Trasformada Z
Defiició y uso e PDS. Dada ua secuecia discreta x) se defie su trasformada Z como Xz) x)z dode z es ua variable compleja. Represetacioes más usuales x) z Xz) Juega el mismo papel e procesado digital de señales que la Trasformada de Laplace e el aálisis de sistemas cotiuos. Usos más comues. Obteció de expresioes etrada-salida. Simplificació de estructuras. Implemetació de estructuras. Resolucio de ecuacioes e diferecias Puete etre el diseño aalógico y digital trasformació bilieal e impulso-ivariate)
Regió de Covergecia. E la expresió de la trasformada Z aparece u sumatorio cuyos límites so ± Ese sumatorio puede coverger o o) para determiados valores de la variable compleja z. Defiimos la Regió de Covergecia, tambié coocida como R.O.C, de ua trasformada Z a la regió del plao complejo dode la trasformada Z coverge Ejemplo x) a u) Xz) % a u) z % a z % a z 0 0 ) Hay que recordar que Codicio de R.O.C) r k 0 r % r < m z-plae Uit circle Xz) Si y sólo si a z a e R.O.C
Regió de Covergecia. Hay que destacar que diferetes señales discretas puede teer la misma trasformada Z pero diferetes R.O.C. Xz) a z Propiedades. La R.O.C cosiste e u aillo cetrado e el orige. La R.O.C o cotiee igú polo de la trasformada Z. Si x) es fiita la R.O.C es todo el plao complejo excepto, posiblemete z0 y z m R.O.C z <a Uit circle a z-plae e m a R.O.C z >a z-plae Uit circle e Si x) es causal, x)0 <0, la R.O.C es el exterior de ua circuferecia cuyo radio se correspode co el polo de la trasformada Z mayor e valor absoluto. Si es estrictamete aticausal, x)0 >0, es el iterior u círculo) de la circuferecia co radio igual al polo de meor valor absoluto de la trasformada Z. E otras situacioes se tiee u aillo. 4
Propiedades de la Trasformada Z. Property Time domai z-domai ROC Liearity ax [] bx [] ax z) bx z) R x R x Time-shift x[ 0 ] z 0 Xz) R x Scalig i z z0 x[] Xz/z 0) z 0 R x Differetiatio x[] z dxz) dz i z R x Time-reversal x[ ] X/z) /R x Cojugatio x [] X z ) R x Symmetry Im{x[]} 0 Xz) X z ) real) Symmetry Re{x[]} 0 Xz) X z ) imag) Covolutio x [] x [] X z)x z) R x R x Iitial value x[] 0, < 0 x[0] lim Xz) z quí el superídice idica que z0 ò z puede añadirse/elimiarse. /R x hace referecia a los putos e los que /z perteece a R x 5
Trasformadas Z comues. Sequece Trasform ROC. δ[] ll z. u[]. u[ ] z z > z z < 4. δ[ m] z m ll z except 0 if m > 0) or if m < 0) 5. a u[] az z > a 6. a u[ ] 7. a u[] 8. a u[ ] 9. [cos ω 0 ]u[] 0. [si ω 0 ]u[]. [r cos ω 0 ]u[]. [r si ω 0 ]u[] { a., 0 N, 0, otherwise az z < a az az ) z > a az az ) z < a [cos ω 0 ]z [ cos ω 0 ]z z z > [si ω 0 ]z [ cos ω 0 ]z z z > [r cos ω 0 ]z [r cos ω 0 ]z r z z > r [r si ω 0 ]z [r cos ω 0 ]z r z z > r a N z N az z > 0 6
Polos de la Trasformada Z-Tipo de señal. Existe ua relació directa etre los polos de la trasformada Z y el tipo de señal que da lugar a dicha trasformada. PLICCIÓN DIRECT EN EL DISEÑO DE SISTEMS DE CONTROL DIGITL 7
Trasformada Z uilateral. Si la secuecia es causal; esto es x) 0 <0 X z) x)z 0 Se tiee etoces lo que se cooce como Trasformada Z uilateral. Hay que destacar que cuado se tega este tipo de trasformadas o hay que especificar la R.O.C ya que será siempre el exterior de u círculo; evidetemete ya que sólo se cosidera la parte causal de x) Si se desiga el par secuecia discreta- Trasformada Z uilateral por x) z X z) Se tiee etoces las siguietes propiedades. Retardo temporal. x k) z z k [X z) delato temporal. x k) z z k [X z) k x )z ] k x)z ] 8
Trasformada Z iversa. Métodos I) Se puede demostrar que Expasió e fraccioes F z) N z z p z p z p Ejemplo Fz) zz )/z z ) co R.O.C z > F z) z z z z z z ) ) Z % ' % &% pkz N quí la itegració es sobre u cotoro detro de la R.O.C de la Trasformada Z y que cotega al orige. Esta itegració se puede calcular de forma más secilla usado Teoría de Variable Compleja usado residuos; veamos este cálculo de forma mas práctica. ) F z z z 5 z 4 z ) ) )% % pk u T if ROC : z > pk % p k ) u T T) if ROC : z < pk & f T) 5 ) 4 ) 0 Si la R.O.C hubiese sido < z < etoces & f T) 4 ) 0 % ) ' & 5 9
Trasformada Z iversa. Métodos I) Este método de descomposició e fraccioes os permite itroducir de ua maera secilla lo que se cooce como respuesta atural y forzada de u sistema. Para ello cosideraremos u sistema co etrada x), su trasformada Z es Xz), respuesta impulsioal del sistema h), su correspodiete trasformada es Hz), y la salida y) co Yz) como trasformada. Descompoemos e fraccioes. Y z) H z) Xz) Y z) Hz) k z p Hz) X z) B k z p X z) El primer térmio se correspode co la respuesta propia y, como su ombre idica o depede de la etrada; depede de las características itrísecas del sistema mietras que el segudo, que agrupa a los polos de Xz), tedrá ua relació directa co dicha señal de etrada. Ejemplo h) % ' & x) % & ' u) ) H z) * 0.5 z * u) ) Xz) * ) z* Y z) 0.5 z ) z Y z) 0.5 z * & y), %, ' 0.5 z B ) % & ' ) z - /./ u) ) z 0
Trasformada Z iversa. Métodos II) Expasió e potecias de Z. La estrategia cosiste e expadir la trasformada Z e ua serie de potecias de Z para, seguidamete igualar esta expasió a la defiició de Trasformada Z Ejemplo Se pide determiar la secuecia discreta que da lugar a la siguiete trasformada Z. Hz) e z Esta fució o es racioal por lo que o se puede aplicar lo visto ateriormete El teorema de Taylor os asegura que podemos descompoer cualquier fucio fx) usado sus derivadas -ésimas e el orige de la siguiete forma. e x e z % 0 % 0 ) ) x z ) % 0 ) z ) f x) 0 % f 0) x ) Hz) x) z x) ) u)
Trasformada Z iversa. Métodos III) Otro método muy usado para determiar trasformadas Z iversas se debe al uso de la propiedad de la derivada de la trasformada Z Ejemplo Determia la secuecia que da lugar a la siguiete Trasformada Z Gz) Hz) p z ) Para ello os basaremos e la propiedad de la derivada usado la siguiete trasformada Z. p z ) z z p ) z dgz) dz z p p z ) plicado la propiedad de la derivada se tiee z p p z ) g) p u) z p z ) p u) plicado la propiedad del retardo temporal se tiee p z ) ) p u )
álisis de sistemas L.T.I usado la Trasformada Z. Por el mometo o hemos aplicado al aálisis de sistemas discretos la Trasformada Z. La maera de elazar el aálisis de los sistemas discretos co la trasformada Z va a veir dado por dos propiedades δ[] L T I system y)x)h) Yz)Hz)Xz) h[] La trasformada Z de la respuesta impulsioal va a ser el elemeto que os va a servir para aalizar los sistemas L.T.I discretos. Ua forma usual de describir u sistema discreto es mediate ua ecuació e diferecias. N y) a k y k) b s x s k Hz) Y z) Xz) P P so so N b s z s % ' a k z k * & ) k ) plicado la propiedad se tiee codicioes iiciales0) % N P Y z)' a k z k * Xz) b s z s & ) k so
álisis de sistemas L.T.I usado la Trasformada Z. Causalidad. U sistema es causal si cumple que h)0 <0 La trasformada Z de ua señal estrictamete causal, vale 0 para <0, es el exterior de ua circuferecia. U sistema es causal si la R.O.C de la Trasformada Z es el exterior de ua circuferecia; icluyedo z Estabilidad. U sistema discreto es estable BIBO si ate cualquier etrada acotada la salida permaece acotada. Se ha visto que Yz)Hz)Xz). Si se factoriza esta expresió se tiee De Xz) o me preocupo?) si me fijo e la parte de Hz) y aplico Trasformadas Z iversa recordado que segú los polos sea simples o o se tiee ) k Y z) p k z ) OXz)) k g) p u) g) s p u) sí pues si se busca ua salida acotada la úica forma es que p < y si p que pasaría?). U sistema es estable si la Trasformada Z de la respuesta impulsioal tiee todos los polos detro de la circuferecia de radio uidad cualquiera que sea su orde de multiplicidad). 4
álisis de sistemas L.T.I usado la Trasformada Z. Estructuras. La trasformada Z permite la implemetació de los sistemas discretos de diferetes formas estructuras). Los elemetos básicos e estas estructuras so los siguietes Sumador x [] x [] x [] x [] dditio Multiplicador cte) a x[] ax[] Multiplicatio Retardo. x[] z x[ ] Delay La primera e ser aalizada es la que se cooce como forma directa I; aplicado la ecuació e diferecias se tiee Y z) Hz)Xz) Hz) b 0 b z b M z M a 0 a z a N z N, ime domai as a differece equatio: a 0 y[] a N y[ N] b 0 x[] b M x[ M]. y[] a 0 b 0 x[] b M x[ M] x[] z z z b 0 b b M b M a y[ ] a N y[ N]). /a 0 y[] a a N a N z z z er, this ot the oly possible realisatio. 5
álisis de sistemas L.T.I usado la Trasformada Z. Estructuras. La siguiete es la que se cooce como forma directa II o caóica ) W z) Y z) x[] Xz) a 0 a N z N b 0 b M z M) W z), w[] /a 0 a a N a N z z b N z b 0 b b N Y z) Hz)Xz), y[] Hz) b 0 b z b M z M a 0 a z a N z N, me domai as a differece equatio ) w) a 0 x) a w )... a N w N) y) b 0 w)... b M w M ) Esta estructura se basa e utilizar los retardos de la variable itermedia, w) a la hora de calcular la salida del sistema y). Este hecho se traduce e u ahorro e el úmero de retardos ecesarios para la implemetació del sistema discreto de tal forma que esta estructura es la que meos retardos ecesita. 6
Cascade Form álisis de sistemas L.T.I assumig usado M N): la Trasformada Z. Estructuras. g) p Yet aother realisatio is possible whe Hz) is factorised u) N g) s H k p z) c kz Hz) b as agai Otra posible estructura es e g) p u) 0 H 6/7 assumig M N): z) H N z), cascada; si la fució de a d u) k z. 0 g) s p u) trasferecia Hz) se puede factorizar de la siguiete forma De forma ecubierta estamos aplicado propiedades de la covolució asociativa y distributiva para ser exactos). Cascade Form Cascade Form k Y z) p k z ) OXz)) s k k Yet Yet aother aotherrealisatio is ispossible possiblewhe whe Hz) Hz) is factorised is factorised as agai as agai Hz) b 0 H z) H N z), This Hleads k z) to a cascade c kz a 0 d k z. form: This leads to a cascade form: b 0 /a 0 x[] H z) z b 0 /a 0 b 0 /a 0 x[] x[] H N z) d N z) H z) w) H w) N z) caoica a x) cada H N z) bloque a w se )... a N w x) a w )... a N w a 0 a 0 z z d c d N c N Parallel Form d c d N c N c N Uder certai coditios, we have foud that we ca write a ratioal z y k ) x y k k ) cw k ) x k c k ) w k ) d k y k ) elec600 d N H k z) c kz d k z. tiee z w z k ) x k ) d k w k ) z N gai, complex cojugate poles should be combied. 6/7 elec600 y[] y[] d c We combie complex zeros ad poles with their complex cojugate poles combie se with pairs puede their to complex factorizar avoid complex implemetig zeros co- de la ad siguiete poles complex forma with arithmetic their complex i hard- co- trasfer fuctio i a partial fractio expasio: Estructura We combie e paralelo; complex zeros ahora ad We Hz) k jugate pairs to avoid implemetig jugate ware. complex pairsarithmetic to avoid Hz) i implemetig hardware. H Hz) H z) H N z) y H N z), H z) z) k ) complex k x k ) arithmetic d k d k k yz k H k z) y d k z k ) k x k ) d k y k ). i) hardware. That is, for cojugate This leads pairs directly of zeros, to theparallel c k form c k, of ad implemetatio: poles, d k That is, for cojugate pairs of zeros, d H E estas dos estructuras, e el caso k, c That we is, k de combie c for k teer cojugate, adhpoles, kz) pairs ad d k H of k zeros, z) to obtai c z) k c k, ad poles, d k d k, we combie H kz) ad H k z) d x[] y[] polos complejos se asocia k, por we to obtai pares combie H kz) ad H k,k z) H Re{c k z) k}zto obtai c k z z Re{dd cojugados para dar estructuras de orde. k }z d k z. H k,k z) Re{c H k,k z) Re{c k}z c k z Re{d k}z c k z k }z d k z. Re{d k }z d k z. H N z) y[] Y z) p k z ) OXz)) s k plicado ua estructura 7 7/7 elec600 6/7
) ) ) z z ) X z) * x)z ' u) * z & * Y z) Y z) 0.5 z B z Y z) z 0.5Yz) z 0.5 z z B 0.5 z 0.5 z z z Y z) z Y z)* & & - 0.5 z * z 0.5 z - 0.5 z z * &, / & y) % ' ) % ' u) & ) % &/- u),, % Y z) y), /. y), % ' ) % ' // u) 0.5 z, '. z ' /. Y z) Y z) Se puede relacioar el mudo digital co el mudo aalógico relacioado las Trasformadas más 0.5 z z H p) 0.5 z z * utilizadas e esos domiios como so la Trasformada y la Trasformada dos & & Laplace; existiedo pb de HH p) p) Zy), / ) u) % % bso formas de hacer este cambio. *Estas trasformacioes - p p b las, que 'se cooce ' /. como Trasformació & & * & &, % ) % / u) bilieal y Trasformacióy) impulso-ivariate. b t 0) % / u) ht)y) e, % t > ' /., ' ' ' /. b t t, b ht) e e H t p) > 00 Impulso-ivariate. ht) t > pb h T ) eb T u) El bloque básico de aálisis desistemas lieales cotiuosbb usado trasformadas H p) T h TT ) ) e e T u) h u) H p) p b de Laplace es el defiido por es aálogo a lo que ocurre e procesado digital). pb ht) eb t t > 0 La trasformada iversa Si se u) H z) b t h T ) eb T ht) e t>0 bt z ebt de Hp) viee dada por muestrea ht) e tz>0& H z) H z) T bt bt H z) % e e z z h T ) eb T u) b T Trasformació bilieal. z h T ) e ' u) H z) x x ))) hora el paso es comparar el operador x) ) ebt z x ) ) ) T ) ) T y e itegrador eel mudohaalógico z) es ebt el digital; e el aalógico Hp)/p u z H z) zbt& z e itegrador; qué sistema digital hace ua p % T X z) T X z) z) z z T z ' operació semejate?. Para determiarlo z) z z de forma secilla hay que platearse el sigificado de la itegral: área ecerrada T z & x) ' u) ) X z) & * ) )) ) ) ) ) ) álisis de sistemas L.T.I usado la Trasformada Z. ) ) ) )) H z) por ua curva y el eje de abcisas )) % z ' 8 ) z & p %