Materiales producidos e el curso: Curso realizado e colaboració etre la Editorial Bruño y el IUCE de la UAM de Madrid del 1 de marzo al 30 de abril de 013 Título: Curso Moodle para matemáticas de la ESO y Bachilleratos. Libros digitales co Multimedia: Vídeos, applets, cuestioarios, tareas y exámees. Experimetació de ua uidad didáctica co los alumos Proesores del curso: José María Arias Cabezas e Ildeoso Maza Sáez autores de Matemáticas de la editorial Bruño Autor: Luque Gozález, María Luisa IES Pio Rueda (Umbrete-Sevilla) Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II Comuidad de Adalucía. Año 1. Juio. Opció A Ejercicio 1. Sea el recito itado por las siguietes iecuacioes: y + x ; y 3x 3; 3y x 6. a) (1 puto) Represete gráicamete dicho recito. b) (1 puto) Calcule sus vértices. c) (0.5 putos) Obtega el valor míimo de la ució F (x,y) = x y e el recito aterior, así como dóde lo alcaza. Solució: a) Las desigualdades y + x ; y 3x 3; 3y x 6; las trasormamos e igualdades, y ya so rectas y despejamos y: y = x +; y = (3/)x (3/); y = (1/3) x +; Represetamos gráicamete las rectas que veriica estas igualdades, etre las que estará los bordes del recito itado por las iecuacioes dadas. b) Para calcular los vértices resolvemos los sistemas de ecuacioes determiados por las rectas que deie el recito: y x A(1,0) y 3x 3 y x B (0, ) 3y x 6 y 3x 3 C(3,3) 3y x 6
c) Cosideramos la ució F (x,y) = x y El teorema Fudametal de la Programació Lieal aiaza su máximo y míimo absoluto e la regió acotada, y que este extremo debe estar situado e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(1,0) ; B(0, ) y el C(3,3). F (1,0) = 0 = F (0,) = 0 = F (1,0) = 6 3 = 3 Teiedo e cueta lo aterior, vemos que el míimo absoluto de la ució F e la regió es (el valor meor e los vértices) y se alcaza e el puto B(0, ) Ejercicio. a) (1.5 putos) Sea la ució x ax 3x si x x bx 4 si x Determie los valores de a y b, para que la ució sea derivable e x =. b) (1 puto) Calcule la ecuació de la recta tagete a la gráica de la ució el puto de abscisa x = 0. g x x x 1 e Solució: a) La ució ax + 3x es ua ució poliómica, por tato cotiua y derivable e todo R, e particular e (, ). La ució x bx 4 es ua ució poliómica, por tato cotiua y derivable e todo R, e particular e (,+ ). Veamos la cotiuidad e x =. x x. (x) es cotiua e x = si se cumple: 4a 6 ; x x x ax 3x 4a 6 x x x bx 4 b x x x
Como los tres valores tiee que ser iguales para que la ució sea cotiua e x =, teemos que. 4a 6 b ax 3x si x x x bx 4 si x ' x ax 3 x b si si x x (x) es derivable e x = si se cumple: de la derivada. x ' x x ' x, estamos viedo la cotiuidad x ' x ax 3 4a 3 x ; x ' x x b 4 b x Teemos la ecuació: 4a 3 4b Resolvemos el sistema: ució de la siguiete orma: 4a 6 b 4a 3 4 b cuya solució es a = y b = 7, quedado la x x 3x si x x 7x 4 si x b) La ecuació de la recta tagete a la ució y g 0 x 0 g 0. g x x x 1 e el puto de abscisa x = 0 es: Calculamos: g(0) = ; g x 3 x 1 La recta tagete pedida es y = 3x., de dode obteemos g (0) = 3. Ejercicio 3. Ua compañía de seguros ha hecho u seguimieto durate u año a 50000 coches de la marca A, a 0000 coches de la marca B y a 30000 coches de la marca C, que teía asegurados, obteiedo que, de ellos, había teido accidete 650 coches de la marca A, 00 de la marca B y 150 de la marca C. A la vista de estos datos: a) (1.5 putos) Cuál de las tres marcas de coches tiee meos proporció de accidetes?
b) (1.5 putos) Si, elegido al azar uo de los coches observados, ha teido u accidete, cuál es la probabilidad de que sea de la marca C? Solució: Llamemos A, B, C, Ac 1, Ac y Ac 3, Coche de la marca A, Coche de la marca B Coche de la marca C, Coche accidetado de A, Coche accidetado de B y Coche accidetado de C. Del euciado vemos que p(a) = 50000/100000 = 0,5; p(b) = 0000/100000 = 0,; p(c) = 30000/100000 = 0,3; p(ac 1 /A) = 650/50000 = 0,013; p(ac /B) = 00/0000 = 0,01 y p(ac 3 /C) = 150/30000 = 0,005. Todo esto podemos represetarlo e el siguiete diagrama del árbol: a) Calculamos la probabilidad de accidetes de cada ua de las marcas: p(accidetes marca A) = p(a). p(ac 1 /A) = 0,5 0,013 = 0,0065 = 0,65% p(accidetes marca B) = p(b). p(ac /B) = 0, 0,01 = 0,00 = 0,% p(accidetes marca C) = p(c). p(ac 3 /C) = 0,3 0,005 = 0,0015 = 0,15% La marca que tiee meos accidetes es la C (0,15%). b) Se aplica el teorema de Bayes pues os pide p(c/accidete) = pc pac3 / C A pac / A pb pac / B pc pac / C p 1 0,0015 0,15 0,0065 0,00 0,0015 Por tato la probabilidad pedida es p(c/accidete) = 0, 15 3 p C y accidete p accidete = Ejercicio 4. De ua muestra aleatoria de 10 alumos presetados a las Pruebas de Acceso, sólo 15 ha resultado o aptos.
a) (1.5 putos) Calcule u itervalo de coiaza, al 99%, para estimar la proporció de alumos que ha resultado aptos e dicha prueba. b) (1 puto) Mateiedo la misma coiaza, cuál debe ser el tamaño míimo de la muestra para estimar la proporció de alumos aptos, cometiedo u error ierior al 5%? a) Para costruir el itervalo: Se elige u estimador del parámetro que se desea estimar ( X para μ, para p), e uestro caso es de proporció, luego es (o aptos) = 15 0,15 10, por tato qˆ 0,875 Se elige u ivel de coiaza 1 α co el que se desea costruir el itervalo, que os lo da y es del 99%, es decir 1 α = 99% = 0,99, de dode α = 0,01 = 1% como ivel de sigiicació. El itervalo cetrado e el estadístico I.C. = I(p) = obteido e la muestra que sería: 1 z 1 /, z1 / 1 para estimar p Dode z 1 α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipiicada Z N(0, 1) tal que p( z 1 α/ Z z 1 α/) = 1 α, siedo 1 α el ivel de coiaza elegido. De la igualdad p( z 1 α/ Z z 1 α/) = 1 α, se deduce que p(z z 1 α/) = 1 α/, que se mira e la tabla de la distribució Normal y os dará el correspodiete valor crítico z 1 α/. p(z z 1 α/) = 1 α/ = 1 0,01/ = 0,995, mirado e la tabla de la N(0, 1) vemos que el valor más próximo a 0,995 es la mitad etre 0,9949 y 0,9951, que correspode a z 1 α/ = (,57 +,58) / =,575. Por tato el itervalo de coiaza pedido es I.C. = I 100(1 α)% (p) = 0,875 0,15 0,875,575 10 = (0,7976; 0,9574) 1 1 z 1 /, z1 / ; 0,875,575 0,875 0,15 10 = b) Sabemos que el error máximo = E = uestro caso: z 1 / 1 z ˆ ˆ c p q, de dode, e E
z c qˆ,575 E muestra es = 91. 0,875 0,15 90,089 0,05, por tato el tamaño míimo de la