lineles, se pueden definir cinco etps: Leer el prolem Definir ls incógnits principles de form precis Trducción mtemátic del prolem pr plnterlo Resolución Interpretción de ls soluciones pr contrstr l decución de ls soluciones otenids. Ejemplos. ) En un grnj, se tienen cien nimles entre puercos y gllins. Si en totl sumn 0 pts, cuántos nimles tengo de cd clse? x es el número de puercos y es el número de gllins como cd puerco tiene cutro pts y cd gllin dos, el sistem está ddo por: x + y 00 x + y 00 x + y 0 x + y 0 resolviendo por eliminción, se multiplic l primer ecución por y se sum l segund: x 00 x + y 0 0 0 y 0 de l primer ecución se despej l otr incógnit y se sustituye el vlor otenido: x 00 00 0 0 Por lo tnto, hy 0 puercos y 0 gllins. 0 + 0 00 Comproción: ( 0) + 0 ( ) 0 + 0 0 ) Un cuerd mide doce metros y se cort en dos prtes de tl mner que un es dos metros más grnde que l otr. Cules son ls nuevs medids de ls cuerds? x es l longitud del pedzo más grnde y es l longitud del pedzo más pequeño x + y x y + ordenndo:
Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos x + y x resolviendo por eliminción, se sum l primer ecución l segund: x + y x x x 7 de l primer ecución se despej l otr incógnit y se sustituye el vlor otenido: y x y 7 Por lo tnto, los pedzos miden 7 y metros. 7 + Comproción: 7 ) Seis Kg. de piñones y cinco Kg. de nueces costron, 70 pesos y cinco Kg. de piñones y cutro de nueces costron, 0 pesos. Hllr el precio de un kilogrmo de piñones y uno de nueces. x es el precio en pesos de un Kg. de piñones y es el precio en pesos de un Kg. de nueces x + y 70, x + y 0, resolviendo por determinntes: 70, 0, x 70, 0, y 70, ( ) 0, ( ) ( ) ( ) (, ) ( 70, ) ( ) ( ) 0 900, 00, 0 0 0, 0, 70 70 Por lo tnto, un Kg. de piñones vle 0 pesos y uno de nueces vle 70 pesos. 0 + 70 90, + 0 70, Comproción: ( ) ( ) ( ) + ( 70) 00, + 0 0, 0 ) Pol tiene 7 ños más que su hij Andre. Dentro de ños, l edd de Pol dolrá l de Andre. Cuántos ños tiene cd un? x es l edd de Pol y es l edd de Andre x y + 7 x + ( y + )
Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos simplificndo: x 7 x + y + x 7 x resolviendo por eliminción, se multiplic l primer ecución por y se sum l segund: x + y 7 x y 9 de l primer ecución se despej l otr incógnit y se sustituye el vlor otenido: x 7 + y 7 + 9 Por lo tnto, Pol tiene ños y Andre tiene 9 ños. 7 Comproción: ( ) ) L diferenci de dos números es, y l curt prte de su sum es. Hllr los números. x es el número myor y es el número menor x ( ) x + y simplificndo: x x + y ( ) x x + y resolviendo por eliminción, se sum l primer ecución l segund: x x + y x x de l primer ecución se despej l otr incógnit y se sustituye el vlor otenido: x y + x + 9 Por lo tnto, los números son y 9. Comproción: + 9 ) Si los dos términos de un frcción se ñde, el vlor de l frcción es, y si los dos términos se rest, el vlor de l frcción es. Hllr l frcción.
Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos x es el numerdor y es el denomindor x es l frcción uscd. y x + y + x y simplificndo: ( x + ) ( y + ) ( x ) ( y ) x + y + x y resolviendo por igulción, de l primer ecución se despej x : + y de l segund ecución tmién se despej x : x se iguln ests dos últims ecuciones: + y + y resolviendo pr y: ( + y ) ( + y) x x + y x 9 + y + y y + 9 y sustituyendo en l primer ecución despejd, se otiene el vlor de l otr incógnit: + 0 x Por lo tnto, l frcción es Comproción: + + 7) El precio del oleto pr un concierto es de pesos pr púlico en generl, y 0 pesos pr estudintes. L tquill recudó 77, 77 pesos por l vent de 0 oletos. Cuántos oletos de cd tipo se vendieron? x es el número de oletos vendidos púlico en generl y es el número de oletos vendidos estudintes x + y 0 x + 0y 7777, resolviendo por eliminción, se multiplic l primer ecución por y se sum l segund:
Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos x 0, 0 x + 0y 7777, 7y 7, 7, y 7 de l primer ecución se despej l otr incógnit y se sustituye el vlor otenido: x 0 0 7 Por lo tnto, se vendieron 7 oletos púlico en generl y estudintes. 7 + 0 Comproción: ( ) + 0( ) 0, + 90, 7777, 7 ) Un llve A trd en llenr un depósito el dole de tiempo que otr llve B. Aierts simultánemente, llenn el depósito en dos hors. Cuánto trd cd un por seprdo? x son ls hors que trd l llve A en llenr el depósito, sí que en un hor llen x del depósito y son ls hors que trd l llve B en llenr el depósito, sí que en un hor llen y del depósito Ls dos llves trdn dos hors en llenr el depósito, sí que en un hor llenn del depósito + x y x y sustituyendo l segund ecución en l primer se tiene: + y y multiplicndo por y : y + y + y y y y sustituyendo en l segund ecución: x ( ) Por lo tnto, l llve A llen el depósito en hors y l llve B lo hce en hors. + 9 + Comproción: ( ) 9) Un ote que nveg por un río recorre kilómetros en hor y medi fvor de l corriente y kilómetros en dos hors contr l corriente. Hllr l velocidd del ote en gu trnquil y l velocidd del río. x es l velocidd en Km. por hor del ote en gu trnquil y es l velocidd en Km. por hor del río x + y es l velocidd del ote fvor de l corriente x y es l velocidd del ote contr l corriente
Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos distnci distn ci velocidd tiempo tiempo velocidd. x + y x. x +. y. x +. y simplificndo: x x resolviendo por determinntes:. x.. y...... ( ) (. ) ( ) (. ) ( ) ( ) ( ) (. ) 0 0 Km Km Por lo tnto, l velocidd del ote en gu trnquil es de y l velocidd del río es de. hr hr Comproción:. ( ) + ( ) + ( ) ( ). MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE TRES ECUACIONES Y TRES INCÓGNITAS Un sistem de tres ecuciones lineles con incógnits x, y y z, tmién llmdo ecuciones simultánes de tres por tres es de l form: x + x + x + y + y + y + z z z donde,, son coeficientes reles y,, son términos independientes. Resolver un sistem de este tipo es encontrr l tern de números x, y y z que stisfcen ls tres ecuciones, si existen. Aquí se expondrán dos métodos pr resolver sistems de ecuciones: Reducción (método de eliminción de Guss) Determinntes (Regl de Crmer) 7
Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS El método reducción pr l resolución de sistems lineles es un generlizción del método de eliminción expuesto en el sutem VIII.. y es plicle sistems lineles de culquier tmño. En esenci consiste en hcer, l sistem de ecuciones lineles, determinds trnsformciones elementles fin de otener un sistem esclondo (un sistem es esclondo cundo cd ecución tiene un incógnit menos que l nterior), más fácil de resolver. L ide del método es muy simple: ir reduciendo en cd pso el prolem un prolem que tiene un ecución menos y un incógnit menos. Este método es mejor conocido como método de eliminción de Guss. El procedimiento es el siguiente:. Tomndo como se el signo de un de ls incógnits de un ecución, se procur que en ls otrs dos ecuciones es incógnit teng l mism mgnitud y signo contrrio, pr que l sumrls miemro miemro se elimine dich incógnit, dndo lugr que en tods ls ecuciones desprezc, excepto en un.. Se procur que otr de ls incógnits teng el mismo coeficiente en culquier de ls dos ecuciones reducids pr que, l sumrls miemro miemro, se elimine dich incógnit, dndo lugr un ecución con sólo l tercer incógnit, mism que se despej.. Con un vlor conocido, se sustituye en l ecución reducid pr otener el vlor de otr incógnit trvés de un despeje.. Con los vlores de dos incógnits se sustituye en l ecución que no fue reducid, y medinte un despeje se otiene el vlor fltnte. Ejemplo. Resolver los siguientes sistems plicndo el método de eliminción de Guss. x + y z ) x + y z x z L primer ecución se multiplic por y se sum l segund. L primer ecución se multiplic por y se sum l tercer: x + y z + z 9 7y z l segund ecución se multiplic por 7 y se sum l tercer: x + y z + z 9 z de l tercer ecución se despej z : z El nomre es un reconocimiento l mtemático Crl Friedrich Guss (777-) quien desrrolló el método.
Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos se sustituye este vlor en l segund ecución y se despej y: + ( ) 9 + 9 9 y estos vlores, se sustituyen en l primer ecución y se despej x : x + x Por lo tnto l solución del sistem es: x, y, z ( ) ( ) x + 9 0 x + 0 Comproción: ( ) + ( ) ( ) + 9 0 ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) x + y z ) x + y z x + z L primer ecución se multiplic por y se sum l segund. L primer ecución se multiplic por y se sum l tercer: x + y z + z y + z 7 l tercer ecución se multiplic por y se sum l segund: x + y z z y + z 7 de l segund ecución se despej z : z se sustituye este vlor en l tercer ecución y se despej y: y + 7 y 7 estos vlores, se sustituyen en l primer ecución y se despej x : x + ( ) x + x + Por lo tnto l solución del sistem es: x, y, z Comproción: x z 0 ) x + y + z 9 x z + ( ) + ( ) + ( ) 0 + ( ) ( ) + ( ) + 9
Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos L primer ecución se multiplic por y se sum l segund. L primer ecución se multiplic por y se sum l tercer: x z 0 y + z 7 7y z 9 l tercer ecución se divide por 7 : x z 0 y + z 7 z 7 l tercer ecución se multiplic por y se sum l segund: x z 0 z z 7 de l segund ecución se despej z : z se sustituye este vlor en l tercer ecución y se despej y: ( ) 7 + 7 7 y estos vlores, se sustituyen en l primer ecución y se despej x : x ( ) ( ) 0 x 0 + 0 x 0 + 0 x Por lo tnto l solución del sistem es: x, y, z Comproción: ( ) ( ) ( ) 0 + 0 ( ) + ( ) + ( ) + 0 9 9( ) ( ) + MÉTODO DE DETERMINANTES (REGLA DE CRAMER) Ddo un rreglo de números de l form:, su determinnte: denotdo por, es el resultdo de l operción: + + 0
Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos Si l determinnte se le gregn los dos primeros renglones y se efectún los productos que indicn ls flechs se tiene que: el determinnte puede otenerse clculndo l diferenci de l sum de productos en l dirección hci jo menos l sum de productos en l dirección hci rri. Es decir, represent el producto de números que conformn su digonl principl (l que se dirige hci jo) y sus dos prlels menos el producto de números que conformn su digonl secundri (l que se dirige hci rri) y sus dos prlels. Ejemplos. Aplicndo l fórmul, clculr los siguientes determinntes: ) 9 ( )( 7) + ( )( ) + ( )( 9) ( )( ) ( 9)( ) 7( )( ) 7 7 + 70 7 ) 7( )( ) + ( )( )( ) + ( )( ) ( )( ) ( )( 7) ( )( )( ) 9 0 + 0 ) 9( )( ) + ( )( )( ) + 9( )( ) ( )( ) ( )( 9) ( )( ) 9 + 0 + 7 0 + 7 7 ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 0 + 00 7 + + 0 + 0 + 00 79 Ddo un sistem de tres ecuciones con tres incógnits de l form: 7 0 0
Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos x + x + x + y + y + y + z z z El determinnte del Sistem es el determinnte del rreglo formdo por los coeficientes de ls incógnits. El determinnte de culquier incógnit es el que se otiene sustituyendo en el rreglo del sistem l column de los coeficientes de es incógnit por l column de los términos independientes. L Regl de Crmer estlece que ddo un sistem de ecuciones lineles cuyos términos independientes no son cero, el vlor de cd incógnit se otiene dividiendo el determinnte de l incógnit por el determinnte del sistem. Esto es: x x ; y y ; Cundo el determinnte es cero, entonces el sistem es incomptile. z z Ejemplo. Otener l solución de los siguientes sistems plicndo l Regl de Crmer: x z 7 ) x + y + z x + y 7z 7 x 7 ( )( 7) + ( )( ) + ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( 7)( )( ) 0 + 0 7 x x 7 y 7 7 ( )( 7) + ( )( )( ) + ( )( ) ( )( ) ( )( 7) ( 7)( )( ) 7 + 79 0, + 7 + 770 ( )( 7) + ( )( ) + 7 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( 7)( )( 7) 00, + 7 00, + 7 070,
Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos y 070, y 7 z ( )( ) + ( )( 7) + ( )( ) ( )( 7) ( )( ) ( )( )( ) 7 + 0 + 0 0 + 9 + 0 0, z 0, z Por lo tnto l solución del sistem es: x, y, z Comproción: ( ) ( ) ( ) 0 + 7 ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 7( ) + + x + 7y + z ) x + y + z x + y z 7 x 7 ( )( ) + ( )( ) + ( )( 7)( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( 7) + 0 + 0 + 0 ( )( ) + ( )( ) + ( )( 7)( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( 7) + 0 + + 0 0 x x 0 y 0 y y 0 7 z z z ( )( ) + ( )( ) + ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 70 7 0 + 0 + + 0 ( )( ) + ( )( ) + ( )( 7)( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( 7) + 7 + 0 + 0 0 0
Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos Por lo tnto l solución del sistem es: x, y, z Comproción: ) x z x + y + z x + y z x 0 ( ) + 7 ( ) + ( ) + 7 + ( ) + + ( ) + + ( ) + ( ) ( ) 0 + 7 0 ( )( )( ) + ( )( ) + ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 9 0 0 + + 0 x x 0 y 0 y y z z z 0 ( )( )( ) + ( )( ) + ( 0)( )( ) ( 0)( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ), 0 0 0 00 + 9 +, 0 ( )( )( ) + ( 0)( ) + ( )( )( ) ( )( )( ) ( 0)( )( ) ( )( )( ) + 00 + 0 0 ( )( )( 0) + ( )( ) + ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( 0)( )( ) 0 + + 0 + 7 0 Por lo tnto l solución del sistem es: x 0, y, z Comproción: 0 0 ( ) + ( ) + ( ) 0 + ( ) + ( ) ( ) 0 + + ( ) ( ) 0 + 0 0