Tema 9 Potecias y Logaritmos Usado los pricipales resultados del cálculo diferecial e itegral, podemos estudiar co gra comodidad varias fucioes reales de variable real que o ha aparecido hasta ahora y que, juto co las fucioes racioales, forma la colecció de las fucioes elemetales. Las uevas fucioes se clasifica e dos familias: las relacioadas co las potecias de base y expoete real, que estudiamos e este tema, y las fucioes trigoométricas, que aparecerá e el siguiete. Siguiedo u orde que puede parecer sorpredete, empezamos cosiderado la fució logaritmo, que se defie fácilmete mediate ua itegral. El Teorema Fudametal del Cálculo os da directamete su derivada y ello permite usar el Teorema del Valor Medio para obteer sus pricipales propiedades, que os debe resultar muy familiares. La fució expoecial aparece etoces como la iversa del logaritmo y puede estudiarse igualmete co suma facilidad. Combiado ambas fucioes defiimos la potecia a b para cualesquiera a R + y b R, extediedo por supuesto la defiició ya coocida para b N. Podemos etoces estudiar fácilmete tres amplias gamas de fucioes: las expoeciales, las logarítmicas y las fucioes potecia. 9.. La fució logaritmo La fució t /t es cotiua e el itervalo R +, luego tiee ua itegral idefiida co orige e, que es la fució que ahora os iteresa. Para x R + defiimos: log x = Decimos que log x es el logaritmo de x, y la fució log : R + R, que a cada úmero real positivo hace correspoder su logaritmo, es la fució logaritmo. Nótese que, siguiedo ua saa costumbre, escribimos simplemete log x, e lugar de log(x), siempre que o haya peligro de cofusió. Tambié es costumbre referirse a la fució logaritmo llamádola simplemete el logaritmo. Esto tampoco os debe cofudir, por el cotexto se sabe siempre si estamos hablado del logaritmo de u úmero cocreto, o os referimos a la fució logaritmo. 70 x dt t
9. Potecias y logaritmos 7 Deducimos eseguida la primera propiedad del logaritmo, clave para las demás: (L.) El logaritmo es la úica fució f D(R + ) que verifica f () = 0 y f (x) = /x para todo x R +. E particular, es ua fució estrictamete creciete. Es obvio que log = 0 y el Teorema Fudametal del Cálculo os dice que log (x) = /x para todo x R +. Uicidad y crecimieto estricto se deduce del Teorema del Valor Medio. La siguiete propiedad del logaritmo es crucial: (L.2) Se verifica que Como cosecuecia, se tiee (i) log(x/y) = log x log y x,y R + (ii) log(x ) = log x x R +, N (iii) log e = log(xy) = log x + log y x,y R + () Para probar () hay dos procedimietos, ambos istructivos. Por ua parte, podemos usar la aditividad de la itegral y la fórmula de cambio de variable: log(xy) = x dt t + xy dode hemos hecho la sustitució t = x s. x dt t = log x + y ds s = log x + log y Por otra parte, fijado y R +, podemos cosiderar la fució h : R + R defiida por h(x) = log(xy) log x para todo x R +. Teemos h D(R + ) co h = 0, luego h es costate, es decir, h(x) = h() = log y para todo x R +, que es la igualdad buscada. Para teer (i) basta escribir log x = log ( (x/y)y ) = log(x/y) + log y, mietras que (ii) se prueba por iducció, partiedo del caso obvio = : log ( x +) = log ( x x ) = log ( x ) + log x = log x + log x = ( + ) log x ( ), Para obteer (iii), puesto que e = + (/) la cotiuidad del logaritmo e el puto e y su derivabilidad e os permite escribir: log e = log ( + ) = log Podemos ecotrar ahora fácilmete la image del logaritmo: ( ) + (/) log ( ) = log () = + (/) (L.3) La fució logaritmo diverge positivamete e + y egativamete e cero, luego su image es R. E efecto, dado m N, para x > e m teemos log x > log e m = m log e = m. Esto prueba ya que log x + (x + ), y e el orige teemos log x = log(/x) (x 0). Por tato, la image del logaritmo es u itervalo o mayorado y o miorado, luego es R. Así pues, el logaritmo es ua aplicació biyectiva de R + sobre R, y todo está preparado para estudiar su iversa.
9. Potecias y logaritmos 72 9.2. La fució expoecial La fució iversa del logaritmo es la fució expoecial, o simplemete la expoecial, y se deota por exp. Así pues, exp = log, luego exp : R R + tambié es biyectiva y, para cada x R, exp x es el úico y R + que verifica log y = x. Equivaletemete teemos exp(log y) = y y R + y log(exp x) = x x R Por ejemplo, exp 0 = y exp = e. La propiedad básica de esta ueva fució se obtiee co suma facilidad: (E.) La expoecial es ua fució derivable e R, que coicide co su derivada. Por tato, es ua fució estrictamete creciete. E efecto, puesto que log (x) 0 para todo x R +, el teorema de la fució iversa global os dice que la expoecial es derivable e R, co exp (x) = log (exp x) = /exp x La propiedad crucial de la fució expoecial es la siguiete: (E.2) La fució expoecial verifica la llamada fórmula de adició : Como cosecuecia se tiee: (i) exp(x y) = exp x/exp y x,y R (ii) exp(x) = ( exp x ) x R, N Para probar (2), fijamos y R y cosideramos la fució = exp x > 0 x R exp(x + y) = exp x exp y x,y R (2) h : R R, h(x) = exp(x + y) exp x x R Es claro que h D(R) y se comprueba imediatamete que h (x) = 0 para todo x R. Por tato, h es costate, es decir, h(x) = h(0) = exp y para todo x R, de dode se deduce (2). Para probar (i) basta ahora pesar que, para x,y R, se tiee exp(x y) exp y = exp x, mietras que (ii) se cosigue por iducció: exp ( ( + )x ) = exp(x + x) = exp(x) exp x = ( exp x) exp x = (exp x) + Aotemos fialmete el comportamieto de la expoecial e el ifiito: (E.3) Se verifica que exp x = 0 y que exp x + (x + ). x Como {e } +, dado K R podemos ecotrar m N tal que e m > K. Para x > m se tedrá que: exp x > exp m = (exp ) m = e m > K, luego exp x + (x + ). Pero etoces, teemos tambié 0 = exp x = exp( x) = exp x x
9. Potecias y logaritmos 73 9.3. Potecias de expoete real Usado las propiedades de la expoecial y el logaritmo, podemos ya exteder la defiició de las potecias de expoete atural. Dados a R + y N, sabemos que a = exp( log a). E el segudo miembro de esta igualdad ada os impide sustituir por u úmero real cualquiera y defiir: a b = exp(b log a) b R, a R + Decimos que a b es la potecia de base a y expoete b. Segú tomemos a o b como variable, vamos a obteer dos gamas de fucioes, cuyo estudio o ofrecerá dificultad algua. Fijado a R +, la expoecial de base a es la fució exp a : R R + dada por exp a x = a x = exp(x log a) x R Como exp x = para todo x R, el caso a = carece de iterés. Observamos tambié que exp e x = e x = exp x, para todo x R. Vemos que la de base e es la fució expoecial por atoomasia, la que hemos tomado como referecia, pues todas las demás se obtiee muy fácilmete a partir de ella. Nótese además que, de todas las fucioes expoeciales, la de base e es la úica que coicide co su derivada. Comprobar esta afirmació, y todas las del siguiete euciado, o tiee dificultad algua. Para a R +, la expoecial de base a es derivable e R co exp a (x) = ax loga para todo x R, y verifica la fórmula de adició: a x+y = a x a y para cualesquiera x,y R. Si a >, exp a es estrictamete creciete, co x ax = 0 y a x + (x + ). Si a <, exp a es estrictamete decreciete, co ax = 0 y a x + (x ). E ambos casos teemos ua aplicació biyectiva de R sobre R +. Fijado a R + \ {}, la iversa de la expoecial de base a es el logaritmo e base a, que se deota por log a. Teemos por tato, a log a y = y y R + y log a a x = x x R De uevo, el logaritmo e base e es la fució logarítmica por atoomasia, las demás se obtiee co sólo dividir por la costate adecuada, pues se tiee fácilmete log a x = log x log a x R +, a R + \ {} A modo de repaso, resumimos las propiedades de las fucioes logarítmicas: Para a R + \ {}, el logaritmo e base a es ua biyecció de R + sobre R, derivable e R +, verificado que log a (x) = x loga y que log a (xy) = log a x + log a y para cualesquiera x,y R +. Si a >, es estrictamete creciete, log a x (x 0) y log a x + (x + ). Si a <, es estrictamete decreciete, log a x + (x 0) y log a x (x + ).
9. Potecias y logaritmos 74 9.4. Fucioes potecia Pasamos ahora a estudiar las fucioes que se obtiee al cosiderar potecias co base variable y expoete costate, alguas de las cuales so sobradamete coocidas. Empezamos co ua observació bie secilla: Se verifica que ( a b ) c = a cb b,c R, a R + (4) E efecto: ( a b) c = exp ( c log(a b ) ) = exp(cb log a ) = a cb. Fijado α R, la fució x x α, de R + e R +, es la fució potecia de expoete α, o simplemete la potecia de expoete α. Veamos los casos e que esta fució o es ueva. Cuado α = N teemos la restricció a R + de ua fució poliómica bie coocida, mietras que para α = 0 teemos ua fució costate. Si α = co N, es claro que x = /x para todo x R +, luego estamos hablado de ua fució racioal bie coocida. Por supuesto, podemos escribir x = /x para todo x R y cosiderar la potecia de expoete como ua fució defiida e R. Para q N, la igualdad (4) os dice que x /q = q x para todo x R +, luego la potecia de expoete /q es la restricció a R + de la fució raíz q-ésima. Coviee recordar que la fució raíz q-ésima se defiió y es cotiua e R + 0, e icluso e todo R cuado q es impar. Si ahora α = p/q co p Z y q N, de (4) deducimos que x p/q = q x p = ( q x ) p para todo x R +. Así pues, la potecia de expoete α Q se obtiee como composició de dos fucioes coocidas. El caso ovedoso se preseta por tato cuado α R \ Q. No obstate, tiee iterés saber que las restriccioes a R + de varias fucioes coocidas queda como casos particulares del que ahora os ocupa. Pasamos a estudiar las propiedades básicas de las fucioes potecia. (P.) Fijado α R, sea f α : R + R + la potecia de expoete α. Etoces f α D(R + ) y f α(x) = αx α x R + (5) Por tato, f α es estrictamete creciete si α > 0 y estrictamete decreciete si α < 0. E efecto, como f α = exp (α log), basta aplicar la regla de la cadea: f α(x) = exp(α log x) α x = αxα x = αx α x R + Obsérvese que todas las fucioes potecia se deriva, formalmete, como si el expoete fuese u úmero atural. Nótese tambié que, si e (5) tomamos α = /q co q N, teemos la derivada de la fució raíz q-ésima, calculada e su mometo. Ahora teemos u resultado más geeral, e icluso más fácil de recordar. Para que todas las propiedades algebraicas de las potecias co expoete atural, que coocíamos hace tiempo, quede geeralizadas, observamos claramete que todas las fucioes potecia preserva el producto de úmeros reales:
9. Potecias y logaritmos 75 (P.2) Se verifica que (xy) α = x α y α x,y R + α R. E efecto: (xy) α = exp ( α log(xy) ) = exp(α log x) exp(α log y) = x α y α. Fialmete, el comportamieto de las potecias e 0 y e +, tambié es evidete: (P.3) Si α > 0, se tiee que x α = 0 y que x α + (x + ). Si α < 0, etoces x 0 x α + (x 0) y xα = 0. E ambos casos, la potecia de expoete α R es ua biyecció de R + sobre sí mismo y su iversa es la potecia de expoete /α. 9.5. Sucesioes de potecias Pasamos ahora a discutir el comportamieto de fucioes que ivolucra las potecias de expoete real, si ecesidad de que la base o el expoete sea costates. E geeral, dado u cojuto o vacío A R, podemos cosiderar ua fució h : A R + que vega defiida por h(x) = f (x) g(x) para todo x A, dode f : A R + y g : A R so fucioes cualesquiera. Cuado tega setido, os pregutamos por el comportamieto lateral u ordiario de h e u puto, o e el ifiito, supoiedo que sabemos lo que les ocurre a f y g. Para cotestar estas pregutas si teer que distiguir casos, bastará ver si la sucesió { f (a ) g(a ) } coverge o diverge, dode {a } es ua sucesió de putos de A, covergete o divergete. Así pues, uestro problema cosiste e aalizar ua sucesió de potecias { x y }, dode {x } e {y } so sucesioes covergetes o divergetes, co x > 0 para todo N. Para ello escribimos x y = exp ( y log x ) N y aprovechamos las propiedades de la expoecial y del logaritmo, juto co las reglas sobre la covergecia o divergecia del producto de dos sucesioes, obteiedo imediatamete los siguietes resultados. Sea y R y x R + para todo N. (i) Supogamos que {x } 0. (a) Si {y }, o {y } y R, etoces { x y } +. (b) Si {y } y R +, o {y } +, etoces { x y } 0. (ii) Supogamos que {x } x R +. (a) Si {y } y R, etoces { x y } x y. (b) Si {y } + y x >, o {y } y x <, etoces { x y } +. (c) Si {y } + y x <, o {y } y x >, etoces { x y } 0. (iii) Supogamos fialmete que {x } +. (a) Si {y }, o {y } y R, etoces { x y } 0. (b) Si {y } y R +, o {y } +, etoces { x y } +.
9. Potecias y logaritmos 76 Destaquemos los tres casos que o queda cubiertos por la discusió aterior, porque la sucesió {y log x } preseta ua idetermiació del tipo [0 ] : {x } 0 e {y } 0 : Idetermiació del tipo [ 0 0 ] {x } e {y } diverge: Idetermiació del tipo [ ] {x } + e {y } 0 : Idetermiació del tipo [ (+ ) 0 ] E cualquiera de los tres casos, ada se puede afirmar, e geeral, sobre la sucesió { x y }. Es fácil comprobar que toda sucesió {z } de úmeros reales positivos puede expresarse como ua sucesió de potecias {z } = { x y }, de forma que {x } e {y } se ecuetre e cualquiera de los tres casos ateriores. Resumiedo, podemos ya eumerar todos los tipos de idetermiació. E esecia sólo hay dos, [ ] y [0 ], que ya apareciero al estudiar el comportamieto de sumas y productos, respectivamete. La seguda tomaba dos aspectos, [ / ] y [0/0] que apareciero al estudiar cocietes, y ahora tres aspectos más, [ 0 0 ], [ (+ ) 0 ] y [ ], que ha surgido al estudiar potecias. E lo que sigue presetaremos métodos que, lógicamete bajo ciertas hipótesis, permite resolver estas últimas idetermiacioes. Volvemos a trabajar co ites de fucioes, que siempre es u plateamieto más geeral. 9.6. Escala de ifiitos La expoecial, el logaritmo y cualquier potecia co expoete positivo, so fucioes que diverge e +, pero cabe pregutarse qué le ocurre al cociete etre dos de estas fucioes, que preseta ua idetermiació del tipo [ / ]. Obviamete, comparar dos potecias o tiee dificultad, basta pesar que x α /x β = x α β para cualesquiera x,α,β R +. Damos ahora respuesta a las demás pregutas. Para todo ρ R + se tiee: log x x ρ = x ρ e x = 0. Empezamos comprobado que { (log )/ } 0. Para ello aplicamos el criterio de Stolz, pues se trata de u cociete de dos sucesioes, cuyo deomiador es ua sucesió estrictamete creciete y o mayorada. Basta etoces observar que { } log( + ) log = ( + ) { log ( + )} log = 0 Si ahora defiimos h(x) = (log x)/x para todo x R +, es claro que h D(R + ) co h (x) = log x x 2 x R + Para x e teemos h (x) 0, luego h es decreciete e la semirrecta [e,+ [.
9. Potecias y logaritmos 77 Como {h()} 0, para cada ε > 0 podemos ecotrar m N, co m > e, de forma que h(m) < ε. Etoces, para x R co x > m teemos 0 < h(x) h(m) < ε y hemos demostrado que h(x) = 0. Si ahora ρ R + y {x } es cualquier sucesió de úmeros positivos co {x } +, tomado {y } = {x ρ } +, obteemos { } { } { } log x log y = = ρy ρ h(y ) 0 x ρ log x Queda así comprobado que x ρ = 0. Por otra parte, tambié podemos tomar {z } = {e x } + y, usado lo ya demostrado, cocluimos que { ρ } {[ ] ρ } x log z x ρ e x = z /ρ 0, luego e x = 0 El resultado aterior se cooce como escala de ifiitos, pues claramete establece ua jerarquía etre fucioes que diverge positivamete e + : la expoecial domia a todas las potecias co expoete positivo, mietras que cualquiera de dichas potecias domia, e el mismo setido, al logaritmo. Muchos otros ites puede deducirse de los ateriores mediate fáciles maipulacioes, como veremos e alguos ejemplos. Para todo ρ R + se tiee: (a) x ρ log x = x 0 (/x)ρ log(/x) = (log x)/xρ = 0 (b) x 0+ e /x /x ρ = xρ e x = xρ /e x = 0 Veamos tambié u par de ejemplos de idetermiacioes de tipo [(+ ) 0 ] y [0 0 ]: (c) x/x = exp ( (log x)/x ) = (d) x x = exp(x log x) = x 0 x 0 9.7. Series armóicas y series de Bertrad Usado potecias de expoete real, podemos completar la gama de series armóicas: fijado α R, la serie se cooce como serie armóica co expoete α. Hasta ahora sólo α habíamos cosiderado esta serie para alguos valores de α muy cocretos. E geeral, es fácil estudiar su covergecia: La serie armóica co expoete α R coverge si, y sólo si, α >.
9. Potecias y logaritmos 78 Es claro que, para α 0, el térmio geeral de uestra serie o coverge a cero, luego la serie o coverge. Supoiedo que α > 0, la sucesió {/ α } es decreciete y podemos aplicar el criterio de codesació: la covergecia de la serie armóica co expoete α equivale a la de la serie 2 ( ) 0 2 α = ( 2 α ). Pero esta es la serie geométrica de razó 2 α, que 0 sabemos coverge si, y sólo si, 2 α <, es decir, α >. Como ocurrió e su mometo co las series geométricas, teemos aquí ua ueva gama de series, cuya covergecia hemos caracterizado e forma fácil de recordar, lo que las hace muy útiles para estudiar otras series, gracias a los criterios de comparació. Esta gama se puede todavía ampliar, ivolucrado la fució logaritmo y u uevo expoete. Dados α, β R la serie 3 α se cooce como serie de Bertrad co expoetes α y β. Tomar 3 (log ) β hace que se tega log >, lo que facilita los cálculos. La serie de Bertrad co expoetes α y β coverge cuado α > y diverge cuado α <. E el caso α =, dicha serie coverge si, y sólo si, β >. E la demostració escribimos para abreviar a = α. E el caso α >, debemos (log ) β comprobar que la serie de Bertrad coverge para todo β R. Si β 0, teemos a / α y aplicamos el criterio de comparació. Si β < 0, fijamos λ ],α[, para comparar la serie de Bertrad co la armóica de expoete λ, que sabemos coverge. La escala de ifiitos, co ρ = (λ α)/β > 0, os dice que a / λ = (log ) β ( ) log β α λ = ρ = 0 y basta aplicar el criterio de comparació por paso al ite. E el caso α <, la divergecia de la serie de Bertrad se obtiee de forma bastate similar. Si β 0, teemos a / α y basta aplicar el criterio de comparació. E el caso β > 0, fijamos λ ]α,[, para comparar la serie de Bertrad co la armóica de expoete λ, que ahora diverge. La escala de ifiitos, otra vez co ρ = (λ α)/β > 0, os dice que ( log / λ a = (log ) β λ α = y aplicamos de uevo el criterio de comparació por paso al ite. ρ ) β = 0 Queda cosiderar fialmete el caso α =. De uevo, si β 0, teemos a /, y el criterio de comparació os dice que la serie de Bertrad diverge. E el caso β 0, la sucesió {a } es decreciete y podemos aplicar el criterio de codesació. Obteemos que, para α =, la covergecia de la serie de Bertrad equivale a la de 2 2 ( log 2 ) β = 2 Basta ahora aplicar que la serie armóica co expoete β coverge si, y sólo si, β >. 2 (log 2) β β. Obsérvese el papel clave que ha jugado el criterio de codesació e los razoamietos ateriores: primero os llevó de ua serie armóica a ua geométrica y después os ha llevado de ua serie de Bertrad a ua armóica.
9. Potecias y logaritmos 79 9.8. Equivalecia logarítmica Co la escala de ifiitos resolvimos alguas idetermiacioes del tipo [ (+ ) 0 ] y [ 0 0 ]. Vamos a ver ahora u método bastate útil para abordar idetermiacioes del tipo [ ]. Para motivarlo basta recordar la derivada del logaritmo e : log x x x = (6) Si ua sucesió de potecias { x y } preseta ua idetermiació del tipo [ ], vimos que el problema procede de la sucesió {y log x }, que preseta ua idetermiació del tipo [ 0]. Como {x }, la igualdad (6) sugiere sustituir la sucesió {y log x } por {y (x )}, que debe teer el mismo comportamieto y, auque preseta el mismo tipo de idetermiació, puede ser e la práctica mucho más secilla. Obteemos así el resultado que sigue, coocido como criterio de equivalecia logarítmica. Sea {x } ua sucesió de úmeros reales positivos tal que {x } y sea {y } cualquier sucesió de úmeros reales. (i) Para L R se tiee: y (x ) = L (ii) {y (x )} + { x y } + (iii) {y (x )} { x y } 0 x y = e L La demostració se deduce de las ideas ya cometadas, salvo que para aplicar directamete (6), ecesitaríamos que x para suficietemete grade, cosa que o podemos asegurar, ya que {x }. La solució cosiste simplemete e iterpretar (6) como la posibilidad de exteder por cotiuidad ua fució. Más cocretamete, la fució ϕ : R + R dada por ϕ(x) = log x x x R + \ {}, ϕ() = es cotiua e, luego {ϕ(x )}. Además, es claro que ϕ(x) 0 para todo x R +. La igualdad y log x = y (x )ϕ(x ), válida para todo N, os da el comportamieto de la sucesió {y log x } a partir del de {y (x )}, y viceversa. Las tres equivalecias del euciado so ya imediatas. Auque las implicacioes hacia la derecha que aparece e el criterio aterior so las más útiles e la práctica, las recíprocas tambié tiee iterés. Teemos, por ejemplo, ua boita descripció del logaritmo: log a = ( a ) a R + La derivada e el orige de la fució expoecial de base a os daría el mismo resultado. Ni que decir tiee, el criterio de equivalecia logarítmica permite estudiar la existecia de ite o la divergecia de fucioes defiidas como potecias co base y expoete variables, cuado presete idetermiacioes del tipo [ ]. Por ejemplo, teemos claramete ( + x 0 x)/x = ( + x ) x = x ( + x ) x = e
9. Potecias y logaritmos 80 9.9. Ejercicios. Dado ρ R +, probar que la restricció del logaritmo a [ρ,+ [ es lipschitziaa, pero la restricció a ]0,ρ] o es uiformemete cotiua. 2. Probar que existe ua úica fució f : R R + que verifica log f (x) + f (x) = x para todo x R. Probar tambié que f D(R) y calcular f (). 3. Estudiar la existecia y cotiuidad de la derivada de la fució f : R R defiida por f (x) = x x R 0, f (x) = log( + x) x R+ 4. Calcular la image de la fució f : [, 2e] R dada por f (x) = log x x x [,2e] 5. Probar que log k= k =. 6. Sea f D(R) tal que f (x) = α f (x) para todo x R, dode α R es ua costate. Probar que f (x) = f (0)e αx para todo x R. 7. Sea a,b R co a < b y f C[a,b] D ( ]a,b[ ), tal que f (a) = f (b) = 0. Dado λ R, probar que existe c ]a,b[ tal que f (c) = λ f (c). 8. Probar que e x + e x 2 para todo x R. 9. Sea f : R R la fució defiida por f (x) = x + e x para todo x R. Probar que f es biyectiva y que f es derivable e R. Calcular ( f ) () y ( f ) ( + e). 0. Probar que + x e x + xe x para todo x R.. Probar que x e e x para todo x R +. Probar tambié que la aterior desigualdad caracteriza al úmero e, es decir, si a R + verifica que x a a x para todo x R +, etoces a = e. 2. Estudiar el comportamieto e + de las fucioes ϕ,ψ : R + R defiidas como sigue, dode a R + es ua costate: ϕ(x) = log ( 2 + ae x) 2 + ax 2, ψ(x) = ( a x + x ) /x x R + 3. Dado α R, estudiar la covergecia de las siguietes series: (a) ( ( log + α (b) )) ( e /) α
9. Potecias y logaritmos 8 4. Dado α R, estudiar la derivabilidad de la fució f : R R defiida por f (x) = 0 x R 0, f (x) = xα x R + 5. Se cosidera la fució f : R + \ {e} R defiida por /(log x ) f (x) = x x R + \ {e} Estudiar el comportamieto de f e 0, e, +. 6. Estudiar la covergecia de la sucesió: {( α a + β ) } b α + β dode α,β R, α + β 0, a,b R +. 7. Estudiar la derivabilidad de la fució f : R + 0 R dada por f (x) = x x x R +, f (0) = 8. Estudiar el comportamieto e + de la fució h :],+ [ R e cada uo de los siguietes casos: (a) h(x) = x( x /x ) x ],+ [ log x (b) h(x) = (x + ) 2/3 (x ) 2/3 x ],+ [ ( ) x 2 x + 5 x (c) h(x) = 2 +3 2x 2 x ],+ [ 9. Sea ϕ : R R ua fució verificado que ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y) x,y R Probar que ϕ(r) = ϕ()r para todo r Q. Deducir que, si ϕ es cotiua al meos e u puto x 0 R, etoces ϕ(x) = ϕ()x para todo x R. 20. Sea f : R + R + ua fució derivable e y verificado que f ( f (x) ) = x 2 x R + Probar que f es la potecia de expoete 2 o la de expoete 2.