Boletín 4 Funciones de una Variable Diferenciación Aplicaciones 8 Máimo absoluto =+4cos Mínimo absoluto 0 Figura 10: Represntación gráfica de la función f() = +4cos en el intervalo [0, ] (a) Buscamos los puntos críticos de f en el intervalo (0, ) Como la función es derivable, los puntos críticos serán aquellos puntos del intervalo para los que se anule la derivada f 0 () = 4sen Resolvemos la ecuación 4sen =0en el intervalo (0, ) obtenemos los valores 1 = 6 = 5 6 Ahora calculamos el valor de f en los etremos del intervalo en los puntos críticos: f(0) = 4; f() =4 +4 = 1656; ³ f = 6 + = 456; f µ 5 = 5 6 = 1771 Por lo tanto, se alcanza el mínimo en el punto 0 = 5 µ 5 6, siendo su valor mínimo f = 6 1771 elmáimoenelpunto = el máimo absoluto es f() =4 +4 = 1656 Hemosrepresentadolagráfica de f() = +4cos, para [0, ], en la Figura 10 (b) g() = +1 Como +1> 0 para todo, setienequesiempreeiste +1 no se anula nunca, luego el dominio de g es todo R Como la función es derivable, los puntos críticos serán aquellos puntos del dominio para los que se anule la derivada +1 g 0 () = +1 1 = Como g 0 () no se anula nunca, no eisten puntos +1 ( +1) críticos Calculamos g(0) = 0 g() = Por lo tanto se alcanza el mínimo en el punto 5 0 su valor mínimo es g(0) = 0; el máimo en el punto, siendo el máimo g() = 5 En la Figura 11 se ha representado la función g() = en el intervalo [0, ] +1
Boletín 4 Funciones de una Variable Diferenciación Aplicaciones 84 Máimo absoluto 0 Mínimo absoluto Figura 11: Gráfica de g() = +1 en el intervalo [0, ] 7 Calcular el dominio, las asíntotas, los etremos relativos puntos de infleión de las siguientes funciones Con esa información hacer un esbozo de la gráfica (a) f() = +1 1 (b) g() = (c) h() = +cos, en el intervalo [0, ] (a) D = R {1} lim + f() =1 lim f() =1 Por lo tanto, la recta =1es una asíntota horizontal lim 1 + f() =+ lim 1 f() = Por lo tanto =1es una asíntota vertical f 0 () = ( 1) f 00 () = ( 1) De aquí deducimos: Como f 0 () < 0 para todo R {1}, no ha puntos críticos la función f() es decreciente en su dominio Como f 00 () 6= 0para todo R {1}, no ha puntos de infleiónensudominio Para >1 f 00 () > 0 la función es cóncava hacia arriba Para <1 f 00 () < 0 la función es cóncava hacia abajo Con esta información se puede hacer un esbozo aproimado de la gráfica f() = +1, que se encuentra representado en la Figura 1 1 8 Un ganadero desea vallar un prado rectangular adacente a un río El prado ha de tener 180000 m con el fin de que proporcione suficiente pasto al ganado Qué dimensiones debe tener para que requiera la menor cantidad de valla posible teniendo en cuenta que no ha que poner valla en el lado que da al río? Se llama ventana de Norman a la formada por un semicírculo unido a una ventana rectangular ordinaria Hallar las dimensiones de una ventana de Norman de 6 metros de perímetro área máima 10 Tres lados de un trapecio tienen la misma longitud a De todos los trapecios con esa condición probar que el de área máima tiene su cuarto lado de longitud a
Boletín 4 Funciones de una Variable Diferenciación Aplicaciones 85 =1 Figura 1: Representación gráfica de la función f() = +1 1 b=a a h h a B=a+ Figura 1: Trapecio con tres lados iguales de longitud a El área de un trapecio es A = B + b h Ennuestrocaso(verlaFigura1)obtenemosA = (a +)+a h Como h = a (a +)+a,obtenemosa() = a =(a + ) a Esta es la función de la que tenemos que obtener el valor máimo Observemos que la variable toma valores en el intervalo [0, a] Es por tanto un problema sobre etremos absolutos Buscamos los puntos críticos en el intervalo (0,a) Calculamos A 0 () = a a A 0 () =0 a si sólo si a a =0 Las soluciones de esta ecuación son 1 = a = a (esta solución no tiene sentido en este problema Además a / (0,a) ) ³ a Calculamos A (0) = 0 ; A = a ; A (a) =0 Luego el máimo se obtiene cuando = a 4, es decir, cuando la base maor, sea a 11 Calcular la longitud de la tubería más larga que se puede transportar por dos pasillos en ángulo recto de anchura 4 m 6 m
Pared B Boletín 4 Funciones de una Variable Diferenciación Aplicaciones 86 Observamos que realmente estamos buscando la tubería miníma que tiene etremos en la pared A, en la pared B pasa por el punto C (véase la Figura 14) Pared A α C Figura 14: Longitud de la tubería del Ejercicio 11 La longitud viene dada por l = + = 6 cos α + 4 tenemos por tanto que minimizar sen α la función l (α) = 6 cos α + 4 ³0, sen α cuando α Observemos que no es un problema de etremos absolutos, puesto que el intervalo no es cerrado dl dα = 6senα cos α 4cosα sen α = 6sen α 4cos α cos α sen Por tanto dl α dα =0si sólo si 6sen α 4cos α = 0 tan α = 1 α = arccotan 1 A partir de tan α = 1 calculamos cos α = r 1 1+tan α ' 075 sen α = 1 cos α ' 0655 Sustituendo en l (α) se obtiene que l (α) ' 14075 Observamos que lim l (α) =+ lim l (α) =+ El único punto crítico es α = arccotan 1 α 0 α esportantoelmínimo(absoluto)delafunción En la Figura 15 se encuentra representada la gráfica de la función l (α) = 6 cos α + 4 en el ³ sen α intervalo 0, Otra forma de abordar el problema es la siguiente: Como cos α = 6 sen α = 4 cos α +sen α =1, obtenemos 6 + 16 =1 Despejando 6 obtenemos = p 16 Sustituimos en la función que queremos minimizar obtenemos 6 l () = p + con (4, + ) 16 dl d =1 6 q Entonces dl ( 16) d =0si sólo si 6 =1 q( 16 =6 16) ' 60 ' 7 Por lo tanto, la longitud máima es l (60) ' 1408 Observamos que mínimo absoluto lim 4 + l () =+ lim l () =+ Luego en el punto ' 60 ha un +
Boletín 4 Funciones de una Variable Diferenciación Aplicaciones 87 Mínimo absoluto Figura 15: Representación gráfica de l (α) = 6 cos α + 4 ³0, sen α en el intervalo l() Figura 16: Gráfica de la función l () = 6 p 16 + En la Figura 16 hemos representado la gráfica de la función l() para >4, donde se observa la esitencia de un único mínimo absoluto 1 Se forma un sólido adosando dos hemisferios a las bases de un cilindro circular recto El volumen total del sólido es de 1 cm Hallar el radio del cilindro que produce área mínima de la superficie del sólido Al unir dos hemisferios a un cilindro regular recto de radio r>0alturah>0, enrealidad estamos adosando una esfera completa al cilindro, por lo que el volumen del sólido resultante es V = 4 r +r h el área viene dada por S =4r +rh Puesto que el sólido resultante tiene un volumen de 1 cm, deducimos que 4 r + r h =1portanto,h = 1 r 4 r +1 Sustituendo este valor de h en la epresión de la superficie obtenemos S =4r +rh =4r +r 1 µ r 4 r +1 =4r + 1 µ4 8 r r
Boletín 4 Funciones de una Variable Diferenciación Aplicaciones 88 en consecuencia la función a minimizar es S(r) =4r + 1 r µ4 8 r 1 Como h > 0, tenemos que r 4 r +1 q > 0 entonces r < encontrar el mínimo de la función S(r) =4r + 1 r 4 8 r para r Es decir, debemos q ³0, Nótese que no tenemos garantizada la eistencia del q valor mínimo pues, aunque la función S es continua en R \{0}, elintervalodedefinición ³0, no es cerrado La función S es derivable en todo R \{0}, luego sus puntos críticos son aquellos que anulan a su derivada S 0 (r) = 1 8 r 4 La única solución real de la ecuación 1 8 r 4 =0es q r q r r = Podríamos pesar en tomar como solución del probleam r =, pero este valor provoca h =0por tanto, no tendríamos cilindro Concluimos, por consiguiente, que el problema no posee solución o también podemos decir que la superficie mínima se alcanza cuando el cilindro degenera (h =0) q Obsérves que S 0 (r) < 0 para r ³0, por tanto, la función S es decrecinte en el intervalo q ³0, 1 Un hombre está en un bote a dos millas del punto más cercano de la costa desea ir al punto Q de la figura, tres millas costa abajo una tierra adentro Puede remar a millas por hora caminar a 4 millas por hora Hacia qué punto de la costa debe dirigirse si quiere tardar el menor tiempo posible? Desde la Figura 17 observamos que el tiempo en llegar desde el bote al punto Q, pasando por el punto de la costa, viene dado mediante q 4+ 1+( ) t() = + donde [0, ] 4 Bote (4+ ) 1/ 0 - (1+(-) ) 1/ 1 Q Figura 17: Ilustración gráfica del Ejercicio1 De esta forma, el problema se reduce a localizar el mínimo absoluto de la función t() con [0, ]