RELACIÓN DE PROBLEMAS ) Encontrar los etremos absolutos de y 6+ definida en [0, ]. Sol. Má en 0 y ; mín -/ en,5. ) Hallar dos números positivos cuya suma sea 0, sabiendo que su producto es máimo. Sol.: 0 y 0 ) Hallar dos números positivos cuya suma sea 8, sabiendo que el producto de uno por el cuadrado del otro ha de ser máimo. Sol.: y 6 ) Hallar dos números positivos cuya suma sea y tales que el producto de uno por el cubo del otro sea máimo. Sol.: 8 y 6 5) Cuál es el número positivo que sumado con 5 veces su inverso da un valor mínimo? Sol.: 5 6) Encontrar un número tan que al restarle su cuadrado la diferencia sea máima.sol: 0,5 7) Un pastor quiere vallar un campo rectangular de.600 m de superficie. Calcular las dimensiones para que el coste sea mínimo. Sol.: 60m 60m 8) Una persona desea construir una cerca rectangular aprovechando una pared ya eistente. Para ello dispone de.000 m de tela metálica. Cuáles deben ser las dimensiones para que el terreno vallado sea lo mayor posible? Sol.: 50500 9) Se quiere vallar un campo rectangular que está junto a un camino. Si la valla del lado del camino cuesta 800 ptas/m y la de los otros 00 ptas/m, hallar el área del mayor campo que puede cercarse con 88.000 pesetas. Sol.: 5.00 m 0) Qué medidas tiene el triángulo rectángulo de área máima de entre todos los que tienen 0 cm de hipotenusa? Sol: 50 50 ) De todos los triángulos isósceles de cm de perímetro, hallar las dimensiones de los lados del que tenga área máima. Sol.:, y cm ) Dividir un segmento de 60 centímetros en dos partes, con la condición de que la suma de las áreas de los triángulos equiláteros construidos sobre ellas sea mínima. Sol: 0+0 ) Una hoja de papel debe contener 8 cm² de teto impreso. Los márgenes superior e inferior deben tener dos centímetros cada uno y los laterales, un centímetro. Calcular las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo. Sol: 05 ) Los barriles que se utilizan para almacenar petróleo tienen forma cilíndrica y una capacidad de 60 litros. Hallar las dimensiones del cilindro para que la chapa empleada en su construcción sea mínima. Sol: r, h 80 0 π 00π 5) Hallar los puntos de la curva y cuya distancia al punto (,0) es mínima. Sol: (, 8 ) y (, 8 ) 6) La función f() +p +q tiene un valor mínimo relativo igual a en. Hallar p y q. Sol.: p, q7 7) Hallar a, b, c y d para que la función f()a +b +c+d tenga un máimo en el punto M(0,) y un mínimo en M (,0) Sol.: a, b, c0, d 8) Hallar el valor de a, b, c y d para que la función f()a +b +c+d tenga un punto de infleión en P(,6) con tangente en él paralela a la recta 8+y+00, y tome, además, el valor para 0. Sol.: a, b6, c, d 9) Hallar a, b, c y d en la función f()a +b +c+d para que dicha función pase por el punto P(,) y tenga un punto de infleión con tangente horizontal en Q(0, ). Sol.: a, b0, c0, d I.E.S. V CENTENARIO. Prof.: R. Mohigefer Página
0) Representar gráficamente las siguientes funciones, de las que se da la solución: y + y + y ( ) y + y + y y y y 8 y yln yln( +) yln( 5+6) y 0, ln, 0 0, y ln 0, 0 0 ye y e ye ln I.E.S. V CENTENARIO. Prof.: R. Mohigefer Página
Dibujar la gráfica de: y + sen. Dominio. Dom(f) R. Par/Impar. f ( ) + sen ( ) sen f ( ) IMPAR (en la figura se señalan sen y sen(-)) - f ( ) + sen + sen ( + π ). Periodicidad. / k/ f()f(+k) No es f ( + k) + k + sen ( + k) periódica. Intersecciones con los ejes. OX: y 0 + sen 0 sen 0 (es el único corte entre las gráficas de y y de y sen, como se ve en la ilustración adjunta) Corta en (0,0) OY: 0 y 0 (0,0) 5. Asíntotas. AH: lím( + sen ), porque, si bien / lím sen (esta función oscila indefinidamente entre y +, por mucho que se aleje de 0), para valores muy grandes o muy negativos de, resulta que + sen, ya que sen lo máimo que puede valer es, y lo mínimo,, con lo que el error que se comete al aproimar + sen por cuando es despreciable. AV: No tiene, porque Dom(f) R (las asíntotas verticales están en puntos donde eiste discontinuidad asintótica, y esta función es continua en todo R). + sen AO: m lím, Aunque / lím sen, un teorema dice que el límite de una función que tiende a 0 por otra función que esté acotada, vale 0. Y sen es una función acotada entre los valores y +. Entonces: + sen sen m lím lím + lím + sen +0, puesto que / tiende a 0 y sen está acotada, como se ha dicho. n lim f ( ) m lim + sen lim sen, que no eiste No tiene ( ) ( ) asíntota oblicua. 6. Monotonía / Etremos relativos. Como f '( ) + cos, dividimos en intervalos Dom(f) mediante: a) Puntos de discontinuidad de f : No tiene b) Puntos críticos: + cos 0 cos π + πk, k Ζ π ( π, π ) π ( π, π) π (π, π) π f 0 + 0 + 0 + 0 f???? No tiene etremos relativos, pero, como la derivada vale 0 en ellos, la tangente es horizontal en los puntos de la forma π + πk, k Ζ : ( π, π ), ( π, π ), (π, π), (π, π), (las imágenes de estos valores de se han calculado en la fórmula de la función: y + sen ). 7. Curvatura / Puntos de Infleión. f "() sen. Dividimos en intervalos Dom(f) mediante: a) Discontinuidades de f ', f ": No hay I.E.S. V CENTENARIO. Prof.: R. Mohigefer Página
b) Puntos que anulan f ": kπ, k Ζ π ( π, π ) π ( π, 0) 0 (0, π) π f 0-0 + 0-0 f P.I. P.I. P.I. P.I. Todos los puntos de la forma (kπ, kπ) son puntos de infleión (como antes, las imágenes se han calculado en la fórmula de la función y + sen ). 8. Gráfica. EJEMPLOS DE EXÁMENES MATEMÁTICAS º BACH. C. N. Y S. 8 de Abril de 00 Análisis ) Hallar el dominio de y + ( puntos) ) Decir si la siguiente función es par, impar o ninguna de las dos cosas: y ( punto) ) Estudiar la continuidad de la función y 0 + ( puntos) 5 ) Calcular: lím ; lím + ( + puntos) MATEMÁTICAS º BACH. C. N. Y S. 8 de Mayo de 00 Análisis ) Estudiar la continuidad de f(), dando el valor de a para que sea continua en 0 y, si < 0 clasificando las discontinuidades: f ( ) + ( puntos) + a, si 0 ) Hallar los etremos absolutos de y + en [0, ] ( punto) ) Dar las ecuaciones de las rectas tangentes a f() paralelas a y ( punto) + ) Estudiar y dibujar la gráfica de y, comprobando previamente que sus Derivadas: punto + 5 Dominio, Par/Impar, Int. Ejes: 0,5 puntos derivadas son: y ' ; y " Asíntotas: punto ( ) ( ) Monotonía/Etr.relativos: punto Curvatura/P.Infleión: punto Gráfica (tras estudio anterior):,5 puntos I.E.S. V CENTENARIO. Prof.: R. Mohigefer Página
EXAMEN RESUELTO MATEMÁTICAS º BACH. C. N. Y S. 0 de Mayo de 00 Análisis ) Estudiar la continuidad de f(), dando el valor de a para que sea continua en y, si < clasificando las discontinuidades: f ( ) ( punto) + a, si ) Dar la ecuación de la recta tangente a f() paralela a y ( punto) + ) Calcular lim ) Derivar: y ln ( ) ( punto) ( punto) + 5) Estudiar y dibujar la gráfica de y, comprobando previamente que sus Derivadas: punto 6 Dominio, Par/Impar, Int. Ejes: 0,5 puntos derivadas son: y ' ; y " Asíntotas: punto ( ) Monotonía/Etr.relativos: punto SOLUCIONES ) Todas las funciones habituales, es decir, las algebraicas, que son las polinómicas, racionales (cociente de polinomios) y las irracionales (raíces de polinomios), y las transcendentes, que son las eponenciales (base constante y eponente variable), logarítmicas y trigonométricas, son continuas en su dominio. También, la suma, resta, producto, cociente y combinaciones (composiciones) de funciones continuas son, a su vez, continuas en el dominio resultante. Las funciones definidas a trozos, como la del enunciado, no figura entre las que hemos enumerado. Este tipo de funciones se define, normalmente, utilizando funciones habituales, con las que coincide en diferentes intervalos. El estudio de continuidad se hace estudiando la función con la que se define en cada intervalo, ecluyendo de dichos intervalos los puntos que separan uno de otro, que se estudian por separado. Según esto, el estudio de la continuidad de la función que nos dan es como sigue: Zona (, ): Aquí, nuestra función f coincide con y que, al ser racional, es continua en su dominio, es decir, en R { }. O sea, que en cualquier valor de es continua, salvo en. Pero (, ), es decir, que cuando f no tiene nada que ver con y, por lo que f es continua en todos los puntos de (, ). Zona (, + ): (Observar que ha sido ecluido de la zona, y se estudiará aparte). Aquí, f coincide con y + a, que, al ser polinómica, es continua en su dominio, que es R, independientemente de lo que valga a. De modo que es continua en (, + ), que es sólo una parte de R. : Las tres condiciones que una función f debe cumplir para ser continua en a son: ) Que eista f(a); ) Que eista lim f ( ) ; ) Que ambos valores coincidan. Comprobémoslas para. En primer lugar, f() + a, ya que cuando, f() + a. Luego la primera condición se cumple, independientemente de lo que valga a. I.E.S. V CENTENARIO. Prof.: R. Mohigefer Página 5 a Curvatura/P.Infleión: punto Gráfica (tras estudio anterior):,5 puntos
En segundo lugar, para estudiar lim f ( ) hemos de separar el análisis de dicho límite por la derecha y por la izquierda, ya que según por donde esté, a la derecha o a la izquierda de, la definición de f es distinta. De modo que: lim f ( ) lim ; lim f ( ) lim( + a) + a + + El límite completo eiste si, y sólo si los dos límites laterales eisten y coinciden. Luego para que eista lim f ( ) debe cumplirse que +a a 0. Entonces, si a 0, lim f ( ). Y como f() +a +0 coincide con dicho resultado, se cumplirá también la tercera condición de continuidad, con lo que f será continua en. En resumen, si a 0, f es continua en las tres zonas, es decir, en todo R. ) Buscamos una recta tangente a f() paralela a y, es decir, con pendiente. La pendiente de la recta tangente a f() en a vale, según la interpretación geométrica de la derivada, f '(a). Para saber el punto de tangencia (a, f(a)), buscamos a/ f '( a). Como f '(), lo anterior es: a a a. Como f(), el punto de tangencia es (, ). Conocido un punto de la recta tangente y su pendiente, usando la forma punto-pendiente, la ecuación de la tangente es: y ( ) y 6 + y. ) Si en tanto, + lim + + lim + + + sustituimos por, obtenemos la indeterminación. Por ( ) + lim + + e e e + (+ ) + + + e e e ( )( ) lim + 0 e ) Como y ln ( ) ln( ) ln ln( ) ln( ), derivando: y ' 6 + 5 ( )( ) ( )( ) 5) Para dibujar la gráfica de y y' ( 6)( ) ( y 6, comenzaremos hallando sus derivadas. ( [ ( ) ] ) ) I.E.S. V CENTENARIO. Prof.: R. Mohigefer Página 6 [( 6)( ) ( )] 6
6 + 6 + 9 6 a) Dominio. R {}, ya que anula el denominador. ( ) b) Par/Impar. f( ) Ni par ni impar. ( ) [( )( + ) ] ( + ) c) Intersecciones con los ejes. OX: y0 0 0 0, que es válido porque no anula al denominador (0, 0). OY: 0 y 0 (0,0) d) Asíntotas. Asíntotas Horizontales: lim No tiene. Asíntotas Verticales: Como sólo las hay en puntos de discontinuidad asintótica, y el único punto de discontinuidad es (ver dominio), éste es el único que hay que investigar: lim La recta de ec. es asíntota vertical. f ( ) Asíntotas Oblicuas: m lim lim lim lim ( ) ( ) n lim ( f ( ) m) lim ( ) lim ( + ) + lim lim lim + Por tanto, y + es asíntota oblicua. e) Monotonía / Etremos relativos. Dividimos en intervalos Dom(f) R {} por: a) Puntos de discontinuidad de f ': b) Puntos críticos: f '() 0 0 0 ( )0 0 0 (, 0) 0 (0, ) (, ) (, + ) 0 f + 0 + / 0 + Como f() 7/, las coordenadas del mínimo rela- f? / mín tivo son (, 7/) f) Curvatura / Puntos de Infleión. Dividimos en intervalos Dom(f) R {} por: a) Puntos de disc. de f ': b) Puntos de disc. de f ": (, 0) 0 (0, ) (, + ) c) Ptos que anulan f ": 6 0 f 0 + / + 0 f P.I. / Las coordenadas del punto de infleión son (0, 0). g) Gráfica. I.E.S. V CENTENARIO. Prof.: R. Mohigefer Página 7