Fundamentos de Estadística:

Fudametos de Estadístca: Resúmees. A. Roeto Espeo Mohedao. Atuo Gallego egado.

TEMA : Itoduccó a la Estadístca. La Estadístca las estadístcas. Defcó de Estadístca: o Estadístca Descptva. o Estadístca Matemátca o Ifeecal: Polacó muesta. Escalas de medda: o Categócas: Odales omales. o Numécas: Po tevalos po atos. Heametas paa la Estadístca: o Téccas de coteo. o Cálculo de poaldades. Estadístca Multvaate: Modelos poalístcos. Fudametos de Estadístca: Resúmees.

Tema : Estadístca descptva uvaate. TEMA : Estadístca descptva uvaate. MEDIDA DATO IN AGRUPAR DATO AGRUPADO mpa me + N m e L + a pa me MEDIANA m e MEDIA CUARTILE VARIANZA + + Itevalo medao: Es el pmeo e el que la fecueca asoluta acumulada es mao que /. C Valo que dea el 5% de los datos a su zqueda. C Igual que C co el 5% de los datos. C 3 Igual que C co el 75% de los datos. DEVIACION TIPICA CUAI_VARIANZA CUAI_ DEVIACION TIPICA MOMENTO REPECTO AL ORIGEN DE ORDEN MOMENTO REPECTO a L Lmte feo del tevalo medao. N - Fecueca asoluta acumulada del tevalo ateo al medao. Númeo total de datos. Fecueca asoluta del tevalo medao. a ampltud del tevalo medao. k K N C + 4 k L a; k,, 3 k k k a k m A LA MEDIA DE ORDEN m ERROR ETANDAR COEFICIENTE DE VARIACION V es. V RANGO R R - COEFICIENTE DE AIMETRIA ϕ COEFICIENTE DE CURTOI ϕ DATO ANORMALE RELACION ENTRE m3 ϕ ϕ 3 Dstucó smétca. ϕ < D. Asmétca a la zqueda. ϕ > D. A. a la deecha. m4 ϕ 3 ϕ Mesocutca. 4 Z ϕ > Leptocutca. ; ϕ < Platcutca. í Z [, ] datos omales. Fudametos de Estadístca: Resúmees. 3

Tema : Estadístca descptva uvaate. Tala de fecuecas. Fec. Asoluta Fec. Relatva f.d.d. empíca f Fec. Asoluta acumulada N + N N Fec. Relatva aculada f.d.d. empíca F f + F F Meddas gáfcas..4.3. 3 3 3. -3 -.9 - -.3.3.9 3 Hstogama Dagama de sectoes pastel 4 3..3.5.7.9 Dagama de aas Dagama de fec. acumuladas Fudametos de Estadístca: Resúmees. 4

Tema 3: Estadístca descptva vaate. TEMA 3: Estadístca descptva vaate.,,,,,...,, * { } * *,,..., * {, } * Posles valoes de o sus macas de clase *,..., k Posles valoes de o sus macas de clase Tala de cotgeca * * * * * *............... k......... k k... M M M O M M * M M M M M M M O M M *......... k. k Dstucoes magales Fecuecas asolutas. ;,..., vaale. ;,..., k vaale Fecuecas elatvas. f. ;,..., vaale. f. ;,..., k vaale f f. Dstucoes codcoadas,..., k,,...,,...,,,..., k. Meddas de asocacó: fe Escala omal.., fecuecas asolutas espeadas e caso de auseca de asocacó χ de Peaso k fe χ χ [, t] t m {, k } fe Coefcete C de cotgeca C χ χ + C [, V de Came V χ V [,] t Fudametos de Estadístca: Resúmees. 5

Tema 3: Estadístca descptva vaate. Escala odal ma ma.... k.. k / ma... k Coefcetes pedctvos λ: λ [,] Escala uméca λ k ma ma...... / ma... Covaaza k Coefcete de coelacó [-,] [,] Fudametos de Estadístca: Resúmees. 6

Tema 4 5: Comatoa calculo de poaldades. TEMA 4 5: Comatoa calculo de poaldades. Itoduccó. Ifeeca. Poale o mpoale?. Feómeos detemstas. Feómeos aleatoos o estocástcos. Coceptos áscos. Espaco muestal Ω. Fto. ucesos A Ω. Ifto umeale. Ifto o umeale. uceso smple o elemetal. uceso compuesto. ucesos mpopos. Relacó ete sucesos. uceso seguo Ω. uceso mposle. Iclusó A B. Igualdad A B. Opeacoes co sucesos. Uó A B. Iteseccó A B. ucesos compatles. Complemetacó. uceso complemetao A c. Teoía de coutos sucesos. Álgea de Boole. Popedades de la la de sucesos. Asocatva. Comutatva. Dstutva. E. eutos. Lees de Moga. Dfeeca ete sucesos A-B A Álgea de sucesos A: cosecuecas. ucesos aleatoos o estocástcos. Etesó del álgea: -álgea. Espaco poalzale Ω,A. c B. Fudametos de Estadístca: Resúmees. 7

Tema 4 5: Comatoa calculo de poaldades. Defcó fecuetsta de poaldad. Fecueca elatva del suceso A. f A a PA lm f a A lm Popedades f Ω f A f A B f A + f B Defcó de Laplace de poaldad. veosímles: s A B. m Dados A,A,...,A tales que A A U A Ω e gualmete m m casos favoales PA a m casos posles Defcó aomátca de poaldad. ea P: A [, ] tal que: PΩ PA PA B PA+PB s A B P Fucó de poaldad. Ω,A, P Espaco de poaldad. Cosecueca de los aomas: A B PA PB PA c PA PA Fudametos de Estadístca: Resúmees. 8

Tema 4 5: Comatoa calculo de poaldades. Le adtva de poaldades. P U A PA s PA B PA+PB-PA B A B PA B C [PA+PB+PC]-[PA B+PA C+PB C]+ Geealzacó: +[PA B C] PA B C D... [PA+PB+PC+PD+...]- - [PA B+PA C+PA D+...]+[PA B C+PA B D+...] -... P U A PA Bofeo ; -ooo- Aálss comatoo. INFLUE EL ORDEN I NO IN C m, REPETICIONE CON m! Vm, Vm m! Pm Vm, m m! PR m m! Cm CRm,! m! VR m m, m, a,,..., k m! a!!... k! m +!! m! m+ Fudametos de Estadístca: Resúmees. 9

Tema 6: Poaldad codcoada. TEMA 6: Poaldad codcoada. Detemacó coceta del espaco muestal. Fecueca elatva codcoada. f A B f A B A B s f B f B B Poaldad codcoada. PA B P A B ; PB > PB PA B P B A ; PA > PA Idepedeca estocástca aleatoa A B PAPA/B A B PA BPA PB A B B A E geeal, dados A A,,..., los A so "mutuamete" depedetes s sólo s: PA A... A PA PA...PA Teoema de la patcó o de la poaldad total. Dados A A,,..., tales que: U A Ω A A,, K, / P A >,, K, ea B A oto suceso, etoces: PB PA PB/A Fudametos de Estadístca: Resúmees.

Tema 6: Poaldad codcoada. Demostacó: Basta cosdea. U A B B. P / A B P A P B A Teoema de Baes. Poaldad a po. Poaldad a posteo. Teoema: Dadas las codcoes del teoema de la patcó: A B P A P A B P A P B A P / / / Dode: A P Poaldad a po. Poaldad a posteo. / B A P Veosmltudes. / A B P Demostacó: P T A B P A P A B P A P B P A B P A P B P B A P B A P.. / / / / Fudametos de Estadístca: Resúmees.

Tema 7: Vaale aleatoa uvaate. TEMA 7: Vaale aleatoa uvaate. Ω PA A - B A F R Fucó eal de los esultados. B Vaale aleatoa uvaate v.a.. Dado Ω, A, P, sea : Ω R A A A R es v.a. soe Ω tevalo B R, se tee que - B A. Espaco muestal de ua v.a. { todas las ealzacoes w, w Ω } Fucó de dstucó f.d.d.. E u setdo estctamete matemátco, F: R [,] es ua f.d.d. s:. lm F. lm F 3. F es moótoa o dececete. s < F F 4. F es cotua po la deecha. lm F + h F, h Fudametos de Estadístca: Resúmees.

Tema 7: Vaale aleatoa uvaate. Fucó de dstucó de ua v.a.. F P{w Ω / w } F P " Dstucó de ua udad de masa soe la ecta eal." " F es la masa poalístca stuada a la zqueda del puto." Vaale aleatoa dsceta. El espaco muestal asocado es fto o umeale. {,,...,,... } "Putos dode se coceta la masa poalístca." e etede po P a: P P - P{w Ω / w } Dstucó de poaldad.... P P P... P F P P Fucó de desdad f.d.d. de ua v.a. o de cuatía f P s F f Vaale aleatoa cotua. La v.a. puede toma u valo cualquea deto de u tevalo eal. puede se de la foma: a,, -,, a, +, -, + P a < < P a, P{ w Ω / a < w < } P dstumos la masa poalístca e valoes F P Fudametos de Estadístca: Resúmees. 3

Tema 7: Vaale aleatoa uvaate. La f.d.d. de ua v.a., f es ua fucó tal que: +. f d. P < < f d Relacó ete la f.d.d. la f.d.d.. F P P < f t dt. df f d Aotacoes:. { a, } f d, además F a a f d s s s a a < <. P > P F + f d 3. P < < f d F F P F F Valo espeado. como: ea ua v.a sea g: R R. e defe el valo espeado de la v.a. g [ ]. E g g f g P Caso dsceto [ ] +. E g g f d Caso cotuo upuestos: + g f g f d < + < + es dec la la so asolutamete covegetes. Fudametos de Estadístca: Resúmees. 4

Tema 7: Vaale aleatoa uvaate. Espeaza matemátca. la fucó g ateo es la detdad g, a E[] se le deoma espeaza matemátca o smplemete espeaza de la v.a., sedo hatual otala po µ. Mometos. Popedades:. E [] k k. E [ a + ] a + E[ ] Mometo de ode k especto del paámeto c. c k k [ c ] M E c. Mometos especto al oge. α Meda de ua v.a. k k [ ] E c. Mometos cetales. µ k [ µ ] µ k E [ ] µ µ α E "Meda o valo medo" de la dstucó de la v.a. µ + f ; µ f d E geeal, o tee poque est la meda. Vaaza de ua v.a. µ [ µ ] E "Vaaza" de la dstucó de la v.a.. µ f ; µ + f d Desvacó típca de la v.a. Fudametos de Estadístca: Resúmees. 5

Tema 7: Vaale aleatoa uvaate. + "Vee epesada e la msmas udades que la v.a." Popedades:. α α "Teoema de Kog". a + sedo D µ,. Etoces:. Desgualdad de Tchecheff. k P µ k < < µ + k Fomulacoes equvaletes: P µ < k k P µ k < k Fudametos de Estadístca: Resúmees. 6

Tema 8: Pcpales dstucoes dscetas. TEMA 8: Pcpales dstucoes dscetas. Dstucó Ufome. "La v.a. toma valoes,,..., co gual poaldad" f f,k,, K, k U k k k µ µ ;. k k k E el caso de que {,,...,k}, µ k + ; k f F /k /k /k 3 E el caso patcula de se { }, la dstucó de se dce degeeada o sgula. Dstucó de Beoull o Baa. "Epemeto aleatoo co dos posles esultados": {,} A {"Éto"} {} ; PA p B A c {"Facaso"} {} ; PB q -p f f, p p p B p Poceso de Beoull:. La poaldad de éto pemaece costate paa cada uo de los tetos.. Los tetos epetdos so depedetes. [ ] E V p p [ ] E[ ] E[ ] + p p p p p p p p p Fudametos de Estadístca: Resúmees. 7

Tema 8: Pcpales dstucoes dscetas. F q p+q f q p Dstucó omal. Dadas pueas de Beoull epetdas e depedetes:,,, p B L La v.a. " o de étos total e las pueas" se dce omal de paámetos p. p, p p p f f,, [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] p E E E E E + + + + + + K L [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] q p V V V V V + + + + + + K K "Asocada a la dea de muesteos co eemplazameto". Dstucó hpegeométca. "La v.a. o de étos e ua puea muesta aleatoa de tamaño seleccoada de eta N esultados posles, de los cuales a so étos facasos a+n, se dce hpegeométca".,, a h + + a a a a a f f,,, Fudametos de Estadístca: Resúmees. 8

Tema 8: Pcpales dstucoes dscetas. [ ] [ ] N a E p ; V N N N "Asocada a la dea de muesteos s eemplazameto". Dstucó de Posso. La v.a., o de ocuecas del suceso A éto duate u ga úmeo de pueas, se dce de Posso". E témos coloquales: "Ua omal co gade p pequeño". p λ λ ; P Matemátcamete, s: cte p p λ : λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ + e p p P!!!!!! L L e -λ Po lo tato: λ λ λ e f f!, 8 e o. 5 cuado, < p p p λ P [ ] [ ] λ λ V E ; Asocada co "sucesos aos". Alguos casos típcos puede se: o de acteas e u cultvo, o de eoes mecaogáfcos po pága, o de llamadas telefócas ecdas, etc. Fudametos de Estadístca: Resúmees. 9

Tema 8: Pcpales dstucoes dscetas. Dstucó geométca. Dado u feómeo dcotómco co alteatvas A co PAp A c PA c -pq "la v.a. que cueta el úmeo de veces que ocue la alteatva A c facaso ates de que apaezca po pmea vez A éto, se dce geométca". G p. q q f f, p q p ; E [ ] ; V [ ] p p Dstucó omal egatva o de Pascal. Dado u feómeo dcotómco co alteatvas A co PAp A c PA c -pq "la v.a. que cueta el úmeo de veces que ocue la alteatva A c facasos ates de que apaezca po -esma vez A éto, se dce omal egatva"., p. f + f,, p q p q p q E p q p [ ] ; V [ ] Fudametos de Estadístca: Resúmees.

Tema 9: Pcpales dstucoes cotuas. TEMA 9: Pcpales dstucoes cotuas. Dstucó ufome o ectagula. ea ua v.a. co espaco muestal asocado {a,}. todos los putos de so equpoales, se dce que tee ua dstucó ufome U a,, cua f.d.d es: f f, a, a s s f /- F a a µ a + E [ ] ; V [ ] a Dstucó omal. Es la dstucó cotua más mpotate e todos los campos de la Estadístca, soe todo e la Ifeecal. Desce de foma apomada muchos feómeos que ocue e la atualeza, dusta e vestgacó. Tee ua dstucó f.d.d. e foma de campaa. NHµ, L µ µ µ+ N µ, Fudametos de Estadístca: Resúmees.

Tema 9: Pcpales dstucoes cotuas. f f, µ, π e µ Cosdeacoes: - La moda puto soe el ee hozotal dode la cuva tee su mámo ocue e µ. - La cuva es smétca especto al ee vetcal que pasa po la meda. - La cuva tee sus putos de fleó e µ±. - La cuva tee como asítota el ee hozotal. - El áea ao la cuva el ee hozotal es gual a. La foma de la fucó de dstucó F es: E [ ] µ ; V [ ] Dstucó omal estáda. La dstucó de ua v.a. omal de meda ceo vaaza, se deoma dstucó omal estáda. N,. f π e NH,L Fudametos de Estadístca: Resúmees.

Tema 9: Pcpales dstucoes cotuas. La v.a. N, se ecueta taulada. E dchas talas se popocoa la P z α. NH,L α z α Tpfcacó de v.a. omales: µ Dada ua v.a. N µ,, la v.a. Z N,. Po tato se educe el calculo de poaldades asocado a dstucoes omales a la cosulta de la tala de la N,. Eemplo: NH,L z.5 α.43 α.43 8 NH7,6L Dstucó gamma. La dstucó de ua v.a. γ a, p, s su f.d.d. es: p a p a > e s f Γp a,p > e el esto + p sedo Γ p e d, tegal gamma, covegete p >. p p E a a [ ] ; V [ ] Fudametos de Estadístca: Resúmees. 3

Tema 9: Pcpales dstucoes cotuas. Dstucó epoecal. Es u caso patcula de la dstucó gamma paa aa p. γ a, E a. u f.d.d. es: a a e ;, a > f ; esto Dstucó ch-cuadado. Es u caso patcula de la dstucó gamma paa a/ p/. γ, χ u f.d.d. es: f Γ e s > e el esto Al paámeto se le llama gados de letad. Costuccó a pat de la omal: ea la v.a. Z N,, la dstucó de la v.a. Z es ua se le suele llama dstucó cuadado de la omal. ea las v.a. La v.a. : χ χ,,, K χ χ, depedetes ete s. χ χ HL χ H4L χ H6L Fudametos de Estadístca: Resúmees. 4

Tema 9: Pcpales dstucoes cotuas. χ HL La dstucó ch-cuadado es asmétca se ecueta taulada, popocoado la P χ α χ HL α χ α Dstucó t de tudet. Ua v.a. cua f.d.d. es: + + Γ f + R Γ π se dce que su dstucó peteece a la famla de dstucoes t de tudet co gados de letad. t. Costuccó a pat de la omal: ea las v.a. Z N, e χ, la dstucó de la v.a.: Z t Fudametos de Estadístca: Resúmees. 5

Tema 9: Pcpales dstucoes cotuas. Esta dstucó smétca especto del oge que se ecueta taulada, popocoado la P t α thl α t α u foma fucoal es algo mas achatada que la cuva omal al tee ua vaaza mao. Cuado,. t N NH,L thl Dstucó F de Fshe-edeco. Ua v.a. cua f.d.d. es: m m + Γ f m Γ Γ m + m m+ R se dce que su dstucó peteece a la famla de dstucoes F de Fshe- edeco co m gados de letad. F, m. Fudametos de Estadístca: Resúmees. 6

Tema 9: Pcpales dstucoes cotuas. Costuccó a pat de la omal: la v.a. χ la v.a. χ so depedetes ete s, la v.a.: m m F m, Es asmétca, su foma es del tpo: FH, L u dstucó se ecueta taulada, popocoado la P F α α FH, L F α m F m, F, m m F α, m, F α,, m Fudametos de Estadístca: Resúmees. 7

Tema 9: Pcpales dstucoes cotuas. Teoema cetal del lmte de Ldeeg-Lev. ea las v.a.,,..., depedetes ete s co la msma dstucó D µ,. e vefca que la v.a.: N µ, o e: µ N, Relacó de covegeca ete,p, P λ N,:, p P λ, p.5 λ p < 8 p, p N, 3, mp,q. pq, p N p, pq Teoema de D Move λ P λ N λ, λ λ 8 o e N, λ Coeccó de cotudad de ates: se quee apoma ua dstucó dsceta po ua cotua, ha que aplca ua coeccó de cotudad cosstete e cosdea u tevalo e too al puto que se desea estuda. Dsceta a a < < a a < a < Cotua a-.5 a+.5 a+.5 -.5 a-.5 +.5 a-.5 -.5 a+.5 +.5 Fudametos de Estadístca: Resúmees. 8

Tema : Vaale aleatoa vaate. TEMA : Vaale aleatoa vaate. V.a. -vaate. Dado u espaco de poaldad Ω, A, P, ua fucó: : Ω R w Ω a w, w, L, w - es ua v.a. -vaate s tevalo B R se tee que B A. Espaco muestal de la v.a.. V.a. Bvaate:, : Ω R w Ω a, w w, w R es v.a. vaate s tevalo se tee que, B A. B R Clasfcacó de v.a. vaates: Dscetas, cotuas mtas. - Fucó de Dstucó f.d.d.. Dada ua v.a., F : R [, ] tal que: ; F, P se le deoma f.d.d. de la v.a.,. Popedades de la f.d.d. F, es moótoa o dececete especto a cada ua de las vaales. F, es cotua po la deecha especto a cada ua de las vaales. lm F, R lm F, R lm F,, Fudametos de Estadístca: Resúmees. 9

Tema : Vaale aleatoa vaate. V.a. dmesoal dsceta. La v.a., es dsceta s e so dscetas. {, w ; w Ω} es u couto fto o umeale. ; P ; w P w Ω / w ; w P Dstucó de poaldad de la v.a.,. \...... m p p... p... p m p p... p... p m..................... p p... p... p m..................... p p... p... p m sedo p P ; m p f.d.d. de ua v.a., F, P ; P ; f.d.d de ua v.a., o fucó de cuata. ; F, f, P f, V.a. vaate cotua. Ua v.a., es cotua s e so cotuas. Ua v.a., es cotua s: f, / F, co F, P ; puede epesase como: F, F, f u, v du dv f, + Popedades: + o + f, d d o P < ; < f, d d Fudametos de Estadístca: Resúmees. 3

Tema : Vaale aleatoa vaate. o P ; F, F, F, + F, Mometos. Espeaza matemátca de ua v.a., Caso dsceto:, f, Caso cotuo: + + f, d d h [ ] u, v k Mometos: M E u v k, h Paa uv, "mometos especto al oge" α k,h Paa u α, ; v α,, "mometos cetales especto de las medas" µ k, h "meda de " "meda de " "vaaza de " α, α, µ, µ, µ, "vaaza de " "covaaza ete e " µ α α Teoema de Kog,,, α, Vecto de medas: µ µ Matz de covaazas: µ Coefcete de coelacó: ρ Fudametos de Estadístca: Resúmees. 3

Tema : Vaale aleatoa vaate. Dstucoes magales. P A P, A R P B P, R B Caso dsceto: o Poaldades magales: p \...... m p... p... p m p..................... p... p...... p..................... p............ p p,, K, m m p p,, K, o Dstucoes magales:...... m p p p... p p p p... p m o f.d.d. magales: F F F, P ; F F F, P ; < < p p Fudametos de Estadístca: Resúmees. 3

Tema : Vaale aleatoa vaate. Caso cotuo: o F, f t, dt d + F f t dt dode + f f, d o F, f, t d dt + F f t dt dode + f f, d o F F so las f.d.d. magales o f f so las f.d.d. magales. Dstucoes codcoadas. Caso dsceto: ea, ua v.a. co f. de poaldad p dstucoes magales p p : P P / ; P P p / ; p > p Poaldad de codcoada al valo o Dstucoes de poaldad codcoada: p >... p / p / p /... p / P / Caso cotuo: f, o f / ; f > f.d.d. de la v.a. codcoada al f valo. f t, dt o F / ; f > f codcoada al valo Idepedeca estocástca ete v.as. f.d.d. de la v.a. Fudametos de Estadístca: Resúmees. 33

Tema : Vaale aleatoa vaate. Dada ua v.a,, las vaales e se dce depedetes s tevalo de R de la foma,,, se vefca: P,, P < P < <, F, F R F, Caactezacoes equvaletes: p P ; p p, R caso dsceto o o f, f f, R o f / f o f / f caso cotuo Fudametos de Estadístca: Resúmees. 34

Tema : Itoduccó a la Ifeeca Estadístca. TEMA : Itoduccó a la Ifeeca Estadístca. Muesteo. Polacó o colectvo: Ceso costos, destuccó del ete, etes elatvos,... Muesta. Pcpo de aleatoedad muesta aleatoa smple. Muesta geéca:,,..., v.a. -dmesoal. ' ''... ' ''... 3 ' 3 '' 3... 3............... ' ''... ' ''... ' ''... Paa cada valo de muesta dstta. Realzacó de la muesta. Couto de todas las posles ealzacoes: espaco muestal de. Tpos de muesteo: o egú el dseño: Muesteo aleatoo smple. Muesteo estatfcado. Muesteo po coglomeados. Muesteo poletápco. o egú la foma e que se toma las osevacoes: Muesteo depedete o aleatoo smple. Muesteo depedete. o egú el tamaño de la muesta: Muesteo e polacoes ftas co o s eemplazameto. Muesteo e polacoes ftas. Fucó de desdad de supuesto el muesteo aleatoo smple: Fudametos de Estadístca: Resúmees. 35

Tema : Itoduccó a la Ifeeca Estadístca. f,, K, f f L f llamada tamé fucó de veosmltud. Fucó de dstucó empíca de la muesta coceta: * F L s s s L s s < LLLLL 3 sedo K la muesta odeada. Teoema Cetal de la Estadístca o de Glveko-Catell. La dstucó empíca de la muesta covege e poaldad a la dstucó de la polacó cuado el tamaño muestal tede a se gade. * P F F R, * es dec que P sup F F Estadístcos: Fucoes de la v.a.. t :,,..., R,,..., t,,..., v.a. asga u valo uméco a cada muesta dstta. Ifeeca: o Paamétca. Estmacó: Po puto po tevalo. Cotastes de hpótess. o No paamétca. Fudametos de Estadístca: Resúmees. 36

Tema : Alguas dstucoes maestales. TEMA : Alguas dstucoes muestales. Dstucó de la meda muestal. ea,,..., D µ,. El estadístco meda muestal D µ, el tamaño muestal es gade: D µ, N µ, O lo que es lo msmo: Casos a cosdea: o coocda: Z µ N, 3 la apomacó es uea. o descoocda: e puede calcula medate la vaaza muestal la apomacó es uea s, es dec: Z µ N, o es pequeño, seguá la msma dstucó que la polacó o tedeá covegeá a la dstucó Nomal. la muesta povee de ua polacó Nomal: o coocda: D µ, N µ, µ N, Fudametos de Estadístca: Resúmees. 37

Tema : Alguas dstucoes maestales. o descoocda: e calcula medate, la apomacó es uea s. Caso cotao se utlza la apomacó: T µ - t - Apédce Dstucó de la vaaza muestal. ea,,..., D µ, o µ es coocda: o µ es descoocda: µ E ; V µ 4 4 Apédce o el muesteo se ealza e ua polacó omal: N, µ 4 4 o El estadístco usado e el estudo de la vaaza es Teoema de Cag: χ - Dstucó de la dfeeca de medas e polacoes omales. ea: N µ, N µ, < N µ, N µ, Fudametos de Estadístca: Resúmees. 38

Tema : Alguas dstucoes maestales. Cosdeemos la ueva v.a. Z E E E Z µ µ V Z V - V + - V - COV, Z N µ µ, + COV, dode COV, a las muestas está elacoadas, geealmete se ealza u estudo de la v.a. Z dode po egla geeal las muestas so depedetes, Z N µ µ, + Casos posles paa : so coocdas: Z N µ µ, + descoocdas: Z N µ µ, + µ µ U N, + Fudametos de Estadístca: Resúmees. 39

Tema : Alguas dstucoes maestales. calculamos medate + +, etoces: U µ µ + t Apédce 3 + 3 descoocdas: U µ µ + t dode +, s elatvamete gade, o e: + + Dstucó del cocete de vaazas e polacoes omales. ea : N µ, N µ,. Cosdeado que: χ, etoces: χ que F, χ F χ, la epesó ateo se educe a: F F, Fudametos de Estadístca: Resúmees. 4

Tema : Alguas dstucoes maestales. Apédces.. µ t - a que: - N, t - χ - -µ -µ µ µ µ t -. E puesto que: E E E E Po ota pate: {} [ ] E µ E + µ µ E + µ µ E E µ E + µ tamé E µ E + µ µ E + µ µ E[ ] E µ E + µ Po tato: D µ, {} + µ +µ 3. U µ µ + t + a que: supoemos, puesto que χ es epoductva, Fudametos de Estadístca: Resúmees. 4

Tema : Alguas dstucoes maestales. χ + + χ Po lo tato: χ + N, t + µ µ + ealzado µ µ + s opeacoes + + + χ + + Fudametos de Estadístca: Resúmees. 4

Tema 3: Estmacó po puto. TEMA 3: Estmacó po puto. Estmado. Estmado Estadístco. Popedades de los estmadoes. o Isesgadez: ˆ θ es u estmado sesgado o cetado de θ sí vefca que Eθ ˆ E[ t ] θ θ paámeto polacoal descoocdo Eemplos: estmado sesgado de µ. estmado sesgado de. Apédce o estmado sesgado de. θ ˆ es u estmado astótcamete sesgado de θ sí Eθ ˆ Eemplo: E θ o Cossteca. U estmado es cosstete s al aumeta defdamete, covege e poaldad al paámeto estmado: ˆ,,, P θ K θ es dec ˆ P θ θ < δ θ ˆ es estmado astótcamete sesgado de θ se vefca que V θˆ, se dce cosstete de θ. Eemplo: E ; µ 4 4 V o Efceca. dos estmadoes θ ˆ θ ˆ so estmadoes sesgados de θ, se dce que θ ˆ es más efcete que θ ˆ sí: Vθ ˆ < Vθ ˆ. Fudametos de Estadístca: Resúmees. 43

Tema 3: Estmacó po puto. Cota de Fechet-Came-Rao. FCR ea ua muesta a.s.,,..., oteda de ua polacó co f.d.d. f f, θ e las que se cumple cetas codcoes de tpo matemátco p.e. el espaco muestal o depede de θ, etc., sea θ ˆ t u estmado sesgado de θ L θ L θ, f, θ f, θ L f, θ su fucó de veosmltud. Etoces se vefca que la vaaza de θ ˆ está acotada feomete po la cota de FCRθ. V θ F θ CR l L θ, E θ se cumple estas codcoes, se dce que θ ˆ es u estmado efcete deθ. Meo estmado sesgado. U estmado θ ˆ que sea sesgado, cosstete efcete se deoma meo estmado sesgado BUEθ paa θ. Otecó de estmadoes. Método de la máma veosmltud. Cosste e mamza la fucó de veosmltud L θ L θ, f, θ f, θ L f, θ sedo f la f.d.d. de la v.a.. Paa lo cual asta co otee la solucó de: L θ, θ Peo s ua fucó cualquea alcaza u mámo e u puto, la fucó l de ésta tamé alcaza u mámo e el msmo puto, co lo que asta esolve: l L θ, θ Fudametos de Estadístca: Resúmees. 44

Tema 3: Estmacó po puto. Apédces.. E E. La meda muestal es el estmado de máma veosmltud paa la meda polacoal de ua vaale omalmete dstuda. L, θ f, θ f, θ L f, θ µ µ µ µ L, µ e e L e e π π π π l L, µ l π µ l L, µ µ + µ µ µ µ Es dec µ ˆ 3. La meda muestal es el estmado de máma veosmltud paa el paámeto λ e ua polacó de tpo Posso. L, θ f, θ f, θ L f, θ L, λ λ λ λ λ e λ e λ e λ e λ L!!!! l L, λ λ + l λ l l L, λ + λ λ λ λ Co lo que ˆ λ Fudametos de Estadístca: Resúmees. 45

Tema 3: Estmacó po puto. 4. La meda muestal es u estmado efcete paa µ e ua polacó omal, po tato BUE. FCR µ l L, µ E µ l L, µ µ µ l L, µ 4 µ 4 + µ µ µ l L, µ E E 4 µ µ µ + E 4 µ µ E + + E 4 µ µ E 4 E µ 4 {} 4 µ {} V E E E µ Luego FCR µ, po tato µ ˆ es efcete. D µ, Fudametos de Estadístca: Resúmees. 46

Tema 4: Estmacó po tevalo. TEMA 4: Estmacó po tevalo. Ua estmacó po tevalo de u paámeto polacoal θ es u tevalo de la foma: θ ˆ < ˆ θ < θ s dode θ ˆ θ depede del estadístco θ ˆ utlzado de su dstucó. ˆs Muestas dsttas popocoa valoes dsttos de θ ˆ θ θ so valoes ˆ ˆs de las vaales θ θ a pat de la dstucó muestal de θ ˆ es ˆI ˆ posle seleccoa θ θ tal que: ˆ ˆs P θ < θ < θ - α ; < α < ˆI ˆ paa ua muesta seleccoada puedo ecota u tevalo de cofaza: I ˆ, ˆ α θ θ s θˆ < θ <θˆ s dode: - α coefcete de cofaza θ θ límtes de cofaza ˆ ˆs Otecó de tevalos: Método de tudet.. Def u estadístco T T, θ cua dstucó muestal o depeda de θ.. Toma dos cotas t α, t α co α + α α tal que θ, P t α T, θ t α α α α α thα L thα L Fudametos de Estadístca: Resúmees. 47

Tema 4: Estmacó po tevalo. 3. Resolve las ecuacoes t α T, θ; t α T, θ paa otee: po tato: ˆ P θ, α θ θˆ, α α I α θ θ α θ α ˆ ˆ,,, Fudametos de Estadístca: Resúmees. 48

Tema 5: Cotastes de hpótess. TEMA 5: Cotastes de hpótess. U cotaste o test cosste e ua egla de decsó, asada e fomacó epemetal ua muesta paa acepta o echaza ua ceta hpótess fomulada soe la atualeza de la polacó o algua foma de sus popedades. Hpótess ula H o hpótess del cotaste: Hpótess afmacó que se quee cotasta, po tato, la que se acepta o se echaza como coclusó del cotaste. Hpótess alteatva H : Hpótess stuada fete a H, de foma que s se acepta H, se echaza H vcevesa. Tpos de cotaste: o Paamétco: La eleccó ete acepta o echaza H depede del valo o valoes de u paámeto θ la dstucó geeadoa de la muesta. o No paamétco: e cotasta la foma de la dstucó de la polacó geeadoa de la muesta. Espaco paamétco Θ : Couto de posles valoes de θ. Espaco paamétco asocado a H Θ : Couto de posles valoes del paámeto θ que estamos cotastado ao la hpótess ula. Espaco paamétco asocado a H Θ : Couto de posles valoes del paámeto θ que estamos cotastado ao la hpótess alteatva. Notas: o La estmacó tata de otee u valo θ ˆ que e algú setdo poalístco se pueda cosdea pómo al vedadeo valo de θ. emago, e los test de hpótess se tata, dado u valo de θ, de ve s los datos epemetales está o o de acuedo co esta hpótess. o Cada hpótess está asocada a ua pate del espaco paamétco. Hpótess smple: El espaco paamétco de θ está compuesto po u úco valo. E caso cotao, la hpótess se dce compuesta. Eoes e la decsó: o Eo de tpo I: Eo que se comete e la decsó del cotaste cuado se echaza la hpótess ula H sedo coecta. o Eo de Tpo II: Eo que se comete e la decsó del cotaste cuado se acepta la hpótess ula sedo falsa. e acepta H e echaza H H vedadea Decsó coecta Eo de tpo I H falsa Eo de tpo II Decsó coecta Fudametos de Estadístca: Resúmees. 49

Tema 5: Cotastes de hpótess. Regó de aceptacó de H C : Couto de valoes muestales o ua fucó de ellos estadístco que lleva a la decsó de acepta la hpótess ula. Regó cítca C o de echazo: Couto de valoes muestales o ua fucó de ellos estadístco que lleva a la decsó de echaza la hpótess ula. Estadístco del cotaste: Estadístco acepta o echaza. Poaldades de eo: o PI Pt C/ H o PII Pt C / H t usado paa decd qué hpótess Nvel de sgfcacóα: Máma poaldad de comete eo de tpo I. Cotaste lateal: El espaco paamétco asocado a H ecue al espaco paamétco asocado a H, es dec, está fomado po dos coutos de valoes dsutos. αê α NH,L αê o Eemplo: H : µ µ H : µ µ C Z αê C Z αê C Cotaste Ulateal: El espaco paamétco asocado a H ecue está fomado po valoes supeoes o feoes al espaco paamétco asocado a H, es dec, fomado po u solo couto de valoes. o Eemplos: H : µ µ H : µ µ H: µ > µ H: µ < µ NH,L α α NH,L α α zα zα C C C C Fudametos de Estadístca: Resúmees. 5

Tema 5: Cotastes de hpótess. Cuva opeatvo caacteístca Cθ: Poaldad de acepta la hpótess ula. C θ P Acepta H P t C, θ P t C, θ P t C / H P t C / H P I o o P t C / H P II α,α PHIL P HIL C HθL P HIIL PHIIL CHθL a Θ Θ Θ Poteca de u cotaste: Poaldad de echaza la hpótess ula H sedo falsa. Cuva de poteca Pθ: Poaldad de echaza la hpótess ula H. P θ P Rechaza H P t C, θ P t C, θ C θ α α β β C HθL CHθL Θ a Θ Θ Dode β es la máma poaldad de comete eo de tpo II. Fases paa ealza u cotaste de hpótess:.. 3. Euca detema las hpótess H H espectvamete. Eleg u vel de sgfcacó α co el que taaa. Especfca el tamaño muestal ealza la muesta coceta co la,que taaa. Fudametos de Estadístca: Resúmees. 5

Tema 5: Cotastes de hpótess. 4. 5. 6. 7. 8. eleccoa el estadístco de taao, cua dstucó sea coocda e el supuesto de se H ceta. Detema la egó de aceptacó C o la egó cítca C. Detema el valo del estadístco paa la muesta oteda. Otee coclusoes de tpo estadístco. Otee coclusoes de atualeza o estadístca, como puede se ológcas, medcas, ecoómcas, etc. Fudametos de Estadístca: Resúmees. 5

Tema 6: Cotastes de auste. TEMA 6: Cotastes de auste. Polacoes e o umécas. * * {,..., f } {,..., * } * c Hpótess: H : es depedete de H : esta elacoada co Muesta: t, t taulada e foma de tala de cotgeca t,,.....f..c Estadístcos: G f c l P E f c E E P P c f c E E.5 * * * *. *. *. *. ; P c. *. *. *. Dstucó muestal astótca: P, G χ [ k ].5 Dstucó χ [f-c-] Regla de decsó de vel α: C ; χα..5..5. Decsó: A vel α: P o G C se acepta H χ α P, G Fudametos de Estadístca: Resúmees. 53

Tema 6: Cotastes de auste. CONTRATE DE AJUTE A DITRIBUCIONE Hpótess: H : F H : F H : D µ, H : D µ, Estadístcos: k G l k P E p p P p.5 k c p Dstucó muestal astótca: P, G χ k Codcoes astótcas p > 5 ; admtedo < p < 5 e úmeo f eo al % del valo de K Regla de decsó de vel α:.5. Dstucó χ [f-c-] C ; α.5 χ..5. Decsó: A vel α: P o G C se acepta H χ α P, G Fudametos de Estadístca: Resúmees. 54

Tema 6: Cotastes de auste. CONTRATE DE INCORRELACION Polacoes e umécas. Hpótess: H H : : está coelada co está coelada co Muesta:,,,..., Estadístco: T s s s Dstucó muestal: a, N T H t-, N T H t- Regla de decsó de vel α:.5 Dstucó t-.4.3.. C -t α/ ;+t α/ -t. α/ t α/ t Decsó: A vel α: t C se acepta H Fudametos de Estadístca: Resúmees. 55

Tema 7: Regesó coelacó leal. TEMA 7: Regesó coelacó leal. Itoduccó. Coelacó: mple, múltple, pacal. Regesó o auste. Líea de egesó: Recta: a+ Paáola: a++c Epoecal: ak Potecal: a Cúca: a++c +d 3 Hpéola: /a+ Polómca: a++c +...+h... Regesó leal. Recta de egesó de soe. ŷ ε., * * * * * ˆ a + ŷ valo estmado de paa * * * ε esduos Mímos cuadados: Mmza la epesó: H ε a ˆ paa ello devamos pacalmete e gualamos a ceo: H a H a a Resolvedo el sstema, se otee a. Ecuacoes Nomales Fudametos de Estadístca: Resúmees. 56

Tema 7: Regesó coelacó leal. Resultados temedos: o ε o a +, satsface la ecuacó de egesó la ecta de egesó pasa po el ceto de gavedad. a o ε COV ε, ε depedete está coelados. Los esduos la vaale o, COV ε o ˆ ˆ Recta de egesó de soe : Estudo aálogo. a' ' ˆ + * * * *. ε * * * *, ˆ a' + ' ˆ valo estmado de paa ε esduos ˆ Relacó ete las pedetes: ' ρ Fudametos de Estadístca: Resúmees. 57

Tema 7: Regesó coelacó leal. Regesó paaólca. ˆ a + + Usado el método de mímos cuadados, mmzamos la epesó: a H ˆ ε paa ello devamos pacalmete e gualamos a ceo: Nomales Ecuacoes a H a H a a H Resolvedo el sstema, se otee a,. Podemos smplfca ealzado el camo Z, co lo que: z a ˆ + + de uevo aplcado mímos cuadados: Nomales Ecuacoes z z a H z a H z a a H e otee los valoes de los paámetos descoocdos, esolvedo el sstema Coclusoes: o ε o z a z a + + o COV ε o Z COV ε o, paa,, + A A. Dode A, es el aduto al elemeto a, de la matz de covaazas. Fudametos de Estadístca: Resúmees. 58

Tema 7: Regesó coelacó leal. z z z z z A,+ el aduto al elemeto a,+. Al meo complemetao del elemeto a, de, es dec: z se le deoma matz de covaazas de las v. dep. z z Este poceso se puede geealza al caso leal múltple, dado el hpeplao de egesó: ˆ a + + + L +. Regesó epoecal potecal. Epoecal: ˆ ak, k > tomamos logatmos: * * * log k ˆ log k a + log k k ˆ a + dode: * ˆ log k ˆ * a log k a * log k k co lo que se ha tasfomado el polema e uo de tpo leal. Paa otee falmete a, asta toma atlogatmos. Potecal: ˆ a Tomado logatmos: * * * log ˆ log a + log ˆ a + dode: * ˆ log ˆ * a log a * log de uevo se ha tasfomado el polema a uo de tpo leal. Coelacó smple. ρ. Fudametos de Estadístca: Resúmees. 59

Tema 7: Regesó coelacó leal. Relacó ete ρ los coefcete de egesó: o Dado que o O e ρ o Po ota pate: ρ ρ ' Vaaza esdual. V ε ε ε ε Po ota pate: ˆ ε a ε K Eecco K ρ "La ecta de egesó eplca el ρ % de la vaaza de la vaale." ρ coefcete de detemacó. ρ ε "Tato po ó % de la vaaza de eplcada po el modelo." Coelacó múltple. Dado el hpeplao de egesó: ˆ a + + + L +, se defe los coefcetes de coelacó smples como: ρ,,k Fudametos de Estadístca: Resúmees. 6

Tema 7: Regesó coelacó leal. la matz de coelacoes smples como: ρ Γ ρ M ρ ρ M ρ ρ M L L L O Coefcete de coelacó leal múltple: ˆ ρ K ρ ˆ [,] Eecco: Otee el coefcete de coelacó leal smple a pat de la defcó geéca. e vefca que: ρ ρ,, K Al gual que e el caso leal smple se puede epesa: ρ ε ρ ε La vaaza esdual puede oteese de foma geéca como: ε det det Eecco: Otee geéca. ε del modelo leal smple a pat de la defcó Coelacó pacal. Oetvo: Elma los efectos dstocoates de teceas vaales soe las elacoes leales ete vaales. Fudameto: Dados los modelos: a + z + ε ; a' + ' z + ε Fudametos de Estadístca: Resúmees. 6

Tema 7: Regesó coelacó leal. ε epeseta la pate de que o es capaz de eplca Z luego Z o tevee, de foma aáloga. Po tato se defe el coefcete de ε coelacó ete e, pacal Z como: ρ, z ρ ε ε Opeatvamete se puede otee como: ρ, z ρ ρ ρ A z z ρ AA z ρ z Coclusoes: ρ, z > ρ La vaale Z oculta o amotgua la tedepedeca ete e ρ, z La tedepedeca ete e se dee cas eclusvamete al efecto de Z ρ <, z ρ La tedepedeca ete e se dee pacalmete a la flueca de Z Fudametos de Estadístca: Resúmees. 6