. LINEALES. Concepto de iguldd. º. Si l seleccionr dos conjuntos se encuentr que tienen los mismos elementos, estos conjuntos son igules. c c A B Pr presentr l iguldd se utiliz el símolo por lo que A B º. Si se tienen los sumndos S, y S y l efectur l sum de ellos se encuentr el mismo resultdo, se tendrá que: S S De lo nterior, cundo l comprr dos ojetos eiste un correspondenci de iguldd uno uno, se dice que los dos ojetos son idénticos, y cundo solmente después de un reducción se ve que son ls misms cntiddes, entonces son equivlentes. Por lo tnto: A B S S Es un iguldd por identidd. Es un iguldd por equivlenci. En l iguldd: c d se tiene: será el primer miemro de l iguldd. signo de iguldd. c d será el segundo miemro de l iguldd.. Propieddes de l iguldd. º. Se pueden intercmir los miemros de un iguldd sin que se ltere. Si A B entonces B A º. Si un cntidd es igul otr y ést su vez es igul un tercer, l primer es igul l tercer. Si: A B y B C entonces A C -
º. Propiedd fundmentl. Un iguldd no se lter si sus dos miemros se le sum o se le rest un mism cntidd de l mism mner, no se lter si sus dos miemros se multiplicn por o se dividen entre un mism cntidd o epresión, siempre que est no conteng incógnits, porque en cso contrrio cmi el grdo y el número de soluciones. Podemos elevr un mism potenci los dos miemros de un iguldd o etrerles un mism ríz sin que se ltere teniendo cuiddo de hcerlo especilmente cundo lgún rdicl fecte l incógnit Se, entonces: m m sumndo un cntidd m n n restndo un cntidd n (k) (k) multiplicndo por un cntidd k ; p 0 dividiendo entre un cntidd p p p n n elevndo un mism potenci n n n etryendo un mism ríz n. Regls pr despejr literles en un iguldd. Primer. Si un término se encuentr sumndo en un miemro este puede psr restndo l otro miemro y vicevers Es decir si: - c d, l despejr : d - c Segund. Si un fctor se encuentr multiplicndo todo un miemro, éste ps dividiendo l otro miemro y vicevers Se ; despejr ; Se : despejr ; Tercer. Si un cntidd enter positiv está como potenci de todo el miemro, ps como índice de ríz fectndo todos los términos del segundo miemro y vicevers. Se. y p, despejndo y: y p Se. y, despejndo y; y ( ) -
. Ecuciones e identiddes. Ls igulddes entre dos epresiones lgerics se clsificn en: identiddes y ecuciones. Identidd. Es un iguldd que se verific pr culquier vlor que se le de ls literles que entrn en ell. Por ejemplo: L iguldd ( ) es un identidd, porque se stisfce pr todo vlor. Si, ; tenemos: ( ) () () 6 8 () Ecución. En generl un ecución es tod iguldd que contiene elementos conocidos, comúnmente llmdos dtos o constntes y elementos desconocidos denomindos incógnits y que sólo se verific o es verdder pr ciertos vlores de ls incógnits que entrn en ell. Por ejemplo: Clses de ecuciones. : Es un ecución porque solo se stisfce pr: L iguldd 7. es un ecución porque se verific con:. Un ecución es numéric cundo no tiene más literles que ls incógnits.. Un ecución es literl cundo eisten literles prte de ls incógnits.. Un ecución es enter cundo sus términos crecen de denomindor.. Un ecución es frccionri cundo lguno de sus términos contiene denomindor. Grdo de un ecución. El grdo de un ecución con un incógnit está ddo por el eponente máimo que fect l incógnit, un vez que el primer miemro se h iguldo cero y previ reducción. En generl, el grdo de un ecución es el grdo del polinomio. Ejemplos:. L ecución 7 es de primer grdo que tmién recie el nomre de ecución linel.. L ecución 7 8 0 es de tercer grdo, el eponente máimo de l incógnit es. -
. L ecución 6 0 es de segundo grdo y por lo tnto tiene dos soluciones que l stisfcen. Solución de un ecución. Resolver un ecución es llegr encontrr el vlor o vlores de ls incógnits que hcen posile se cumpl l iguldd, estos vlores recien el nomre de ríces o soluciones de l ecución. Verificr un ecución es sustituir l o ls incógnits por sus vlores y ver que l iguldd resulte ciert, es decir, compror que el primer miemro de l ecución resulte ectmente igul l segundo miemro de l ecución... Ecuciones de primer grdo con un incógnit. Por lo que se refiere concretmente l ecución de primer grdo con un incógnit, l resolución, puede poyrse en l siguiente regls generles. º. Quitr denomindores, si los hy, pr lo cul st multiplicr los dos miemros de l ecución por el mínimo común múltiplo, m.c.m., de todos los denomindores, y se simplific. º. Quitr préntesis, si los hy, ejecutndo ls operciones indicds º. Psr un solo miemro todo lo que conteng l incógnit y l otro todo lo independiente de ell, dems, hcer ls correspondientes reducciones de términos semejntes ó scr l incógnit como fctor común. º. Despejr l incógnit, pr lo cuál, el coeficiente de ell ps dividiendo l otro miemro con todo y el signo que teng.. Solución de ecuciones simples. Ejemplos. ). Resolver: 7.De cuerdo l regl generl: Se ps un solo miemro lo que conteng l incógnit y l otro lo que no l conteng: 7 Se reducen los términos semejntes: Se despej l incógnit y se simplific el vlor encontrdo: 6 Comproción: Consiste en sustituir en l ecución originl el vlor encontrdo pr l incógnit. Si se cumple l iguldd, se dice que el vlor encontrdo es solución de l ecución. Por lo que se tiene: -
(6) 7 (6) 8 9 9 9 9 ). Resolver: 8 0 7 88 8 7 88 8 7 7 7 7 7 ). Resolver: 0 08 6 00 68 8 6 6 8 68 60 60 ). Resolver: 6 8 0 0 6 0 0 0 6 0 0.. Ecuciones de primer grdo con signos de grupción. Según l recomendción de l regl generl: Pr resolver este tipo de ecuciones se deen eliminr los préntesis. Ejemplos ). Resolver: ( ) 7 ( ) ( ) 7 0 0 0 0 ). Resolver: [ ( 6)] 8 [ (7 6) ( )] -
-6 8-6 - 6 8 - -6-0 0 6 6 7 8 6 ] 6 7 [ 8 6] [ ). Resolver: 9} )] ( ) ( 6 [ 8 { 9 9 8 9 9 6 8 9} 6 8 { 9} ] 6 [ 8 { ). Resolver: 0 ) ( 6 ] ) [( 8 8 8 6 8 6 6 6 0 6 ] [ ). Resolver: ) ( ) ( 6) 9( 9) 0( 6 8 8 6 8 6 8 6 0 8 90 0 6). Resolver: ) ( ) ( ) ( ) ( 7 7 7 8 8 6 8 7 6 6 9 0 9) ( 6 9
.. Ecuciones numérics frccionris. Aplicndo ls recomendciones de l regl generl: Ejemplos: ). Resolver:. m.c.m. 6; por lo que, multiplicmos por 6 mos miemros de l ecución pr eliminr denomindores. 6 6 6 6() 6 66 66 66 6 ). Resolver: 7. El m.c.m. 0; multiplicndo por 0 tenemos: 0 0() 0 60 8-0 - 7 0 0 0 0 0 7 ). Resolver:. m.c.m. ; se multiplic l ecución por : 6 6 ( - )- ( -) ( -)- - 6 - - - - - - 6-8 - - - () ). Resolver:. El m.c.m. ; multiplicndo por : 6-7
9 60 0 9 0 60 6 () 6 6 (). Resolver: ( ) ( ) ( ) ( 7). m.c.m. 0; multiplicndo por 0: 6 0 ( ) 0( ) 0 ( ) 0 ( 7) 6 6( ) 60 90 0( ) ( 7) 6 60 90 80 0 0 78 70 70 78 9 9 9 0 6). Resolver:. m.c.m. ; multiplicndo por tenemos: 0 (0 ) ( ) 0 0 9 0 8 0 0 8 6 8 ( ) 8 6 9 7). Resolver: (7 ) (7 ). El m.c.m. 0; multiplicndo por 0: 0 (7 ) (7 ) 7 7 9 0 (7 ) 0 9 0 (7 ) 0-8
8). Resolver: 6. El m.c.m. ; multiplicndo por : 6 ( 6) 9 8 9 8 8 8 9). Resolver: 0. El m.c.m. 6; multiplicndo por 6 tenemos: 6 6 6 6 0 0 0 0 El m.c.m. ; multiplicndo por : 0 0.. Solución de ecuciones reduciles simples. Ejemplo ). Resolver l ecución: ( ) () ( ) -9
6 ). Resolver l ecución: 0. Se tendrán que eliminr los denomindores multiplicndo cd miemro de l ecución por el m.c.m. de los denomindores: El m. c. m. de:, y ( )( ) Se tiene que el m.c.m. es ( )( ). Por lo tnto, si efectumos l multiplicción por ( )( ), tendremos: ( )() ( )() ( )( ) ( )() ( )() ( )() ( ) 0 6 0 0 6 ). Resolver l ecución:. El m.c.m. es ( ), y que: ()()(), ()( ) y ()(). Multiplicndo por el m.c.m. tenemos: 6 ( ) ( ) ( ) ( )(6 ) ( ) ( )( ) ( ) 8 8 8 0 7 0 (6 9 0 7 0 8 6 0 8 6 6 60 9 8 ) 60 ( )( ) 0 ( ) ). Resolver l ecución: 6 en función de sus fctores, se tiene: ( ) 8. Epresndo cd denomindor 6 ( ) ; ; 8 ; ( ) Por tnto: El m.c.m. es igul : 8( ). Multiplicndo por el m.c.m.: -0
8( ) ( ) 6( ) ( ) 6( ) 8 0 6 6 9 90 6 99 9 6 ( ) 8( ) 6 7 9 ( ) 8( ) 8( ) 8 ( ) ( ) ). Resolver l ecución. 9 en función de sus fctores, se tiene:. Epresndo cd denomindor ( )( ) ; 9 ( )( ) ; ( )() De donde el m. c. m. es igul : ( )( )( ). Multiplicndo por el m.c.m.: ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )() ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )() 6 ( ) 6 9 9 9 6). 0 7 8 Resolver l ecución:. Epresndo cd denomindor en 0 función de sus fctores, se tiene: ( ) ; ; 0 ( ) De donde el m. c. m. es igul : ( ). Multiplicndo por el m.c.m.: ( )(0 7) ( )( 8) ( )( ( ) ( ) (0 7) ( )( 8) ( 0 8 0 8 0 0 8 8 8 6 ) ) 7). Resolver l ecución: cudrdo:. Pr eliminr el rdicl elevmos mos miemros l -
( ) 8 9 9 0 9 8). Resolver l ecución: 9. Elevndo el cudrdo cd miemro: ( 9) ( ) 9 ( ) 8 0 8 0 9 9 7 9 7 7.. Solución de ecuciones literles de primer grdo con un incógnit. Este tipo de ecuciones contienen otrs literles demás de l incógnit. L form de resolverls es similr ls nteriores. Ejemplo: ). Resolver pr : ( ) ( ) () ). Resolver pr : () ( )() ( )() ). Resolver pr : ( ) () -
( ) ( )( ) ( )( ) ). Resolver pr : ( ( ) ) ( )() ( )() ( )() ( ) m ). Resolver pr : 0. El m.c.m. es igul m m m m.c.m. mos miemros: m () m m m 6 6m m 0 m 6 6 m m ( m) m () 0 m m m. Multiplicndo por el 6). Resolver pr :. El m.c.m. () () () 8 8 6 6 7). Resolver pr :. El m.c.m. ; por lo que multiplicndo por se tiene: - ( - ) - - () -
8). Resolver pr :. El m.c.m. ( )( ). Multiplicndo por ( )( ), tenemos: ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 9). Resolver pr :. El m.c.m. ; multiplicndo por : ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ( ( ) ( )( ) ) ) ). SISTEMAS DE LINEALES CON DOS O TRES INCOGNITAS. Un ecución linel con dos incógnits tiene l form generl: A By C; donde A y B son distintos de cero, y y son ls incógnits. Un ecución linel con tres incógnits tiene l form generl A By Cz D; donde; A, B y C distintos de cero,, y y z son ls incógnits. Sistem de ecuciones simultánes. Dos o más ecuciones con dos ó más incógnits son simultánes, cundo se stisfcen pr igules vlores de ls incógnits, de est mner, en un sistem de ecuciones simultánes pr resolverse dee her el mismo número de ecuciones que de incógnits. Por ejemplo, en el sistem: y y y, son simultánes porque se stisfcen cundo y y Se llm sistem de ecuciones lineles todo conjunto de ecuciones formdo por dos o más ecuciones con dos o más incógnits. Son sistems de ecuciones tmien: -
) y y y ) 6 y y ) y z 7, y 7z y y z. Solución de sistems de ecuciones lineles. Resolver un sistem de ecuciones es hllr l solución común, es decir, el conjunto de vlores que stisfcen simultánemente cd un de ls ecuciones. L resolución de sistems de ecuciones puede poyrse en uno culquier de los tres métodos llmdos de eliminción de incógnits porque efectivmente ls vn eliminndo, reduciendo el sistem otro más simple, hst llegr un ecución con un sol incógnit. Los métodos más comunes pr resolver sistems de ecuciones son:. Eliminción por sustitución. Eliminción por sum o rest. Eliminción por igulción. Por medio de determinntes. Método Gráfico En este curso se estudirán los cutro primeros métodos... Primer método. Eliminción por sustitución Consiste en despejr un de ls l incógnits, l que más se fcilite, un vez llevdo el sistem l form generl, de un de ls ecuciones se despej un de ls incógnits, l que ms se fcilite, y en sustituirl en l(s) otr(s), con lo que utomáticmente qued elimind dich incógnit. Ejemplo: ) Resolver el siguiente sistem. 8 y () 7y () Despejndo, de l ecución (): 7y 7y () Sustituyendo l ecución () en ecución (). -
7y 8 y Desrrollndo y despejndo y: ( 7y) y 8y y y 99 99 y Sustituyendo este vlor encontrdo, en l ecución (), se tiene: 0.. Segundo método. Eliminción por sum o rest En este método es indispensle que l incógnit por eliminr dquier el mismo coeficiente en cd dos ecuciones, éste dee ser el m.c.m. de los coeficientes origináles de dich incógnit y pr logrrlo se multiplic cd ecución por el fctor conveniente, nturlmente sin que se ltere l ecución. Si los coeficientes resultntes son igules, son del mismo signo, se restn miemro miemro ls ecuciones, pero si son de signos contrrios se sumn. Ejemplos:. Resolver el sistem. 6y 6 () 7y () Se multiplic l ecución () por y l ecución () por : 0 y () 0 y () Se puede ver que los coeficientes de son igules y del mismo signo positivo, por lo que: miemro miemro se rest l ecución () de l ecución (), es decir que l ecución () se convierte en sustrendo, por lo tnto, se les cmi de signo todos sus términos. Asi tenemos: 7y 7 7 y 7 Sustituyendo este vlor en culquier de ls ecuciones originles, por ejemplo en l ecución (), se tiene: -6
7( ) 7 8 8. Resolver el sistem. 0y () 9 y () L incognit eliminr es y, por lo que multiplicndo l ecución () por. 8 0y () Ahor los coeficientes de y son igules pero de signos contrrios, por lo que sumndo ls ecuciones () y (), miemro miemro, result: Multiplicndo hor l ecución () por tenemos. 9 0y 6 () Según () y () se puede ver que los coeficientes de son igules y de signo contrrio, por lo que de l ecución () restmos l ecución (): y y 7.. Tercer método. Eliminción por igulción. Consiste en despejr un mism incógnit de tods ls ecuciones y en igulr ls epresiones resultntes de dos en dos. Ejemplo: Resolver el sistem: y () 7y () Despejndo de l ecución (): y y () Despejndo de l ecución (): 7y 7y () -7
Igulndo ls ecuciones () y (): y 7y Resolviendo l ecución resultnte. ( y) ( 7y) 0 y y y y Sustituyendo en l ecución () el vlor encontrdo: () 0 EJERCICIOS. Resolver el siguiente sistem: y () y () De l ecución () despejmos : y () Sustituyendo l ecución () en l ecución (): (- y)- 6y y 7y y y 7 Sustituyendo el vlor de y en l ecución (): () 9. Resolver el sistem: y () y 9 () Multiplicndo l ecución () por y l ecución () por. De (): 6 y 6 () -8
De (): 6 y 87 () Restndo () de (): 9y y 7 9 Sustituyendo el vlor de y en l ecución (): (7) 9 9. Resolver el sistem: y () y 0 () Despejndo de () y (): De (): De (): y y () 0 y 0 y () Igulndo () y (): y 0 y ( y) (0 y) y 0 y 9y 9 9 y Sustituyendo el vlor encontrdo en (): 0 () 0-9
. Resolver el sistem: y () y () De (): y () Sustituyendo () en (): ( y) y El m.c.m. 0; multiplicndo mos miemros por 0. 0 ( y) 8( y) (y) 00 8 8y y 00 y 9 0 y 9 y Sustituyendo en (): 0(). Resolver el sistem: y () y () De (): De (): ( ) y y () y y () Igulndo () y (): Sustituyendo en (): () y y 6. Resolver el sistem: -0
6y 7 () 7 y 9 () Multiplicndo por (- 7) l ecución (): 7 y 89 () Sumndo ls ecuciones () y (): y 80 80 y y Sustituyendo en (): 6() 7 7 7 7. Resolver el sistem: (y 6) y ( 8) () y () De (): y 6 y 8 6y () De (): y 7 7 y () Sustituyendo () en (): (7 y) 6y 8 y 6y 0y 0 0 y y 0 -
Sustituyendo el vlor encontrdo en l ecución (): 7 8. Resolver el sistem: y () 0y 0 () Simplificndo l (), dividiendo entre se tiene. 7 y 0 () De (): y y () De (): 7 y y 7 () Igulndo ls ecuciones () y (): y y 7 7( y) (y) 8y y y y 7 Sustituyendo en (): (7) 7 9. Resolver el sistem: y () y () -
Multiplicndo () por y () por (- ). De l (): y () De l (): y () Sumndo () y (): y y( ( y y ) ( ) ) y Sustituyendo en (): 0. Resolver el sistem: y z 7 () y z () y z () De (): 7 y z () Sustituyendo () en () y (): En (): 7 y z y z y z 6 y z y z () -
En (): 7 y z y z z 0 0 z Sustituyendo en (): y y Sustituyendo en (): 7. Resolver el sistem. y z () y z () y z () De (): y z () Sustituyendo () en () y (): En (): 0y z y z y 6z 6 () En (): 0y z y z 6y z Dividiendo entre : y z z y (6) Sustituyendo (6) en (): y 0 y 6 6 y 6 y -
Sustituyendo en (6) este vlor se tiene. z z Sustituyendo en () los vlores y conocidos: 0 8 8. Resolver el sistem: 7y y 6 () (z ) y z () y z () Quitndo denomindores: En (): 7y 6( y) 6 6y 7y 6y 6 y () En (): z y z y z 0 () En (): y z y z y z (6) Sustituyendo () en (): y y z 0 y z 0 (7) De l (6) restmos l (7) y se tiene: z Sustituimos en (7) el vlor z : -
y 0 y y 8 y 8 Sustituimos en () se tiene que: 8.. Curto método. Por determinntes. Pr que comprendmos clrmente lo que es un determinnte, empezremos por resolver el siguiente sistem de ecuciones: () y c () y c Si multiplicmos l ecución () por y l ecución () por tendremos: En (): En (): () y c () y c Restndo () de () qued: c ( c c ) c c c () Si hor, multiplicmos l ecución () por y l ecución () por tendremos: En (): (6) y c En (): (7) y c -6
Restndo (6) de (7), qued: y y( c y y c c ) c c c (8) Ls epresiones () y (8) pueden ser considerds como fórmuls de resolución del sistem de ecuciones, cuy únic dificultd consiste en su memorizción. Pr slvr dich dificultd podemos hcer ls siguientes oservciones:. El denomindor es el mismo pr ls dos fórmuls por lo que conviene prenderlo primero.. Los numerdores son muy precidos l denomindor común, l diferenci está en que, los lugres en que quisiérmos escriir prtir del denomindor los coeficientes de l incógnit por clculr, tendrán que estr ocupdos por los correspondientes términos independientes copidos de los segundos miemros de ls ecuciones. Deemos hcer notr que, l determinción definitiv de los vlores de ls incógnits depende del denomindor común de ls fórmuls por lo que se h convenido en llmrlo determinnte del sistem. Tmién es muy importnte hcer notr que no es indispensle memorizr el denomindor, puesto que se puede estlecer prtir del propio sistem, medinte l diferenci de los productos en de los coeficientes de ls incógnits como se muestr continución: Represent un determinnte de orden dos, en donde los elementos contenidos en él son números reles pr su representción, utilizmos l letr D (delt) del lfeto griego. El determinnte de segundo orden se resuelve como sigue.. Se trzán digonles, como se indic en l figur siguiente: líne Ä líne (-) columns (). Se multiplicn los dos elementos colocdos sore ls digonles complets, sin cmio de signo en ls descendentes de izquierd derech y con cmio de signo en ls digonles scendentes de izquierd derech tmién. L sum lgeric de todos los productos es el vlor numérico del correspondiente determinnte. Como consecuenci de todo esto, llegmos l conclusión de que ls formuls () y (8) pr l resolución del sistem, pueden escriirse más cómodmente de l siguiente mner. -7
c c y c c Est form de escriir ls formuls, medinte el cmio de un column en el numerdor, se conoce con el nomre de regls de Krmer y es plicle todos los sistems de ecuciones de primer grdo. Ejemplo. Resolver el sistem. 6y 6 () 7y () - 6 6-7 8 6 88 6 7 7 6 7 y 6 7 7 7 y Ejemplo. Resolver el sistem. y () 9y () 9 98 7 08 6 7 9 y 60 86 6 7 7 7 y Determinntes de tercer orden. Los determinntes vistos nteriormente son de segundo orden. Los que tienen tres línes y tres columns se llmn de tercer orden como se muestr continución: -8
c Ä c c Pueden clculrse numéricmente, medinte diversos procedimientos que son generles, inclusive pr determinntes de orden superior. Sin emrgo, en el cso prticulr y eclusivo de los determinntes de tercer orden puede utilizrse un regl muy sencill llmd de Srrus; que consiste en gregr l derech del determinnte ls dos primeros columns ó de jo de él, ls dos primers lines, enseguid se hcen los productos de los elementos colocdos sore ls digonles complets, sin cmio de signo en ls descendentes de izquierd derech, y con cmio de signo en ls digonles scendentes de izquierd derech. L sum lgeric de todos los productos es el vlor numérico del determinnte. (-) c c (-) (-) Digonls scendentes Ä c c c () () Digonls descendentes () En el cul se hán gregdo jo del determinnte originl, ls dos primers lines del mismo. De l mism form, tmien se puede representr como: (-) (-) (-) c Ä c c c c () () () Ahor, se hn gregdo l derech del determinnte originl ls dos primers columns. En ms representciones podemos oservr que los elementos fuer de ls línes no precen en los productos porque y fueron considerdos. Ejemplo. Otener el vlor del determinnte siguiente: 6 7 Ä 8 De cuerdo lo visto nteriormente tenemos: Primero, gregndo ls dos primers columns l derech del determinnte ddo. -9
6 7 Ä 6 0 8 70 80 9 98 8 6 Ahor gregndo ls dos primers lines jo del determinnte originl tenemos: Ä 8 6 8 0 70 80 9 98 6 7 6 7 Enseguid encontrremos l solución de un sistem de tres ecuciones lineles con tres incógnits. Ejemplo. Resolver el sistem: y z () y z () y z 6 () º. Formmos el determinnte del sistem. Ä Lo resolvemos y tenemos: 6 7 Ä 8 9 6 7 Ä º. Formmos el determinnte pr l incógnit, y lo resolvemos, es decir: Ä 6 Agregndo ls dos primers línes: -0
Ä 6 6 6 6 Ä º. Pr determinr el vlor de l incógnit, dividimos D entre D ; o se que: Ä Ä º. Formmos el determinnte pr l incógnit y, es decir: Äy 6 Resolviendo tenemos: Äy 6 8 8 6 8 0 7 Äy º. Otenemos el vlor de y, dividiendo D y entre D, es decir: Äy y Ä y 6º. De l mism mner, formmos el determinnte pr l incógnit z: Äz 6 -
Resoviendo tenemos: Äz 6 6 9 8 6 0 6 6 Äz 6 Por lo que: z 6 z z. NÚMEROS COMPLEJOS Pr definir un número complejo, es necesrio, conocer primermente los números ímginrios, y que cundo se trt de etrer ríz cudrd un número negtivo de l form n, se dice que dich ríz es ímginri porque no hy ningun número rel que constituy resultdo de es ríz cudrd. Por ejemplo: l 6 su resultdo no es ( ) y no es (- ), y que: ( ) 6 y (- ) 6 Pr slvr ést dificultd y que se pued epresr el resultdo respectivo, se h convenido en dmitir que eisten otr clse de números, llmdos ímginrios, en donde, por definición l unidd es un cierto número i. cuyo vlor es: i De cuerdo con esto ls potencis sucesivs de l unidd imginri pueden verse enseguid: i i i i i i 6 (i )(i) i (i (i (i )(i ) ( )( ) )(i) ()i i )(i ) ()( ) Ejemplo. Clculr i 00 : i 00 (i ) () Ejemplo. Clculr i : i 0 (i )(i) (i ) i () i i Los números complejos son quellos números que tienen l form i y se representn como z i. En donde es l prte rel y l prte ímginri. -
. Operciones con numeros complejos. Sum. L sum de dos números complejos es otro número complejo. Sen: z i y i : z Sumndo: z z i i ( ) ( )i Ejemplo. Clculr l sum de: z i y i : z z z ( ) ( )i i Rest. L diferenci o rest de por: z z z ( i) ( i) ( ) ( )i Ejemplo. Clculr z i menos z i : z ( ) i z i menos i, es otro número complejo ddo i z Multiplicción. El producto de dos números complejos número complejo, ddo por: z i y i, es otro z z ( i)( i) i i i z como i -, entonces qued: z z ( ) ( )i Ejemplo. Clculr z i por i: z zz [() ( )] [()( ) ()()]i ( 6) ( )i 8 i División. El cociente de dos números complejos complejo, de l form: z i y i, es otro número z z z i i Multiplicndo numerdor y denomindor por el conjugdo del denomindor: -
z z ( ( i)( i)( i) i) ( i ) ( )i Ejemplo. Clculr l división de z i entre z i. Dividiendo: z z [() ( )()] [( ) ()]i 9 6 ( 9 6)i i. DE SEGUNDO GRADO O ECUACION CUADRATICA. En primer lugr vmos demostrr que todo número tiene dos rices cudrds igules pero de signos contrrios. Pr ello es preciso tomr en considerción que si un número culquier, por ejemplo, se elev l cudrdo nos dá otro número que llmremos n, es decir: n ; n 0 Est iguldd podemos epresrl como: ( n ) 0 Que es un diferenci de cudrdos, l que se se puede epresr como producto, es decir. ( n)( n) 0 Despejndo los fctores: n 0 n y n 0 n O se que: ± n Demostrándose que todo número tiene dos ríces.. Fórmul Generl. Por lo que se refiere concretmente l ecución de segundo grdo con un incógnit, hechs tods ls reducciones necesris, se present en l siguiente form generl. c 0 En donde, y c son constntes ritrris, con l condición de que o. Al primer término de l ecución ( ) se le llm término cudrático, l segundo ( ), término linel y l tercero ( c ), término independiente. -
A continución, otendremos l fórmul de resolución de est ecución, utilizndo l complementcion del trinomio cudrdo perfecto. Prtiendo de l form generl c 0 : c c c c c c Etryendo ríz cudrd en mos miemros se tiene: c ± ± c Despejndo se tiene: ± c ± c (I) Que se conoce con el nomre de fórmul génerl pr l solución de ecuciones de segundo grdo ó cudrátics. Resolver un ecución cudrátic es encontrr ls rices de l ecución, es decir, los vlores de l incógnit que stisfcen l ecución, estos pueden ser números reles o complejos. Ejemplos:. Resolver l ecución. Se llev l ecución l form generl c 0 : De est mner se tiene: 0 Donde se oserv que:, y c. Sustituyendo en l formul generl (I) se otiene: ± () ()() () ± 96 ± ± -
De est epresión se otienen los vlores de ls ríces: 6 6 Podemos ver que ls rices de l ecución son reles y distints. Se puede compror l solución sustituyendo cd un de ls soluciones en l ecución dd.. Resolver 6 9 0. Se tiene que: 6, y c 9, sustituyendo en l formul generl (I): ± () (6)(9) (6) ± 76 76 ± 0 Por lo que: Se oserv que ls rices de l ecución son reles e igules.. Resolver l ecución 0 0. Se tiene que:, - 0 y c. Sustituyendo en l formul generl (I) se otiene: 0 ± (0) ()() 0 ± () 00 6 0 ± 6 0 ± 8 0 ± 8i (Recordr que i - ). Por lo que: 0 8i i 0 8i i i i Ls rices de l ecución son complejs conjugds. Cundo l ecución de segundo grdo es tl que el coeficiente de no es un número culquier, si no l unidd, es decir, cundo l ecución tiene l form: c 0, unque se puede plicr pr su solución l fórmul génerl y conocid, frecuentemente es preferile plicr l formul prticulr y eclusiv de este cso, l que se otiene tomndo como se l fórmul génerl. -6
± c ± c ± c Quedndo finlmente. ± c (II) Ejemplo. Resolver l ecución 0. Se tiene: y c Sustituyendo en l fórmul (II) otenid pr est form, se tiene: () ± 6 ± 6 ± 6 6 ± Por lo tnto: 6 6 7 7. Propieddes de ls rices de l ecucion de segundo grdo. Tomndo como se l ecución de l form: c 0 y su fórmul prticulr (II), cuys rices son: c () c () Sumndo ls rices tenemos: (III) -7
Si multiplicmos hor ls rices se tiene: c c c c c c c Por tnto: c (IV) Conociendo ests dos propieddes (III) y (IV) podemos plnter fcilmente un ecución de segundo grdo cuys rices sen de l nturlez que quermos. Ejemplos:. Otener l ecución cuys soluciones son: 8 i y 8 i. Aplicndo l propiedd (III), o se sumndo ls rices se tiene: (8 i) (8 i) 6 6 Aplicndo l propiedd (IV), o se multiplicndo ls rices otenemos: (8 i)(8 i) 6 9i 6 9 7 c c 7 L ecución es de l form: 6 7 0 Comproción; Aplicndo l formul prticulr (II) pr este cso. 6 6 ± 7 6 ± 6 7 8 ± 9 8 ± i Es decir que: 8 i 8 i. Otener l ecución cuys rices son y : Sumndo, o se plicndo l propiedd (III), tenemos: -8
6 Multiplicndo según l propiedd (IV): ( ) c c Por lo tnto, l ecución es: 0 Quitndo denomindores tiene l form: 0. Solución rápid de l ecución de segundo grdo. De l mism form, plicndo ls dos propieddes y conocids de sum y multiplicción de l rices, dd l ecución de l form c 0, podemos hcer l solución rápid de ls misms. Procedimiento: Encontrr dos números que sumdos, propiedd (III), nos dé el coeficiente (-) del término de primer grdo y que muliplicdos, propiedd (IV), su producto se el término independiente (c) de l ecución dd: Ejemplo. Resolver l ecución: 6 0. Sus rices son: y Según ls propieddes (III) y (IV), sumndo se tiene: Y multiplicndo se tiene: ()() 6 c c 6 Ejemplo. Resolver l ecución 7 0 0 : Sus rices son: y 0 Ejemplo. Resolver l ecución 6 0 : Sus rices son: 7 y 9-9
. Nturlez de ls ríces de l ecucion de segundo grdo. Refiriendonos nuevmente l ecución generl c 0, que se resuelve con l fórmul generl (I): ± c (I) En donde el inomio c, se llm discriminnte porque sirve pr distinguir l nturlez de ls ríces, generlmente se represent por l letr D. Así tenemos que: Si D c > 0 ; ls rices son reles y desigules. Si D c 0 ; ls rices son reles e igules. Si D c < 0 ; ls rices son complejs y conjugds. Ejemplo. Determinr l nturlez de ls ríces de l ecución 9 6 0 : Se puede ver que: 9, - y c 6. Sustituyendo en el discriminnte: D c ( ) (9)(6) 7676 0 D 0 El discriminnte D0, por lo que ls ríces son reles e igules. Ejemplo. Determinr l nturlez de ls ríces de l ecución 0 0 : Se oserv que:, y c -0 Sustituyendo en el discriminnte. D () ()( 0) 9 60 69 69 > 0; por lo que el discriminnte es: D > 0 Por tnto, ls rices son reles y desigules. Ejemplo. Determinr l nturlez de ls ríces de l ecución 6 8 0 : Se puede ver que:, - 6 y c 8 Sustituyendo en el discriminnte: D ( 6) ()(8) 660 D < 0 Ls rices son complejs y conjugds. -0
. Ecuciones incomplets de segundo grdo Primer cso. Cundo l ecución crece de término independiente, o se cundo se present en l form: 0, unque se puede resolver con l fórmul generl result preferile hcerlo con ls fórmuls que deduciremos enseguid. Fctorizndo l ecución dd,se tiene: ( ) Ahor despejndo : 0 Por lo que un de ls ríces es: 0 () De l mism form despejndo: 0 0, es decir que 0. Por lo que l otr ríz es: () Ejemplo : Resolver l ecución 8 7 0 : Se ve que: 8 y - 7. Sustituyendo en () y (), se tiene: 0 y 7 8 Ejemplo. Resolver l ecución: y 6y 0 Es decir que: y - 6. Por lo que ls soluciones, según () y () son: 0 y 6 Ejemplo. Resolver l ecución: 9 0 Procediendo de igul form, ls ríces son: 0 y 9 Segundo cso. Cundo en l ecución no interviene el término linel es decir, cundo tiene l -
form c 0 ; que tmién se puede resolver con l fórmul generl o prticulrmente con l que otendremos enseguid. Despejndo : c c Etryendo ríz cudrd mos miemros: c ± Por lo que: c ± () Ejemplo. Resolver l ecución: 9 9 0 Aplicndo l fórmul () nterior: 9 7 ± ± 9 Es decir que: 7 y Ejemplo. Resolver l ecución: 0 7 Según l fórmul (): ± ± i Por lo tnto ls ríces son imginris: i y i Ejemplo. Resolver l ecución: 7 0 Según l fórmul (): 7 ± ± 9 ± Ls ríces son: y -
.6 Solucion de ecuciones de segundo grdo por el método de fctorizcion. El método de fctorizción pr l solución de este tipo de ecuciones se poy en el principio siguiente. El producto de dos ó más fctores es cero si uno culquier de los fctores es igul cero. Pr l solución de ecuciones de segundo grdo por el método de fctorizción se procede de l siguiente mner: º. Se psn todos los términos de l ecución l primer miemro pr otener l form generl: c 0 º. Se fctorizn los términos en el primer miemro, en fctores de primer grdo. º. Se igul cd uno de los fctores con cero y se resuelven ls ecuciones de primer grdo sí formds. Ejemplo. Resolver por el metodo de fctorizción l ecución: 6 º. Se llev l form generl: º. Se fctoriz: 6 0 6 0 ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 º. Igulndo cero cd fctor y despejándo. 0 ; Ahor el otro fctor: 0 ; Ejemplo. Resolver por fctorizción l ecución: 7 0 Procediendo en l mism form que en el ejemplo nterior, fctorizndo: 6 0 ( ) ( ) 0 ( )() 0 Igulndo cero y despejndo cd uno de los fctores. -
0 0 ; Ejemplo. Resolver por fctorizción l ecución: 6 9 0 Ordenndo: 6 9 0 Cmindo de signo, multiplicndo por (- ). 6 9 0 Fctorizndo: 9 0 ( ) () 0 ( )() 0 Igulndo cero y despejndo. 0 0 Ejemplo. Resolver por fctorizción l ecución: ( ) () 7( ) Desrrollndo tenemos: 8 6 0 7 Ordenndo y simplificndo. 9 7 0 Cmindo de signo, multiplicndo por ( - ). 9 7 0 Fctorizndo: 9 8 0 9( ) ( ) ( )(9 ) 0 Igulndo cero y despejndo. 0 9 0 ; 9 9 -
.7 Solucion de ecuciones de segundo grdo, completndo el trinomio cudrdo perfecto. Un ecución de segundo grdo siempre puede resolverse por este método, cuyo procedimiento es el siguiente: º. Otenid l form generl de l ecución de segundo grdo c 0, se orden de tl mner que en el primer miemro estén los términos cudrático y linel y en el segundo miemro el término independiente. Es decir: c º. Se dividen mos miemros entre el coeficiente de c c º. Pr completr el trinomio cudrdo perfecto en el primer miemro, l coeficiente resultnte de, se le sc mitd es decir se divide entre y l cociente resultnte, se elev l cudrdo y est cntidd se sum l primer miemro pr completr el trinomio cudrdo perfecto, como se puede ver enseguid. El coeficiente es: Dividiendo entre qued: Se elev l cudrdo, por lo que:. -
Este cociente se sum en el primer miemro. Es decir que: c º. Est mism cntidd se sum tmien, l segundo miemro pr conservr l iguldd es decir. c c º. Se fctoriz el primer miemro es decir l trinomio cudrdo perfecto: c 6º. Se etre l ríz cudrd en mos miemros de l iguldd: ± ± c c 7º. Se despej l incognit. ± c Ejemplo. Resolver l ecución: 0 º. Se orden: º. Se dividen mos miemros por el coeficiente de : º. Al coeficiente de se divide entre y se elev l cudrdo. 9 6 Es l cntidd que se sum pr completr trinomio cudrdo perfecto en el primer miemro. -6
º. Est mism cntidd se sum l segundo miemro tmién, pr que no se ltere l iguldd. 9 9 6 6 º. Se fctoriz el trinomio cudrdo. 6 6º. Se etre ríz cudrd mos miemros. ± ± 6 7º. Se despej l incognit. ± Por lo que ls ríces de l ecución dd son: 8 Ejemplo. Resolver l ecución: El coeficiente de es -, se divide entre y se elev l cudrdo. Es l cntidd que se greg mos miemros: -7
Se fctoriz el trinomio cudrdo: Se etre ríz cudrd n mos miemros: ± ± ± Es decir que ls ríces son:.8 Ecuciones reduciles cudrtics. Alguns ecuciones de curto grdo pueden reducirse ecuciones de segundo grdo, lo mismo con ecuciones que contienen l incógnit en denomindores o en surdicles, como veremos en los ejemplos siguientes. Ejemplo. Resolver l ecución: 6 6 0 Hcemos: 6U 6U 0 U y sustituimos en l ecución dd. Nos h queddo un ecución de segundo grdo. Resolviendo por fctorizción, tenemos: 6U 6U U 0 6U(U ) (U ) 0 (6U)(U ) 0 6U 0 U 0 U U 6-8
Igulndo cd vlor de U con. Pr, U se tiene: 6 ± ± 6 6 Pr U se tiene: ± ± Ls soluciones de l ecución dd son: ; ; ; Ejemplo. Resolver l ecución. ( ) ( ) 0 () Hciendo: U () Tenemos, sustituyendo en (): U U 0 Resolviendo por fctorizción: (U )(U) 0 Resultndo que: y U U Segun l ecución (), pr U result: 0 Resolviendo por fctorizción: ( )() 0 y Pr: U result: ; 0 Aplicndo l fórmul generl. ± 6 ( ) ± 0 ± ± -9
Por lo que: y Ejemplo. Resolver l ecución: 0 Elevndo l cudrdo mos miemros: ( ) ( c 0) 0 6 0 Fctorizndo: ( 6)( ) 0. Ls ríces son: 6 y.9 Sistems de ecuciones con dos incognits donde un ecucion es de segundo grdo y l otr es linel. Si un sistem tiene un ecución linel y otr cudrátic, ls soluciones pueden otenerse fcilmente, st con despejr culquier de ls incognits de l ecución linel y sustituirl en l ecución cudrátic l que se resuelve, los vlores otenidos se sustituyen en culquier de ls ecuciones originles, siendo más fácíl en l ecución linel. Ejemplo. Resolver el sistem: y 9 () y () De l ecución (): y () Sustituyendo () en (): (y ) (y y y 9 y ) y y y y y 7 0 Fctorizndo: 9 9 y 7y y 7 0 y(y ) 7(y ) 0 (y )(y 7) 0 Igulndo cero cd fctor: -0
y 0 y 7 0 y 7 y Sustituyendo estos vlores en (): Pr, y ; Pr y : 7 Ejemplo. Resolver el sistem. y 0 () y () De l ecución (): y y () Sustituyendo () en (): 0 Simplificndo y multiplicndo por. 6 0 0 Resolviendo: ± 6 6 ± 8 6 ± i 6 i L solución es: i y i -
Sustituyendo estos vlores en l ecución () se tiene: pr : y i i 9 9 i y 9 Pr, tenemos: y i i 9 y 9 i 9.0 Sistem de dos ecuciones cudrtics con dos incognits Este tipo de sistems de ecuciones se resuelve por los métodos y vistos pr los sistems de ecuciones de primer grdo, siendo el método de sum ó rest el más recomendle, sin olvidr que se está trjndo con términos cudráticos. Ejemplo. Resolver el sistem: y 8 () y () Restndo l ecución () de l ecución (), se tiene: y 6 y 6 y ± Es decir que: y y y Sustituyendo estos vlores en l ecución (). Pr y : ( ) 8 8 ; 0 ± 0 0 y 0 Pr y : (- ) 8 ( ) 8 ; 0 ± 0 0 y 0 -