LÍMITES DE FUNCIONES IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Ejemplo : Consideremos la función: f Su gráfica: si < si > Si toma valores próimos a, distintos de y menores que ej.: 9, 99, 999,, que se nota:, es decir: < Los correspondientes valores de y: muy próimos a : 9 99 999 y 9 99 Se aproiman muchísimo a se nota: y Se escribe: f Se lee: Límite de f por la izquierda de es Si toma valores próimos a, distintos de y mayores que ej.:,,, etc... que se nota, es decir:
> a próimos muy Los correspondientes valores de y: : y 9 99 999 Se aproiman cada vez más a se nota: y Se escribe: f Se lee: Límite de f por la derecha de es. y se llaman límites laterales de f por la izquierda y derecha de respectivamente. Ejemplo : Dadas las funciones: > < > < si si k si si si h si si g Cuyas gráficas respectivas: Observamos: g g h h h k k k En los tres casos se escribe que: g h k Y se lee que el límite de la función es en el punto.
En general: Si y f es una función cuya gráfica es: Se escribe f m y f m' a a Si y f es una función cuya gráfica es: Se tiene que f f m ó f m a a a A m y m se les llama límites laterales de f por la izquierda y por la derecha de a respectivamente. Si ambos números reales son iguales m m, a dicho número real m se le llama límite de f en el punto a.
Es importante señalar que para definir el límite de una función en un punto a, no necesitamos para nada el valor de la función y f en a, es decir fa, sino que sólo nos interesa el comportamiento de dicha función en los alrededores de a valores próimos a a pero menores o mayores que a. Definición formal de límite de una función en un punto. Diremos que: f L EL, ε E*a, / E*a,, f EL, ε a El límite de una función f cuando a es el número real L, si se cumple que para cualquier entorno de centro L y radio ε : EL, ε que tomemos, por pequeño que sea ε, encontramos un entorno reducido de a, E* a, sin centro a, tal que todos sus valores reales tengan sus imágenes f dentro del entorno El, ε Cálculo del límite de f algebraicamente. El cálculo del límite de f usando la fórmula de la función se hace de la siguiente forma: Ejemplo : si < f si > f como < y f como > Ejemplo : k f como si si no se entre diferencia izq. y dcha de Y no sería necesario buscar por separado los límites laterales, ya que la epresión algebraica de f tanto por su izquierda para < como por su derecha para > es la misma.
IDEA INTUITIVA DE LÍMITES INFINITOS. ASÍNTOTAS VERTICALES Ejemplo : Consideremos la función: f de Df R-{ } y cuya gráfica es: Si, los correspondientes valores de y: 9 99 999 y - - - Se hacen cada vez más grandes en valor absoluto y son negativos se nota y Se escribe: f Se lee: Límite de f por la izquierda de es Si, los correspondientes valores de y: y Se hacen cada vez más grandes sin ningún tope real se nota y Se escribe: f Se lee: Límite de f por la derecha de es Ejemplo : Tomemos g de Dg R-{ } y gráfica opuesta de f : 5
Observamos: g y g Ejemplo : Tomemos h h f Observamos: h h h Se escribe: h Se lee: Límite de h en el punto es Ejemplo : Sea k k opuesta de h Observamos: k k k En todos los casos se dice que la recta de ecuación es una asíntota vertical. En general: 6
Se escribe: f ± Y: a a a. Se dice que el límite de f en a o los laterales es ± a es una A.V. de y f f ± a a a Definición de A.V. Algebraicamente: El cálculo del límite de f usando la fórmula se hace: Ejemplo : R por Cuando sale en el denominador, su significado en el cálculo de límites es denominador. La tendencia del denominador a puede ser: - Por valores positivos denominador:,,, si - Por valores negativos denominador: -, -, -, si.. Por eso cuando sale en el denominador, se calculan los límites laterales: f f '9,'99,... ',',... Con lo cual podemos conocer la posición relativa de y f con respecto a su asíntota vertical
En general si al calcular: f sale a a a l con l a es A.V. de f. Basándonos en ello, las asíntotas verticales de una función y f se obtienen entre los valores que anulan al denominador y no anulan el numerador. Para calcular las A.V. de una función : Denominador Despejamos : a, b, c, si numeradora, b, c,... Si en a el numeradora, veremos lo que pasa más adelante. IDEA INTUITIVA DE LÍMITES EN EL INFINITO. ASÍNTOTAS HORIZONTALES. RAMAS PARABÓLICAS Ejemplo : Tomemos f de Df R y gráfica: Observa: A medida que toma valores que se representan más a la izquierda sobre el eje de abscisas,,, que se nota, las ordenadas y correspondientes: y 98 8 y Se escribe: f Se lee: Límite de f cuando tiende a es. Ejemplo : Tomemos ahora g con Dg R y gráfica: 8
Observa: A medida que toma valores cada vez mayores y que se representan cada vez más a la derecha sobre el eje de abscisas,,, que se nota, las ordenadas y correspondientes: y 98 y Se escribe: g. Se lee: Límite de g cuando tiende a es. Ejemplo : Sea h con Dh R-{ } y gráfica: Observamos: h y h. En todos los casos se dice que la recta de ecuación y es una asíntota horizontal A.H. de h. En general: Si y f es una función cuya gráfica se comporta de la forma: 9
Se escribe: Y: f b R ó f b R ó f b R ± y b es A.H. de y f f b R Definición A.H. o Algebraicamente: El cálculo del límite en el infinito aprenderemos a calcularlos cuando se estudien las propiedades de cálculo de límites. Ejemplo : Dadas las funciones f y de dominio R y gráficas: g Observamos: f f g g En todos los casos se trata de límites infinitos en el infinito: f ± Cuando la gráfica no se aproima a ninguna recta oblicua y se cumple que f ±, se ± ± dice que y f tiene una rama parabólica por la derecha si f ± y por la izquierda si f ±, y por ambos lados si ocurren las dos cosas. En general: y f tiene una R.P. f ± recta Definición de R.P o y Gráff no se aproima a ninguna ASÍNTOTAS OBLICUAS.- Para algunas funciones ocurre que cuando ó a aproimarse a una recta oblicua, llamada asíntota oblicua de la función:, se observa que su gráfica tiende
La recta y m n con m es asíntota oblicua de f y [ f m n ] o Como se observa en la gráfica si ó AP. El método general para calcular las asíntotas oblicuas de una función es el siguiente: Si es asíntota oblicua de y f, entonces: [ f m n ] y m n Si calculamos. o f m n f m n n ± m f o o o n f f o ó ó ó f m m m. Luego m: m El cálculo de n es inmediato sin más que observar que: [ f m n] n : n [ f m] o. o o f, que despejando En la práctica: Si f ± : se calcula: ± f m R AO.. calcula : n ± R. P ±. PROPIEDADES INDETERMINACIONES. f ± g f ± g a ± a ± a ±
l ± ±. f g f g a ± a ± a ± k f k f con k constante a ± ± ± a ± l Regla de los signos para el producto y l ± ± ± Regla de los signos para el producto. f a g ± f a ± g a ± l ± ± l ± Regla de los signo para el cociente l l R incluido l ± ± Regla de los signos para el cociente l R incluido l l. f a ± g f a ± g a ± n a n a ± ± l f f si l > l si l < l si l > si < l < l si l > si < l < Entre las propiedades anteriores faltan los siguientes casos, en los que no hay ninguna regla fija:. ± ±.. ±. En estos casos se trata de indeterminaciones. 5. ± 6..
Cuando al calcular el límite de la función aparece una indeterminación, hay que evitarla usando estrategias de cálculo que dependerán de la forma que tenga la epresión algebraica de la función y del tipo de indeterminación que nos haya salido. CÁLCULO ALGEBRAICO DE LÍMITES: Tendremos en cuenta además de las propiedades anteriores: k k a ± siendo k constante. a P P a siendo P un polinomio. ± ± P dependiendo del signo del coeficiente principal y del grado de P Indeterminación ± ± Si f es racional Q P ± P y Q polinomios. En todos los casos, para evitar la indeterminación, se divide numerador y denominador por la de mayor grado del denominador. Ejemplo : Ejemplo : 5 5 5 Ejemplo : Si f es irracional: Se evita dividiendo numerador y denominador entre la de mayor grado del denominador igual que si fuese racional. Si el denominador tiene raíz, se dividen entre la raíz de esa potencia de. Ejemplo:
Indeterminación: Si f es racional: a Q a P Q P a. Como Pa P es divisible por a Teorema del resto. Lo mismo ocurre con Q. Para evitar este tipo de indeterminación dividimos numerador y denominador por. a Ejemplo: indeterminación Dividimos numerador y denominador entre : Si f es irracional: Ejemplo: indeterminación que se evita multiplicando numerador y denominador por el conjugado de donde aparece la raíz y posteriormente dividiendo por a, en nuestro ejemplo por. Indeterminación: Si f es racional: Ejemplo :, se evita la indeterminación operando razones algebraicas y transformando la epresión en un cociente de polinomios:
5 Queda otra indeterminación que se evita dividiendo numerador y denominador por : 6 : Ejemplo :, se evita la indeterminación, como en el caso anterior, realizando la operación y transformando la resta en una sola razón algebraica. 6 6 Indeterminación que se evita dividiendo por la de mayor eponente del denominador, en nuestro caso dividimos por : Si f es irracional: Si hay cociente se divide por la de mayor eponente del denominador con su raíz, en caso de que le afecte alguna raíz. Ejemplo :, para quitar la indeterminación se divide numerador y denominador entre :
6 Ejemplo :, para quitar indeterminación se divide numerador y denominador por Si no hay cociente sino sólo una resta de raíces, la indeterminación se evita multiplicando y dividiendo por el conjugado: Ejemplo : Indeterminación. Para evitarla multiplicamos y dividimos por el conjugado: Indeterminación que se evita dividiendo por la de mayor eponente del denominador, en nuestro caso EJERCICIOS RESUELTOS DEL CÁLCULO DE LAS ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN.- Calcula razonadamente todas las asíntotas de las siguientes funciones: Ejercicio. f A.V: Calculamos los valores de que anulan al denominador:
que son las posibles A.V. de la función. Comprobamos si lo son o no, calculando los límites en estos puntos: f R ± es una A. V. Y la posición relativa de la gráfica de la función respecto de se estudia calculando los límites laterales: f f f ' ' : R y D f Luego: no es una A. V. En, hay una discontinuidad evitable A.H: f ± ± ± ± y es A. H por la dcha y por la izqda Y para saber la posición relativa de la f R Gráf respecto de la asíntota: y : f Comparació n f con y Posición de f con respecto a A.H. ' ' ' 98 '98 No puede haber A.O.: Pues la función tiene un A.H. Ejercicio. g g f por encima de la A.H >. f <. por debajo de la A.V: Calculamos el valor de que anula al denominador, que es: posible A.V Comprobamos si lo es o no, calculando el límite en ese punto: R ± es una asíntota vertical A.H
Y la posición relativa de la gráfica de la función respecto de se estudia calculando los límites laterales: g g '9 ' ± A.H: g ± ± ± ± ± f no tiene asíntotas horizontales ± R A.O.: y m n Con m y n R, Que se calculan de la forma siguiente: m n g ± ± ± ± ± ± ± g m ± ± ± ± ± R n R m ± Luego la función posee una asíntota oblicua de ecuación: y Si queremos conocer la posición relativa de la Gráf f respecto de la A.O.: ' g A.O. ± ± y Comparació n g con y A.O. por encima de la A.O. 99' 99 g g por debajo de la A.O. Ejercicio. h A.V: No tiene A.V., pues el denominador es el y no se puede anular. A.H: Calculamos el h ± ± R No hay A.H. A.O.: y m n Con m y n R, Que se calculan de la forma siguiente: 8
m ± h ± ± ± R R Para: m n Y la asíntota oblicua tiene de ecuación: Para: m y n Y la asíntota oblicua tiene de ecuación: Como vemos tiene dos A.O. : Y la posición relativa de la Gráf h respecto de ellas: ' 99 ' 99 y Por la dcha : y Por la izqda : y h A.O. y Comparació nh con y A.O. h por debajo de la A.O 99. h por debajo de la A.O 99. Ejercicio. k A.V: si < si Calculamos los valores de que anulan a los denominadores: que son las posibles A.V. de la función. Comprobamos si lo son o no, calculando los límites en estos puntos: 9
k k R es A. V. R ± k es A.V. Y la posición relativa de la gráfica de la función respecto de se estudia calculando los límites laterales: k k A.H: Calculamos el k ± '9 ' La posición relativa de la Gráf k respecto de ellas: A. H. por la dcha : y A. H. por la izqda : y k Comparació nk con A. H Posición de k con respecto a A.H. ' ' ' ' < k por encima de la A.H >. k. por debajo de la A.H Observación: El estudio de la posición relativa de la Gráf de cada función respecto de sus asíntotas no es riguroso, en cuanto que damos a un solo valor ó - que no tiene por qué ser en valor absoluto suficientemente alto. Pero en la mayoría de las funciones que trabajaremos en el curso, nos suele ayudar y dar una idea clara de cómo se posiciona la gráfica de la función. En cualquier caso, podemos prescindir de dicho estudio y sustituirlo por la utilización del resto de las propiedades que tenga la gráfica de la función, encajándolas hasta hacer un esbozo correcto de la gráfica pedida.