Repúblic Bolivrin de Venezuel Universidd Alonso de Ojed Administrción Mención Gerenci y Mercdeo UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS Ing. Ronny Altuve Ciudd Ojed, Septiembre de 2015
Conjuntos Numéricos ) Los Números Nturles (N): Con los números nturles contmos los elementos de un conjunto (número crdinl). O bien expresmos l posición u orden que ocup un elemento en un conjunto (ordinl). El conjunto de los números nturles está formdo por: N {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...} Observciones: L sum y el producto de dos números nturles es otro número nturl. L diferenci de dos números nturles no siempre es un número nturl, sólo ocurre cundo el minuendo es myor que sustrendo. 7 1 6 є N 3 5-2 N El cociente de dos números nturles no siempre es un número nturl, sólo ocurre cundo l división es exct. 6 : 2 3 є N 2 : 6 N Podemos utilizr potencis, y que es l form brevid de escribir un producto formdo por vrios fctores igules. L ríz de un número nturl no siempre es un número nturl, sólo ocurre cundo l ríz es exct. b) Los números enteros (Z): Los números enteros son del tipo: Z {... 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...} Observciones: L sum, l diferenci y el producto de dos números enteros es otro número entero.
El cociente de dos números enteros no siempre es un número entero, sólo ocurre cundo l división es exct. 6 : 2 2 : 6 Podemos operr con potencis, pero el exponente tiene que ser un número nturl. L ríz de un número entero no siempre es un número entero, sólo ocurre cundo l ríz es exct o si se trt de un ríz de índice pr con rdicndo positivo. c) Los Números Rcionles (Q): Se llm número rcionl todo número que puede representrse como el cociente de dos enteros, con denomindor distinto de cero. Observciones: Los números decimles (deciml excto, periódico puro y periódico mixto) son números rcionles; pero los números decimles ilimitdos no. L sum, l diferenci, el producto y el cociente de dos números rcionles es otro número rcionl. Podemos operr con potencis, pero el exponente tiene que ser un número entero. L ríz de un número rcionl no siempre es un número rcionl, sólo ocurre cundo l ríz es exct y si el índice es pr el rdicndo h de ser positivo.
d) Los Números Irrcionles (I): Un número es irrcionl si posee infinits cifrs decimles no periódics, por tnto no se pueden expresr en form de frcción. El número irrcionl más conocido es π, que se define como l relción entre l longitud de l circunferenci y su diámetro. Otros números irrcionles son: π 3.141592653589... El número e prece en procesos de crecimiento, en l desintegrción rdictiv, en l fórmul de l ctenri, que es l curv que podemos precir en los tendidos eléctricos. e 2.718281828459... e) Los Números Reles (R): El conjunto formdo por los números rcionles e irrcionles es el conjunto de los números reles, se design por R. Con los números reles podemos relizr tods ls operciones, excepto l rdicción de índice pr y rdicndo negtivo y l división por cero.
Operciones Básics con Frcciones Número mixto Universidd Alonso de Ojed Pr psr de número mixto frcción impropi, se dej el mismo denomindor y el numerdor es l sum del producto del entero por el denomindor más el numerdor, del número mixto. Frcciones equivlentes b c c + b c Dos frcciones son equivlentes cundo el producto de extremos es igul l producto de medios. b c d Reducción de frcciones común denomindor si d b c 1) Se determin el denomindor común, que será el mínimo común múltiplo de los denomindores. 2) Este denomindor, común, se divide por cd uno de los denomindores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerdor correspondiente. Sum y rest de frcciones 1) Con el mismo denomindor: Se sumn o se restn los numerdores y se mntiene el denomindor. b + c + c b b ó b c c b b 2) Con distinto denomindor: En primer lugr se reducen los denomindores común denomindor, y se sumn o se restn los numerdores de ls frcciones equivlentes obtenids. Multiplicción de frcciones b + c d + b c d b d El producto de dos frcciones es otr frcción que tiene: ) Por numerdor el producto de los numerdores ó b c d b c d b d
b) Por denomindor el producto de los denomindores División de frcciones b c c d b d El cociente de dos frcciones es otr frcción que tiene: ) Por numerdor el producto de los extremos b) Por denomindor el producto de los medios POTENCIACIÓN b : c d d b c Potenci de un expresión lgebric es l mism expresión o el resultdo de tomrl como fctor dos o más veces. L primer potenci de un expresión es l mism expresión. Así (2) 1 2. L segund potenci o cudrdo de un expresión es el resultdo de tomrl como fctor dos veces. Así, (2) 2 2 2 4 2. El cubo de un expresión es el resultdo de tomrl como fctor tres veces. Así, (2) 3 2 2 2 8 3 Signo de ls Potencis Culquier potenci de un cntidd positiv evidentemente es positiv, porque equivle un producto en que todos los fctores son positivos. En cunto ls potencis de un cntidd negtiv, se debe tomr en cuent que: 1) Tod potenci pr de un cntidd negtiv es positiv. 2) Tod potenci impr de un cntidd negtiv es negtiv. Operciones con Potencis Producto de potencis con igul bse El producto de potencis con igul bse es igul otr potenci que tiene l mism bse y cuyo exponente es l sum de los exponentes de los fctores. m n m+n
División de potencis con igul bse Universidd Alonso de Ojed El cociente de dos potencis de igul bse es igul otr potenci que tiene l mism bse y cuyo exponente es l diferenci entre los exponentes del dividendo y el divisor. Potenci de un Potenci m : n m n L potenci de un potenci de igul bse es igul otr potenci que tiene l mism bse y cuyo exponente es el producto de los exponentes. Potenci de un Producto ( m ) n m n L potenci de un producto es el producto de ls potencis. Potenci de un cociente ( b) n () n (b) n L potenci de un cociente es igul l cociente de ls potencis. Exponente Cero (: b) n () n : (b) n Todo número diferente de cero que se elevdo l cero es igul 1. Exponente Uno () 0 1 Todo número que se elevdo l 1 es igul sí mismo. Cudrdo de un Binomio Cubo de un Binomio () 1 ( + b) 2 2 + 2b + b 2 ( b) 2 2 2b + b 2 ( + b) 3 3 + 3 2 b + 3b 2 + b 3 ( b) 3 3 3 2 b + 3b 2 b 3
FACTORIZACIÓN Pr fctorizr un polinomio y clculr sus ríces, se deben seguir los siguientes psos, cundo sen posibles: 1) Fctor común de un polinomio: Extrer fctor común un polinomio, consiste en plicr l propiedd distributiv. x + b x + c x x( + b + c) Un ríz del polinomio será siempre x 0 2) Iguldd notble. Diferenci de cudrdos: Un diferenci de cudrdos es igul sum por diferenci. 2 b 2 ( + b) ( b) b. Trinomio cudrdo perfecto: Un trinomio cudrdo perfecto es igul un binomio l cudrdo. 2 ± 2b + b 2 ( ± b) 2 c. Trinomio de segundo grdo: Pr descomponer en fctores el trinomio de segundo grdop (x) x 2 + bx + c, se igul cero y se resuelve l ecución de 2º grdo. Si ls soluciones l ecución son x1 y x2, el polinomio descompuesto será: x 2 + bx + c (x x 1 ) (x x 2 ) Fctorizción de un polinomio de grdo superior dos Se utiliz el teorem del resto y l regl de Ruffini. Procedimiento: Se define como vlor numérico de p(x) pr x l vlor que result de sustituir x por el vlor y relizr ls operciones indicds. Se represent por p(). Cundo p() 0 se dice que el vlor, que se h sustituido, es un ríz del polinomio. Teorem del resto: cundo se divide un polinomio p(x) por (x ), el resto que se obtiene en dich división coincide con p(), vlor numérico del polinomio pr x.
Polinomios Ls expresiones lgebrics que se formn prtir de l unión de dos o más vribles y constntes, vinculds trvés de operciones de multiplicción, rest o sum, reciben el nombre de polinomios. Operciones Básics con polinomios Sum de polinomios Pr sumr dos polinomios se sumn los coeficientes de los términos del mismo grdo. P(x) 2x 3 + 5x 3 Q(x) 4x 3x 2 + 2x 3 1. Ordenmos los polinomios, si no lo están. Q(x) 2x 3 3x 2 + 4x P(x) + Q(x) (2x 3 + 5x 3) + (2x 3 3x 2 + 4x) 2. Agrupmos los monomios del mismo grdo. P(x) + Q(x) 2x 3 + 2x 3 3 x 2 + 5x + 4x 3 3. Summos los monomios semejntes. P(x) + Q(x) 4x 3 3x 2 + 9x 3 Rest de polinomios L rest de polinomios consiste en sumr l minuendo el opuesto del sustrendo. P(x) Q(x) (2x 3 + 5x 3) (2x 3 3x 2 + 4x) P(x) Q(x) 2x 3 + 5x 3 2x 3 + 3x 2 4x P(x) Q(x) 2x 3 2x 3 + 3x 2 + 5x 4x 3 P(x) Q(x) 3x 2 + x 3 Multiplicción de polinomios Multiplicción de un número por un polinomio Es otro polinomio que tiene de grdo el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número. 3 (2x3 3 x 2 + 4x 2) 6x 3 9x 2 + 12x 6 Multiplicción de un monomio por un polinomio Se multiplic el monomio por todos y cd uno de los monomios que formn el polinomio. 3 x 2 (2x 3 3x 2 + 4x 2) 6x 5 9x 4 + 12x 3 6x 2
Multiplicción de polinomios P(x) 2x 2 3 Q(x) 2x 3 3x 2 + 4x Se multiplic cd monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio. P(x) Q(x) (2x 2 3) (2x 3 3x 2 + 4x) 4x 5 6x 4 + 8x 3 6x 3 + 9x 2 12x Se sumn los monomios del mismo grdo. 4x 5 6x 4 + 2x 3 + 9x 2 12x Se obtiene otro polinomio cuyo grdo es l sum de los grdos de los polinomios que se multiplicn. Tmbién podemos multiplicr polinomios de siguiente modo: División de polinomios Resolver l división de polinomios: P(x) x 5 + 2x 3 x 8 Q(x) x 2 2x + 1 P(x) : Q(x) A l izquierd situmos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejmos huecos en los lugres que correspondn. A l derech situmos el divisor dentro de un cj. Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. x 5 : x 2 x 3 Multiplicmos cd término del polinomio divisor por el resultdo nterior y lo restmos del polinomio dividendo:
Volvemos dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultdo lo multiplicmos por el divisor y lo restmos l dividendo. 2x 4 : x 2 2 x 2 Procedemos igul que ntes. 5x 3 : x 2 5 x Volvemos hcer ls misms operciones. 8x 2 : x 2 8
10x 6 es el resto, porque su grdo es menor que el del divisor y por tnto no se puede continur dividiendo. x 3 +2x 2 +5x+8 es el cociente. División por Ruffini Si el divisor es un binomio de l form x, entonces utilizmos un método más breve pr hcer l división, llmdo regl de Ruffini. Resolver por l regl de Ruffini l división: (x 4 3x 2 +2) : (x 3) 1. Si el polinomio no es completo, lo completmos ñdiendo los términos que fltn con ceros. 2. Colocmos los coeficientes del dividendo en un líne. 3. Abjo l izquierd colocmos el opuesto del término independendiente del divisor. 4. Trzmos un ry y bjmos el primer coeficiente. 5. Multiplicmos ese coeficiente por el divisor y lo colocmos debjo del siguiente término.
6. Summos los dos coeficientes. Universidd Alonso de Ojed 7Repetimos el proceso nterior. Volvemos repetir el proceso. Volvemos repetir. 8. El último número obtenido, 56, es el resto. 9. El cociente es un polinomio de grdo inferior en un unidd l dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido. x 3 + 3 x 2 + 6x +18