Capítulo VI VARIALES ALEATORIAS. Itroducció Detro de la estadística se puede cosiderar dos ramas perfectamete difereciadas por sus objetivos y por los métodos que utiliza: Estadística Descriptiva o Deductiva Iferecia Estadística o Estadística Iductiva Se utiliza cuado la observació de la població o es exhaustiva sio sólo de u subcojuto de la misma de forma que, los resultados o coclusioes obteidos de la muestra, los geeralizamos a la població La muestra se toma para obteer u coocimieto de la població pero uca os proporcioa iformació exacta, sio que icluye u cierto ivel de icertidumbre Si embargo sí será posible, a partir de la muestra, hacer afirmacioes sobre la aturaleza de esa icertidumbre que vedrá expresada e el leguaje de la probabilidad, siedo por ello u cocepto muy ecesario y muy importate e la iferecia estadística Segú V. arett (982): -La estadística es la ciecia que estudia como debe emplearse la iformació y como dar ua guía de acció e situacioes prácticas que evuelve icertidumbre-. Las situacioes prácticas que evuelve icertidumbre so lo que osostros llamaremos experimetos aleatorios. 2. Feómeos Aleatorios U experimeto es cualquier situació u operació e la cual se puede presetar uo o varios resultados de u cojuto bie defiido de posibles resultados. Los experimetos puede ser de dos tipos segú si, al repetirlo bajo idéticas codicioes: Determiístico Se obtiee siempre los mismo resultados. Ej: medir co la misma regla e ideticas codicioes la logitud de ua barra Aleatorio No se obtiee siempre los mismo resultados. Ej: el lazamieto de ua moeda observado la sucesió de caras y cruces que se preseta Las siguietes so características de u experimeto aleatorio: El experimeto se puede repetir idefiidamete bajo idéticas codicioes Cualquier modificació a las codicioes iiciales de la repetició puede modificar el resultado Se puede determiar el cojuto de posibles resultados pero o predecir u resultado particular Si el experimeto se repite gra úmero de veces etoces aparece algú modelo de regularidad estadística e los resultados obteidos Maual de Estadística de David Ruiz Muñoz
3. Espacio Muestral Se deomia resultado básico o elemetal, comportamieto idividual o puto muestral a cada uo de los posibles resultados de u experimeto aleatorio. Los resultados básicos elemetales será defiidos de forma que o pueda ocurrir dos simultáeamete pero si uo ecesariamete. Se deomia cojuto uiversal, espacio muestral o espacio de comportamieto E al cojuto de todos los resultados elemetales del experimeto aleatorio. Puede ser de varios tipos: Espacio Muestral Discreto Espacio muestral fiito Tiee u úmero fiito de elemetos. Espacio muestral ifiito umerable Tiee u úmero ifiito umerable de elemetos es decir, se puede establecer ua aplicació biyectiva etre E y N. Ejemplo: Experimeto aleatorio cosistete e lazar u dado. El espacio muestral es E={,2,3,4,5,6} Ejemplo: Experimeto aleatorio cosistete e lazar u dado hasta que sea obteido el úmero E={{},{2,},{3,}... {2,2,},{2,3,},...} Espacio Muestral Cotiuo Si el espacio muestral cotiee u úmero ifiito de elemetos, es decir, o se puede establecer ua correspodecia biuívoca etre E y N. Ejemplo: Experimeto aleatorio cosistete e tirar ua bola perfecta sobre u suelo perfecto y observar la posició que ocupará esa bola sobre la superficie. E={Toda la superficie del suelo} 4. Sucesos U suceso S es u subcojuto del espacio muestral, es decir, u subcojuto de resultados elemetales del experimeto aleatorio. Diremos que ocurre o se preseta el suceso cuado al realizarse el experimeto aleatorio, da lugar a uo de los resultados elemetales perteecietes al subcojuto S que defie el suceso Se puede cosiderar cuatro tipos de sucesos segú el º de elemetos que etre a formar parte: Suceso elemetal, suceso simple o puto muestral es cada uo de los resultados posibles del experimeto aleatorio luego los sucesos elemetales so subcojutos de E co sólo u elemeto Suceso compuesto es aquel que costa de dos o más sucesos elemetales Suceso seguro, cierto o uiversal es aquel que costa de todos los sucesos Maual de Estadística de David Ruiz Muñoz
elemetales del espacio muestral E, es decir, coicide co E. Se le deomia seguro o cierto porque ocurre siempre. Suceso imposible es aquel que o tiee igú elemeto del espacio muestral E y por tato o ocurrirá uca. Se deota por. 5. Operacioes co sucesos Co los sucesos se opera de maera similar a como se hace e los cojutos y sus operacioes se defie de maera aáloga. Los sucesos a cosiderar será los correspodietes a u experimeto aleatorio y por tato será subcojutos del espacio muestral E. Suceso Coteido e Otro Dados dos sucesos A y de u experimeto aleatorio: Diremos que A está icluido e si: Cada suceso elemetal de A perteece tambié a, es decir, siempre que ocurre el suceso A, tambié ocurre el suceso. Diremos tambié que A implica. A ó A Igualdad de Sucesos Dados dos sucesos A y de u experimeto aleatorio: Diremos que A y so iguales si: Siempre que ocurre el suceso A tambié ocurre y al revés. Uió de Sucesos Dados dos sucesos A y de u experimeto aleatorio: La uio de ambos sucesos A y es: Otro suceso compuesto por los resultados o sucesos elemetales perteecietes a A, a, o a los dos a la vez (itersecció). E geeral, dados sucesos A, A 2, A 3,..., A, su uió es otro suceso formado por los resultados o sucesos elemetales que perteece al meos a uo de los sucesos A i. A A= A A U A i i= Itersecció de Sucesos Dados dos sucesos A y de u experimeto aleatorio: La itersecció de ambos sucesos A y es: Otro suceso compuesto por los resultado o sucesos elemetales que perteece a A y a, simultáeamete. A Maual de Estadística de David Ruiz Muñoz
E geeral, dados sucesos A, A 2, A 3,..., A, su itersecció es otro suceso formado por los resultados o sucesos elemetales que perteece a todos los sucesos A i. Sucesos Disjutos, Icompatibles o Excluyetes Dados dos sucesos A y de u experimeto aleatorio: Diremos que estos sucesos A y so disjutos, icompatibles o mutuamete excluyetes cuado: No tiee igú suceso elemetal e comú o dicho de otra forma, si al verificarse A o se verifica, i al revés. I A i i= A = I A i i= = Sistema Exhaustivo de Sucesos Dados sucesos A, A 2, A 3,..., A de u experimeto aleatorio: Diremos que estos forma ua colecció o sistema exhaustivo de sucesos si la uió de todos ellos es igual al espacio muestral E. Diremos que estos forma u sistema completo de sucesos o ua partició de E si, además de la aterior, codició, se cumple que so disjutos dos a dos, es decir, so mutuamete excluyetes, disjutos o icompatibles. A A... A = A = E 2 i i= A A = i j i j U El cojuto de todos los sucesos elemetales que costituye u espacio muestral forma ua colecció de sucesos mutuamete excluyete y exhaustivo ya que, de todos ellos, sólo uo debe ocurrir y o puede ocurrir dos simultáeamete. Suceso Complemetario o Cotrario Dado u suceso A de u experimeto aleatorio: Se defie como suceso complemetario o cotrario de A a: Otro suceso que ocurre cuado o ocurre el suceso A, o bie, es el suceso costituido por todos los sucesos elemetales del espacio muestral E que o perteece a A. Diferecia de Sucesos Dados dos sucesos A y de u experimeto aleatorio: A A = A Se defie como la diferecia de ambos sucesos A y a: Otro suceso costituido por los sucesos elemetales que perteece a A, pero o a. Maual de Estadística de David Ruiz Muñoz
Diferecia Simétrica de Sucesos Dados dos sucesos A y de u experimeto aleatorio: A = (A ) ( A) A = (A ) ( A) Se defie como diferecia simétrica de ambos sucesos A y a: Otro suceso costituido por los sucesos elemetales que perteece a A, o a, pero que o simultáeamete a ambos. 6. Propiedades de las Operacioes co Sucesos Los sucesos asociados a u experimeto aleatorio verifica las siguietes propiedades: E = = E A = A E A = E A = A A A = E E A = A A = A A = Propiedad idempotete: A A = A A A = A Propiedad comutativa: A = A A = A Propiedad asociativa: A (A 2 A 3) = (A A 2) A 3 A (A2 A 3) = (A A 2) A3 Propiedad distributiva: A (A A )=(A A ) ( A A ) 2 3 2 3 A (A A )=(A A ) ( A A ) 2 3 2 3 Propiedad simplificativa: A (A ) = A A (A ) = A Leyes de Morga: ( A ) = A ( A ) = A 7. Sucesió de Sucesos Llamaremos sucesió de sucesos a ua familia de sucesos A, A 2, A 3,..., A e la que éstos aparece ordeados por el subídice. La represetaremos por { A } =,2,3,... Sucesió Creciete Ua sucesió de sucesos { A } A A2 A 3... la represetamos por { diremos A } que es creciete si se verifica: Maual de Estadística de David Ruiz Muñoz
Sucesió Decreciete Ua sucesió de sucesos { A } diremos que es decreciete si se verifica: Límite de ua Sucesió El límite de ua sucesió creciete / decreciete de sucesos { A } / { A } : A A2 A 3... la represetamos por { A } lim A = U A / lim A = I A = = Límites Iferior y Superior de ua Sucesió de Sucesos 0 A=lim 0 if A = U I Ak A = lim sup A = I U Ak = k= = k= El límite iferior de la sucesió es u suceso El límite superior de la sucesió es u formado por los resultados o sucesos suceso formado por todos los elemetales que perteece a todos los resultados o sucesos elemetales que sucesos de la sucesió excepto quizá a u perteece a ua ifiidad de sucesos úmero fiito de sucesos de la sucesió E el supuesto que se verifique diremos que la sucesió es covergete y se expresa como: 0 A = lim if A = lim sup A = A = A A A lim A = A 0 8. Algebra de Sucesos Como se ha veido observado, los sucesos los cosideramos como cojutos, siedo válido para éstos todo lo estudiado e la teoría de cojutos. Para llegar a la costrucció axiomática del Cálculo de Probabilidades, ecesitamos dar uas estructuras algebraicas básicas costruidas sobre los sucesos, de la misma maera que se costruye sobre los cojutos. Colecció de Cojutos o Sucesos Es otro cojuto cuyos elemetos so cojutos y lo llamaremos cojuto de las partes de E, es decir, A=P(E) es el cojuto formado por todos los subcojutos de E o por todos los sucesos coteidos e el espacio muestral E. Algebra de Sucesos o Algebra de oole Sea A=P(E) ua colecció de sucesos dode se ha defiido las operacioes: - Uió de sucesos - Itersecció de sucesos - Complemetario de u suceso y que ademá verifica las propiedades defiidas al expoer las operacioes co sucesos. Diremos que la colecció de sucesos o vacia A tiee estructura de Algebra de oole si A es ua clase cerrada frete a las operacioes de complemetario, uió e itersecció de sucesos e úmero fiito, es decir si se verifica las codicioes siguietes: A A = P(E) se verifica que su complemetario A A= P(E) A,A 2 A=P(E) se verifica que A A2 A= P(E) Lo relativo a que la itersecció sea cerrada y que el úmero de sucesos sea fiito se obtiee como cosecuecia de las codicioes ateriores, como ahora se idicará Maual de Estadística de David Ruiz Muñoz
De las dos codicioes iiciales, se deduce las siguietes cosecuecias: El espacio muestral E A =P(E) Si los sucesos A, A =P(E) se verifica que A A =P(E) El suceso imposible A = P(E) Si A,A 2,A 3,...,A A= P(E) se verifica que Ai A = P(E) y Ai A = P(E) Si hacemos la extesió al caso de u úmero ifiito umerable de sucesos, etoces aparece ua ueva estructura algebraica que recibe el ombre de α-algebra o Campo de orel, que es ua geeralizació de la aterior. Cuado el espacio muestral E es fiito, todos los subcojutos de E se puede cosiderar como sucesos. Esto o ocurre cuado el espacio muestral es ifiito (o umerable), pues es difícil cosiderar el cojuto formado por todos los subcojutos posibles, existiedo subcojutos que o puede cosiderarse como sucesos. E resume, podemos decir que a partir del espacio muestral E, hemos llegado a defiir la colecció de sucesos A=P(E) que tiee estructura de Algebra de Sucesos o Algebra de oole si el espacio muestral es fiito o bie tiee la estructura de α- Algebra si el espacio muestral es ifiito. Al par (E, A) e dode E es el espacio muestral y A ua α-algebra sobre E, le llamaremos espacio o cojuto medible, e el cual será posible establecer ua medida o probabilidad, como se verá después. U i= I i= 9. Métodos de Eumeració o Coteo Las siguietes so alguas técicas útiles para cotar el úmero de resultados o sucesos de u experimeto aleatorio. Tablas de Doble Etrada Es útil para relacioar dos pruebas, idicádoos los resultados que itegra el espacio muestral, pudiedo idicar sobre la tabla determiados sucesos e los que estemos iteresados. E geeral co m elemetos a, a 2, a 3,..., a m y elemetos b, b 2, b 3,..., b es posible formar m x pares (a r, b s ) tales que cada par tiee al meos algú elemeto diferete de cada grupo. Pricipio de Multiplicació Sea los cojutos C, C 2, C 3,..., C k que tiee respectivamete, 2, 3,..., k k- uplas dode, e cada k-upla, el primer elemeto perteece a C, el segudo a C 2, etc. E el caso particular de que = 2 = 3 =... = k el úmero posible de k-uplas sera k. E el caso geeral, el úmero de posibles resultados será x 2 x 3 x... x k. Este pricipio es de utilidad e el caso de u experimeto aleatorio compuesto por otros k experimetos. Diagramas de árbol Este diagrama os permite idicar de maera secilla el cojuto de posibles resultados e u experimeto aleatorio siempre y cuado los resultados del experimeto pueda Maual de Estadística de David Ruiz Muñoz
obteerse e diferetes fases sucesivas. Ej: Experimeto aleatorio cosistete e lazar al aire u dado y después 3 veces cosecutivas ua moeda. Combiacioes, Variacioes y Permutacioes Combiacioes Llamaremos combiacioes de m elemetos C = m, tomados de e al úmero de subcojutos diferetes de elemetos que se puede formar co los m elemetos del cojuto iicial m m! =!(m - )! Combiacioes co repetició Si e los subcojutos ateriores se puede repetir los elemetos Variacioes Llamaremos variacioes de m elemetos tomados de e a los distitos subcojutos diferetes de elemetos que se puede formar co los m elemetos, ifluyedo el orde e el que se toma Variacioes co repetició Si e los subcojutos ateriores se puede repetir los elemetos Permutacioes Llamaremos permutacioes de elemetos a las variacioes de elemetos tomados de e Permutacioes co repetició Llamaremos permutacioes co repetició de elemetos k-distitos que se repite uo x veces, otro x 2 veces,... y el último x k veces CR = m+- (m + - )! m, =!(m - )! V = m, m(m - )(m - 2)...(m - m + ) = VR m, P =! = m x!,x 2,...,xk P = x! x!...x! 2 k x + x +... + x = 2 k m! (m - )! Maual de Estadística de David Ruiz Muñoz