Cálculo Integrción de funciones reles de un vrible rel 24 de octubre de 2014
c Dpto. de Mtemátics UDC Integrción de funciones reles de un vrible rel L integrl indefinid. Cálculo de primitivs L integrl de Riemnn Integrción numéric Integrción impropi Cálculo de áres y volúmenes Introducción ls ecuciones diferenciles
L integrl indefinid
c Dpto. de Mtemátics UDC L integrl indefinid Se f : I R Definición Se dice que F es un primitiv de f en I si F (x) = f (x), x I Teorem Si F y G son dos primitivs de un mism función f en un intervlo I, entonces, k R tl que F(x) = G(x) + k, x I En consecuenci, si conocemos un primitiv F de f, conocemos tods.
c Dpto. de Mtemátics UDC L integrl indefinid Definición Dd un función f : I R, se llm integrl indefinid de f l conjunto de tods ls primitivs de f, y se escribe: f (x)dx = { F / F (x) = f (x), x I } En consecuenci, si conocemos un primitiv F de f : f (x)dx = {F(x) + k, k R} Propiedd (linelidd de l integrl) [f (x) + g(x)] dx = f (x)dx + g(x) dx α f (x)dx = α f (x)dx, α R
c Dpto. de Mtemátics UDC Integrles inmedits f (x) m f (x)dx = 1 m + 1 f (x)m+1 + C, m 1 e f (x) f (x)dx = e f (x) + C f (x) dx = ln f (x) + C f (x) f (x) f (x)dx = f (x) ln [sinf (x)] f (x)dx = cosf (x) + C + C, > 0, 1 [cosf (x)] f (x)dx = sinf (x) + C
c Dpto. de Mtemátics UDC Integrles inmedits f (x) 1 + f (x) 2 dx = rctnf (x) + C f (x) dx = rcsinf (x) + C 1 f (x) 2 f (x) sin 2 dx = cotf (x) + C f (x) [tnf (x)] f (x)dx = ln cosf (x) + C f (x) cos 2 dx = tnf (x) + C f (x) [cotf (x)] f (x)dx = ln sinf (x) + C
c Dpto. de Mtemátics UDC Integrción por prtes u(x)v (x)dx = (uv)(x) v(x)u (x)dx o bien, udv = uv vdu Es conveniente cundo el integrndo es un producto de: polinomio y exponencil polinomio y seno o coseno exponencil y seno o coseno
c Dpto. de Mtemátics UDC Integrción por cmbio de vrible Sen: f : [,b] R integrble, ϕ : [α,β] R inyectiv, con derivd continu y tl que: ϕ ([α,β]) [,b] Entonces f (x)dx = f [ϕ(t)]ϕ (t)dt
L integrl de Riemnn
c Dpto. de Mtemátics UDC Sums de Riemnn Se un intervlo [, b] R y se f : [, b] R un función cotd. Definición Se llm prtición P de [,b] un conjunto de puntos {x 0,x 1,...,x n } que verific: = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n 1 < x n = b Definición Dd un prtición P, denotmos M i = sup f (x) m i = ínf f (x) x i 1 x x i x i 1 x x i
c Dpto. de Mtemátics UDC Sums de Riemnn Definición Se llm sum superior de Riemnn de l función f reltiv l prtición P : U(P,f ) = n i=1 M i (x i x i 1 ) Definición Se llm sum inferior de Riemnn de l función f reltiv l prtición P : L(P,f ) = n i=1 m i (x i x i 1 )
c Dpto. de Mtemátics UDC
c Dpto. de Mtemátics UDC
c Dpto. de Mtemátics UDC Integrl de Riemnn Definición Dd un función f cotd, se dice que f es integrble en [,b] en el sentido de Riemnn si y sólo si: ε > 0, P prtición de [,b] tl que U(P,f ) L(P,f ) < ε. Se escribe f R[,b]. Interpretción geométric Si f es un función positiv en un intervlo [,b], su integrl de Riemnn, f (x)dx, represent el áre limitd por l curv y = f (x), el eje y = 0 y ls rects x = y x = b.
c Dpto. de Mtemátics UDC Teorem (de integrbilidd) Tod función continu en [,b] es integrble en [,b]. En consecuenci, tod función derivble es integrble. Tod función monóton y cotd en [,b] es integrble en [,b]. Tod función cotd en [,b] que present en dicho intervlo un número finito de puntos de discontinuidd, es integrble en [,b] Se f un función integrble en [,b] en el sentido de Riemnn, y tl que: m f (x) M, x [,b] Si g es continu en [m,m], entonces l función compuest g f es integrble en [,b].
c Dpto. de Mtemátics UDC Propiedd Sen f,g R[,b]. Entonces: f ± g R[,b] y cf R[,b], c R, y se cumple: fg R[,b] (f ± g)(x)dx = (cf )(x)dx = c f (x)dx ± g(x) dx f (x)dx Si < c < b, entonces f R[,c] y f R[c,b], y se verific: c f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx c
c Dpto. de Mtemátics UDC Propiedd Sen f,g R[,b]. Si f g en [,b], entonces Si m f (x) M, x [,b], entonces f (x)dx g(x) dx m(b ) f (x)dx M(b ) f R[,b], y se cumple: f (x)dx f (x) dx
c Dpto. de Mtemátics UDC Teorem (fundmentl del cálculo) Se f R[,b]. Pr x b, se: x F(x) = f (t)dt. Entonces, F C [,b]. Además, si f es continu en [,b], entonces F es derivble en [,b] y F (x) = f (x), x [,b]. Tmbién puede enuncirse de l siguiente mner: Si f : I R es continu en I, entonces tiene primitivs en I; un de ells es l integrl definid F dd por: donde I es culquier. x F(x) = f (t)dt
c Dpto. de Mtemátics UDC Regl de Brrow Si f R[,b] y existe un primitiv F de f en [,b], entonces: f (x)dx = b F(x) = F(b) F() Teorem (Integrción por prtes) Si F y G son dos funciones derivbles en [,b], y se tiene: { F = f G en [,b] = g siendo f y g integrbles en [,b], entonces F(x)g(x)dx = F(b)G(b) F()G() f (x)g(x)dx
c Dpto. de Mtemátics UDC Teorem Se l función F dd por l integrl definid: (x) F(x) = f (t)dt (x) Entonces, l derivd de F con respecto x viene dd por: F (x) = f (b(x))b (x) f ((x)) (x)
Integrción numéric
c Dpto. de Mtemátics UDC Integrción numéric L integrl de un función no se clcul de form exct cundo sólo conocemos los vlores de l función en un número finito de puntos su primitiv no se expres en términos de funciones elementles ejemplos: f (x) = sinx x ; f (x) = e x2 su primitiv es muy costos de clculr o de evlur 1 ejemplo: f (x) = (x 8) x 2 4x 7
c Dpto. de Mtemátics UDC Integrción numéric. Fórmuls simples Fórmul del rectángulo: f (x)dx (b )f (x 0 ), x 0 [,b] En prticulr, si x 0 = +b 2, l fórmul se conoce como fórmul del punto medio o de Poncelet Fórmul del trpecio: f (x)dx b ( ) f () + f (b) 2 Fórmul de Simpson: f (x)dx b ( f () + 4 f ( + b ) 6 2 ) + f (b)
c Dpto. de Mtemátics UDC Integrción numéric. Fórmuls compuests 1. Se divide el intervlo de integrción en n subintervlos de igul longitud: x i = + ih (i = 0,1,...,n) con h = b n 2. Se proxim l integrl medinte un fórmul simple en cd subintervlo: n 1 xi+1 f (x)dx = f (x)dx i=0 x i Fórmul del punto medio compuest: n 1 f (x)dx h Fórmul del trpecio compuest: f (x)dx h 2 i=0 ( n 1 f (x 0 ) + 2 f ( x i + x i+1 ) 2 i=1 ) f (x i ) + f (x n )
Integrción impropi
c Dpto. de Mtemátics UDC Integrción impropi Definición L integrl condiciones siguientes: f (x)dx se dice impropi si se d l menos un de ls el intervlo (,b) no es cotdo f no está cotd en (,b) Ls integrles impropis se clsificn en: 1. integrles de primer especie: (,b) no cotdo, f cotd en (,b) 2. integrles de segund especie: (,b) cotdo, f no cotd en (,b) 3. integrles de tercer especie: (,b) no cotdo, f no cotd en (,b)
c Dpto. de Mtemátics UDC Integrles impropis de primer especie Se f : (,b] R integrble en [m,b], f (x)dx = lím m m b. Se define: m f (x)dx si el límite existe. Si el límite es finito, se dice que l integrl es convergente.
c Dpto. de Mtemátics UDC Integrles impropis de primer especie De form similr, si f : [,+ ) R es integrble en [,M], M, se define + f (x)dx = si el límite existe. Por último, se define + f (x)dx = lím M + M f (x)dx + f (x)dx + f (x)dx + Si l integrl f (x)dx existe, su vlor es independiente de R.
c Dpto. de Mtemátics UDC Integrles impropis de segund especie Se f : (,b] R tl que lím (x) = ±. Si f es integrble en [t,b], x +f t (,b], entonces se define si el límite existe. f (x)dx = lím f (x)dx t + t De form nálog, si f : [,b) R es tl que lím (x) = ± y f es x b f integrble en [,t], t [,b), entonces se define si el límite existe. t f (x)dx = lím f (x)dx t b Si el límite es finito, se dice que l integrl es convergente.
c Dpto. de Mtemátics UDC Integrles impropis de segund especie c Si lím f (x) = ±, con c (,b), y existen f (x)dx y f (x) dx, entonces x c c se define c f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx c
c Dpto. de Mtemátics UDC Integrles impropis de tercer especie Son integrles en un intervlo no cotdo de un función no cotd en un número finito de puntos del intervlo. Ejemplo L integrl 0 1 x dx se reduce los csos nteriores de l siguiente form: 0 1 x dx = 1 1 0 x dx }{{} 2 especie + 1 1 x dx }{{} 1 especie
Cálculo de áres y volúmenes
c Dpto. de Mtemátics UDC Áre de superficies plns Sen ls funciones f,g : [,b] R integrbles. Entonces el áre A limitd por ls curvs y = f (x), y = g(x) y ls rects x = y x = b está dd por: A = f (x) g(x) dx Cso prticulr: Si g(x) = 0, entonces A = f (x) dx.
El volumen del cuerpo se puede obtener de form similr prtir de ls áres de ls secciones producids por plnos perpendiculres l eje OY en el intervlo [,b]. c Dpto. de Mtemátics UDC Volumen de un sólido Supongmos un sólido que, l ser cortdo por un plno perpendiculr l eje OX, pr cd x [,b], produce un sección de áre A(x). El volumen del sólido comprendido entre x = y x = b es: V = A(x) dx
c Dpto. de Mtemátics UDC Volumen de un sólido de revolución Al girr el grfo de f : [,b] R lrededor del eje OX, se obtiene un sólido cuyo volumen es: V = π f (x) 2 dx
Ecuciones diferenciles
c Dpto. de Mtemátics UDC Clsificción de ls ecuciones diferenciles 1. Ecuciones diferenciles ordinris 1.1 Ecuciones diferenciles ordinris de primer orden Ecuciones diferenciles seprbles o en vribles seprds Ecuciones diferenciles lineles Otros tipos: homogénes, excts, de Bernoulli,... 1.2 Ecuciones diferenciles ordinris de orden superior Ecuciones diferenciles lineles Ecuciones diferenciles lineles con coeficientes constntes Ecuciones diferenciles lineles con coeficientes vribles Ecuciones diferenciles no lineles 2. Ecuciones en derivds prciles
c Dpto. de Mtemátics UDC Ecución diferencil ordinri de primer orden Definición Un ecución diferencil ordinri (e.d.o.) de primer orden es un ecución de l form y = f (x,y) donde l incógnit es l función y = y(x). Definición El problem: hllr y = y(x) solución de { y = f (x,y) se llm problem de vlor inicil. y(x 0 ) = y 0
c Dpto. de Mtemátics UDC Aplicción: enfrimiento de un plc Problem: Un plc metálic se h clentdo hst un tempertur T 0 y se h depositdo en un recinto cerrdo un tempertur constnte T. Si T = 20 o C y T 0 = 80 o C, cuál es l tempertur de l plc después de t minutos? Ley de enfrimiento de Newton: Cundo l diferenci de temperturs entre un cuerpo y su medio mbiente no es demsido grnde, l vrición en el tiempo del clor trnsferido hci el cuerpo o desde el cuerpo es proporcionl l diferenci de l tempertur entre el cuerpo y el medio externo. Si Q(t): clor trnsferido hci o por l plc después de t minutos dq : vrición de clor trnsferido dt entonces dq = k(t T ) dt donde k es un constnte cuyo vlor se determin prtir de los dtos del problem.
c Dpto. de Mtemátics UDC Aplicción: propgción de un virus informático Problem: En un red de ordendores se propg un virus informático. L velocidd de infección es proporcionl l número de equipos infectdos y l número de equipos sin infectr: dn = kn(p N) dt Suponiendo que l red tiene P = 1000 equipos, el virus prte de uno de ellos y l cbo de 2 minutos hy 10 equipos infectdos, queremos clculr el número de equipos infectdos en cd instnte.
c Dpto. de Mtemátics UDC Ecuciones diferenciles en vribles seprds L ecución diferencil y = f (x,y) dy dx = f (x,y) se dice seprble o en vribles seprds si f (x,y) = g(x) h(y) Pr resolverl, seprmos ls vribles e integrmos: dy dx = g(x) h(y) h(y)dy = g(x)dx h(y)dy = g(x)dx Not: L constnte de integrción se clcul imponiendo un condición del tipo y(x 0 ) = y 0 (condición inicil).
c Dpto. de Mtemátics UDC Ecuciones diferenciles lineles de primer orden Un ecución diferencil linel de primer orden es un ecución de l form y + p(x)y = q(x) Multiplicndo los dos miembros de l ecución por µ(x) tl que µ(x)(y (x) + p(x)y(x)) = (µ(x)y(x)) e integrndo, se ve que l solución es de l form ( ) y(x) = µ(x) 1 µ(x)q(x)dx + C Se puede comprobr que µ(x) = e p(x) dx