---oo0oo--- Como usamos las nueve letras de la palabra, sólo varía el orden : De nuevo son permutaciones, de 8 participantes en este caso :

Transcripción

1 DU]Q>!!3_]RY^Qd_bYQ 10 os &XiQWRVQ~PHURVGHFLQFRFLIUDVGLIHUHQWHVSXHGHQIRUPDUVHFX\DVFLIUDVVHDQWRGDVLPSDUHV" Las cifras impares so 1, 3, 5, 7, y 9, cico e total, luego como queremos formar úmeros de cico cifras, habrá que hallar las permutacioes de 5 : P 5 = 5! = = 120 úmeros de cico cifras diferetes impares. ot &XiQWDVSDODEUDVGH QXHYHOHWUDVFRQVHQWLGRRVLQpOSXHGHQ HVFULELUVHXWLOL]DQGRWRGDVODV OHWUDVGHODSDODEUD/$%(5,172" Como usamos las ueve letras de la palabra, sólo varía el orde : P 9 = 9! = = palabras. ou (QXQIHVWLYDOLQWHUYLHQHQRFKRSDUWLFLSDQWHV 'HFXiQWDVIRUPDVSXHGHSURJUDPDUVHHORUGHQGH DSDULFLyQ" De uevo so permutacioes, de 8 participates e este caso : P 8 = 8! = = 40 0 formas de aparició. ov $GiQKDROYLGDGRHOQ~PHURFODYHGHVXPDOHWtQ6yORUHFXHUGDTXHHVXQQ~PHURGHFXDWUR FLIUDVTXHHPSLH]DSRU\TXHODVFLIUDVUHVWDQWHVVRQ\ &XiQWDVFRPELQDFLRQHVGHEHUiSUREDU FRPRPi[LPR" El úmero es de la forma 3 _, como hay tres lugares y tres úmeros para colocar so permutacioes de tres : P 3 = = 6 combiacioes. pm 'HFXiQWDVPDQHUDVSXHGHQVHQWDUVHHQXQDPHVDFLUFXODUVLHWHFRQJUHVLVWDV"6LFDGDXQRGH HOORVOHHXQSHTXHxRGLVFXUVR FXiOHVVRQORVSRVLEOHVyUGHQHVGHDSDULFLyQ"

2 DU]Q>!!3_]RY^Qd_bYQ 11 Como la mesa es circular o hay situació preferete, el primero que se sieta fija el pricipio y fial, luego queda otros 6 cogresistas para distribuirse a partir del primero permutádose : PC 7 = P 7-1 = P 6 = 6! = = 720 maeras de setarse. El orde de aparició so P 7 = 7! = = órdees. p 'HFXiQWDVPDQHUDVSXHGHQFRORFDUVHHQILODFXDWURERODVEODQFDVFLQFRYHUGHV\WUHVURMDVVL VyORVHGLVWLQJXHQSRUHOFRORU" D E cada ordeació hay que utilizar todos los elemetos ( = 12 bolas ). D Ifluye el orde pero detro de los grupos de colores las bolas o se diferecia. So permutacioes co repetició: PR 5,4,3 12 = 12! 5!4!3! = ! 5!4 = =27720 maeras po &XiQWRVQ~PHURVGHVLHWHFLIUDVWLHQHQH[DFWDPHQWHGRVHVFLQFRV\XQWUHV" D E cada ordeació hay que utilizar todos los elemetos ( = 7 úmeros ). D Ifluye el orde pero detro de los grupos de cifras o se diferecia. PR 7 1,2,4 = 7! 4!2! = 7654! 4!2 = = 105 úmeros pp &XiQWDVSDODEUDVGLIHUHQWHVFRQVHQWLGRRVLQpOSXHGHQIRUPDUVHFRQODVOHWUDVGHODSDODEUD &2&27(52" Hay que usar todas las letras ( 2 C T + 1E + 1R = 8 ). Ifluye el orde pero detro de cada grupo de letras so idistiguibles. So permutacioes co repetició:

3 DU]Q>!!3_]RY^Qd_bYQ 12 PR 8 1,1,1,2,3 = 8! 3!2! = ! 3!2 = = 3360 palabras. pq &XiQWRVFyGLJRVGHRFKRVLJQRVSXHGHQIRUPDUVHFRQWUHV \FLQFR=" Hay que usar los 8 símbolos cada vez. Ifluye el orde pero detro de cada grupo de símbolos so iguales. So permutacioes co repetició. PR 3,5 8 = 8! 3!5! = 8765! 5! = 8 7 = 56 códigos. pr /DQ]DPRVFLQFRYHFHVXQDPRQHGD &XiQWRVUHVXOWDGRVFRQWLHQHQH[DFWDPHQWHGRVFUXFHV\WUHV FDUDV" So distitas ordeacioes de 3C y 2X = 5 elemetos. Ifluye el orde pero e cada grupo so idistiguible los elemetos. PR 5 2,3 = 5! 3!2! = 543! 3!2 = 5 2 = 10 resultados. ps 'LVSRQHPRVGHXQFLHUUH\RFKRFXHQWDVSDUDKDFHUXQDSXOVHUDWUHVGHFRORUURMRGRVGHFRORU D]XO\WUHVGHFRORUDPDULOOR &XiQWDVSXOVHUDVGLIHUHQWHVSRGHPRVREWHQHU" Como teemos u cierre se podrá permutar las ocho cuetas. Ifluye el orde de colores, pero cuado coicida del mismo color o se distigue etre ellas. So permutacioes co repetició : PR 3,3,2 8 = 8! 3!3!2! = ! 3!2 = = 560 pulseras.

4 DU]Q>!!3_]RY^Qd_bYQ 13 pt 'H FXiQWDV PDQHUDV SXHGH FRQVWLWXLUVH XQD FRPLVLyQ GH FXDWUR SHUVRQDV VLQ GLVWLQFLyQ GH FDUJRHOLJLHQGRHQWUHSHUVRQDV" Â Como o hay distició de cargo o ifluye el orde. Â Supoemos que cada uo de los cuatro cargos ha de ser desempeñado por ua persoa distita. So combiacioes ordiarias: C 4 15 = V 4 15 P 4 = 15 4 ( )= = = 1365 formas. pu &XiQWRVWULiQJXORVGHWHUPLQDQSXQWRVVLQRKD\WUHVGHHOORVDOLQHDGRV" Para formar u triágulo se ecesita tres putos o alieados ( e líea recta), pero o importa el orde e que uamos cada dos cosecutivos que se formará el mismo triágulo. Para que sea triágulos distitos al meos uo de los putos ha de ser diferete. C 3 25 = V 3 25 P 3 = 25 3 ( )= = = 2300 triágulos. pv 'HFXiQWDVPDQHUDVVHSXHGHQUHSDUWLUWUHVHQWUDGDVSDUDXQFRQFLHUWRHQWUHSHUVRQDVGH PDQHUDTXHDQLQJXQDGHHOODVOHFRUUHVSRQGDPiVGHXQD" ˆ Evidetemete el orde e que les toque a tres persoas determiadas las etradas o ifluye ( va a poder etrar al cocierto ). ˆ Como a igua le correspode más de ua, e las ordeacioes ha de haber al meos ua persoa distita y o se puede repetir. C 3 40 = V 3 40 P 3 = 40 3 ( )= = = 9880 maeras.

5 DU]Q>!!3_]RY^Qd_bYQ 14 qm &XiQWDVVXPDVGLVWLQWDVSRGHPRVREWHQHUWRPDQGRWUHVFLIUDVLPSDUHV"&RQVLGHUDTXHGRV VXPDVFRQHOPLVPRUHVXOWDGRSHURVXPDQGRVGLIHUHQWHVVRQGLVWLQWDV U Hay 5 cifras impares ( 1, 3, 5, 7 y 9 ) y como la suma es comutativa ( = = = etc. ) o ifluye el orde. U Como si hay algú elemeto diferete ( auque el resultado sea el mismo), cosideramos suma distita y, supoemos, que las cifras ha de ser diferetes ( si repetició ) so combiacioes ordiarias: C 3 5 = V 5 3 P 3 = ( 5 3 )= 543 =5 2 = 10 sumas. Si o supoemos la distició podrá haber repetició y etoces será combiacioes co repetició : CR4 5 3 = = 7 3 = 765 = 7 5 = 35 sumas. q 'HFXiQWDVPDQHUDVGLIHUHQWHVSXHGHUHOOHQDUVHXQDTXLQLHODIXWEROtVWLFD" (QFXiQWDVKDEUi H[DFWDPHQWHXQRVHTXLV\GRVHV" Orde : Si ifluye pues e cada casilla se coloca u determiado ecuetro. No iterviee todos los elemetos, pues ada os impide rellear ua quiiela co 14 ( ahora so 15 ) 1 ( 2 o X ). So variacioes Puede repetirse, luego variacioes co repetició de tres elemetos ( 1, X, 2) e 14 lugares ( 15 e la actualidad ) VR 3,14 = 3 14 = quiielas ó VR 3,15 = 3 15 = quiielas. Hemos de distribuir 7 uos, 5 equis y 2 doses etre las 14 casillas, luego importa el orde pero e cada grupo de sigo iguales so idistiguibles etre sí : PR 7,5,2 14 = 14! 7!5!2! = ! 7!542 = = quiielas. qo &XiQWRVSURGXFWRVGLVWLQWRVGHWUHVIDFWRUHVGLIHUHQWHVSXHGHQREWHQHUVHFRQORVQ~PHURV \" <VLORVIDFWRUHVVHSXGLHUDQUHSHWLU"

6 DU]Q>!!3_]RY^Qd_bYQ 15 ~ No importa el orde pues el producto es comutativo ( 2 3 5=2 5 3), so combiacioes. ~ No se puede repetir pues se os pide de factores diferetes, luego so combiacioes ordiarias de 5 úmeros tomados de tres e tres : C 3 5 = V 5,3 P 3 = 5 3 = 543 Si puede repetirse factores : = 5 2 = 10 productos. CR 5 3 = = 7 3 = 765 = 7 5 = 35 productos. qp 3DUD KDFHU XQD DSXHVWD HQ OD ORWHUtD 3ULPLWLYD KD\ TXH PDUFDU FRQ XQD FUX] VHLV Q~PHURV FRPSUHQGLGRVHQWUHHO\HODPERVLQFOXVLYH &XiQWDVDSXHVWDVGLIHUHQWHVSXHGHQKDFHUVHHQODORWHUtD 3ULPLWLYD" : No ifluye el orde e que coloquemos los seis úmeros que ha de ser distitos C 6 49 = 49 6 = V 49,6 P 6 = = = apuestas. qq &XiQWDVSDODEUDVGLIHUHQWHVFRQRVLQVHQWLGRSXHGHQIRUPDUVHXWLOL]DQGRFDGDYH]WRGDVODV OHWUDVGHODSDODEUD/(1*8$" <FRQODVGHODSDODEUD0$7(0É7,&$6" So permutacioes de 6 letras distitas pues hay que usar todas : P 6 = 6! = = 720 palabras. as : E MATEMÁTICAS hay que tomar todas las letras pero se repite 2 emes, 2, tes y 3 PR 2,2,3,1,1,1,1 11 = 11! 2!2!3! = ! 223! = = palabras.

7 DU]Q>!!3_]RY^Qd_bYQ 16 qr &XiQWDVEDQGHUDVGHWUHVIUDQMDVVHSXHGHQREWHQHUFRQVHLVFRORUHVGLIHUHQWHV" &XiQWDV WLHQHQWUHVFRORUHVGLIHUHQWHV" Dos baderas cualesquiera se distigue bie por teer alguo de los tres colores distitos bie por estar colocados e diferete orde, pero hemos de distiguir dos casos : c Baderas de tres frajas co colores distitos, como ifluye el orde y o se puede repetir los colores ( o sería tres distitos ) : V 6,3 = = 120 baderas. d Baderas co el color cetral distito del color de las dos frajas de los extremos, como ifluye el orde so variacioes de 6 elemetos tomados de 2 e 2 : V 6,2 = 6 5 = 30 baderas de dos colores. Total = = 150 baderas de tres frajas. Las que tiee 3 colores distitos so las 120 halladas e el caso c. qs 'HFXiQWDVPDQHUDVVHSXHGHQFRORFDUHQILODFLQFRFKLFRV\FLQFRFKLFDVGHIRUPDDOWHUQDGD" <HQFtUFXOR" Teemos dos posibilidades, colocar primero u chico o ua chica. Si colocamos primero u chico estos tedrá los lugares impares : wxwxwxwxwx y hay que permutar 5 chicos e estos cico lugares : P 5 = 5! = = 120 formas., y por cada ua de estas 120 maeras hay otras 120 maeras de colocar las chicas e los lugares pares es decir 120 x 120 = formas si los chicos ocupa los lugares impares. Pero habrá otras tatas si so las chicas las que ocupa los lugares impares: xwxwxwxwxw luego : 2 x = maeras so posibles. Si e vez de e fila es e círculo, hay PC 5 = P 4 = 4! = = 24 formas de colocar los 5 chicos e círculo, por cada ua de ellas a su vez las chicas se puede colocar, alterado co los chicos, de P 5 = 5! = 120 maeras, luego : Total = 24 x 120 = formas de colocarse e círculo.

8 DU]Q>!!3_]RY^Qd_bYQ 17 qt(qxqdfodvhkd\fklfrv\fklfdv 'HFXiQWDVPDQHUDVVHSXHGHHOHJLUXQDFRPLVLyQGH VHLVSHUVRQDVIRUPDGDSRUWUHVFKLFRV\WUHVFKLFDV" Hay que elegir 3 chicos distitos de etre 12 si importar el orde, luego so combiacioes ordiarias : C 3 12 = V 12,3 P 3 = 12 3 = = = 220 posibilidades. Hay que seleccioar 3 chicas diferetes de etre 16, si importar el orde, luego so combiacioes ordiarias : C 3 16 = V 16,3 P 3 = 16 3 = = = 560 posibilidades. Por cada ua de las 220 ordeacioes de los chicos hay 560 ordeacioes distitas de chicas ( y viceversa ), luego el total será : 220 x 560 = 560 x 220 = comisioes. qu 'HFXiQWDVPDQHUDVSXHGHQDOLQHDUVHHQXQDHVWDQWHUtDQRYHODVFXHQWRVELRJUDItDV\ FyPLFVVLORVOLEURVGHXQPLVPRWLSRGHEHQHVWDUMXQWRV" Hay cuatro grupos de libros diferetes, ovela (N), cueto (C), biografía, (B) y cómics (CO), estas cuatro categorías puede permutarse de P 4 = 4! = = 24 maeras. Los libros de cada categoría, a su vez, puede permutarse, respectivamete, de 6! = 720, 4! = 24, 5! = 120 y 3! = 6 maeras distitas. El úmero total de colocacioes posibles será pues : P 4 P 6 P 4 P 5 P 3 = 4! 6! 4! 5! 3! = = maeras. qv &RQODVFLIUDVGHODO FXiQWRVQ~PHURVGHVHLVFLIUDVGLIHUHQWHVSXHGHQIRUPDUVHGHPDQHUD TXHFRQWHQJDQWRGDVODVFLIUDVSDUHV"

9 DU]Q>!!3_]RY^Qd_bYQ 18 Las cifras pares que hay del uo al 7 so tres : 2, 4, y 6. Como estas tres cifras tiee que estar e todos los úmeros e ifluye el orde se puede distribuir de V 6,3 = = 120 maeras. E cada ua de las 120 posicioes ateriores queda por distribuir las cuatro cifras restates e tres posicioes que queda hasta seis y, como ifluye el orde será : V 4, 3 = = 24 formas. Luego los úmeros distitos que podrá formarse so : 120 x 24 = úmeros. rm &XiQWDVGH ODVSRVLEOHVDSXHVWDVHQODORWHUtD3ULPLWLYD WLHQHQH[DFWDPHQWHFXDWURQ~PHURV SDUHV\GRVLPSDUHV" Loa úmeros de la lotería Primitiva so del 1 al 49, e ellos hay 24 úmeros pares ( los pares del 2 al 48 ) y 25 impares ( los impares del 1 al 49 ). De etre los pares hemos de hacer grupos de 4 úmeros distitos e los que o ifluye el orde, es decir : C 4 24 = 24 4 = = = grupos. Co los 25 impares hay que hacer grupos de 2 úmeros diferetes e los que o iterviee el orde : C 2 25 = 25 2 = = = 300 grupos co los impares. Co cada uo de los del primer grupo se puede hacer 300 del segudo luego el total será : X 300 = apuestas. r &RQRFLGDODFRPELQDFLyQJDQDGRUDGHFXDOTXLHUVRUWHRGHODORWHUtD3ULPLWLYD FXiQWDVGHODV DSXHVWDVSRVLEOHVWLHQHQH[DFWDPHQWHFXDWURDFLHUWRV" E los seis úmeros de la combiació gaadora se puede hacer grupos de cuatro úmeros :

10 DU]Q>!!3_]RY^Qd_bYQ 19 C 6 4 = 6 4 = = 3 5 = 15 grupos. Si seleccioamos cuatro úmeros cualesquiera del 1 al 49, queda 43 de los cuales hay que elegir 2 ( para completar los seis ), luego se puede formar : C 2 43 = 43 2 = = = 903 grupos. E total hay pues : = apuestas co cuatro aciertos. 6LPSOLILFDODVH[SUHVLRQHV a) (+1)!+!! ( 1)! = (+1)( 1)!+( 1)! ( 1)! ( 1)! = ( 1)![(+1)+] ( 1)!( 1) = (+2) 1 b) (+1)! ( 1)!! ( 1)! = (+1)( 1)! ( 1)! ( 1)! ( 1)! = ( 1)![(+1) 1] ( 1)!( 1) = (+1) 1 1 = o 6LPSOLILFDODVVLJXLHQWHVH[SUHVLRQHV\KDOODHOYDORUGHQ a)! ( 2)! = 5 6 J ( 1)( 2)! ( 2)! = 6 5 J ( 1)=65H=6 b) (+1)! ( 1)! = 42 J (+1)( 1)! ( 1)! = 7 6 J ( + 1) = 7 6 H = 6 p +DOODHOYDORUGHODVXPD es la suma de los coeficietes del desarrollo del biomio de Newto ( a + b ), si hacemos e el a = b = 1 quedaría : (1 + 1) = 2 = q &RPSUXHEDTXH =

11 DU]Q>!!3_]RY^Qd_bYQ 20 Particularicemos : = 1 H 1 0 = 1 = 1 1 = 1 =2 H = = 2 1 = 2 =3 H = = = 4 = = = 4 = 4H = = 8 = = = = 8 Luego se cumplirá para cualquier. De otra forma: Si aplicamos la propiedad P4: 1 = ; 3 = ; 5 = ;etc. Luego el 2º miembro de la igualdad quedaría : = que, segú heos visto e el problema aterior sería 2-1, es decir : = 2 1 y multiplicado ambos miembros por 2 : 2[ ]=2 1 2=2 = Si simplificamos restado e ambos miembros los impares quedaría : E el primer miembro : E el 2 o miembro : los pares = r +DOODHOFRHILFLHQWHGH\ HQHOGHVDUUROORGH\. +..., ya que habĺa dos. +..., al restar los impares.

12 DU]Q>!!3_]RY^Qd_bYQ 21 El térmio k- ésimo de u desarrollo del biomio de Newto es: T k =( 1) k 1 =( 1) k 1 k 1 a (k 1) b k 1 =( 1) k 1 8 k 1 29 k 2 2k 2 y 36 4k =( 1) k 1 8 k 1 (2y4 ) 8 k+1 4 k 1 = 8 k 1 2k+7 y 36 4k y para que el expoete de la y sea 28 ha de cumplir ( al igualar expoetes) 36-4k = 28; 4k = = 8Ö k = 8/4 = 2, por tato el coeficiete del segudo térmio es : ( 1) =( 1) = 2 12 = s +DOODHOFRHILFLHQWHGH[ GHOGHVDUUROORGHOELQRPLR (3x 2 + x 2 )12 Aplicamos de uevo la fórmula del térmio k - ésimo : T k = 12 k 1 ( 3x 2 ) 12 (k 1) ( x 2 )k 1 = 12 k k x 26 2k x k 1 2 k 1 = 12 k k 2 k 1 x 25 k como el expoete de x ha de ser 16, se ha de cumplir que 25 - k = 16Ù k = = 9, y por tato el coeficiete es : = = = r (QXQFRPLWpVHUH~QHQDOHPDQHVIUDQFHVHVHVSDxROHV\LWDOLDQRV &yprsxhghq GLVWULEXLUVHVLVHVLHQWDQHQXQDPHVDUHGRQGDGHPRGRTXHORVFRPSDWULRWDVHVWpQMXQWRV" Teemos 4 grupos de compatriotas, que puede distribuirse etoro de ua mesa circular de PC 4 = P 3 = 3 2 = 6 formas. Detro de cada grupo los compoetes se puede permutar : P 5 = 5! = 120, P 4 = 4! = 24, P 3 = 3! = 6 y P 2 = 2! = 2 respectivamete. El úmero total de colocacioes posibles es, pues, el producto :

13 DU]Q>!!3_]RY^Qd_bYQ = colocacioes.