Funciones de vrible complej Integrles impropis. Mrí Eugeni Torres Universidd Ncionl de Entre Ríos Fcultd de Ingenierí Funciones de Vrible Complej (Bioingenierí, Pln 28) Myo 29
Integrles impropis Alcnce y objetivos En ests nots trtmos de complementr con un nálisis ms detlldo ciertos contenidos desrrolldos en los libros de teto utilizdos como bibliogrfí del curso. Es decir que esto no sustituye en modo lguno su uso y vrios tems, teorems y propieddes no hn sido borddos nuevmente quí. Si encuentr errores de tipeo o de lgun otr índole, le grdeceremos nos lo hg sber pr ir mejorndo pr ediciones posteriores, envindo un e-mil metorres@sntfe-conicet.gov.r. Desde y, muchs grcis... Integrles impropis En l definición de integrl de Riemnn pr un función f() rel vlores reles: f(), se supone que f() está definid y es continu y cotd en un intervlo rel [, b], cerrdo y cotdo en R, en el cul se dese integrr. Es sí que ls siguientes integrles no poseen significdo en ese conteto: / 2 () / 2 (2) Si bien en el primer cso, l función / 2 está definid y es continu en el intervlo [, ], no es cotd en el etremo inferior: lím / 2 = +. En el segundo cso, el problem es que l función que estmos intentndo integrr está definid en el intervlo de integrción, es continu y cotd en él, pero el intervlo de integrción no es cotdo. En est sección relizremos dos etensiones l definición de integrl definid. L primer integrles de funciones sobre intervlos de l form [, + ) y (, b], con y b números reles finitos, y intervlos de l form (, + ). L segund etensión nos permitirá etender el concepto de integrl funciones con discontinuiddes infinits. Un integrl de culquier de estos dos tipos se denomin Integrl impropi. En lgunos csos, tles integrles podrán definirse considerndo el límite de integrles propis de Riemnn, sobre intervlos progresivmente más grndes. Así por ejemplo, si el intervlo de integrción no es cotdo, como en el cso (2), se considerrá que l integrl impropi es el límite cundo el etremo superior tiende infinito. Funciones de vrible complej - 29
Integrles impropis 2 Definición. Se f() definid, continu y cotd en [, + ]. Entonces, si eiste b f(), se define l integrl impropi f() como: lím f() = lím f(). (3) De modo nálogo se define: f() = lím f(). (4) En consecuenci, l integrl impropi es en mbos csos el límite de integrles propis de Riemnn, tomdo cundo uno de los etremos de integrción tiende + o. Ejemplo. En el cso 2, tenemos, plicndo l definición. 2 = lím = lím =b = lím, (5) 2 =, (6) ( b + ), (7) =. (8) Funciones de vrible complej - 29
Integrles impropis 3 Definición.2 Se f() definid en el intervlo semibierto (, b] y tl que: entonces, si eiste el lím b ɛ +ɛ lím f() = + f(), se define: f() = lím ɛ +ɛ f(). (9) De mner nálog, si f() está definid en el intervlo [, b), con lím f() =, b en el supuesto que dicho límite eist, y si f es integrble en todos los intervlos de l form [, b ɛ] (pr culquier ɛ), entonces se define: f() = lím ɛ b ɛ f(). () Por último, si f está definid en [, d) y (d, b], de modo que vle: o lím f() =, d lím f() =, d + o mbos, y f es integrble en todos los intervlos de l form [, d ɛ], con ɛ > y de l form [d + ɛ, b], tmbién con ɛ >, entonces se define f() = lím ɛ d ɛ f() + lím ɛ d+ɛ f(), en el supuesto que mbs integrles de l derech eistn. En cd cso, cundo el límite propido eiste, decimos que l integrl converge; de otro modo, se dice que l integrl diverge. En csos ms complicdos, puede requerirse tomr límites en mbos etremos de integrción o en puntos interiores, si eistier un número finito de discontinuiddes no finits. Funciones de vrible complej - 29
Integrles impropis 4 Ejemplo.2 Tenemos entonces que, plicndo l definición.2 / 2 = lím ɛ / 2, () ɛ = lím( /) ɛ =ɛ, (2) = lím ( + /ɛ). ɛ (3) Sin embrgo, el límite de l derech no es finito, y por lo tnto, podemos firmr que no eiste l integrl impropi quí plnted. Se dice en este cso que l integrl impropi no converge. Ejercicio. Considere hor l función f() = (+) integrd de +. En el etremo inferior y l cot superior de l función tiende, mientrs que en el etremo superior y l función tiende. Desemos clculr l siguiente integrl: Eligiendo b R, fijo, l descomponemos en dos integrles: b (+) = y ls integrmos plicndo ls definiciones nteriores: (+) (4) (+) + (+), (5) b (+) = lím ɛ ɛ (+) + lím L + L b (+), (6) (7) Eiste lgún vlor de b pr el cul ests integrles no estrín definids?. En cso que se posible clcule l integrl propuest. Ejercicio.2 Dds ls siguientes funciones, determine l convergenci o no de sus integrles en los intervlos indicdos son convergentes. En cso firmtivo, clcule su vlor.. f() = 3, en [3, ). 2. f() = en [2, ). 3. f() = en (, ]. Funciones de vrible complej - 29
Integrles impropis 5 4. f() = 2 en (, ]. 5. f() = 2 5 en (, ]. 6. f() = (+ 2 ) 2 en (, + ). 7. f() = ( ) 2/3, en [, 2]. Proposición. (Criterio de convergenci domind) Sen f y g funciones definids en [, ), integrbles en [, b] pr todo < b <, y f() g() pr todo en [, ). Si l integrl g() converge, entonces l integrl f() tmbién converge y es Si l integrl f() g(). f() diverge, entonces g() tmbién diverge. Resultdos similres son válidos pr integrles sobre intervlos de l form (, b] y [, ). Ejercicio.3 Dds ls siguientes funciones, determine si sus integrles en los intervlos indicdos son convergentes o no. En cso que se posible, clcule su vlor. En cso que se convergente, pero no pued determinr su vlor ecto, encuentre un cot su vlor.. f() = + 2 en [, ). (Ver ) 2. f() =, en [2, ). Proposición.2 Sen h() f() g() pr todo [, ) y f, g y h son integrbles en [, b] pr < b <. Si ls integrles h() y g() mbs convergen, entonces l integrl f() tmbién converge y se tiene que h() f() g() Ejercicio.4 Usndo el hecho de que en el intervlo [, ). 2 =, determine si l función sin() 2 es convergente Proposición.3 si f está definid en [, ) y l integrl f() converge, entonces l f() tmbién converge. Resultdos similres vlen en intervlos de l form (, b] y (, ). Ayud: Observe que =. Se demuestr que 2 + 2 = π 2. Funciones de vrible complej - 29
Integrles impropis 6... Problems. Clcule ls siguientes integrles ) 3 b) c) 4 5 2 (3+2) 2 2. Clcule ls siguientes integrles 2 2 () 2 d) e) f ) (c) 2 2 5 + sin() (9+ 2 ) 4 (b) 2 2 (d) 5 2 + 3. Determine, sin clculrls, si ls siguientes integrles son convergentes o no () (c) ds (b) dz 2+z 3 2 +z 4 dz 4. Demuestre que: ) b) c) d) 5. Se + (d) ds converge pr q >. Encuentre su vlor. s q ds diverge pr q <. s q ds converge pr q <. Encuentre su vlor. s q ds diverge pr q >. s q s n = + 2 + 3 + + n, sin 3 (s) s 2 ds s 2 +4 pr n N, ls sums prciles de l serie rmónic. ) Demuestre que s n + n, n N. Funciones de vrible complej - 29
Integrles impropis 7 b) Demuestre que diverge. 6. Si f es integrble en [ b, b] pr todo b >, y si eiste el límite: lím f(), b entonces se denomin vlor principl de Cuchy o integrl de Cuchy : I(f) = lím f(), b y se lo indic (V P ) f(), ) Demuestre que si f() converge, entonces (V P ) f() = f(). b) Encuentre I(f) e I(g) pr f() = y g() = sin(). c) Demuestre que l integrl de Cuchy de f puede eistir unque l integrl f() diverj. Funciones de vrible complej - 29