Técicas de Coteo El Pricipio Básico de Coteo Vamos a ua cafetería que vede hamburguesas. U aucio os dice que co los igredietes lechuga, tomate, salsa de tomate y cebolla, podemos preparar ua hamburguesa e ua de 16 formas posibles. Está el aucio e lo correcto? Para corroborar la iformació del aucio eumeramos todas estas posibles formas: Lechuga Tomate Salsa Cebolla 1 Si Si Si Si 2 Si Si Si No 3 Si Si No Si 4 Si Si No No 5 Si No Si Si 6 Si No Si No 7 Si No No Si 8 Si No No No 9 No Si Si Si 10 No Si Si No 11 No Si No Si 12 No Si No No 13 No No Si Si 14 No No Si No 15 No No No Si 16 No No No No Preguta Notas algú patró al costruir esta tabla? Puedes expresar esta tabla como u árbol biario? Vemos que el aucio está e lo correcto, pues co esos 4 igredietes hay 16 formas distitas e que la hamburguesa puede prepararse. Preguta Qué pasaría si tuviéramos más igredietes dispoibles, por ejemplo 10? Habría ecesariamete que eumerarlas todas para saber de cuátas formas puede prepararse ua hamburguesa? Esta sería ua labor muy tediosa, pues como veremos más adelate, hay 1,024 formas de preparar ua hamburguesa usado 10 igredietes. Preguta Qué tal si os iteresara saber cuátas tablillas distitas puede fabricarse si cada ua tiee asigado u úmero de 6 dígitos? Es claro que o deseamos eumerar todas las posibilidades ua por ua y que ecesitamos algú método C:\My Documets\Cursos\M 5001\2.01.Combiatoria.doc pag.1
que os facilite la tarea de saber ese total. Uo de los propósitos de estudiar los métodos de coteo es apreder a cotar casos o sucesos si teer la ecesidad de eumerarlos uo por uo. El Pricipio Básico de Coteo os provee esta herramieta para cotar si eumerar: Pricipio Básico de Coteo (Regla de multiplicació) Supogamos que vamos a efectuar ua actividad que se compoe de dos partes. La primera parte puede resultar e uo de m resultados posibles. Para cada uo de los posibles resultados de la primera parte, la seguda parte puede teer uo de resultados posibles. Etoces la actividad va teer u total de m resultados posibles. Ejemplo Ua persoa tiee dispoible 4 camisas y 3 pataloes. Al levatarse e la mañaa esta seleccioa ua camisa y u pataló cualquiera para vestirse. De cuátas formas puede resultar vestida la persoa? Aquí la actividad que se efectúa es que la persoa se viste. Esta actividad cosiste de dos partes, la primera e seleccioar el pataló y la seguda e seleccioar la camisa. Como puede seleccioar el pataló e ua de 3 formas y por cada pataló seleccioado puede escoger ua de m4 camisas este puede resultar vestido e ua de m 4(3) 12 formas diferetes. El resultado e este ejemplo se puede describir de otra forma que e realidad equivale a la eumeració. Escribamos el cojuto de camisas como C { C 1, C 2, C 3, C 4 } y el de pataloes como P { P 1, P 2, P 3 }. Etoces podemos represetar las formas e que la persoa puede vestirse por medio del siguiete árbol: Iicio Camisa Pataló Resultado P 1 C 1 P 1 C 1 P 2 C 1 P 2 P 3 C 1 P 3 * P 1 C 2 P 1 C 2 P 2 C 2 P 2 P 3 C 2 P 3 P 1 C 3 P 1 C 3 P 2 C 3 P 2 P 3 C 3 P 3 P 1 C 4 P 1 C 4 P 2 C 4 P 2 P 3 C 4 P 3 Si recorremos el árbol por cualquiera de sus ramas podemos ecotrar las formas diferetes e que la persoa puede resultar vestida. Vemos que hay 12 putos fiales (llamados hojas) e este árbol. Este es el mismo úmero que habíamos ecotrado ateriormete. Estos árboles correspode a ua eumeració completa de todas las posibilidades y crece muy C:\My Documets\Cursos\M 5001\2.01.Combiatoria.doc pag.2
rápidamete, por lo cual o es práctico costruir uo para todas las situacioes. Si la actividad se compoe de más de dos partes podemos aplicar el Pricipio Básico de Coteo repetidamete para obteer ua geeralizació. Ejemplo El úmero de hamburguesas diferetes que puede prepararse co 4 igredietes puede estudiarse ahora. La actividad correspode a preparar ua hamburguesa y cada parte de la actividad correspode a usar o o u igrediete determiado. Para cada igrediete solo teemos ua de dos posibles decisioes que tomar : usarlo o o usarlo. Así que el úmero de posibles hamburguesas diferetes es 2 x 2 x 2 x 2 2 4 16. Razoado de la misma maera vemos que el úmero de hamburguesas diferetes que se puede preparar co 10 igredietes es 2 10 1,024. Pricipio Básico de Coteo Geeralizado : Supogamos que vamos a efectuar ua actividad que se compoe de partes. La primera parte puede resultar e uo de 1 resultados posibles. Para cada uo de los posibles resultados de la primera parte, la seguda parte puede resultar e uo de 2 resultados posibles. E geeral, para cada ua de los posibles resultados de las partes ateriores, la i-ésima parte puede resultar e uo de i resultados distitos. Etoces el total de resultados de la actividad es 1 2 3.... Preguta Cuátos subcojutos distitos tiee u cojuto de elemetos? Esta situació puede relacioarse co la de hamburguesas al pesar e cada elemeto del cojuto como si fuera u igrediete para ua hamburguesa. Etoces cada subcojuto correspode a cómo resulta cada hamburguesa distita. Ahora sólo teemos que cotar el úmero de hamburguesas distitas que podemos preparar co esos elemetos. Seleccioemos u subcojuto. Para hacerlo examiamos cada elemeto de A uo por uo y tomamos la decisió de seleccioarlo o o para uestro subcojuto. Así para cada elemeto de A teemos que tomar ua de dos posibles decisioes: icluirlo o o. Por lo tato el úmero de subcojutos que puede seleccioarse de A es 2 x 2 x...x 2 ( veces) o 2. Permutacioes Cosidera tablillas para automóviles tal como era ates, co úmeros de seis dígitos. Los dígitos so seleccioados del cojuto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Para cada uo de los seis dígitos que compoe el úmero de la tablilla, teemos diez posibilidades distitas. Así el úmero de tablillas distitas que puede preparse es 10x10x10x10x10x10 10 6. Preguta Se ombra a ua persoa supersticiosa a dirigir el Departameto de Obras Públicas. Por cosiderarlo mala suerte, la persoa establece que los dígitos e las tablillas o puede repetirse. Cuátas tablillas distitas puede preparse ahora? Podemos usar el pricipio básico de coteo geeralizado para resolver esta situació. Para el primer dígito podemos seleccioar uo de los diez que está dispoibles. Ua vez seleccioado el primer dígito C:\My Documets\Cursos\M 5001\2.01.Combiatoria.doc pag.3
seleccioamos el segudo de etre los 9 dígitos que queda. El tercer dígito tedrá que seleccioarse de etre los 8 que está ahora dispoibles y así sucesivamete. El úmero total de tablillas que se puede fabricar es: 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 151,200. Esta catidad es apreciablemete meor que ates. Se quedaría muchos automóviles si tablilla! Podemos visualizar este problema pesado e que teemos seis posicioes que debe ser lleadas co ua de los dígitos del cojuto : {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,}. Posició 1 2 3 4 5 6 Dígitos dispoibles 10 9 8 7 6 5 Nota Este proceso correspode a tomar ua muestra si reemplazo de tamaño 6 del cojuto {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,}. U arreglo ordeado como los úmeros de las tablillas se cooce como ua permutació. E el ejemplo aterior, seleccioamos seis dígitos (si reemplazo) de u total de 10 dispoibles, deotamos por 10 P 6 el úmero de permutacioes obteidas. E geeral, si teemos objetos distitos y los seleccioamos uo a uo si reemplazarlos, obtedríamos u total de P (-1)(-2)...2x1! resultados distitos. El símbolo! se cooce como factorial. Este valor correspode al producto de todos los eteros desde hasta el 1. Por coveiecia defiimos 0!1. Nota Además de represetar ua muestra si reemplazo que es posible obteer, ua permutació represeta u orde de los objetos seleccioados. Regresado al ejemplo de las tablillas, teemos, que al seleccioar dígitos si reemplazo, teemos 10P 6 permutacioes (úmeros resultates e la tablillas) distitas. Vemos que 10P 6 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 (10-0) x (10-1) x (10-2) x (10-3) x (10-4) x (10-5) (10-0) x (10-1) x (10-2) x (10-3) x (10-4) x (10-6 + 1) 10 x (10-1) x... x (10-6 + 1). El hacer esta última observació os permite escribir ua fórmula para cuado teemos objetos e uestro cojuto iicial y seleccioamos de ellos si reemplazo. Así P x ( -1) x...x ( - +1) es el úmero de permutacioes de objetos tomados a la vez. Podemos escribir ese úmero de la siguiete forma usado la otació factorial: C:\My Documets\Cursos\M 5001\2.01.Combiatoria.doc pag.4
P ( 1)( 2)...( + 1) ( )( 1)...(2)1 ( 1)( 2)...( + 1) ( )( 1)...(2)1 ( 1)( 2)...( + 1)( )( 1)...(2)1! ( )( 1)...(2)1! Preguta Imagiemos que o os importara el orde e que seleccioamos los dígitos cuado fabricamos tablillas. Cuátas podriamos fabricar? Combiacioes El orde e que seleccioamos lo objetos era importate para calcular el úmeroo de permutacioes. Si embargo, ahora queremos saber el úmero de arreglos posibles de objetos tomados a la vez si importaros el orde de los objetos seleccioados. Estos arreglos dode o os iteresa el orde se cooce como combiacioes. Ejemplo Teemos u cojuto de 4 letras {a, b, c, d}. De cuátas maeras podemos seleccioar tres de ellas si os iteresa el orde? De acuerdo a los resultados que obtuvimos ates, tedremos u total de 4 x 3 x 2 24 permutacioes distitas. Estas so: abc acb bac bca cab cba acd adc cad cda dac dca abd adb bad bda dab dba bcd bdc cbd cdb dbc dcb Preguta Hay algú patró e esta tabla? Cómo se costruyó? Si miramos cada fila podemos observar que los arreglos obteidos e cada ua de ellas correspode a u rearreglo de las letras del primer miembro e la fila. Si o os iteresara el orde, todos los arreglos e la primera fila represeta el mismo resultado: el cojuto {a, b, c}. De seis arreglos (e orde)que teíamos origialmete llegamos a uo sólo. Lo mismo ocurre e cada ua de las otras filas de la tabla. Siguiedo ese mismo razoamieto, sólo teemos cuatro arreglos distitos de cuatro letras tomadas tres a la vez si o os iteresa el orde de las mismas. Para obteer formalmete el úmero de combiacioes de cuatro objetos tomados tres a la vez hacemos dos pasos. Primero ecotramos el úmero de permutacioes obteidas cuado seleccioamos tres letras del total de cuatro dispoibles: 4 x 3 x 2 24. C:\My Documets\Cursos\M 5001\2.01.Combiatoria.doc pag.5
Luego examiamos ua permutació cualquiera, digamos abc, y vemos que hay 3x2x1 formas de permutar las tres letras etre sí. Como o os iteresa el orde, cada ua de estas permutacioes o altera el cojuto de letras {a, b, c} de los arreglos. Así de cada ua de estas permutacioes podemos obteer u total de seis permutacioes equivaletes. Por lo cual, el úmero de arreglos que se puede obteer de u total de cuatro objetos cuado seleccioamos tres a la vez si importar el orde es 24/6 4. Examieos el proceso. El úmero 24 se obtuvo al cosiderar las permutacioes de 4 objetos tomados 3 a la vez, es decir, 24 4 x 3 x ( 4-3 +1). El úmero 6 se obtuvo al cosiderar las permutacioes de tres objetos tomados tres a la vez, 6 3 x 2 x 1 3! El úmero deseado es 4 3 2 4 3 (4 3 + 1) 4 3 2 1 4! etoces. 3! 3! 1!3! 1!3! E geeral, el úmero de combiacioes de objetos tomados a la vez se obtiee de! la siguiete maera C. Este coeficiete se cooce como el coeficiete ( )!! biomial. Ejemplo 1. Cuátas maeras hay de seleccioar u comité de 5 persoas cuado teemos u grupo de 7 mujeres y 5 hombres? 2. De cuátas maeras podemos seleccioar u comité de 5 persoas si ese comité debe teer 3 mujeres y 2 hombres.? 3. De cuátas maeras podemos seleccioar u comité de 5 persoas si ese comité debe teer 3 mujeres y 2 hombres y hay dos mujeres que o puede servir jutas? Hay varias formas de cotestar esta última preguta. Cosideraremos el úmero de comités dode estas dos mujeres está jutas y restaremos este úmero del úmero total de comités posibles para obteer la cotestació. Seleccioamos el comité e dos pasos. La selecció de los dos hombres o cambia, estos puede ser seleccioados de 10 formas diferetes. Ahora cosideramos los subcomités de mujeres dode estas dos mujeres está jutas. Nótese que ya hemos seleccioado dos de los miembros de este subcomité y os queda por seleccioar solo ua de las 5 mujeres restates. Esta selecció puede hacerse e 5 C 1 5 formas diferetes. Etoces el úmero de comités dode estas dos mujeres está jutas es 10 x 5 50. Restamos esto del total de comités posibles para obteer 350-50 300 comités dode las dos mujeres o está jutas. Otra forma de cotestar esta preguta es directamete. Para esto teemos que cotar el úmero de comités dode o esté igua de las dos y añadirle el úmero de comités dode solo esté ua de ellas. C:\My Documets\Cursos\M 5001\2.01.Combiatoria.doc pag.6
El comité dode o está igua de ellas puede ser seleccioado de 5 C 3 x 5 C 2 x 2 C 0 100 formas diferetes. El úmero 5 C 3 correspode al úmero de subcomités de 3 hombres que podemos teer, el coeficiete 5 C 2 correspode a seleccioar los miembros del subcomité de mujeres etre las otras cico mujeres (removiedo las dos que o queremos) y 2 C 0 es el úmero de formas e que o seleccioamos igua de las dos mujeres que o puede estar jutas. El comité dode está exactamete ua de ellas puede ser seleccioado de 5C 3 x 5 C 2 x 2 C 1 200 formas diferetes. La catidad 2 C 1 represeta el úmero de formas de seleccioar ua de las dos que o puede estar jutas. E total teemos 100 + 200 300 formas diferetes de seleccioar este comité, al igual que ates. Preguta Teemos 25 persoas e el saló. Cúal es la probabilidad de que igú par de persoas cumpla años e el mismo día? Para que igú par de persoas cumpla años el mismo día es ecesario que todas las persoas cumpla años e días diferetes. Si asumimos que todas las fechas del año so equiprobables y o cosideramos años bisiestos teemos que 25 persoas puede cumplir años e ua de 365 x 365 x 365 x... x 365 365 25 formas diferetes. Si queremos que estas persoas cumpla años e días diferetes teemos 365 x 364 x 363 x... x 341 formas diferetes e que estos puede hacerlo. Por lo tato la probabilidad deseada es (365 x 364 x 363 x...x 341)/365 25.4313 Debes otar el hecho iteresate de que e u grupo de 25 persoas, la probabilidad de que haya al meos u par de persoas que cumpla años el mismo día es 1 -.4313.5687. Esto tambié se puede ver como que e cerca del 57% de los grupos de 25 persoas que pueda formarse al azar habrá por lo meos u par de idividuos que cumple años el mismo día. Preguta 1. Cosidera u cojuto de elemetos. Cuátos subcojutos de elemetos tiee? 2. Usa u argumeto combiatorio para demostrar que 2. 0 3. Demuestra el Teorema del Biomio co u argumeto combiatorio: Si a, b so úmeros C:\My Documets\Cursos\M 5001\2.01.Combiatoria.doc pag.7
C:\My Documets\Cursos\M 5001\2.01.Combiatoria.doc pag.8 reales y es u úmero etero, etoces + b a b a 0 ) (. 4. Cotesta la preguta 2 usado el Teorema del Biomio. 5. Usa u argumeto combiatorio para demostrar que.