ESCUELA UNIVERSITARIA DE ESTUDIOS EMPRESARIALES UNIVERSIDAD DE SEVILLA

ESCUELA UNIVERSITARIA DE ESTUDIOS EMPRESARIALES UNIVERSIDAD DE SEVILLA DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA APLICADA I RENTAS (reumen de teoría y boletne de problema) MATEMATICAS DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS 2004/2005 M a Ángele Domínguez errano 1

2 RENTAS FINANCIERAS Una renta puede er defnda como un conjunto de pago (captale fnancero) que deben hacere efectvo en ntervalo de tempo de la mma duracón. Tenemo una coleccón de pago, a 1, a 2,..., a,..., a n, ete conjunto de captale e una renta cumplen la condcón: INTERVALOS DE LA MISMA DURACIÓN ENTRE CUA- LESQUIERA DOS PAGOS CONSECUTIVOS. Nota: Todo lo a e conderan captale fnancero, e decr, a repreenta la cuantía del captal, meddo en undade monetara y u vencmento. Tambén pueden nterpretare como varable bdmenonale, en el entdo de que a vene defndo con do coordenada, cuantía y vencmento, a = (a, ). Nota: Dependendo del tempo que trancurra entre cada do a tenemo una renta quncenal, menual, bmetral, trmetral,..., o anual. Para perodo uperore al año, benal, trenal, qunquenal, etc... Clafcacón de la renta: S el tempo en el que deben hacere lo pago e conoce prevamente, e trata de una renta certa (lo pago on certo ). En otro cao, etamo hablando de una renta contngente, e decr, una renta en la cual la duracón u otra magntud e aleatora. Ejemplo de renta certa on la hpoteca, lo alqulere, pago a plazo de la compra de un automóvl u otro objeto, lo pago menuale o de otra perodcdad para conttur un fondo (ahorrar una certa cantdad de dnero), etc... Ejemplo de renta contngente on lo plane de penone, prvado o procedente del etado, que conten en pago que contnúan durante la vda de una perona jublada (medda medante una varable aleatora). Nota: Nootro ólo conderaremo renta certa, conecuentemente, todo lo elemento que aparecen en ella etán fjado, o ea, e uponen pactado prevamente con la entdad que e contrata ea renta. Elemento de una renta: [t 0, t n ] duracón de la renta, t 0 orgen de la renta, t n fnal de la renta [t, t +1 ] perodo, tempo que trancurre entre cada do pago, perodcdad de la renta. a pago de la renta, térmno de la renta. t 1, t 2,..., t,..., t n vencmento. a 1 a 2 a a +1 a n-1 a n t 0 t 1 t 2 t t +1 t n-1 t n

3 Nota 1. Acerca del tpo de nteré: Empezaremo conderando renta para la cuale la perodcdad de lo pago y del tpo de nteré etán referdo a la mma undad de tempo, aí uaremo el térmno perodo para ambo, por ejemplo: lo a on menuale, upondremo que el tpo de nteré e 12, nteré menual efectvo. En general, lo a on lo pago peródco, entenderemo que e el nteré peródco (tanto de nteré perodal). Dependendo de: Cuando tenemo de referenca un tanto de nteré anual efectvo, lo pago e hacen con má frecuenca que una vez al año, ( vece al año) tenemo que calcular tal que (1 + ) = (1 + ); y meno frecuente que una vez al año, (cada m año) calcular 1/m tal que (1 + ) m = (1 + 1/m ). S tenemo de referenca un tanto de nteré nomnal j, calcularemo ( vece al año) como = j, o 1/m = m j 1/m (cada m año) Nota 2. La duracón de la renta [0, n], e dvde en n perodo de gual tempo. Para cada perodo, [0, 1], [1, 2],..., [, + 1],..., [n 1, n], tenemo do pobldade: Lo n pago e hacen al fnal de cada perodo, RENTAS POSTPAGABLES lo n pago e hacen al prncpo de cada perodo RENTAS PREPAGABLES Nota 3. Con repecto a la cuantía de lo térmno de la renta (pago), dtngumo entre: Térmno de la mma cantdad, RENTAS CONSTANTES. O renta con pago, térmno, de cantdade que varían, RENTAS VARIABLES. Nota 4. tambén dtnguremo entre renta con un número fnto de térmno, renta TEMPORALES, o renta con nfnto térmno, (lo pago contnúan ndefndamente), renta PERPETUAS. En cualquer cao, el prncpal propóto e: Encontrar un olo captal repreentatvo de todo lo pago a 1,, a n, que pueda er uado en lugar de éto, en el contexto de la matemátca fnancera, e decr, egún el prncpo de equvalenca fnancera: la uma de lo captale de la pretacón, (que en nuetro cao va a er el captal que bucamo), debe er gual a la uma de lo captale de la contrapretacón, (lo a 1,, a n ), todo ello, pretacón y contrapretacón, valorado en un mmo momento de tempo y con la mma ley fnancera ). En nuetro cao upondremo la ley de nteré compueto: C n = C 0 (1 + ) n, (valor fnal depué de n perodo), C 0 = C n (1 + ) n, (decuento o actualzacón de n perodo). S calculamo ete captal en el momento 0, (orgen de la renta, repreentado hata ahora como t 0 ), lo llamaremo valor actual de una renta y en n valor fnal.

4 VALOR ACTUAL Y VALOR FINAL (RENTAS INMEDIATAS) Comenzaremo con el modelo ma mple : Una renta potpagable, con n térmno (temporal), todo ello de la mma cuantía a, (a = a, ), RENTA CONSTANTE. V 0 V n a a a a a a 0 1 2 +1 n-1 n Por V 0 ó A ndcamo el valor actual, que debe concdr con la uma de lo n térmno a decontado al momento 0 a un nteré efectvo. O ea, el valor decontado del térmno a con vencmento al fnal del prmer perodo e a(1 + ) 1, el valor decontado del 2 o térmno a con vencmento al fnal del 2 o perodo e a(1 + ) 2, y ete proceo contnúa hata el valor decontado del térmno a con vencmento al fnal del n-émo perodo, que e a(1 + ) n : V 0 = a(1 + ) 1 + a(1 + ) 2 + + a(1 + ) + + a(1 + ) n Se puede comprobar que eta expreón concde con la uma de una progreón geométrca (cualquer umando, +1, e el anteror,, multplcado por la razón (1+) 1 : a(1+) (+1) = a(1 + ) (1 + ) 1 ), donde el prmer umando e a(1 + ) 1, el últmo e a(1 + ) n, y la razón de la progreón e (1 + ) 1. El reultado de eta uma e (uando la fórmula de la uma de n térmno de una progreón geométrca: S n = 1er umando útmo razón ): 1 razón V 0 = a(1 + ) 1 a(1 + ) n (1 + ) 1, que una vez mplfcado ( acando a y (1 + ) 1 1 (1 + ) 1 factor común) reulta: 1 (1 + ) n V 0 = a = a a n Nota: Se oberva que lo pago a etán multplcado por a n, luego a = 1, renta untara, u valor actual concde con el valor a n, y ete valor a n erá referdo de ahora en adelante en todo nuetro cálculo. Análogamente a como veníamo hacendo en la leccone anterore para calcular el valor fnal o montante de un captal ncal (en nuetro cao V 0 ) con la ley de nteré compueto (C n = C 0 (1 + ) n ), denotamo por V n ó S n el valor de la renta de térmno a en el momento n (momento fnal de la renta) erá: V n = V 0 (1 + ) n = a a n (1 + ) n = a (1 + )n 1 = a n De nuevo conderaremo n como el valor fnal de la renta untara.

5 1) Como ejercco, puede probare que la uma de cada térmno valorado en el momento n, concde con ete últmo reultado,.e.: n = (1 + ) n 1 + (1 + ) n 2 + + (1 + ) 2 + (1 + ) + 1 S necetáramo el valor de la renta decrta en un momento de tempo anteror al comenzo del perodo donde e efectúa el prmer pago, etamo hablando de una RENTA DIFERI- DA Por ejemplo, magnemo que hemo contratado una hpoteca hoy, pero comenzaremo a pagar dentro de tre mee, el dnero obtendo hoy e el de una renta dferda con un perodo de dfermento de tre mee. V - m V 0 a a... a a... a a -m -2-1 0 1 2 +1 n-1 n En el cao que no ocupa, pago al fnal de cada perodo, upongamo que queremo valorarla m perodo ante del comenzo de la mma; decontando el valor actual, V 0, m perodo, tenemo: V m = V 0 (1 + ) m = a a n (1 + ) m 2) Como ejercco, puede comprobare que la uma de cada pago valorado m perodo ante del comenzo de la renta (decrto en el gráfco por -m ), V m = a(1 + ) (m+1) +... a(1 + ) (m+n), concde con el reultado que acabamo de obtener. De la mma forma que en eta últma renta, puede que no nteree valorarla depué de haber fnalzado, por ejemplo perodo depué del fnal de últmo perodo, eto e una RENTA ANTICIPADA. V 0 a a a a a V n V n+ 0 1 +1 n-1 n n+1 n+2 n+ En ete cao referremo V n para captalzar éte perodo hata el punto degnado por n+ en el últmo gráfco, que e donde no nterea valorar la renta: V n+ = V n (1 + ) = a n (1 + )

6 S hubéramo utlzado el valor actual, tendríamo que haber captalzado n + perodo. Aí tenemo que: V n+ = V 0 (1 + ) n+ = a a n (1 + ) n+ Sguendo el equema de eto do últmo cao, podemo valorar la renta en cualquer momento de tempo entre el orgen y el fnal de la mma; para ello ólo tendremo que captalzar o decontar cada pago por eparado al momento requerdo y umar lo reultado, pero ete proceo e equvalente a captalzar o actualzar V 0 ó V n al momento en cuetón. En concluón: S deeamo valorar n pago conjuntamente, que e lo que repreentan V 0 ó V n, podemo valorar la renta que conttuyen eto pago en un momento de tempo cualquera decontando o captalzando eto valore de referenca V 0 ó V n. Lo má mportante e el número de térmno, (el n o entero n) y la localzacón de la fecha de valoracón (0, n, o cualquer otro momento ncludo un n o fracconaro de perodo). Una RENTA PREPAGABLE, tal como fue defnda, preenta una ola dferenca con la potpagable, lo vencmento de lo térmno de la renta acontecen al prncpo de cada perodo y el prmero en concreto en 0. S ntroducmo un perodo magnaro (en el guente gráfco [ 1, 0]) anteror al prmer perodo, el valor actual de la renta ahora potpagable (dede -1 hata n-1) concde con V 1, e decr, el valor de la renta un perodo ante del prmer vencmento concde con el valor de la renta en el punto eñalado con 1 V -1 V 0 a a a... a a... a -1 0 1 2 +1 n-1 n Procedendo de manera análoga a como lo venmo hacendo, captalzamo un perodo y el valor actual de la renta prepagable, que denotaremo V 0 ó Ä, e: V 0 = V 1 (1 + ) = a a n (1 + ) = a ä n Y la relacón entre la renta potpagable y la renta prepagable untara: ä n = a n (1 + ) 3) Como ejercco obtener el reultado anteror decontando cada pago por eparado al momento 0: a ä n = a + a(1 + ) 1 + a(1 + ) 2... a(1 + ) (n 1) 4) Como ejercco probar que ete últmo reultado concde con el reultado de nterpretar la renta prepagable de n térmno como la uma del prmer pago en 0 má una renta

7 potpagable de n 1 térmno (prmer pago en 1 y últmo en n 1),.e.: V 0 = a + a n 1 = a ä n 5) Como ejercco, ecrbr toda la expreone obtenda en la renta potpagable, para el cao de una prepagable: V n, V m, V n+

8 Una renta PERPETUA e una renta con nfnto térmno, e decr, de duracón ndefnda, que repreentamo medante el ntervalo [0, ]. V a 1... a... a n a n+1 a n+2... 0 1 n n+1 n+2 Como e obvo, el valor fnal de eta renta e nfnto, ya que etamo umando nteree nfntamente, conecuentemente, ólo podremo calcular magntude relaconada con el valor ncal de la renta. De nuevo (ahora para pago) tendremo que umar lo térmno decontado al momento 0 (procederemo de la mma manera en ambo cao, potpagable y prepagable), obtenendo una uma de una progreón geométrca con elemento,.e. una ere geométrca, donde el prmer elemento e a(1 + ) 1 en la renta potpagable o a en la prepagable y en ambo cao la razón e (1 + ) 1. Aplcando ahora la fórmula de la uma de la ere geométrca (S n = 1er umando ), para el cao de una renta perpetua potpagable: 1 razón V = a(1 + ) 1 1 (1 + ) = a 1 1 = a a Nota: Podemo aegurar que ete últmo reultado e un n o fnto, aunque ea de umando, ya que la razón cumple que exta (ere geométrca convergente). (1 + ) 1 < 1, que e la condcón para que tal uma 6) Como ejercco, probar que el reultado anteror para la renta perpetua prepagable e: ä = a (1 + ) 7) Como ejercco, tomar como vía alternatva para obtener V, el valor actual de la renta potpagable fnta (de n térmno) y demotrar que: a = lím n a n A travé de lo ejercco que venen a contnuacón etudaremo la renta en la cuale n ó on deconocdo y la conguente cuetone que no plantearán eto problema: N o DE TÉRMINOS DESCONOCIDO Ete problema conte mplemente en reolver la ecuacón: a n = 1 (1 + ) n = M, donde n e la ncógnta Pero el problema aparece cuando la olucón n no e un n o entero (recordemo que n e el n o de pago). Ilutremo eta cuetón con un ejemplo:

9 Ejemplo: Una cantdad de 1.000e e empleará para hacer pago de 100e al fnal de cada año y todo el tempo que ea poble. S el fondo no proporcona un tanto de nteré anual efectvo del 5 %, calcular cuánto pago podrían hacere. La ecuacón de equvalenca e: 100 a n 0,05 = 1000 1 (1 + 0,05) n 0,05 = 10; (1,05) n = 0,5 Tomando logartmo en lo do membro de la ecuacón, obtenemo n ln 1,05 = ln 0,5 n = ln 0,5 ln 1,05 = 14,2067 De lo que e deduce que tendremo que hacer al meno 14 pago (14 < n < 15), pero 100 a 14 0,05 1000 Lo que e uual en la práctca e tomar cualquera de la olucone guente: (a) hacer un pequeño pago adconal al mmo tempo que e hace efectvo el últmo térmno de la renta (a + X, en el ejemplo 100 + X); (b) hacer ete pago adconal un perodo depué del últmo pago de la renta (en el punto 15 ). Tambén e poble cualquer otra olucón acordada entre la parte, por ejemplo (c) Hacer un pago en efectvo en el momento 0, cuando comenza la renta. V 0 X 3 a a... a + a... 0 1 2 13 14 X 1 X 2 15 (a) 1000 = 100 a 14 0,05 + X 1 (1 + 0,05) 14 1000 = 100 9,898 + X 1 0,505 X 1 = 20,2e (b) 1000 = 100 a 14 0,05 + X 2 (1 + 0,05) 15 1000 = 100 9,898 + X 2 0,481 X 2 = 21,2e (c) 1000 = 100 a 14 0,05 + X 3 1000 = 100 9,898 + X 3 X 3 = 1,01e TANTO DE INTERÉS DESCONOCIDO Ete problema e má complejo que el anteror, de hecho, ólo podemo calcular una olucón aproxmada para, ya que a n = M, donde e la ncógnta, e una ecuacón mplícta (no e reoluble por método algebraco). Lo que podemo hacer e aplcar cualquer método de aproxmacón para reolver la ecuacón, por ejemplo, a n puede er expreada medante u dearrollo en ere (ere de Taylor) y elegr un n o de umando adecuado; el problema e que no empre e obtene una buena aproxmacón de : a n = n n(n + 1) 2! + n(n + 1)(n + 2) 3! 2 pero lo que í podemo hacer e combnar ete método con un método teratvo, tomando la olucón del dearrollo en ere como olucón de partda para el método teratvo. Uno de lo

10 método numérco má potente e el método de Newton-Raphon. La fórmula general e x n+1 = x n f(x n) f (x n ) para la ecuacón f(x) = 0, y eta fórmula teratva aplcada a a n = M reulta: a n M +1 = n(1 + ) n 1 a n Ejemplo: A qué tpo de nteré trmetral, e 16 000e el valor actual de la renta de 1 000e pagado al fnal de cada trmetre durante cnco año? Tomando lo do prmero umando de la ere de Taylor, tenemo: 16 = 20 1000 a 20 4 = 16000 a 20 4 = 16 20(20 + 1) 2! = 2(20 16) 20(20 + 1) = 0,01904762 Y tomando 0 = 0,01904762, e puede probar que la cuatro prmera teracone del método de Newton-Raphon on: 1 = 0,02219148, 2 = 0,02226228, 3 = 0,02226231, 4 = 0,02226231 RENTAS MÁS GENERALES Generalmente e uele conderar un tanto de nteré nomnal pagadero con la mma frecuenca que lo vencmento de lo térmno de la renta. S lo pago e hacen má o meno frecuentemente que el nteré nomnal, hay do manera de nterpretar la renta: I) El que hemo vendo empleando en nuetro etudo, e decr, dado un nteré efectvo, encontrar el tanto de nteré peródco efectvo m ó 1/m equvalente al tanto de nteré dado, y uando ete nuevo tanto de nteré, calcular el valor de la renta uando la técnca ya dearrollada. II) El guente dearrollo e mlar para renta con térmno que on má frecuente o meno en relacón con la convertbldad del nteré nomnal, aí que procederemo con el cao en que lo térmno vencen con má frecuenca que el nteré nomnal (má de un pago al año, RENTAS FRACCIONADAS), por ejemplo: Sea un tanto de nteré efectvo anual (teórcamente e un nomnal pagadero una vez al año), y conderemo una renta de térmno al año (cada -éma parte del año, hay un pago), la duracón de la renta e de n año y la cuantía anual e a, tenemo n pago de cuantía a, conderando un año como una ola renta con pago, el valor fnal de eta renta (fnal año 0-1) e la cantdad anual multplcada por el llamado factor de correccón: a = a (1 + ) 1 = a (1 + ) 1 = a j

11 V 0 a a a a a j 0 1/ 2/ 3/ -1/ 1 ( Factor de correccón) j Una vez hecho ete cálculo, podemo nterpretar lo n año como n renta de éta últma que hemo valorado, con u correpondente valore fnale todo guale a a, que hacen de anualdade para la renta anual, contante, de duracón n año, y j valoraremo a un nteré efectvo anual : a a a a j j j j 0 1 2 n-1 n El valor actual de eta renta e: V 0 = a a n j Y que como podemo ver la únca dferenca que preenta con una renta anual de anualdad de térmno a (cuantía anual), e precamente el factor de correccón y que uaremo precamente para comparar la renta fracconada con la renta anual. j. Ejemplo: Un prétamo de 3000e tene que er devuelto medante pago trmetrale al fnal de cada trmetre durante 5 año. S no cobran por ete tpo de operacón un 10 % de nteré nomnal emetral, calcular la cuantía de la trmetraldad. Partmo de un nteré efectvo del 5 % emetral, ya que: j 2 = 10 % = 2 = 10 % = 5 % 2 I) 2 = 0,05 (1 + 4 ) 2 = (1 + 0,05) 4 = 0,024695 II) donde 4 e el nteré trmetral equvalente al 5 % emetral, y por a repreentamo lo pago trmetrale, con 5 4 = 20 pago, tenemo: 3000 3 000e = a a 20 0,024695 = a = = 191,89e a 20 0,024695 2 = 0,05 = (1 + ) = (1 + 0,05) 2 = = 0,1025 4 = 0,024695 = j 4 = 4 0,024695 = 0,09878 = = 0,1025 j 4 0,09878 = 1,037659 Sea A la cantdad anual correpondente a lo cuatro trmetre del año, = a = A 4 3000e = A a 5 0,1025 1,037659 = 349,885 = A = 767,55 = a = 767,55 = 191,8875e 4

12 RENTAS VARIABLES Obvamente, cualquer tpo de renta puede er valorada umando cada térmno de la renta decontado al momento 0, para obtener el valor ncal, o umar el montante de cada térmno al momento n, para obtener el valor fnal de la renta en cuetón, por ejemplo, guendo el modelo general decrto al prncpo del tema (gráfco de la págna 2), el valor actual e: V 0 = a 1 (1 + ) 1 + a 2 (1 + ) 2 + + a (1 + ) + a n (1 + ) n En alguna ocaone, eta e la únca manera de valorar la renta, valorando cada umando por eparado, para depué umarlo todo. De toda forma vamo a tratar do cao en que lo térmno varían para lo que podemo encontrar expreone relatvamente mple: RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA a) Comencemo con una renta potpagable, de duracón n perodo y ea el tanto de nteré perodal. Supongamo que lo pago comenzan con a 1 y que van ncrementándoe en d cada perodo. Nota: S {a } e una progreón artmétca, con prmer elemento a 1 y dferenca d, entonce: a = a 1 + ( 1)d Nota: a 1 e empre una cantdad potva, pero d puede er potva o negatva, empre que a > 0 a 1 + ( 1)d > 0 a 1 a 1 +d.... a 1 +(-1)d a 1 +d.... a 1 +(n-2)d a 1 (n-1)d 0 1 2 +1 n-1 n Valor Incal: (I) V 0 = a 1 (1+) 1 +(a 1 +d)(1+) 2 +(a 1 +2d)(1+) 3 + +[a 1 +d( 1)](1+) + + [a 1 + d(n 2)](1 + ) (n 1) + [a 1 + d(n 1)](1 + ) n Eta uma e una combnacón de una uma de una progreón artmétca y una geométrca (ere artmétca-geométrca ), de razón (1 + ) 1 y dferenca d. Efectuamo eta uma guendo lo pao guente: Multplcamo por (1 + ): (II) (1+)V 0 = a 1 +(a 1 +d)(1+) 1 +(a 1 +2d)(1+) 2 + +(a 1 +d ( 1))(1+) +1 + + [a 1 + d(n 2)](1 + ) n+2 + [a 1 + d(n 1)](1 + ) n+1 Y ahora retamo (I) de (II): V 0 = a 1 +d[(1+) 1 +(1+) 2 +(1+) 3 + (1+) n+1 ] a 1 (1+) n (n 1) d (1+) n

13 = a 1 [1 (1+) n ]+d[(1+) 1 +(1+) 2 +(1+) 3 + +(1+) n+1 +(1+) n ] d n(1+) n Dvdendo por : V 0 = a 1 1 (1 + ) n = a 1 [1 (1 + ) n ] + d a n d n(1 + ) n + d a n n(1 + ) n 1) Como ejercco, demotrar que la expreón e equvalente al reultado obtendo. V 0 = (a 1 + d n + d ) a n n d = a 1 a n + d a n n(1 + ) n 2) Como ejercco, ecrbr, para eta renta, el valor fnal V n, el valor de la renta antcpada V n+, el valor de la renta dferda V m, y el valor ncal y fnal de la renta prepagable V 0, V n. b) En el cao de una renta Perpetua con nfnto pago varando en progreón artmétca, podemo calcular el valor ncal tomando límte (cuando n tende a ) en el valor ncal de la temporal; y como ya obtuvmo en la renta contante que lím n a n = 1 : V = lím n V 0 = lím n [(a 1 + d n + d ) a n d n ] = lím n [(a 1 + d n + d ) 1 d n ] = lím [ a 1 n + d n + d d n 2 ] = a 1 + d = (a 2 1 + 1 )1 RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA a) De nuevo, comenzamo con una renta potpagable temporal, de prmer térmno a 1 y lo térmno ucevo e ncrementaran en progreón geométrca de razón q a 1 a 1 q.... a 1 q -1 a 1 q.... a 1 q n-2 a 1 q n-1 0 1 2 +1 n-1 n Valor Incal: V 0 = a 1 (1 + ) 1 + a 1 q(1 + ) 2 + a 1 q 2 (1 + ) 3 + + a 1 q 1 (1 + ) + + a 1 q n 2 (1 + ) (n 1) + a 1 q n 1 (1 + ) n Como puede vere, eta uma e correponde con la uma de una nueva progreón geométrca de prmer térmno a 1 (1 + ) 1 y razón q(1 + ) 1, cuyo reultado e V 0 = a 1(1 + ) 1 a 1 q n 1 (1 + ) n q(1 + ) 1 = a 1 q(1 + ) 1 1 (1 + ) 1 1 qn (1 + ) n 1 q(1 + ) 1

14 Para mplfcar, multplcamo numerador y denomnador por (1 + ) reulta: Se oberva que 1 + = q V 0 = a 1 1 q n (1 + ) n 1 + q el denomnador e 0, y en ee cao eta fórmula no no rve, pero volvendo a la expreón del valor actual, tenemo: V 0 = a 1 (1 + ) 1 + a 1 (1 + )(1 + ) 2 + a 1 (1 + ) 2 (1 + ) 3 + + a 1 (1 + ) 1 (1 + ) + + a 1 (1 + ) n 2 (1 + ) (n 1) + a 1 (1 + ) n 1 (1 + ) n que e correponde con una uma donde todo lo lo umando on guale a a 1 (1+) 1 y tenemo n umando, por tanto: V 0 = na 1 (1 + ) 1 3) Como ejercco, para eta do renta varable, q = 1 + y q 1 +, ecrbr el valor fnal V n, el valor de la renta antcpada perodo V n+ y el valor de la renta dferda m perodo, V m. De la mma forma calcular el valor actual y fnal de la renta prepagable, V0, V n. b) El valor actual de una renta Perpetua con nfnto térmno varando en progreón geométrca, podemo calcularlo tomando límte cuando n tende a nfnto en la expreón del valor actual de la renta temporal : (I) 1 + q V = lím n V 0 = lím n a 1 1 q n (1 + ) n 1 + q ( q 1 1 + = a 1 lím n 1 + q Como abemo, una progreón geométrca e convergente y u límte e 0 y ólo la razón en valor aboluto e menor que 1, en nuetro cao Entonce, (II) 1 + = q q 1 + < 1 q < 1 + ( q 1 1 + V = a 1 lím n 1 + q ) n En ete cao, e obvo que el valor actual no exte: = a 1 1 1 + q lím n V = lím n a 1 n(1 + ) 1 = ) n

15 RENTAS VARIABLES MÁS GENERALES O, má exactamente, renta que deben er valorada año a año por eparado, ya que dentro del año, lo térmno no obedecen a una progreón artmétca o geométrca (por ejemplo e mantenen contante y varían año a año) o dentro de cada año no todo lo térmno peródco aparecen (por ejemplo, tre menualdade al año en vez de 12). a) Pago contante dentro del año varable año a año (I) Renta que varían anualmente en progreón artmétca con dferenca d Prmer año 0 a a a a 1/ 2/ 3/ -1/ 1 a Segundo año : : 1 : : a+d a+d a+d a+d 1/ 2/ 3/ -1/ 2 : : (a+d) N-émo año n-1 a+(n-1)d a+(n-1)d 1/ 2/ 3/ -1/ n [a+(n-1)d] S conderamo el conjunto de toda eta cantdade como una renta, lo perodo ahora on anuale y la duracón n año: a (a+d)... (a+d)... [a+(n-1)d] 0 1 2 +1 n-1 n De manera que hemo redefndo la renta orgnal como una renta anual de térmno: a 1 = a, a 2 = (a + d), a 3 = (a + 2d) a n = [a + (n 1)d] Y retando cada térmno del térmno anteror, para todo lo pare de pago conecutvo, obtenemo la mma cantdad D = d : a 2 a 1 = d, a 3 a 2 = d,, a n a n 1 = d O ea, que e trata de una renta varable en progreón artmétca, de prmer térmno a 1 = a, dferenca D = d y duracón n año.

16 S el tanto de nteré anual e tal que (1 + ) = (1 + ), el valor actual e: V 0 = (a + d + nd )a n nd (II) Renta que varían anualmente en progreón geométrca a razón de q dentro del año "" -1 aq -1 aq -1 aq -1 aq -1 1/ 2/ 3/ -1/ aq -1 a aq... aq... aq n-1 0 1 2 +1 n-1 n 4) Como ejercco, probar que el valor actual de la renta decrta e: V 0 = a q n (1 + ) n 1 + q (III) Como en ete cao pueden preentare nfndad de varacone, haremo un ejemplo que no motrará el procedmento a egur para valorar ete tpo de renta: Ejemplo: Una pcna permanece aberta ólo en lo mee de verano,: juno, julo y agoto. La gananca en eto mee on de 3.000e, y e prevé que eta cantdade vayan ncrementándoe alrededor de un 0,5 % anualmente. Calcular el valor de lo futuro ngreo para lo próxmo 8 año conderando un tanto de nteré del 3,6 % nomnal. Prmer año mee 0 3000 3000 3000 x x x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9135.8397 Segundo año 3150 3150 3150 x x x mee 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9135.8397 1.05 Nótee que 3,6 % e un nteré nomnal, por lo que, j 12 = 0,036 = 12 = 0,036 12 = 0,003 Prmer año: menualdade de 3.000e Ingreo al fnal de julo: 3000 3 0,003 = 9027,027 Al fnal del año: 3000 3 0,003 (1 + 0,003) 4 = 9027,027 1,003 4 = 9135,8397

17 Segundo año: menualdade de 3000 1,05 = 3.150e Ingreo al fnal de julo: 3150 3 0,003 = 9478,3783 Al fnal del año: 3150 3 0,003 (1 + 0,003) 4 = 9478,3783 1,003 4 = 9245,9641 = 9135,8397 1,05 Y aí ucevamente cada año e ncrementa guendo una progreón geométrca cuya caracterítca on: razón 1,05 prmer térmno a 1 = 3000 3 0,003 1,003 4 =9.135,8397 3000 1.05 30.003 3000 30.003... 3000 1.05 6 30.003 3000 1.05 7 30.003 0 1 2 7 8 Y el nteré anual tal que: (1 + ) = (1 + 0,003) 12 = 1,03659998 (efectvo) Fnalmente, lo futuro ngreo, valorado ahora, concde con el valor actual de eta últma renta varable: V 0 = 9135,8397 1 (1,05)8 (1 + 0,03659998) 8 1 + 0,03659998 1,05 = 73.780,0045e