Sucesiones y ĺımite de sucesiones

Tema 3 Sucesioes y ĺımite de sucesioes Ídice del Tema Sucesioes........................................ 60 Progresioes....................................... 63 3 Covergecia...................................... 65 4 Sucesioes que tiede a cero............................. 68 5 Álgebra de ĺımites.................................... 70 6 Límites ifiitos..................................... 76 7 Sucesioes moótoas................................. 79 8 El úmero e....................................... 83 9 Expoecial y logaritmo de u úmero real..................... 86 0 Límites co expoeciales y logaritmos........................ 9 Regla de Stolz...................................... 97 Ifiitos e ifiitésimos: equivalecias........................ 03 3 Subsucesioes: teorema de Bolzao-Weierstrass................... 05 4 Sucesioes de Cauchy.................................. 08 5 Límites de oscilació.................................. 0 Sucesioes. E esta secció vamos a itroducir y formalizar el cocepto de sucesió. Trataré, e primer lugar, de describir ituitivamete la idea y después aalizaré los objetos formales que se puede usar para defiir ese cocepto. E teoría de cojutos has apredido el cocepto de par ordeado, ituitivamete, si uo cosidera u par ordeado de úmeros reales a, b), piesa e dos úmeros que se da de forma ordeada : el primero es el úmero a y el segudo es el úmero b. Pues bie, lo que vamos a hacer es defiir u objeto, o ya co dos úmeros, si o formado co ifiitos úmeros reales que está dados ordeadamete. Y para esto usaremos ese cocepto de par ordeado. La idea es la siguiete: supó que queremos dar los siguietes úmeros reales ordeadamete o me refiero a darlos de mayor a meor o de meor a mayor co el orde de R): 3, 3, 7, 3, 7.

60. SUCESIONES. Al aparecer así, puedo eteder que 3 es el primero el ), 3 es el segudo el ), 7 es el tercero el 3), 3 es el cuarto el 4) y 7 es el quito el 5). Pero, qué puedo usar para defiir formalmete este cojuto ordeado? La respuesta a esa preguta está ahí, e lo que hemos hecho ates: asociar a cada úmero real u úmero atural. Así, e el ejemplo aterior podríamos escribir: {, 3),, 3 ), 3, 7), 4, } 3), 5, 7). De esta forma teemos defiida ua sucesió fiita de úmeros reales. Pero ese cojuto defie, como debes saber, ua fució del cojuto {,, 3, 4, 5} e el cojuto {3, 3, 7, 3, 7} y es esta idea la que os va a permitir defiir ua sucesió ifiita. Defiició. Llamaremos sucesió de úmeros reales a cualquier fució a : N R La image del úmero atural ; esto es, a), se deota por a y se le llama térmio -ésimo de la sucesió o térmio geeral. El primer térmio es a, el segudo térmio es a, etc. La aterior sucesió suele deotarse por a ). Tal como la hemos defiido, ua sucesió es u cojuto de pares ordeados de la forma: {, a ),, a ),...,, a ),...} Como los úmeros aturales,,... da el orde se puede dar por supuestos y, por ello, e ocasioes verás frases como sea la sucesió a, a, a 3,... Auque o siempre tedremos claro qué sigifica exactamete esos putos suspesivos y auque tiee u gra valor didáctico formalmete o sirve. Te cuidado co ellos. Te podré u ejemplo. Te habrá plateado muchas veces pregutas como: qué úmero sigue e la siguiete sucesió?, 3, 5, 7,... Parece que os está pidiedo que digamos el 9 pero por qué? Simplemete porque hemos ecotrado ua ley de formació? E realidad hay ifiitas posibilidades. Por ejemplo, si cosideramos que la sucesió se defie por + ) ) 3) 4) resulta que + ) ) 3) 4) = + ) ) 3) 4) = 3 3 3 + 3 )3 )3 3)3 4) = 5 4 4 + 4 )4 )4 3)4 4) = 7 5 5 + 5 )5 )5 3)5 4) = 33 Por esa ley el úmero que sigue a aquella es el 33 y o el 9. E los siguietes ejemplos puedes ver defiidas sucesioes de distitas formas. Observa que o deja duda de cuáles so los térmios de la sucesió; esto es, el primer térmio image del ), el segudo térmio image del ), etc: Itroducció al aálisis matemático

TEMA 3. SUCESIONES Y LÍMITE DE SUCESIONES 6 Por el térmio geeral: ). + Por recurrecia: a =, a + = a +, para. 3 Ejercicio III.. Escribe los primeros térmios de las siguietes sucesioes: a) ). + b) b =, b + = b +, para. 3 c) c =, c = c + = c + c +, para. d) x ), si x = + ),. Te podré las cosas u poco más difíciles. Supó que teemos ua fució defiida sobre u subcojuto ifiito de úmeros aturales, llamémosle M N, y co image e R: f : M R m fm) Defie esta fució ua sucesió? Pues e cierta maera sí. Veamos cómo. Al ser N u cojuto bie ordeado, todo subcojuto suyo tiee primer elemeto, luego M tiee u primer elemeto que vamos a llamar m. Tambié el cojuto M \ {m } tedrá u primer elemeto podíamos llamarle el segudo elemeto de M) que llamaremos m, y, procediedo así, podremos escribir que M = {m : } Ya teemos la sucesió recuerda que debe ser ua fució de N e R): Así que la sucesió que defie es fm )). N R m fm ) Por tato, o te extrañes que veas sucesioes que o esté defiidas para ciertos úmeros aturales, como por ejemplo la dada por a = / 3). Éstas expresioes defie sucesioes e la forma que te he señalado ates. Defiició. Dadas dos sucesioes a ) y b ) se defie la suma de ambas como la sucesió cuyo térmio geeral es a + b. Se defie el producto, o multiplicació, de ambas como la sucesió cuyo térmio geeral es a b. Si además b 0, para, se defie el cociete, o divisió, de ambas como la sucesió cuyo térmio geeral es a /b. Ejercicio III.. Comprueba que e el cojuto de todas las sucesioes de úmeros reales la suma tiee las propiedades comutativa, asociativa, existe u elemeto ulo, y cada sucesió tiee ua opuesta. Ejercicio III.3. Comprueba que e el cojuto de todas las sucesioes de úmeros reales el producto tiee las propiedades comutativa, asociativa y existe u elemeto uidad. Cada sucesió tiee iversa? Quico Beítez

6. PROGRESIONES. Progresioes. Vamos a estudiar e esta secció u caso particular de sucesioes, deomiadas progresioes, que posiblemete ya hayas estudiado e algua ocasió. Defiició. Diremos que la sucesió a ) es ua progresió aritmética si existe u úmero real d, llamado diferecia de la progresió, tal que a + = a + d. Diremos que la sucesió b ) es ua progresió geométrica si existe u úmero real r, llamado razó de la progresió, tal que b + = b r. Diremos que la sucesió x ) es ua progresió aritmético-geométrica si es el producto de dos progresioes, ua aritmética y otra geométrica. A cotiuació vemos uos ejemplos: ˆ, 3, 7,, so los cuatro primeros térmios de ua progresió aritmética cuya diferecia es 4. ˆ, 3, 9, 7, so los cuatro primeros térmios de ua progresió geométrica cuya razó es 3. ˆ, 3 3, 7 9, 7, so los cuatro primeros térmios de ua progresió aritmético-geométrica de diferecia 4 y razó 3. Proposició. El térmio geeral de ua progresió aritmética a ) cuya diferecia es d viee dada por a = a + )d. La suma de los primeros térmios de la progresió es S = a + a. Demostració. Probemos que a = a + )d por iducció. Para = es obvio. Supogamos que es cierta para = k. Etoces, a k+ = a k + d = a + k )d) + d = a + kd. Probemos S = a + a por iducció. Para = es obvio. Supogamos que es cierta para = k. Etoces, S k+ = S k + a k+ = a + a k k + a k+. Como a k = a + k )d y a k+ = a + kd resulta que S k+ = a + a + k )d k + a + kd = a k + k )kd + a + kd Sacado factor comú k + y operado: S k+ = a + kd k + ) = a + a + kd k + ) = a + a k+ k + ). = a k + ) + k + )kd. Itroducció al aálisis matemático

TEMA 3. SUCESIONES Y LÍMITE DE SUCESIONES 63 Proposició.3 El térmio geeral de ua progresió geométrica b ) cuya razó es r viee dada por b = b r. La suma de los primeros térmios de la progresió cuado r es Si r = etoces S = a. S = b r r. Demostració. Probemos que b = b r por iducció. Para = es obvio. Supogamos que es cierta para = k. Etoces, b k+ = b k r = b r k ) r = b r k. r Probemos que S = b. Se tiee que r S = b + b + b 3 + + b + b. Multiplicado por la razó r ambos miembros de esta igualdad y teiedo e cueta que b k r = b k+ resulta Restado ambas se tiee De dode resulta la igualdad que queríamos probar. S r = b + b 3 + b 4 + + b + b r. S r) = b b r = b b r = b r ). Ejercicio III.4. Los úmeros y 5 so los térmios tercero y quito, respectivamete, de ua progresió aritmética, halla la suma de los 0 primeros térmios. Ejercicio III.5. Se sabe que si m es la mesualidad que se aboa para amortizar u préstamo de C a u tato aual i e años, se debe verificar C = m + i/) + m + i/) + m + i/) 3 + + m + i/) Ecuetra ua fórmula para halar el valor de m. A cotiuació vamos a usar la misma técica de la última demostració para hallar la suma de los primeros térmios de ua progresió aritmético-geométrica co diferecia d y razó r. Esa suma es S = a b + a + d)b r + a + d)b r + a + 3d)b r 3 + + a + )d)b r Multiplicado por la razó r ambos miembros de esta igualdad resulta S r = a b r + a + d)b r + a + d)b r 3 + + a + )d)b r Restado ambas se tiee S r) = a b + db r + db r + db r 3 + + db r a + )d)b r Quico Beítez

64 3. CONVERGENCIA. De dode, S r) = a b + db r + r + r 3 + + r + r ) a b r + b r = a b r r ) + db r + b r Y de aquí se obtiee el valor de S. Ejercicio III.6. Halla la fórmula de los k primeros térmios de ua progresió aritmética-geométrica cuyo térmio geeral es + )3,. Co el siguiete procedimieto es posible hallar la suma de cuadrados, cubos, etc, de ua progresió aritmética. Lo ilustramos co u ejemplo. Vamos a sumar + + 3 + +. Empezaremos por escribir k + ) 3 = k 3 + 3k + 3k +, para los valores de k desde a. A cotiuació se suma todos las igualdades: De dode, + ) 3 = 3 + 3 + 3 + + ) 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + ) 3 = 3 3 + 3 3 + 3 3 +...... + ) 3 = 3 + 3 + 3 + + ) 3 = 3 + 3 + + + ) + 3 + + + ) + + ) 3 = + 3 + + + ) + 3 + + + + + = + ) 3 + ) 3 3 = 3 + 3 + 6 Ejercicio III.7. Para ua progresió aritmética cuyo primer térmio es a y la diferecia d puedes hallar la suma de los cuadrados de los primeros térmios usado el procedimieto aterior co la igualdad a 3 k+ = a k + d) 3 = a 3 k + 3a k d + 3a kd + d 3. Ecuetra ua expresió de la suma a + a + + a e fució del primer térmio a y de la diferecia d. Ejercicio III.8. Halla 3 + 3 + 3 3 + + 3. 3 Covergecia. Ates de etrar e el cocepto cetral de este tema, como es la covergecia, vamos a dar la defiició de etoro que usaremos después. Defiició 3. Sea a R, para ε > 0 llamaremos etoro abierto del puto a de radio ɛ al itervalo a ε, a + ε). Llamaremos etoro del puto a a cualquier cojuto E R para el que existe u δ > 0 verificado a δ, a + δ) E. Itroducció al aálisis matemático

TEMA 3. SUCESIONES Y LÍMITE DE SUCESIONES 65 Demos ahora la defiició de covergecia de ua sucesió. Defiició 3. Sea a ) ua sucesió de úmeros reales y a u úmero real. Diremos que la sucesió a ) coverge al úmero a, o que tiee ĺımite a, y se deota por cualquiera de las siguietes formas, a a, lim a = a, lim a = a, si para cada úmero real ε > 0 existe u úmero 0 N tal que a a < ε si 0. Observa que a a < ε es equivalete a que ε < a a < ε, o tambié, a ε < a < a + ε, lo cual sigifica que a a ε, a + ε). Ya que, para cada ε > 0, existe u 0 N tal que a a ε, a + ε), si 0 y los úmeros a, a,..., a 0 supoe u úmero fiito de térmios de la sucesió, la defiició de ĺımite aterior podría euciarse de forma equivalete así: La sucesió a ) coverge a a si y sólo si) para cada ε > 0 el etoro a ε, a + ε) cotiee a todos los térmios de la sucesió salvo, quizá, a u úmero fiito de ellos. Podemos ir más allá todavía. Si E es u etoro del puto a etoces cotiee u etoro de la forma a ε, a + ε), el cual debe coteer a todos los térmios de la sucesió salvo quizá a u úmero fiito de ellos. Etoces, podemos de uevo euciar, de forma equivalete, la covergecia de ua sucesió así: La sucesió a ) coverge a a si y sólo si) cada etoro de a cotiee a todos los térmios de la sucesió salvo, quizá, a u úmero fiito de ellos. Esa frase de...cotiee a todos los térmios de la sucesió salvo, quizá, a u úmero fiito de ellos que aparece e los dos ateriores euciados, puede sustituirse por existe 0 N tal que a E si llamamos E al etoro) para 0. Ejercicio III.9. E los siguietes euciados se trata de dar formulacioes equivaletes al de ĺımite de ua sucesió a ). Estudia cada ua de ellas y prueba si so o o equivaletes a que a a, y e caso de o serlo, qué relació de implicació tiee co esa covergecia usa cotraejemplos si fuera ecesarios): a) Fuera de cada etoro de a hay, a lo sumo, u úmero fiito de térmios de la sucesió. b) Dado δ > 0 existe k N tal que a m a < δ, si m k. c) Para cada ε > 0 el cojuto M ε = { N : a a ε, a + ε)} es fiito. d) Para todo γ > 0 podemos determiar N tal que para todo 0 se verifica a 0 a < γ. e) Para cada úmero real ε > 0 existe u úmero 0 N tal que a a ε si 0. f) Todo etoro del puto a cotiee a ifiitos térmios de la sucesió. g) Para cada úmero 0 < ε < existe u úmero 0 N tal que a a < ε si 0. h) Para cada úmero real ε > 0 existe u úmero 0 N tal que a a < ε si > 0. i) Sea β R +, para cada úmero 0 < ε < β existe u úmero 0 N tal que a a < ε si 0. Quico Beítez

66 3. CONVERGENCIA. j) Para cada úmero real ε > 0 existe u úmero 0 N tal que a a ε si > 0. Malo sería que ua sucesió coverja a la vez a dos úmeros distitos, pero eso o es posible: Proposició 3.3 Si ua sucesió a ) coverge el ĺımite es úico. Demostració. E efecto, sea a y b dos ĺımites de la sucesió a ). Veamos que a b = 0; esto es, que a = b. Sea ε > 0 y apliquemos la defiició de ĺımite. Como a a para el úmero ε/ > 0 existe N tal que a a < ε/,. Por otra parte, si a p, tambié para el úmero ε/ > 0 existe N tal que a b < ε/,. Tomado 0 = máx{, } N resulta que para 0 es a b = a a + a b a a + a b < ε/ + ε/ = ε. Hemos obteido que a b < ε, cualquiera que sea ε > 0, o sea que a b = 0 como pretedíamos probar. Ua implicació importate de la covergecia de ua sucesió es la acotació, ates de probarlo precisemos este cocepto. Ya sabes que, por defiició, ua sucesió o es u cojuto de úmeros sio de pares ordeados dode el primer elemeto es u úmero atural, así que los coceptos de acotació, supremo, ífimo, etc, o se puede aplicar exactamete a las sucesioes. Si embargo, todos esos coceptos se puede defiir a ua sucesió de úmeros reales a ) cosiderado el cojuto {a : N}. Defiició 3.4 Diremos que ua sucesió a ) está acotada iferiormete, acotada superiormete o acotada si lo está el cojuto {a : N}. Ua cota superior, cota iferior, el supremo, ífimo, máximo o míimo para la sucesió a ) so, si existe, los del cojuto aterior. Como u cojuto co u úmero fiito de úmeros es siempre acotado de hecho tiee máximo y míimo) resulta que la acotació de ua sucesió basta estudiarla a partir de u determiado térmio. E otras palabras, ua sucesió está acotada superior o iferiormete) si, y sólo si, existe u 0 N tal que lo está el cojuto {a : 0 }. Ejercicio III.0. Se sabe que para la sucesió a ) existe u 0 N tal que a M, para 0. Ecuetra ua cota superior para la sucesió. Ejercicio III.. Ecuetra el supremo y el ífimo de la sucesió /). Otro aspecto que se usa frecuetemete al estudiar la acotació de sucesioes es el siguiete. sucesió a ) está acotada existirá dos úmeros α y β tales que Si ua α a β,. Itroducció al aálisis matemático

TEMA 3. SUCESIONES Y LÍMITE DE SUCESIONES 67 Si llamamos M = máx{ α, β }, resultará que De dode, a M si. M α α a β β M. Recíprocamete, si para esa sucesió a ) existe u úmero M 0 tal que a M si, etoces la sucesió está acotada, puesto que M a M. Hemos probado lo siguiete: Proposició 3.5 Ua sucesió a ) está acotada si y sólo si existe u úmero real M 0 tal que a M, para o tambié si lo es para 0, para algú 0 N). Proposició 3.6 Si ua sucesió es covergete está acotada. Demostració. Sea la sucesió a ) covergete a a R. Por la defiició de ĺımite, para el úmero > 0 existe 0 N tal que a a <, si 0. Pero esto es lo mismo que decir que Por tato, la sucesió está acotada. < a a < ; esto es, a < a < a +, para 0. Coviee que te acostumbres a ciertas situacioes triviales porque esto te impedirá cometer alguos errores. Se cooce como sucesioes triviales a todas aquellas cuyos térmios so todos iguales a partir de uo de ellos, así so: ˆ 0, 0, 0, 0, 0,... ˆ 3, 5,,,,... ˆ /) m. Qué la última o es trivial? Fíjate que el ídice de la sucesió es m así que esa sucesió es costate: /, /, /, /, /,... Todas esa sucesioes triviales so covergetes, como es obvio, e el último caso se puede escribir lim m / = /. Para estos casos es muy útil esa otació de ĺımite. A veces, cosideraremos sucesioes co térmio geeral como +, pero dicho así uo o tiee claro si la ) ) k + + sucesió es o bie, que como ves so distitas. Te mucho ojo co esas situacioes. k k k 4 Sucesioes que tiede a cero. Esto de estudiar las sucesioes que coverge a cero o es tiempo perdido como irás comprediedo, la razó está e la siguiete proposició cuya demostració es trivial por qué?). Proposició 4. ˆ La sucesió a ) tiede a cero; esto es, a 0 si y sólo si a 0. Quico Beítez

68 4. SUCESIONES QUE TIENDEN A CERO. ˆ Ua sucesió a ) coverge a u úmero a a si y sólo si la sucesió a a) tiede a cero; esto es, a a si y sólo si a a 0. Ejercicio III.. Escribe la demostració de esta proposició, por muy trivial que sea. E las siguietes proposicioes vamos a mostrar alguas sucesioes muy frecuetes que tiede a cero. Proposició 4. Para cada k N se verifica lim k = 0. Demostració. E efecto, sea ε > 0, por la propiedad arquimediaa de R, existe 0 N tal que 0 > /ε. Por tato, para todo 0 se verifica k k 0 0 > /ε, de dode k < ε. Proposició 4.3 Para a, b R, a 0, se verifica lim a + b = 0. Demostració. E efecto, sea ε > 0, por la propiedad arquimediaa de R, existe 0 N tal que b + /ε 0 > de dóde sale esto Dios mío?). De ahí, si 0 se tiee que a 0 > Luego a b >. Por tato, ε b + /ε, de dode a > b + a ε. a + b = a b) a b = a b a b > ε. Así que, a + b = a + b < ε se verifica para cada 0, c.q.d.. E la siguiete proposició vemos ua primera versió de ua propiedad, que alguos llama del sadwich, pero que mi amigo Atoio Aizpuru la llama propiedad de todos a comisaría!. Proposició 4.4 Sea dos sucesioes a ) y b ) tales que a 0 y existe N tal que Etoces b 0. 0 < b a, ). Demostració. Fijemos ε > 0, por la defiició de ĺımite, existe N tal que a < ε, si. Tomado ahora 0 = máx{, }, si 0 se verificará 0 < b a < ε. Luego b < ε si 0, c.q.d.. Más sucesioes que coverge a cero resulta de la siguiete. Itroducció al aálisis matemático

TEMA 3. SUCESIONES Y LÍMITE DE SUCESIONES 69 Proposició 4.5 Sea a R verificado a < etoces lim a = 0. Demostració. Si a = 0 es evidete, así que supogamos que 0 < a <, etoces a = h > 0 y apliquemos la desigualdad de Beroulli: a >. Llamemos + h) > + h, >. Como + h = a, sustituyedo, a > + h, esto es, 0 < a = a < Como lim + h = 0 resulta que lim a = 0., > ). + h E j e r c i c i o III.3. Demuestra, aplicado la defiició de ĺımite, que la sucesió de térmio geeral tiee ĺımite. E j e r c i c i o III.4. Demuestra que lim a = + = utilizado la defiició de ĺımite. + E j e r c i c i o III.5. Prueba, usado la defiició de ĺımite, que lim a + b + = a, para cualesquiera a y b 0. b E j e r c i c i o III.6. Demuestra, utilizado la defiició de ĺımite, que: a) lim + + + + =. b) lim 46 + 8 4 + 5 6 + 0 4 + 5 = 4 5. E j e r c i c i o III.7. Muestra que la sucesió de térmio geeral a = + 7 defiició de ĺımite. o coverge aplicado la 5 Álgebra de ĺımites. E esta secció estudiamos el comportamieto de los ĺımites co las operacioes suma, producto, etc. Teorema 5. Sea a ) y b ) dos sucesioes tales que lim a = a y lim b = b etoces No me he vuelto loco, todavía o. Cuado veas u ejercicio escrito así es porque ha sido seleccioado etre los que elaboraro los etoces alumos de matemáticas, Oscar Aragó, Jua Fracisco Herádez, Jua Beigo Seoae, Ferado Rambla, Javier Ruiz y Ferado Vidal, para ayudarte co el aálisis. Quico Beítez

70 5. ÁLGEBRA DE LÍMITES. i) lima + b ) = lim a + lim b = a + b. ii) lim ca = c lim a = ca, para cualquier c R. iii) lim a b = lim a )lim b ) = ab. iv) Si b 0 y b 0 para, es lim a b = lim a lim b = a b. Demostració. i) Fijemos ε > 0. Existe N tal que a a < ε/,. Por la misma razó existe N tal que b b < ε/,. Tomado 0 = máx{, }, resulta que para cada 0 se tiee a + b ) a + b) = a a + b b a a + b b < ε/ + ε/ = ε. ii) Si c = 0 el resultado es obvio. Supogamos que c 0. Dado ε > 0, para el úmero ε/ c > 0 existe 0 N tal que a a < ε/ c,. Por tato, ca ca = c a a < c ε/ c = ε si 0. iii) Para probar ésta vamos a cosiderar la igualdad a b ab = a a)b b) + ab b) + ba a),. Ya que lim ab b) = 0 y lim ba a) = 0 os bastará probar que lima a)b b) = 0. Sea ε > 0. Como a a 0, aplicado la defiició de ĺımite, para el úmero positivo ε > 0 existe N tal que a a < ε. Tambié, como b b 0, existe N tal que b b < ε. Eligiedo ahora 0 = máx{, } resulta que para 0 se tiee a a)b b) = a a b b < ε ε = ε. Así pues, a a)b b) 0. Volviedo ahora a la primera igualdad Esto es, lim a b = ab. lima b ab) = lima a)b b) + lim ab b) + lim ba a) = 0. iv) Ya que a = a y el ĺımite del producto es el producto de los ĺımites como acabamos de ver, os b b bastará probar que /b /b. Para ello, tegamos e cueta que b b = b b. Como el umerador de esta fracció tiede b b a cero tedremos que acotar iferiormete el deomiador. Ya que b b, y b / > 0, podemos aplicar la defiició de ĺımite para determiar u N tal que b b < b /,. Pero etoces b b b b < b b ; esto es < b b < b. Itroducció al aálisis matemático

TEMA 3. SUCESIONES Y LÍMITE DE SUCESIONES 7 Sumado b resulta b < b < 3 b b. Sólo usaremos que la desigualdad < b se verifica para cada, o lo que es lo mismo, < b b,. Sea ε > 0, aplicado la defiició de ĺımite, para ε b > 0 existe N tal que b b < ε b, para. Eligiedo ahora 0 = máx{, } resulta que, para 0, es b b = b b b b = b b b b < ε b b b = ε. Así pues, hemos probado que /b /b y, fialmete, lim a b = lim a b = a b = a b. Observa cómo aplicamos los resultados ateriores para hallar el siguiete ĺımite: ˆ lim 3 + 5 + 4 3 + 5. E este caso o podemos aplicar el ĺımite del cociete puesto que las sucesioes del umerador y del deomiador o parece ser sucesioes que coverja. Si embargo, podemos trasformarlos así: 3 3 + 5 + 5 + 4 3 + 5 = + ) 3 + 5 4 3 + 5 ) = + 4 3 + 5. Ahora las sucesioes del umerador y del deomiador coverge y podemos aplicar: 5 lim 3 + 5 + 3 + 4 3 + 5 = lim + 4 3 + 5 = lim 3 + 5 + ) 4 3 + 5 ) = lim 3 4 Ahora estudiamos el comportamieto del ĺımite co las potecias y radicacioes. Quico Beítez

7 5. ÁLGEBRA DE LÍMITES. Proposició 5. Cosideremos ua sucesió a ) co ĺımite a, etoces i) lim a p = lim a ) p = a p, para cualquier p N. ii) Si a 0 y a 0, para N, etoces lim a p = lim a ) p = a p, para cualquier p N. iii) Si a 0, para N, etoces lim a /q = lim a ) /q = a /q, para cualquier q N. iv) Si a > 0 y a > 0, para N, etoces lim a r = lim a ) r = a r, para cualquier r Q. Demostració. i) La probaremos por iducció. Para p = el resultado es obvio. Supogamos que es cierta para p = k; esto es, lim a k = a k, etoces ii) Aplicado el ĺımite del cociete lim a k+ = lim a k a = lim a k )lim a ) = a k a = a k+. lim a p = lim a p = lim a p = a p = a p. iii) La probaremos por el cotrarrecíproco. Supogamos que a /q o es el ĺımite de la sucesió a /q ), etoces i la defiició de ĺımite se verifica i, por tato, iguo de sus euciados equivaletes. Por ejemplo, es falsa la siguiete afirmació: fuera de cualquier etoro del puto a /q hay u úmero fiito de térmios de la sucesió. Así que su egació es verdadera: existe u etoro del puto a /q al que o perteece ifiitos térmios de la sucesió. Eso es lo mismo que decir que existe u ε > 0 tal que el cojuto M ε = { N : a /q a /q ε, a /q + ε)} es ifiito. Así que si M ε es a /q de las siguietes posibilidades: a /q ε, a /q + ε), pero esto sigifica que se verifica ua ˆ O bie es a /q a /q ε; o lo que es lo mismo, a /q a /q + ε > 0, lo cual sigifica que, al elevar a q N, q a a /q + ε) a + ε q. Esto es, a a ε q. ˆ O bie es a /q a /q + ε > 0, lo que implica que q a a /q + ε) a + ε q. Esto es, a a + ε q. E cualquier caso, si M ε etoces a a ε q, a + ε q ). Así que e este etoro del puto a o está ifiitos térmios de la sucesió a ), por tato, a o puede ser el ĺımite de la sucesió a ), c.q.d.. Itroducció al aálisis matemático

TEMA 3. SUCESIONES Y LÍMITE DE SUCESIONES 73 iv) Si r Q, etoces podemos expresar r = p, siedo p Z y q N. Aplicado las propiedades q ateriores se tiee lim a /q = a /q y lim a p/q = lim a /q ) p = a /q) p = a p/q. Proposició 5.3 Si a R + etoces lim a =. Demostració. Supogamos que 0 < a <, e tal caso a < = ; esto es, a >. Si llamamos h = a > 0, Podemos aplicar la desigualdad de Beroulli y obteer Como + h = a, se tiee que a = Luego h 0. Fialmete, + h ) > + h > 0, si >. + h ) <. Así pues, + h a + ah <, esto es, 0 < h < a a 0. = lim + h = lim a. La demostració es similar cuado a >. El caso a = es trivial. Ejercicio III.8. Prueba que a cuado a >. Aquí está la propiedad del sadwich o de todos a comisaría Proposició 5.4 Sea tres sucesioes a ), b ) y c ). Si para algú 0 N se verifica etoces lim b = a. a b c para 0 y lim a = lim c = a, Demostració. Fijemos ε > 0. Ya que a a, existe N tal que Tambié c a, así que existe N tal que a ε < a < a + ε, ). a ε < c < a + ε, ). Para que se verifique todas las desigualdades cosideremos 3 = máx{ 0,, } N. Por lo que si 3 se verifica a ε < a b c < a + ε. Por ede, b a. Quico Beítez

74 5. ÁLGEBRA DE LÍMITES. Proposició 5.5 Sea a ) ua sucesió covergete a a, etoces i) lim se a = se a. ii) lim cos a = cos a. Demostració. Probemos i). Para ε > 0 y ε < π por qué habré teido que exigir esto?) existe 0 tal que a a < ε, si 0. Por tato, si 0 se tiee se a se a = se a + a ii) se demuestra de forma similar. se a a Ejercicio III.9. Prueba que cos a cos a cuado a a. se a a a a = a a < ε. Ejercicio III.0. Es cierto que tg a tg a cuado a a? Establece e qué casos es cierto. Veamos alguos ejemplos de cálculo de ĺımites: 5 ˆ lim + 3. 6 5 De uevo podemos hacer trasformacioes para obteer: 5 + 3 = 6 5 5 + 3 6 5 = 5 + 3 6 5. 5 Por tato lim + 3 = 6 5 ) ˆ lim +. Haciedo trasformacioes: + ) = 5 6. ) + + + ) + + = + + = +. + ) Luego lim + = 0 = 0. ) ˆ lim + + + + +. + Para hallarlo, observamos que Puesto que lim + < + + + + + + < +. + = lim =, el ĺımite propuesto existe y es. + Itroducció al aálisis matemático

TEMA 3. SUCESIONES Y LÍMITE DE SUCESIONES 75 Ejercicio III.. Halla los siguietes ĺımites, si existe. a) lim 3 + + 5 4 + 3 +. 4 b) lim + ). c) lim + ). d) lim 4 5. e) lim 3 3 + 7. E j e r c i c i o III.. Halla los ĺımites que exista a) lim b) lim c) lim + + + ) + + + ) + + + + + + + + + ). ). + ). d) lim + + + +... + ). + Ejercicio III.3. Halla el siguiete ĺımite, si existe, lim x + + x + + x3 + 3 + x4 + 4 + x5 + 5 ) sabiedo que x + x + x 3 + x 4 + x 5 = 0 la verdad que o sé por qué he puesto 5 sumados, podía haber puesto 00 y el ĺımite seguiría siedo el mismo). 6 Límites ifiitos. Defiició 6. Sea a ) ua sucesió de úmeros reales. Diremos que el ĺımite de la sucesió a ) es más ifiito, o que diverge a más ifiito, y lo deotaremos por cualquiera de las formas a +, lim a = +, lim a = +, si para cada úmero real M > 0 existe u úmero 0 N tal que a > M si 0. Diremos que el ĺımite de la sucesió a ) es meos ifiito, o que diverge a más ifiito, y lo deotaremos por cualquiera de las formas a, lim a =, lim a =, si para cada úmero real M > 0 existe u úmero 0 N tal que a < M si 0. Diremos que el ĺımite de la sucesió a ) es ifiito, o que diverge, y lo deotaremos por cualquiera de las formas a, lim a =, lim a =, si para cada úmero real M > 0 existe u úmero 0 N tal que a > M si 0. Quico Beítez

76 6. LÍMITES INFINITOS. Observa que si a + o a etoces a. Además, a si y sólo si a +. Ejercicio III.4. Prueba la veracidad o falsedad de las siguietes afirmacioes: a) Si a ) es ua sucesió divergete y k R, k 0, etoces la sucesió ka ) es divergete. b) La suma de dos sucesioes divergetes a más ifiito respectivamete, a meos ifiito) es otra sucesió divergete a más ifiito respectivamete, a meos ifiito). c) La suma de dos sucesioes divergetes es otra sucesió divergete. d) El producto de ua sucesió divergete por ua sucesió covergete es divergete. e) El producto de ua sucesió divergete por ua sucesió que coverge a u úmero real o ulo es divergete. Proposició 6. i) Si a ) es ua sucesió divergete y a 0, N, etoces la sucesió /a ) coverge a cero. ii) Si a ) es ua sucesió covergete a cero y a 0, N, etoces la sucesió /a ) diverge. Demostració. i) Fijemos ε > 0. como a para el úmero /ε > 0 existe 0 N tal que si 0 es a > /ε. Pero etoces: a < ε, si 0. ii) Fijemos M > 0. Como a 0, para el úmero /M > 0 existe 0 N tal que si 0 es a < /M. Así pues, a > M, si 0. Ejercicio III.5. Prueba que si a ) es ua sucesió covergete a cero y a > 0, 0, para cierto 0 N, etoces /a ) diverge a más ifiito y si a < 0, 0, para cierto 0 N, etoces /a ) diverge a meos ifiito. Ejercicio III.6. Prueba las siguietes afirmacioes: a) r ) a divergete a más ifiito para cualquier r Q +. b) Si p N, a 0, a, a,..., a p R y a p 0 etoces a 0 + a + a + + a p p ) es divergete, a más ifiito si a p > 0 y a meos ifiito si a p < 0. c) lim + + ), divergete a más ifiito. Ejercicio III.7. Prueba que lim a es divergete si a >. Si a > es divergete a más ifiito. Los siguietes resultados te puede resultar muy útiles e lo que sigue. Itroducció al aálisis matemático

TEMA 3. SUCESIONES Y LÍMITE DE SUCESIONES 77 Proposició 6.3 Si dos sucesioes a ) y b ) verifica que a b 0, etoces ambas tiee el mismo carácter; esto es, o ambas coverge al mismo úmero o ambas diverge o ambas carece de ĺımite. Demostració. Supogamos que ua de ellas coverge, por ejemplo, a a, y fijemos ε > 0. E tal caso, para ε/ > 0 existe N tal que a a < ε/,. Tambié como a b 0, para ε/ > 0 existe N tal que Tomado 0 = máx{, }, para 0 resultará Así que b a. a b < ε/,. b a = b a + a a a b + a a < ε/ + ε/ = ε. El mismo razoamieto aterior prueba que si ua de ellas o coverge la otra tampoco puede coverger. Supogamos ahora que a ) diverge y fijemos M > 0. Por u lado podemos determiar N tal que Por otro, existe N tal que Tomado 0 = máx{, }, para 0 es a > M,. a b < M,. a = a b + b a b + b, luego b a a b > M M = M. Ejercicio III.8. Ispírate e la demostració aterior para probar que si las dos sucesioes a ) y b ) verifica que a b ) está acotada etoces si ua diverge la otra tambié diverge. Ejercicio III.9. Si dos sucesioes a ) y b ) verifica que a b, para, y a ) diverge a más ifiito etoces b ) tambié diverge a más ifiito y si b ) diverge a meos ifiito etoces a ) tambié diverge a meos ifiito. Proposició 6.4 Si dos sucesioes a ) y b ), siedo b 0, N, verifica que a /b, etoces ambas tiee el mismo carácter; esto es, o ambas coverge al mismo úmero o ambas diverge o ambas carece de ĺımite. Demostració. Observa que al ser a /b, para / > 0 existe u N tal que a b b = a b <,. Etoces, si b > a b a b. De dode, b < a b < b, esto es, 0 < b < a < 3 b,. Quico Beítez

78 7. SUCESIONES MONÓTONAS. De aquí se obtiee, por u lado, que si ua de las sucesioes diverge la otra tambié. Por otro lado, si ua de ellas está acotada la otra tambié. Además, se obtiee que a o puede ser cero para. Supogamos que a ) coverge a u úmero a y fijemos ε > 0. Etoces, a ) está acotada y, por tato, b ) tambié. Sea etoces K > 0 ua cota para esta sucesió. Al ser a /b, para ε K > 0 existe u N tal que a b < ε K,. Como a a, para ε > 0 existe u 3 N tal que a a < ε, 3. Ahora bie, tomado 0 = máx{, 3 }, para 0 se tiee que Por tato b a. b a b a + a a = b a b + a a < K ε K + ε = ε. Se puede partir de que la sucesió que coverge es b ) y llegar a que a ) tambié coverge al mismo úmero, siguiedo la misma idea, salvo que hay que tomar 0 = máx{,, 3 } para asegurar que a o sea cero. 7 Sucesioes moótoas. Defiició 7. Sea a ) ua sucesió de úmeros reales. Diremos que a ) es moótoa si verifica ua de las siguietes propiedades: ˆ a a +,, e este caso diremos que es o decreciete o creciete e setido amplio. Para los primeros térmios sería a a a 3 a 4... ˆ a a +,, e este caso diremos que es o creciete o decreciete e setido amplio. Para los primeros térmios sería a a a 3 a 4... ˆ a < a +,, e este caso diremos que es creciete o creciete e setido estricto. Para los primeros térmios sería a < a < a 3 < a 4 <... ˆ a > a +,, e este caso diremos que es decreciete o decreciete e setido estricto. Para los primeros térmios sería a > a > a 3 > a 4 >... Itroducció al aálisis matemático

TEMA 3. SUCESIONES Y LÍMITE DE SUCESIONES 79 Observa que si ua sucesió es creciete e setido estricto) tambié lo es e setido amplio y, aálogamete, si es decreciete e setido estricto) lo es e setido amplio. Por ejemplo, si deseamos coocer la mootoía de la sucesió cuyo térmio geeral es a = + estudiamos el sigo de a + a, para, + + + = + ) + ) = + ) + ) + ) + ) > 0. Esto sigifica que a + > a y, por tato, la sucesió es creciete estrictamete). Veamos otro ejemplo. Cosidera la sucesió dada por { x = 3, x + = + x,. Probaremos por iducció sobre que x > x + > 0, para ; o sea, la sucesió es decreciete estrictamete). ˆ Para = es x = 3 > 5 = x > 0, así que se verifica. ˆ Si es cierto para u N; esto es, x > x + > 0, etoces + x > + x + > 0, de dode, + x > + x + > 0; esto es, x + > x + > 0. Luego se verifica para +. Otro ejemplo más. Sea la sucesió, x = 3, x + = 6 x +,. Estudiemos ahora la mootoía a partir del sigo de x + x, x + x = 6 x + x = 6 x x x + = x x + 6 x + Al ser x > 0 podemos ver que x > 0, para y, por tato, el deomiador del último miembro es positivo y el sigo de x + x depede sólo del umerador x x + 6. Las raíces de x x + 6 so y 3, además ˆ x x + 6 es positiva si x 3, ), ˆ x x + 6 es egativa si x, 3), ). Los térmios x so todos positivos así que, segú lo aterior, si 0 < x < etoces x + x > 0 y si x > es x + x < 0. Si embargo, si u térmio verifica 0 < x < etoces x + < 3, y de aquí, x + > 3, de dode, 6 x + > 6 3 =. Así que x + >. Por tato, el sigo de x + x o es costate y la sucesió o es moótoa. Quico Beítez

80 7. SUCESIONES MONÓTONAS. Ua propiedad importate de las sucesioes moótoas es la siguiete: Proposició 7. Si a ) es ua sucesió moótoa y está acotada etoces es covergete. Si la sucesió es moótoa y o está acotada, etoces, diverge a más ifiito si es o decreciete y a meos ifiito si es o creciete. Nota: E ocasioes, para idicar que ua sucesió a ) es moótoa creciete e setido amplio) y covergete a u úmero a se suele escribir: a a. Y si es moótoa decreciete e setido amplio) y covergete a u úmero a se suele escribir: a a. Demostració. Supogamos que la sucesió es o decreciete creciete e setido amplio) el caso de o creciete se puede probar de forma aáloga. Si a ) está acotada tiee u supremo, llamémosle a. Etoces, si ε > 0, existe u térmio a 0 tal que a 0 > a ε. Como la sucesió es o decreciete, si 0, es a a 0, luego a a 0 > a ε de dode, a a = a a < ε, 0 ). Así que la sucesió coverge a su supremo. Si la sucesió o está acotada. Para cada úmero real M > 0 existe algú térmio a 0 M. Pero como la sucesió es o decreciete que es mayor que Por tato la sucesió diverge a más ifiito. a a 0 > M, si 0. Ejercicio III.30. Prueba que si ua sucesió a ) es moótoa o creciete y está acotada es covergete y si o está acotada diverge a meos ifiito yo o lo haría copiado la demostració aterior sio estudiado la sucesió a ) ). U ejemplito. Vamos a estudiar la mootoía, acotació y covergecia de la sucesió a <, a + = + 3a,. 4 Empecemos por la acotació. Observo que si a + > 0 idepedietemete del sigo de a, así que, salvo quizá el primero, todos los térmios so positivos. Además, si a < es a < ; + 3a < + 3 = 4; + 3a 4 Así que a + <. E defiitiva, 0 < a <, para >. Luego la sucesió está acotada. <. Estudiemos la mootoía: a + a = + 3a 4 a = 3a 4a +. 4 Itroducció al aálisis matemático

TEMA 3. SUCESIONES Y LÍMITE DE SUCESIONES 8 Las raíces de 3x 4x + so /3 y y ˆ 3x 4x + > 0 si x, /3), + ). ˆ 3x 4x + < 0 si x /3, ). Sólo hemos podido determiar que los térmios a de la sucesió está compredidos etre 0 y, pero vemos que el sigo de a + a depede de si a es meor o mayor que /3. Estudiemos por separado qué ocurre si a es mayor, meor o igual que /3. ˆ Si a = 3, etoces a = 9 y a = 3 y se obtiee ua sucesió trivial. ˆ Si a < 3, etoces a < 9 y a < 3. Del mismo modo, si el térmio -ésimo verifica a < /3, etoces a + < /3. Así que, e este caso, a + a > 0 y la sucesió es creciete estrictamete). ˆ Si > a > 3, etoces a > 9 y a >. Del mismo modo, si el térmio -ésimo verifica 3 a > /3, etoces a + > /3. E este caso, a + a < 0 y la sucesió es decreciete estrictamete). E cualquiera de los tres casos la sucesió es moótoa y, al ser acotada, coverge. Para hallar su ĺımite observemos que lim a + = lim a = a, luego lim + 3a 4 = a; esto es, + 3 lim a 4 = a. Así que, + 3a = a, cuyas solucioes so /3 y. Recordado que si los térmios so mayores que /3 4 la sucesió decrece y si so meores que /3 la sucesió crece, debe ser a = /3. No te asustes co el último ejemplo, o siempre las cosas so así. Bueo, la verdad es que a veces o hay maera...ahora te toca a ti. Ejercicio III.3. Estudia la mootoía, acotació y el ĺımite, si existe, de las siguietes sucesioes: a) a =, a + = a + 3,. 4 b) b =, b = 3 4 + b, >. c) c =, c + = c3 +,. 7 Ejercicio III.3. Halla lim x 3, sabiedo que x = y x + = 3x +, para. E j e r c i c i o III.33. Sea la sucesió dada por recurrecia : x = x, ), x 0 = 7. Quico Beítez

8 8. EL NÚMERO e. Halla el térmio geeral, prueba que la sucesió coverge y calcula el ĺımite. E j e r c i c i o III.34. Sea la sucesió : a = a, ), a R \ {0}. Calcula los primeros térmios de la sucesió, y ecuetra los posibles valores de a para los cuales la sucesió coverge. E j e r c i c i o III.35. Si 0, /), /) 3, 3 4, fuera los primeros térmios de ua sucesió, podrías ecotrar ua defiició por recurrecia? Vega, que casi la tiees!. Si además pudieras estudiar si tiee ĺımite... 8 El úmero e. Estudiaremos e esta secció dos sucesioes especialmete importates cuyo ĺımite es el coocido úmero e. Proposició 8. La sucesió de térmio geeral a = k= k! = +! +! + +! es creciete, acotada y su ĺımite es u úmero real que se deota por e. Demostració. La sucesió es creciete ya que a + a = Para estudiar su acotació, observemos que! = 3! = 3 < 4! = 3 4 < 3! = 3 < + )! > 0. Luego, a < + + + + + = + acotada etre y 3 y, por tato, coverge a u úmero real. = 3 < 3. Así que la sucesió está Itroducció al aálisis matemático

TEMA 3. SUCESIONES Y LÍMITE DE SUCESIONES 83 Al ser la sucesió creciete podemos ir calculado la represetació decimal del úmero e,por ejemplo el térmio a 3 0 da los 33 primeros decimales de e. Ahí va alguos decimales de e:,78 8 88 459 045 35 360 87 47 35 66 497 757 47 093 699 959... Proposició 8. La sucesió de térmio geeral b = + es creciete, acotada y su ĺımite es e. ) Demostració. Veamos que b ) es creciete. Aplicado la desigualdad de Beroulli: ) >, >. Poiedo = + ) ) resulta De dode, b = + ) ) >, >. + ) > ) = ) ). Pero, ) = ) = Luego b > b, para >, y la sucesió es creciete. ) = + ) = b. Veamos que b ) está acotada por la sucesió a = +! +! + +!. Desarrollado: + ) = Recuerda que ) = k Así que, ) + 0 ) + ) +! ) k + ) k)! = = k)!k! k)!k! ) ) 3 ) ) = = = = )! ) ) 3 3 + + + ) ) 3! ) ) 3 )! ) ) 3! Quico Beítez ). ) k + ). k!

84 8. EL NÚMERO e. Arreglemos coveietemete los sumados de aquel desarrollo. ) = ) 3 3 = )! ) ) 3! ) =! =! = ) ) = 3 3 3! = )! <! ) ) 3! < 3! ) = ) = ) ) 3 )! ) ) 3! = = ) ) ) ) ) )! < )! )! <!. Por tato, para >, b = + ) < a = +! +! + +! < 3 Así que la sucesió b ) es moótoa creciete y está acotada y como b < a, lim b lim a = e. Fialmete, para probar la igualdad veamos que lim b e. Fijemos m N. Para cualquier > m, hemos visto que + ) = + + )! + ) ) 3! + + ) ) )! Observa que e uo de los térmios aparece!, e el siguiete 3!, y así sucesivamete hasta llegar a!. Como m <, e alguo de los sumados del aterior desarrollo estará m! y a éste le seguirá otros todos positivos) hasta llegar al de. Si prescidimos de todos éstos quedará u úmero meor:! b = + ) > + + )! + ) ) 3! + + ) ) m ) m! Tomado ĺımites e, resultará lim b + + 0)! + 0) 0) 3! + + 0) 0) 0) m! = + +! + 3! + + m!. Tomado ahora limites e m se tedrá que lim b e, como queríamos probar. Itroducció al aálisis matemático

TEMA 3. SUCESIONES Y LÍMITE DE SUCESIONES 85 9 Expoecial y logaritmo de u úmero real. Para u úmero real positivo, hemos defiido a r, para r Q, uestro objetivo ahora es defiir a α para cualquier α R. Pero ecesitaremos alguos resultados para preparar esa defiició. Para ir caletado motores te coviee realizar los siguietes ejercicios, auque so más propios del tema aterior veo más ecesario que los hagas ahora. Ejercicio III.36. Sea m, N, si < m prueba que ˆ x > x m si 0 < x <, ˆ x < x m si x >. Y si x =? Ejercicio III.37. Sea r, r Q, si r < r prueba que ˆ x r > x r si 0 < x <, ˆ x r < x r si x >. Y si x =? Proposició 9. Sea a R +. Si r ) es ua sucesió moótoa y covergete cuyos térmios so todos úmeros racioales, etoces la sucesió a r ) es covergete. Demostració. Supogamos que r α o decreciete y covergete a α). ˆ Si 0 < a <, como r r + es a r a r + > 0, por lo que la sucesió a r ) es decreciete e setido amplio) y acotada, así que coverge. ˆ Si a, como r r + es a r a r +. Por otro lado, r α, para N. Sea m u úmero atural mayor que α, etoces, a r a m, para N. Por tato, la sucesió a r ) es creciete e setido amplio) y acotada, así que tambié coverge. Para r α la demostració es similar. Ejercicio III.38. Prueba que si r α etoces a r ) es covergete, para a > 0. Ejercicio III.39. Prueba que si r ) es ua sucesió de úmeros racioales divergete a más ifiito y 0 < a <, etoces a r ) coverge a cero. Ejercicio III.40. Prueba que si r ) es ua sucesió de úmeros racioales divergete a más ifiito y a >, etoces a r ) diverge a más ifiito. Ejercicio III.4. Sea α R, describe u procedimieto que demuestre que existe sucesioes moótoas creciete y decreciete) covergetes a α. Proposició 9. Sea a R +. Si r ) y s ) so dos sucesioes de úmeros racioales que coverge a u mismo úmero α, etoces las sucesioes a r ) y a s ) coverge y lo hace al mismo úmero. Quico Beítez

86 9. EXPONENCIAL Y LOGARITMO DE UN NÚMERO REAL. Demostració. La idea que seguiremos e esta demostració es la siguiete: Dado el úmero real α, por la desidad de Q, podemos determiar ua sucesió creciete de úmeros racioales t ) que coverja a α. Por la proposició aterior, la sucesió a t ) es covergete. Si cosideramos cualquier otra sucesió de úmeros racioales r ) covergete a α y probamos que a r ) es covergete y que lim a r = lim a t, se deducirá que tambié a s ) coverge y, por tato, lim a r = lim a t = lim a s. Probemos etoces que a r ) es covergete y que lim a r = lim a t. Supogamos que 0 < a < y fijemos ε > 0. Como a /k ver proposició 5.3), existe k N tal que si k k es a /k < ε; esto es, ε < a /k < ε. Por otro lado, tambié a /k, así que existe k N tal que si k k es a /k < ε; esto es, ε < a /k < ε. Observa que k < k y 0 < a < implica que a /k > a /k, de dode Tomado k 0 = máx{k, k } se verifica que a /k < a /k. ε < a /k 0 < a /k 0 < ε. E realidad, se verifica para cualquier k k 0, pero sólo ecesitamos uo. Como las sucesioes r ) y t ) coverge al mismo úmero α, se tiee que r t 0, así que para el úmero /k 0 > 0 existe u 0 N tal que r t < k 0, 0. Esto es equivalete a k 0 < r t < k 0, 0. Y al ser, 0 < a <, se tiee que a /k 0 > a r t > a /k 0, 0. De dode, ε < a /k 0 < a r t < a /k 0 < ε, 0. Esto prueba que ars a t hace al mismo úmero. y como at ) coverge, por la proposició 6.4, a r ) tambié coverge y lo Corolario 9.3 Si r ) es ua sucesió de úmeros racioales que coverge a u úmero racioal r etoces, si a R +, lim a r = a lim r = a r. Itroducció al aálisis matemático

TEMA 3. SUCESIONES Y LÍMITE DE SUCESIONES 87 Demostració. Si cosideras e la proposició aterior las sucesioes r ) y r) sucesió costate), como ambas coverge al mismo úmero r, resultará que las sucesioes a r ) y a r ) debe teer el mismo ĺımite. Pero la seguda es costate, luego su ĺımite es a r, así que la primera coverge a a r, c.q.d.. Defiició 9.4 Sea a R + y α R, se defie el úmero real a α = lim a r, dode r ) es cualquier sucesió de úmeros racioales covergete a α. El úmero a α lo llamaremos expoecial de α e base a. Observa que por defiició es a α = a lim r = lim a r, puesto que lim r = α. Proposició 9.5 Sea a R + y x, y R. Se verifica las siguietes propiedades i) a x a y = a x+y. ii) a x > 0. iii) ax a y = ax y. iv) a x ) y = a xy. v) Si a > y x < y etoces a x < a y. vi) Si 0 < a < y x < y etoces a x > a y. Demostració. Probaremos la primera de ellas, las demás se deja como ejercicio. Sea r ) y s ) dos sucesioes de úmeros racioales tales que r x y s y, de dode r + s ) es ua sucesió de úmeros racioales que coverge a x + y. Etoces a x a y = lim a r ) lim a s ) = lim a r a s = lim a r+s = a x+y Ejercicio III.4. Prueba las demás propiedades de la proposició aterior. Ejercicio III.43. Prueba que si x ) es ua sucesió de úmeros reales divergete a más ifiito etoces a x ) es divergete a más ifiito si a > y covergete a cero si 0 < a <. Ua pista: este ejercicio ya lo has hecho para sucesioes de úmeros racioales y e los itervalos x /, x ) y x, x + /) hay úmeros racioales. Proposició 9.6 Sea a R +, a, y x ) ua sucesió de úmeros reales. Etoces lim a x = si y sólo si x ) coverge a cero. Demostració. Supogamos e primer lugar que x ) coverge a cero. Cosideramos que 0 < a <. Quico Beítez

88 9. EXPONENCIAL Y LOGARITMO DE UN NÚMERO REAL. Fijemos ε > 0. Puesto que a /k y a /k coverge a podemos determiar, como e la demostració de la proposició 9., u k 0 N tal que ε < a /k 0 < a /k 0 < ε. Como x 0, para /k 0 > 0 existe 0 N tal que x < /k 0, para 0. Esto es equivalete a decir que /k 0 < x < /k 0, 0. Pero al ser 0 < a <, De dode, a /k 0 > a x < a /k 0, 0. ε < a /k 0 < a x < a /k 0 < ε, 0. Luego a x. Si a > etoces 0 < x a a) < así que ; por lo que a x. Probemos ahora el recíproco. Como ates, supodremos que 0 < a < ya que el caso a > es aálogo. Si x 0, existe ε > 0 tal que el cojuto M ε = { N : x ε, ε)} es ifiito. Así que si M ε puede ocurrir ua de las dos siguietes posibilidades: ˆ x ε, e cuyo caso, a x a ε. Pero como ε < 0 y 0 < a < es a ε > a 0 =, luego a x > ˆ x ε, e cuyo caso, a x a ε <. Hemos obteido etoces, que si M ε etoces a x a ε, a ε ). Pero ese itervalo es u etoro de y hay ifiitos térmios de a x ) que o está ahí, así que a x. Por tato, si a x debe ser x 0. ) x Si a > y a x, etoces. Como 0 < a a < debe ser x 0. Corolario 9.7 Sea a R +. Si x ) es ua sucesió de úmeros reales covergete a u úmero x etoces lim a x = a lim x = a x. Demostració. Si x x etoces x x 0 y por la proposició aterior a x x. Como a x a x = a x a x x ). Resulta que, lim a x a x ) = 0; esto es, a x a x. E el siguiete resultado se prueba la existecia del logaritmo. Itroducció al aálisis matemático

TEMA 3. SUCESIONES Y LÍMITE DE SUCESIONES 89 Proposició 9.8 Sea a > 0, a y b > 0. Existe u úico úmero real x tal que a x = b. Demostració. Cosideremos primero que a >. Sea el cojuto A = {α R : a α < b}. Puesto que lim a = lim prueba que A. ) = 0, para b > 0 existe N tal que a < b, para 0. Esto a Como lim a = +, tambié existe úmeros aturales m para los que a m > b > a α, luego m > α, si α A. Así que A está acotado superiormete. Llamemos x = sup A. Veremos que a x = b. Al ser x el supremo de A, para N, x / < x o puede ser cota superior de A luego debe existir α A tal que x < α x, esto es, ax / < a α < b. De dode, a x = lim a x / b, así que a x < b o bie a x = b. Si fuera a x < b, sería ba x > y como a /, existe 0 N para el que ba x > a / 0 > ; por lo que, b > a x+/ 0 > a x. Pero esto supoe que x + / 0 A y x + / 0 es mayor que el supremo x, lo cual es imposible. Por tato, a x = b c. q. d.. Para el caso 0 < a <, sólo hay que teer e cueta que a /a) x = b pero esto sigifica que a x = b. > y como hemos probado existe x tal que Defiició 9.9 Sea a > 0, a, y b > 0. Llamaremos logaritmo de b e base a, y lo represetamos por log a b, al úmero real que verifica a log a b = b Si la base es e se deota log e b = log b = l b y se le deomia logaritmo eperiao. Proposició 9.0 Si a > 0, a, y b, b, b R +, se verifica las siguietes propiedades: i) log a = 0. ii) log a b b = log a b + log a b. iii) log a b α = α log a b iv) log a b b = log a b log a b. v) Si a >, Si 0 < a <, { < 0 si b < log a b > 0 si b > { > 0 si b < log a b < 0 si b > Quico Beítez

90 9. EXPONENCIAL Y LOGARITMO DE UN NÚMERO REAL. Demostració. Probaremos ua de ellas el resto se deja como ejercicio. Para ii), llamemos log a b = x y log a b = x, etoces a x = b y a x = b, de dode, a x a x = a x +x = b b, de dode, x + x = log a b b. Sustituyedo queda log a b + log a b = log a b b. Ejercicio III.44. Prueba las propiedades de la proposició aterior. Ejercicio III.45. Sea a > 0, a. Si 0 < x < x estudia si log a x es meor o mayor que log a x. Te acosejo que cosideres a > y a < por separado, que x /x > y que mires las propiedades del logaritmo. Ejercicio III.46. Sea a, b R +. Si log a x = z, halla log b x. Ejercicio III.47. Si a > 0, qué relació existe etre log a x y log /a x? Ejercicio III.48. Describe el cojuto de los pares de úmeros reales x, y R + tales que log x y = log x log y. Ejercicio III.49. Describe el cojuto de los pares de úmeros reales x, y R + tales que logx + y) = log x + log y. Proposició 9. Sea b ), ua sucesió de úmeros reales positivos, tal que b b > 0. Etoces lim log a b = log a lim b ) = log a b. Demostració. Para cada N es log a b log a b = log a b b. Si llamamos log a b b = x, N, etoces a x = b b, de dode, x 0; esto es, log a b log a b 0; o, equivaletemete, log a b log a b. Te lo voy a demostrar otra vez co la misma idea espero que veas que es lo mismo). Por defiició de logaritmo: a log a b = b b = a log a b. De aquí, Así que, log a b log a b 0. a log a b log a b = alog a b a log a b. Itroducció al aálisis matemático

TEMA 3. SUCESIONES Y LÍMITE DE SUCESIONES 9 Proposició 9. Sea a ) y b ) dos sucesioes covergetes tales que la primera sucesió está formada por úmeros positivos y a a > 0 y la seguda verifica b tob. Etoces lim a b = a b. Demostració. Como a a, por la proposició aterior es log a log a este logaritmo es eperiao). Como b b es b log a b log a = log a b. Puesto que b log a = log a b, tedremos que corolario 9.7) O lo que es lo mismo, a b a b. log ab e e log ab, Ejercicio III.50. Si a ) es ua sucesió de térmios positivos covergete a a > y b ) diverge a +, prueba que a b +. Ejercicio III.5. Si a ) es ua sucesió de térmios positivos covergete a a > y b ) diverge a, prueba que a b 0. Ejercicio III.5. Si a ) es ua sucesió de térmios positivos covergete a a < y b ) diverge a +, prueba que a b 0. Ejercicio III.53. Si a ) es ua sucesió de térmios positivos covergete a a < y b ) diverge a, prueba que a b +. Ejercicio III.54. Halla los siguietes ĺımites: a) lim log3 3 ) log 3 ). b) lim e 34 )/6 5 +3). 0 Límites co expoeciales y logaritmos. E la secció aterior hemos podido probar el comportamieto de los ĺımites e expoeciales y logaritmos pero usado sucesioes covergetes y bajo determiadas hipótesis; ahora, vamos a estudiar ese comportamieto co sucesioes divergetes y de otras situacioes que o habíamos cosiderado. Proposició 0. Si b ) es ua sucesió de úmeros positivos y b 0 etoces ˆ si a >, log a b. ˆ si 0 < a <, log a b +. Demostració. Supogamos que a > y fijemos M > 0. Puesto que b 0, para a M > 0 existe 0 N tal que si 0 es Así que log a b. b = b < a M, luego log a b < log a a M = M. Quico Beítez