Departameto de Matemática Aplicada. ETSIIf. UPM. SELECCIONES ORDENADAS Teemos objetos distitos para distribuir e cajas distitas co de cuátas formas distitas se puede itroducir los objetos e las cajas, de maera que cada caja cotega como máximo u objeto? Elegimos qué cajas so las que va a coteer algú objeto. 8
Departameto de Matemática Aplicada. ETSIIf. UPM. Sea O o o y C c,..., c co,..., Cuátas aplicacioes iyectivas distitas f : O C podemos defiir? Hay que elegir los elemetos distitos etre sí, o f f,..., se elige elemetos distitos t de u cojuto C que cotiee elemetos. o 9
Departameto de Matemática Aplicada. ETSIIf. UPM. Seleccioes ordeadas de elemetos distitos escogidos de u cojuto C = {c, c 2,, c } que cotiee elemetos. Listas de elemetos distitos t [ c r, cr,, c ] elegidos de u cojuto C = {c, c 2,,c c }co elemetos. El úmero total de aplicacioes iyectivas, seleccioes ordeadas o listas es 2 r V, 2...!!! 20
Departameto de Matemática Aplicada. ETSIIf. UPM. Ejemplos ) Cuátos úmeros aturales mayores que 99 y meores que 000 tiee las cifras distitas etre sí y distitas de cero? 2) De cuátas formas distitas puede setarse 7 persoas e ua fila de 0 asietos umerados? 2
Departameto de Matemática Aplicada. ETSIIf. UPM. PERMUTACIONES Caso particular de seleccioes ordeadas d co = Sea O o o y C c,..., c,..., Cuátas aplicacioes biyectivas distitas Hay que elegir los elemetos distitos etre sí, o f f,..., o f : O C podemos defiir? se elige ordeadamete los elemetos distitos del cojuto C. 22
Departameto de Matemática Aplicada. ETSIIf. UPM. Permutació es cada ua de las diferetes seleccioes ordeadas de los elemetos distitos de u cojuto. Listas de los elemetos distitos [c, c 2,,c ] de u cojuto C ={c, c 2,,c } que tiee elemetos. 2 El úmero total de aplicacioes biyectivas, permutacioes listas de elemetos es o P V,! 23
Departameto de Matemática Aplicada. ETSIIf. UPM. Ejemplos ) De cuátas formas distitas puede setarse 0 persoas e ua fila de 0 asietos umerados? 2) De cuátas formas se puede colocar 8 torres iguales e u tablero de ajedrez de modo que o se ataque? 3) De cuátas formas distitas se puede elegir posicioes e ua cuadrícula de tamaño de forma que o coicida la fila i la columa para igua de las posicioes? 4) De cuátas formas distitas puede setarse 0 persoas alrededor de ua mesa circular co 0 asietos? 24
Departameto de Matemática Aplicada. ETSIIf. UPM. SELECCIONES ORDENADAS CON REPETICIÓN Teemos objetos distitos para distribuir e cajas distitas de cuátas formas se puede itroducir los objetos e las cajas, teiedo e cueta que cada caja puede coteer los objetos? Elegimos qué cajas so las que va a coteer algú objeto. 25
Departameto de Matemática Aplicada. ETSIIf. UPM. Sea O o o y C c,..., c,..., Cuátas aplicacioes distitas f : O C podemos defiir? i Hay que elegir los elemetos f o,..., f de u cojuto C que tiee elemetos. o 26
Departameto de Matemática Aplicada. ETSIIf. UPM. Seleccioes ordeadas co repetició de elemetos elegidos de u cojuto co elemetos, dode el mismo elemeto se puede elegir hasta veces. Listas de elemetos, o distitos, [ c, c,, c ] r r 2 elegidos de u cojuto C = {c, c 2,,c }co elemetos. El úmero total de aplicacioes, seleccioes ordeadas co repetició o listas es r VR, 27
Departameto de Matemática Aplicada. ETSIIf. UPM. Ejemplos ) Cuátos úmeros distitos de seis cifras existe formados sólo por las cifras, 2, 3? 2) Sea A = { a,..., a } u alfabeto y El cojuto de palabras de logitud sobre el alfabeto A es A = {a i... a i / a ij A, j }. Etoces card A = VR, 28
Departameto de Matemática Aplicada. ETSIIf. UPM. SELECCIONES NO ORDENADAS Teemos objetos idéticos para distribuir e cajas distitas co de cuátas formas distitas se puede itroducir los objetos e las cajas, de maera que cada caja cotega como máximo u objeto? Elegimos cuátas cajas so las que va a coteer algú objeto. 29
Departameto de Matemática Aplicada. ETSIIf. UPM. Sl Seleccioes o ordeadas d o Combiacioes i de elemetos escogidos de etre u cojuto que tiee elemetos. Subcojutos { c, c,, c }co elemetos que tiee r r 2 u cojuto C = {c, c 2,, c } de elemetos. r C, V,! P!! 30
Departameto de Matemática Aplicada. ETSIIf. UPM. Ejemplos ) Cuátos colores distitos se puede obteer al mezclar 3 botes de pitura si dispoemos de u total de 7 botes de colores distitos? 2) Cuátas maos distitas de póer se puede obteer? 3) Cuátos subcojutos tiee u cojuto de elemetos? 3
Departameto de Matemática Aplicada. ETSIIf. UPM. 4) El sistema Braille (Louis Braille, 809 852) cosiste e la represetació de caracteres mediate putos e altorrelieve. Las posicioes de los putos se sitúa e dos columas verticales, de tres putos cada ua. Cuátos caracteres so posibles? 32
Departameto de Matemática Aplicada. ETSIIf. UPM. Alfabeto Braille 33
Departameto de Matemática Aplicada. ETSIIf. UPM. http://educ.queesu.ca/~fmc/may2004/braille.html 34
Departameto de Matemática Aplicada. ETSIIf. UPM. Solucioes 7 ) 3 2) 52 5 3), 0 C 2 C 2 0 6 6 6 6 6 0 4) C 2 63 6, 35
Números combiatorios Se llama úmeros combiatorios a las expresioes 0,, co!!! Propiedades. U cojuto de elemetos tiee el mismo úmero de subcojutos de elemetos que de elemetos.!!! 36!! Departameto de Matemática Aplicada. ETSIIf. UPM.
Departameto de Matemática Aplicada. ETSIIf. UPM. 2. Teorema del biomio de Newto ( Probado por Euler ) x y x y 0 El úmero de seleccioes o ordeadas de tamaño de dos símbolos x, y es Se elige el símbolo x veces el símbolo y veces. 37
Cosecuecias Cosecuecias 0 0 2 0 0 ) ( ) ( 0 0 0 38 Departameto de Matemática Aplicada. ETSIIf. UPM.
Departameto de Matemática Aplicada. ETSIIf. UPM. 3. El úmero de subcojutos de elemetos que tiee u cojuto de elemetos es la suma del úmero de subcojutos de elemetos a) que cotiee a u elemeto x fijo b) que o cotiee a u elemeto x fijo 39
4. Idetidad de Vadermode, 772 El úmero de formas diferetes de elegir persoas e u cojuto formado por hombres y m mujeres cojuto formado por hombres y m mujeres. m m m m 0 0 m m m m m m,, 40 Departameto de Matemática Aplicada. ETSIIf. UPM.