Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Antonio Francisco Roldán López de Hierro * Convocatoria de 006 Las siguientes páginas contienen las soluciones de los ejercicios propuestos para las pruebas de acceso a la Universidad en Andalucía de la asignatura Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. Está clasi cados por convocatorias y llevan un código como el siguiente: 006-3-B-, que signi ca ejercicio de la opción B del modelo 3 de la convocatoria de 006. Ejercicio (006--A-) Sean las funciones f () = 4 + 6 y g () =. (a) [] Determine, para cada una de ellas, los puntos de corte con los ejes, el vértice y la curvatura. Represéntelas grá camente. (b) [] Determine el valor de para el que se hace mínima la función h() = f() g(). Solución : (Apartado a) En primer lugar, estudiamos la función f. Observamos que se trata de una función parabólica convea, cuyo vértice está en Como f () = 4 f v = b a = 4 = : + 6 =, el vértice de f es el punto (; ). Su único punto de corte con el eje OY es (0; f (0)) = (0; 6). Para calcular dónde corta al eje OX, resolvemos la ecuación: f () = 0, 4+6 = 0, = 4 p 6 4 = 4 p ; No tiene solución real. Por tanto, la función f no corta al eje de abscisas, y hemos deducido lo siguiente sobre f. f corta al eje OY en (0; 6), y no corta al eje OX; f es convea y su vértice está en (; ) : * Profesor del I.E.S. Acci de Guadi (Granada) - http://www.ies-acci.com/antonioroldan/
Razonamos de igual forma con g. La función g es una función parabólica cóncava, cuyo vértice está en Como g () = g v = b a = = : =, el vértice de g es el punto (; ). Su único punto de corte con el eje OY es (0; g (0)) = (0; 0). Para calcular dónde corta al eje OX, resolvemos la ecuación: g () = 0, = 0, ( ) = 0, f = 0; = g : Por tanto, g corta al eje de abscisas en (0; 0) y (; 0), y hemos deducido lo siguiente sobre g. g corta al eje OY en (0; 0) y al eje OX en (0; 0) y (; 0) ; g es cóncava y su vértice está en (; ) : Con esta información, la representación grá ca conjunta de f y g es la siguiente: y 6 4 g f 3 (Apartado b) La función h es: h () = f () g () = 4 + 6 = 6 + 6; R: Por tanto, h es otra función parabólica convea, lo que nos dice que posee un único mínimo absoluto que se alcanza en su vértice: h v = b a = 6 4 = 0 5: h toma su valor mínimo cuando = 0 5. Ejercicio (006--B-) Calcule las derivadas de las siguientes funciones: a) [] f () = 3 + (5 ) 3 b) [] g () = + L + c) [] h () = 3 5 + e : Andalucía Antonio Roldán
Solución : La función f es una suma de funciones derivables, por lo que su derivada es la suma de sus respectivas derivadas. El primer sumando es un cociente, por lo que aplicamos la regla correspondiente, y el segundo sumando es una función potencial: f 0 () = 3 ( 3) + 3 (5 ) 5 = + 5 (5 ) : La función g es un producto de dos funciones, una polinómica y una logarítmica, por lo que aplicamos la regla del producto: g 0 () = L + + + = + L + : + = L + + = Finalmente, h es la suma de dos funciones eponenciales que derivamos con su regla usual: h 0 () = 3 5 L 3 5 + e = 5 L 3 3 5 + e : Ejercicio 3 (006--A-, Septiembre) (a) [ 5] La grá ca de la función derivada de una función f es la parábola de vértice (0; ) que corta al eje de abscisas en los puntos ( 3; 0) y (3; 0). A partir de dicha grá ca, determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f. (b) [ 5] Calcule los etremos relativos de la función g () = 3 3. Solución : Hacemos un boceto de la función derivada f 0, pues se trata de una parábola muy sencilla: y 4 4 Hay que tener muy claro que ésta no es f, sino su derivada f 0. No obstante, sabemos que el signo de la función f 0 es lo que determina la monotonía de f, por lo que sabemos que f 0 Mín + Má < f creciente en ] 3; 3 [ ; f & 3 % 3 & : f decreciente en ] ; 3 [ [ ] 3; + [ : Andalucía 3 Antonio Roldán
Para el segundo apartado, calculamos los puntos en los que se anula la primera derivada de g: g 0 () = 0, 3 3 = 0, 3 ( ) ( + ) = 0, = : Con la segunda derivada, g 00 () = 6, con rmamos que se tratan de etremos relativos, y los clasi camos: g 00 ( ) = 6 < 0 ) ( ; g ( )) = ( ; ) es un máimo relativo, g 00 () = 6 > 0 ) (; g ()) = (; ) es un mínimo relativo. Por tanto, ( ; ) y (; ) son los únicos etremos relativos de g. Ejercicio 4 (006--B-, Septiembre) Considera la función f () = 3. (a) [] Halle la ecuación de la recta tangente a la grá ca de esa función en el punto de abscisa =. (b) [] Estudie su monotonía. (c) [] Calcule sus asíntotas. Solución : Necesitamos calcular la primera derivada de f: f 0 () = ( ) (3 ) ( ) ( ) = ( ) : Entonces en el punto = se tiene que f () = = y que f 0 () = = =. Así la ecuación de la recta tangente a f en el punto de abscisa = es Dado que f 0 asíntotas son: y f () = f 0 () ( ), y = ( ), y = + : > 0 en todo su dominio, la función f es estrictamente creciente. Además sus 3 lm f () = lm = ) A.V. la recta =,!! lm f () = lm 3!! = = ) A.H. la recta y = : En efecto, si dibujamos la función observamos estas dos asíntotas: y 5 4 6 Andalucía 4 Antonio Roldán
Ejercicio 5 (006-3-A-, Junio) (a) [ 5] Halle los valores de a y b para que la grá ca de la función f () = a 3 + 3 5 + b pase por el punto (; 3) y tenga un punto de in eión en =. (b) [ 5] Halle los intervalos de monotonía y los etremos relativos de la función g () = 3 3 +7. Solución : Las dos primeras derivadas de f son f 0 () = 3a + 6 5 y f 00 () = 6a + 6. Entonces traducimos las dos condiciones dadas en dos ecuaciones con dos incógnitas: f pasa por (; 3), f () = 3, a + 3 5 + b = 3, a + b = ; P.I. en = ) f 00 ( ) = 0, 6a + 6 = 0: Por tanto a = y b =. Por otro lado, si g () = 3 3 +7, su primera derivada es g 0 () = 3 6 = 3 ( ), lo que indica que los puntos críticos son = 0 y =. Analizamos el signo de g 0 en la siguiente tabla, y sacamos las conclusiones oportunas: g 0 + Má Mín + g % 0 & % Monotonía Etremos < : < : f decreciente en ]0; [ ; f creciente en ] ; 0 [ [ ] ; + [ : máimo relativo en (0; 7) ; mínimo relativo en (; 3) : Ejercicio 6 (006-3-B-, Junio) Sea la función f de nida por >< ; si 0; f () = >: + ; si > 0: (a) [] Estudie la continuidad y la derivabilidad de f. (b) [] Calcule la ecuación de la recta tangente a la grá ca de la función en el punto de abscisa =. Solución : La función f es continua y derivable en R porque en este intervalo abierto es una función racional (sin ceros del denominador), y es continua y derivable en R + porque en este Andalucía 5 Antonio Roldán
intervalo es una función polinómica. Nos queda por analizar la continuidad y derivabilidad en = 0. Calculamos los límites laterales de f en = 0: f (0) = f 0 = lm!0 f () = lm!0 f 0 + = lm f () = lm!0 +!0 + = 0: + = 0; Como estos límites laterales coinciden entre sí y coinciden con el valor f (0) = 0, la función f es continua en = 0, y así deducimos que f es continua en todo su dominio. Para estudiar la derivabilidad, primero derivamos el primer trozo: < 0; 0 = ( ) ( ) = Entonces la primera derivada de f es, al menos, >< f 0 ; si < 0; () = ( ) >: + ; si > 0: Estudiamos los límites laterales de f 0 en = 0: ( ) : f 0 f 0 0 = lm f 0 () = lm!0!0 ( ) = = ; 0 + = lm f 0 () = lm ( + ) = :!0 +!0 + Como f 0 (0 ) 6= f 0 (0 + ), la función f no es derivable en = 0. Resumiendo, f es continua en R y derivable en R f0g. Para calcular la recta tangente en =, sólo necesitamos dos datos: f () = + = ; f 0 () = + = 3: Entonces la recta tangente a f en = es y f () = f 0 () ( ), y = 3 ( ), y = 3 : Andalucía 6 Antonio Roldán