Exmen de Físc-1, 1 Ingenerí Químc Enero de 211 Cuestones (Un punto por cuestón). Cuestón 1: Supong que conocemos l poscón ncl x y l velocdd ncl v de un oscldor rmónco cuy frecuenc ngulr es tmén conocd; es decr, x() x y v() v. Determne ls expresones generles pr l mpltud y l constnte de fse en funcón de estos prámetros ncles. Solucón: L solucón generl pr l poscón como funcón del tempo de un prtícul que sgue un movmento oscltoro rmónco es x(t) Acos( ω t + φ), con lo que l velocdd como funcón del tempo vle v(t) dx dt ω Asn( ω t + φ). Con ls condcones ncles que nos d el prolem tenemos x Acosφ, v ω Asnφ. Al dvdr ests dos ecucones consegumos elmnr A, lo que nos d v ω snφ ω tnφ, x cosφ A contnucón, s consdermos l sum tnφ v ω x. x 2 + v ω 2 A 2 cos 2 φ + A 2 sn 2 φ A 2, y despejndo A encontrmos que A x 2 + v 2. ω
Cuestón 2: Se lnz un pelot de ésol de,15 kg hc el tedor, con un velocdd de 4, m/s. El tedor golpe l pelot y ést comenz moverse en dreccón contrr con un velocdd de 5, m/s. () Qué mpulso se sumnstr l pelot? () Clculr l fuerz med ejercd sore l pelot, s están en contcto durnte 2, 1-3 s. Solucón: Por el teorem de l cntdd de movmento y el mpulso, semos que el mpulso totl de l fuerz net que ctú sore un prtícul es gul l vrcón de l cntdd de movmento de l prtícul. Vmos sumr que el movmento de l pelot se produce lo lrgo del eje x, y que nclmente se mueve hc l zquerd, es decr, que l velocdd ncl tene sgno menos. Ls cntddes de movmento ncl y fnl de l pelot son: p mv,15 kg p f Por tnto, el mpulso es m v f ( )( 4, m/s) 6, ( )( 5, m/s) 7,5,15 kg I Δp p f p 7,5 kg m/s 6, kg m/s L fuerz net ejercd por el te sore l pelot es kg m/s. kg m/s. ( ) 13,5 F Δ p Δt 13,5 kg m/s 6,75 1 3 N. 2, 1 3 s kg m/s.
Cuestón 3: Ls mneclls de ls hors y de los mnutos del Bg Ben, el reloj de l torre del edfco del prlmento de Londres, tenen un longtud de 2,7 m y 4,5 m y uns mss de 6 kg y 1 kg, respectvmente. Clculr el momento ngulr totl de ests mneclls con respecto l punto centrl. Modele ls mneclls como vrlls lrgs y delgds de densdd unforme. Solucón: Lo prmero que tenemos que tener en cuent l hor de resolver est cuestón es que tods ls prtículs que formn cd un de ls gujs descren un movmento crculr unforme lrededor del punto centrl. L celerdd ngulr de ls gujs será: ω hors 2π 12 h 2π 12 36 s 1,45 1 4 rd/s, y ω mnutos 2π 1h 2π 1 36 s 1,74 1 3 rd/s. S consdermos cd guj como un sstem contnuo, podemos clculr el momento ngulr dvdendo ls msms en muchos elementos nfntesmles de ms dm. En un nstnte ddo, l poscón de cd uno de estos elementos nfntesmles estrá determnd por un vector de poscón r (suponemos que el orgen está loclzdo en el punto centrl) y se moverá con un velocdd tngencl v. El módulo de est velocdd tngencl puede clculrse fáclmente s conocemos l celerdd ngulr,ω, y l dstnc que sepr l prtícul del eje de gro, r, v rω. Por otr prte, como cd prtícul descre un movmento crculr lrededor del centro, sempre se verfc que el vector poscón y el vector velocdd son perpendculres el uno l otro. Entonces, el módulo del momento ngulr con respecto l punto centrl de este elemento nfntesml vendrá ddo por: dl r p sn 9 r dm v r r ω dm r 2 ω dm r 2 ω λ dr, donde hemos susttudo el elemento dferencl de ms por el producto de l densdd lnel, λ, y l longtud del elemento nfntesml, dr. Est densdd lnel se puede clculr fáclmente prtr de l ms de cd guj, M, y de su longtud totl, R. λ M R.
Pr conocer el momento ngulr totl, tenemos que ntegrr todos estos elementos dferencles L dl r 2 ω M R R dr Mω R R r 2 dr Mω R 3 R 3 1 3 MωR2. Susttuyendo los dtos pr cd un de ls gujs L hors 1 3 M 2 horsω hors R hors 1 3 6, kg 1,45 1 4 rd/s ( 2,7 m) 2 2,12 1 2 kg m 2 /s, L mnutos 1 3 M 2 mnutosω mnutos R mnutos 1 3 1, kg 1,74 1 3 rd/s ( 4,5 m) 2 1,17 kg m 2 /s. El momento ngulr totl será l sum de los momentos ngulres de cd un de ls gujs L totl L hors + L mnutos 2,12 1 2 kg m 2 /s +1,17 kg m 2 /s 1,19 kg m 2 /s. L dreccón del vector momento ngulr estrá drgd hc dentro del plno en el que grn ls gujs.
Cuestón 4: Determnr l poscón del centro de mss de l plc homogéne de l fgur. Not: recordr que Solucón: dx x ln x Recordndo l defncón de centro de mss de un superfce homogéne x CM x, y CM y, con dx dy, ntegrmos prmero dy entre y 2 / x, y luego dx entre y. 2 / x x x dx dy x dx dy x dx [ y] 2 / x x dx 2 2 dx 2 x x [ ] 2 ( ), 2 / x y y dx dy dx y dy dx y 2 2 2 / x dx 4 2x 2 4 2 1 x 4 2 1 1,
2 / x dx dy dx dy dx y [ ] 2 / x dx 2 x. 2 [ ln x] 2( ln ln ) 2 ln Susttuyendo estos vlores en ls ecucones ncles, x CM x ( ) 2 2 ln ( ) ln, y CM y 4 1 2 1 2 ln 2ln ( ) 2 ln. 2