Estadística Tema 5 Covergecia de Variables Aleatorias 51 Tipos de covergecia 52 Ley de los grades úmeros 53 Teorema cetral del límite 54 Método delta Objetivos 1 Motivació estudio secuecias de VAs 2 Covergecia de valores 3 Covergecia de distribucioes de probabilidad Bibliografía Dekkig et al (2005 Capítulos 13-14 Wasserma (2005 Capítulo 5 Wooldridge (2006 Apédice B 1
Estadística 5 Covergecia de Variables Aleatorias Carlos Velasco MEI UC3M 2007/08 Este tema itroduce la teoría para grades muestras o asitótica, y esta basada e el estudio del comportamieto límite de secuecia de VAs Los dos resultados básicos so la ley de los grades úmeros y el teorema cetral del límite 51 Tipos de covergecia Sea X 1, X 2,, ua secuecia de VAs y sea X otra VA Sea F la CDF de X y sea F la CDF de X X coverge a X e probabilidad, X p X, si para cada ɛ > 0, Pr ( X X > ɛ 0 cuado Si X p X, tambié escribimos p lím X = X y tambié X = X + o p (1 dode o p (1 idica que la diferecia X X coverge a 0 e probabilidad X coverge a X e distribució, X d X, si para todo t dode F es cotiua lím F (t = F (t X coverge a X e media cuadrática, X 2 X, si E (X X 2 0 cuado Ejemplo: si X N (0, 1/, etoces X p 0, d 0 2
Estadística 5 Covergecia de Variables Aleatorias Carlos Velasco MEI UC3M 2007/08 Relació etre las covergecias: X 2 X implica que X p X X p X implica que X d X X d X y si Pr (X = c = 1 para algú úmero real c, etoces X p X E geeral igua de las implicacioes cotrarias es cierta, co esta excepció Tampoco es cierto e geeral que si X p X implica que EX EX Propiedades: Sea X, X, Y, Y RVs y g ua fució cotiua X p X y Y p Y, etoces X + Y p X + Y X 2 X y Y 2 Y, etoces X + Y 2 X + Y X d X y Y d c, etoces X + Y d X + c[slutsky Th] X p X y Y p Y, etoces X Y p X Y X d X y Y d c, etoces X Y d cx [Slutsky Th] X p X, etoces g (X p g (X X d X, etoces g (X d g (X [Cotiuous Mappig Th] E geeral o es verdad que X d X y Y d Y, etoces X + Y d X + Y 3
Estadística 5 Covergecia de Variables Aleatorias Carlos Velasco MEI UC3M 2007/08 52 Ley de los Grades Números Sea X 1, X 2,, X ua muestra IID co µ = EX 1 y σ 2 = V (X 1 La media muestral es X = 1 co E ( ( X = µ y V X = σ 2 / X i Teorema Ley Débil de los Grades Números Si X 1, X 2,, X so ua muestra IID, etoces X p µ Prueba: Desigualdad de Chebysev, asumiedo que σ < Ejemplo X i Beroulli(p = 0,5 Pr ( 0,4 X 0,6? E ese caso decimos que X es cosistete para estimar p Ejemplo: Covergecia variaza muestral es S 2 = = 1 1 ( 1 ( p lím ( Xi X 2 1 Xi 2 1 1 p lím 1 X 2 ( Xi 2 lím = 1 EX 2 1 (EX 2 = EX 2 µ 2 = σ 2 p lím X2 1 4
Estadística 5 Covergecia de Variables Aleatorias Carlos Velasco MEI UC3M 2007/08 53 Teorema Cetral del Límite Por la LDGN sabemos que X está cerca de µ co alta probabilidad segú aumeta, pero eso o os permite coocer la distribució de probabilidad de X Sea X 1, X 2,, X ua muestra IID co µ = EX 1 y σ 2 = V (X 1 Etoces, para grade, X tiee ua distribució aproximadamete Normal co media E ( X = µ y varfiaza V ( X = σ 2 / Teorema Teorema Cetral del Límite Si X 1, X 2,, X so ua muestra IID co µ = EX 1 y σ 2 = V (X 1, etoces Z = X µ V ( X = ( X µ σ d Z, dode Z N (0, 1 Notació Alterativas: Z d N (0, 1 Z N (0, 1 X N (µ, σ2 X µ N (0, σ2 ( X µ N (0, σ2 ( X µ σ N (0, 1 E geeral o sabemos cuato vale σ, pero aplicado Slutsky, teemos que: Teorema Bajo las mismas codicioes del TCL, como S p σ porque g (x = x 2 es ua fució cotiua, ( X µ S d N (0, 1 5
Estadística 5 Covergecia de Variables Aleatorias Carlos Velasco MEI UC3M 2007/08 Teorema Cetral del Límite Multivariate Sea X 1, X 2,, X vectores aleatorios IID co X i = X 1i X 2i X ki co media µ = µ 1 µ 2 = EX 1i EX 2i y matriz de variazas-covariazas Σ, Etoces Σ = µ k EX ki V (X 1i C (X 1i, X ki C (X ki, X 1i V (X ki ( X µ d N (0, Σ, Σ 1/2 ( X µ d N (0, I k dode I k es la matriz idetidad de dimesió k 6
Estadística 5 Covergecia de Variables Aleatorias Carlos Velasco MEI UC3M 2007/08 54 Método delta Teorema (Método Delta Si (Ȳ µ y g es difereciable, tal que g (µ 0, etoces ( g (Ȳ g (µ σ g (µ σ d N (0, 1 d N (0, 1, es decir si etoces Ȳ N (µ, σ2 g ( ( Ȳ N g (µ, (g (µ 2 σ 2 Teorema (Método Delta Multivariate Si Y = (Y 1, Y k es ua secuecia de vectores aleatorios tal que (Ȳ µ d N (0, Σ y g : R k R es difereciable, tal que µ = g (µ, etoces ( g (Ȳ g (µ d N ( 0, T µ Σ µ Ejemplo Distribució asitótica de X 2 Sea g (x = x 2, etoces g (x = 2x Por tato, si etoces X N (µ, σ2 g ( ( X N g (µ, (g (µ 2 σ 2 = N (µ 2, (2µ 2 σ 2 es decir Qué ocurre si µ = 0? X2 µ 2 2µσ N (0, 1 7