Junio 009 SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES PR-.- Un cmpo de tletismo de 00 metros de perímetro consiste en un rectángulo y dos semicírculos en dos ldos opuestos, según l figur djunt. Hllr ls dimensiones del cmpo pr que el áre de l prte rectngulr se lo myor posible. ( puntos) y El perímetro del cmpo es: y P y 00 00 y L superficie de l prte rectngulr es: S y (sustituyendo el vlor de 00 y 00y y S y Est superficie será máim en l solución de S = 0 que hg negtiv S. 00 y 00 S' 0 y Como S '' es negtivo, pr el vlor de hlldo se d el áre máim buscd. 00 00 00 Pr y 100. Por tnto, el rectángulo centrl tiene por dimensiones = 100 e 00 y. C-.- Estudir los intervlos de crecimiento y decrecimiento de l función su dominio de definición. (1 punto) ln f ( en L función no estrá definid pr =0, y que hce l denomindor 0, y pr los vlores negtivos de. Luego el dominio serán todos los vlores de tles que >0 f 1 ln 1 ln '( 0 ln 1 e f '( + f( No definid 0 e
f( es creciente en el intervlo (0, e) y decreciente en (e, ). Present un máimo en = e. C-.- Clculr los vlores de pr los cules el áre comprendid entre l gráfic de l función y = + y el eje OX es de 5/ uniddes de superficie. (1 punto) L función es pr, por lo que es simétric respecto l eje. Los límites de integrción coincidirán con los cortes con el eje. El corte con el eje y será. Puntos de corte con : y = + = 0, luego Por lo tnto los límites de integrción serán Clculmos ) ( d 5 L función resultnte que cumple ls crcterístics del enuncido es y = + 1
Sept 009 SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES
PR-.- Se l función f ( = sen( + cos(, definid en el intervlo [0, ]. ) Hllr los intervlos de crecimiento y decrecimiento, y los etremos reltivos. Esbozr su gráfic. ( puntos) b) Clculr el áre del recinto limitdo por l gráfic de f y ls rects de ecuciones = 0, = /, e y =. (1 punto) ) Se hcen ls derivds primer y segund: f ( cos( sen( ; f ( sen( cos( Clculmos máimos y mínimos: f ( cos( sen( 0 cos( sen( 5 L derivd primer se nul, en el intervlo [0, ], cundo y. Comprobmos si se trt de máimos o mínimos estudindo el crecimiento y el decrecimiento de l función: f '( + + f( 5 5 Luego el punto = es un máimo y el punto = un mínimo. Pr representr l función dremos lgunos vlores: 5 Vlores: A (0, 1); B (, 1); C (, ), D (, ), Clculmos los puntos de corte: 7 Luego tendremos E (, 0); F (, 0); 7 f ( sen( cos( 0 sen( cos(,
L gráfic de l función será: C A B E F D c) Representmos el áre encerrd por ls rects y =, = / y l función f(, obteniendo: y = = / / 0 / sen ( cos( d cos( sen( 1 Luego el áre colored será el áre del rectángulo formdo por l rect y =, = /, y los ejes OX y OY, menos el áre hlld nteriormente: 0 A = / - 1 = / 1 = 0,57 u C-.- Probr que l ecución 009 e + = 0 tiene lgun solución. (1 punto) Aplicremos el teorem de Bolzno, según el cul si f( es continu en un intervlo cerrdo [,b] y en sus etremos tom vlores de distinto signo, entonces, con seguridd, cort l eje X en ese intervlo [,b]. Si f( = 009 e + = 0, entonces f(0) = 1 y f( ) = 009 1/e 009 +, que es clrmente menor que 0. Por lo tnto podemos segurr que eiste un solución en el intervlo [,0], y que f(0)>0 y f( )<0.
C-.- Clculr d 1. (1 punto) Relizmos el cmbio de vrible siguiente: t t d t dt Con lo que l integrl qued d t dt dt 1 1 t t 1 t rctg( t) Deshciendo el cmbio qued d 1 rctg( Junio 010
Junio 011 SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES
Se f. 1 ) Determinr los intervlos de crecimiento y decrecimiento, etremos reltivos, intervlos de concvidd y conveidd y sus síntots. ( puntos) b) Esbozr su gráfic. (0,5 puntos) ) Eiste un síntot verticl en = 1. Asíntots horizontles: lim f lim 1. Luego no tiene síntot horizontl. Asíntots oblicus: Tendrá un síntot y que el grdo del numerdor es uno más que el del f denomindor, y será de l form y = m + n, donde m lim y n lim f m m lim lim 1 1 n lim lim 1 Por lo tnto l síntot será y =. Los mismos cálculos sirven pr el cso Hllmos los máimos y los mínimos reltivos: f ' 0 1 0, 1 lim 1 1 1 Pr ver si son máimos o mínimos estudimos el crecimiento y el decrecimiento de l función considerndo los etremos reltivos y l síntot verticl: f ( + + f( 0 1 Por lo tnto = 0 es un máimo y = un mínimo. Clculmos ls ordends: f 0 0, Es un máimo f 1,1 Es un mínimo Pr representr l función necesitremos tmbién conocer l concvidd y l conveidd: 1 1 f '' 1 1 0
No tiene solución, por lo que no hbrá puntos de infleión. Estudimos l evolución de l derivd segund pr estudir l curvtur: f ( + f( 1 L función no tiene ríces por lo que no cortrá l eje de bsciss. f 0 0 No eiste solución rel. 1 1 Punto de corte con el eje de ordends: f 0 0, L gráfic de f será: