INTRODUCCIÓN A LAS PROGRESIONES

Apédice A INTRODUCCIÓN A LAS PROGRESIONES A.. A..3 E el Apédice A, los alumos ivestigaro progresioes buscado patroes y reglas. E la primera parte del apédice, se cocetraro e las progresioes aritméticas (progresioes geeradas sumado ua costate al térmio aterior), y más adelate (y e el Apédice B) aalizaro progresioes geométricas (progresioes geeradas multiplicado el térmio aterior por ua costate). E las Leccioes A.. a A..3, los alumos aprediero a usar dos tipos de progresioes, aritméticas y geométricas, y sus gráficos, e situacioes cotidiaas. Para más ejemplos y explicacioes, cosulta la próxima secció de esta Guía para padres co práctica adicioal, Ecuacioes de progresioes. Para más iformació, cosulta la primera parte del recuadro de Aputes de matemáticas de la Lecció A.3.2. Ejemplo U grupo de desarrolladores de huertos está preparado u terreo para crear ua gra subdivisió para casas de familia. Ya costruyero 5 casa e el sitio. Los desarrolladores plaea costruir seis casas uevas al mes. Crea ua tabla de valores que muestre la catidad de casas que habrá e la subdivisió a lo largo del tiempo. Escribe ua ecuació que relacioe la catidad de casas co el tiempo trascurrido. Grafica la progresió. Ya que la subdivisió tiee iicialmete 5 casas, 5 es la catidad de casas e el mometo t = 0. Después de u mes habrá seis casas más, o 2 casas. Después del segudo mes, habrá 27 casas. Después de cada mes, sumamos seis casas al total de casas e la subdivisió. Ya que sumamos ua catidad costate después de cada periodo de tiempo, esta es ua progresió aritmética., catidad de meses t(), catidad total de casas 0 5 2 2 27 3 33 4 39 Podemos hallar la ecuació de esta situació si observamos que se trata de ua fució lieal: el crecimieto es costate. Todas las progresioes aritméticas so lieales. Ua forma de escribir la ecuació que represeta esta situació es observado que la pediete (crecimieto) = 6 casas/mes, y el puto de corte co el eje y = 5. Etoces, e forma y = mx+ b, la ecuació es y = 6x+ 5. Otra forma de hallar la ecuació de ua recta, especialmete e situacioes más complejas, es usado dos putos de la recta, calculado la pediete (m) etre los dos putos y hallado el puto de corte co el eje y (como e la Lecció 2.3.2). Este método se demuestra e los próximos pasos: El ejemplo cotiúa e la págia siguiete Guía para padres co práctica adicioal 205 CPM Educatioal Program. All rights reserved. 47

Cotiuació del ejemplo de la págia aterior. Seleccioa (, 2) y (4, 39) pediete = = m = m = m = 6 Δy cambio e y Δx cambio e x 39 2 4 8 3 y = mx + b e ( xy, ) = (, 2) y m= 6, 2 = 6() + b b = 5 y = 6x+ 5 Escribimos la ecuació como t ( ) = 6+ 5 para demostrar que existe ua progresió aritmética (e lugar de la fució lieal y = mx+ b o f( x) = mx+ b) que os permitirá hallar el térmio t para cualquier úmero dado. E este caso, t ( ) represeta la catidad t() de casas y la catidad de meses. La progresió sería: 2, 27, 33, 39,. Observa que las progresioes suele comezar co el primer térmio (e este caso, el térmio para el primer mes, = ). Puedes ver el gráfico de la progresió a la derecha. Observa que es lieal y que comieza co el puto (, 2). 48 205 CPM Educatioal Program. All rights reserved. Core Coectios e español, Álgebra 2

Apédice A Ejemplo 2 Cuado Rosa tropezó y cayó e u charco e la hora del almuerzo ( se sitió muy avergozada!), supo exactamete qué era lo que iba a pasar: e diez miutos, cada ua de las dos chicas que la viero caer se lo cotaría a cuatro persoas. E los diez miutos siguietes, esos ocho alumos se lo diría a cuatro persoas más cada uo. Rosa sabía que esto cotiuaría hasta que toda la escuela estuviera hablado de su accidete. Si hay 206 alumos e la escuela, cuátas geeracioes de chismes se ecesitará para que todos esté hablado de Rosa? Cuátos miutos se ecesitará? Grafica la situació. E el mometo t = 0, solos dos persoas ve a Rosa tropezar y caer. Después de diez miutos, cada ua de esas dos persoas les habrá cotado la situació a cuatro persoas y habrá ocho alumos hablado sobre Rosa. Después de otros diez miutos, cada uo de esos ocho alumos habrá hablado co otros cuatro alumos; habrá 8 4 = 32 alumos hablado. Tras el tercer itervalo de diez miutos, cada uo de los 32 alumos habrá hablado co 4 alumos; 32 4 = 28 alumos hablado. E cada caso, multiplicamos la catidad de alumos aterior por cuatro para obteer la siguiete catidad de alumos. Este es u ejemplo de ua progresió geométrica, y el multiplicador es cuatro. Podemos registrar esto e ua tabla como la de la derecha, e la que represeta la catidad de itervalos de diez miutos desde que Rosa se cayó y t() represeta la catidad de alumos que discute el icidete e ese mometo. Si seguimos co la tabla, veremos que e el mometo t = 6, habrá 2048 alumos discutiedo el accidete. Ya que solo hay 206 alumos e la escuela, todos sabrá lo que sucedió tras el sexto itervalo de diez miutos. Por lo tato, poco ates de que trascurra 60 miutos, o ua hora, todos sabrá que Rosa se cayó e el charco., catidad de itervalos de diez miutos Catidad de estudiates 0 2 8 2 32 3 28 4 52 5 024 6 2048 Puedes ver u gráfico de esta situació a la derecha. Ua relació geométrica o es lieal, es expoecial. E leccioes futuras, los alumos escribirá la progresió como 8, 32, 28,. Observa que las progresioes suele comezar co el primer térmio (e este caso, el térmio para el primer mes es = ). Catidad de estudiates 400 300 200 00 Guía para padres co práctica adicioal 205 CPM Educatioal Program. All rights reserved. 49

Problemas. Halla los térmios faltates e esta progresió aritmética y ua ecuació para t()., 5,,, 3 2. E esta progresió, cada térmio es del aterior. Trabaja hacia adelate y hacia atrás 5 para hallar los térmios faltates.,, 2 3,, 3. El 30 térmio de ua progresió es 42. Si cada térmio de la progresió es cuatro uidades mayor que el aterior, cuál es el primer térmio? 4. La logitud microscópica de ua estructura cristalia crece de forma tal que cada día es.005 veces la logitud del día aterior. Si el tercer día la estructura medía 2.5 m de largo, escribe ua progresió que muestre cuáto medía los primeros cico días (m sigifica aómetro, o 0 9 metros). 5. Davis ama coducir los automóviles e miiatura e el parque de diversioes, pero los coductores o puede medir más de 25 cm. Si Davis medía 94 cm e su cuarto cumpleaños y crece aproximadamete 5.5 cm al año, a qué edad será demasiado alto para coducir u automóvil e miiatura? Respuestas. 9 y 8; t() = 23 4 2. 50 3, 0 3, 2 3, 2 5, 2 75 3. 42 29(4) = 74 4. 2.28, 2.44, 2.5, 2.56, 2.63, 5. t() = 5.5 + 94, así que resuelve 5.5 + 94 25. 5.64. Será demasiado alto cuado llegue a 4 + 5.64 = 9.64. Davis podrá seguir coduciedo los automóviles e miiatura hasta que tega aproximadamete 9 años. 2 50 205 CPM Educatioal Program. All rights reserved. Core Coectios e español, Álgebra 2

Apédice A ECUACIONES DE PROGRESIONES A.2. A.2.3 E estas leccioes, los alumos aprederá múltiples represetacioes de progresioes: listas de úmeros, tablas, gráficos, y ecuacioes. Puedes leer más sobre la escritura de ecuacioes de progresioes e el recuadro de Aputes de matemáticas de la Lecció B.2.3. Las ecuacioes de progresioes puede ser escritas de forma explícita, como se explica e el recuadro de Aputes de matemáticas de la Lecció B.2.3, o como ecuacioes de recurrecia. Ua fórmula explícita idica exactamete cómo hallar u térmio específico de ua progresió. Ua fórmula de recurrecia mecioa el primer térmio (o cualquier térmio) y cómo pasar de ese térmio al siguiete. Para ua explicació de las progresioes recurretes, cosulta el recuadro de Aputes de matemáticas de la Lecció A.3.2. Para más ejemplos y ejercicios de práctica, cosulta el material del Puto de comprobació 4A e el libro de texto. Ejemplo Este es el mismo caso del Ejemplo de la secció aterior, Itroducció a las progresioes. U grupo de desarrolladores de huertos está preparado u terreo para crear ua gra subdivisió para casas de familia. Ya costruyero 5 casa e el sitio. Los desarrolladores plaea costruir seis casas uevas al mes. Escribe ua progresió de la catidad de casas costruidas y luego ua ecuació que la represete. Describe completamete u gráfico de esta progresió. La progresió es 2, 27, 33, 39,. Observa que las progresioes suele comezar co el primer térmio, dode la catidad de meses es =. La diferecia comú es m = 6, y el térmio cero es b = 5. La ecuació puede ser escrita como t ( ) = m+ b= 6+ 5. Observa que e ua progresió usamos t ( ) = e lugar de y =. t ( ) = idica que la ecuació represeta ua progresió discreta y o ua fució cotiua. Los alumos compararo progresioes y fucioes e la Lecció 5.3.3. La ecuació tambié puede ser escrita como a = 6+ 5. A la derecha se icluye el gráfico de esta progresió. No hay putos de corte co los ejes x o y. No hay igú puto e (0, 5) porque las progresioes suele escribirse comezado co el primer térmio, dode =. El domiio cosiste de úmeros eteros mayores o iguales a uo. El rago cosiste de los valores de y de los putos que sigue la regla t ( ) = 6+ 5cuado. No hay asítotas. El gráfico es lieal y puede verse a la derecha. Este gráfico es discreto (putos separados). (Nota: la fució relacioada, y = 6x+ 5, tedría como domiio todos los úmeros reales (icluyedo fraccioes y egativos) y el gráfico sería ua recta cotiua co todos sus putos coectados). Guía para padres co práctica adicioal 205 CPM Educatioal Program. All rights reserved. 5 t()

Ejemplo 2 Este es el mismo caso del Ejemplo 2 de la secció aterior, Itroducció a las progresioes. Cuado Rosa tropezó y cayó e u charco e la hora del almuerzo ( se sitió muy avergozada!), supo exactamete qué era lo que iba a pasar: e diez miutos, cada ua de las dos chicas que la viero caer se lo cotaría a cuatro persoas. E los diez miutos siguietes, esos ocho alumos se lo diría a cuatro persoas más cada uo. Rosa sabía que esto cotiuaría hasta que toda la escuela estuviera hablado de su accidete. Escribe ua progresió de la catidad de persoas que sabrá sobre el accidete de Rosa después de cada itervalo de diez miutos y luego ua ecuació que la represete. Describe completamete u gráfico de esta progresió. El multiplicador es b = 4, y el térmio cero es a = 2. La ecuació puede escribirse como t( ) = ab = 2 4. La ecuació tambié puede escribirse como a = 24 (más adelate, e el Apédice B, los alumos aprederá tambié la otació de progresioes de primer térmio, a = 84 ( ) ). La progresió es: 8, 32, 28, 52,. Observa que la progresió comieza co =. A la derecha se icluye el gráfico de esta progresió. No hay putos de corte co los ejes x e y. No hay igú puto e (0, 2) porque las progresioes suele escribirse comezado co el primer térmio, dode =. El domiio cosiste e úmeros eteros mayores o iguales a uo. El rago cosiste e los valores de y de los putos que sigue la regla t ( ) = 2(4) cuado. El gráfico es expoecial y puede verse a la derecha. No hay igua líea de simetría. Este gráfico es discreto (putos separados). (Nota: la fució relacioada, y = 24, tedría como domiio todos los úmeros reales (icluyedo fraccioes y egativos) y el gráfico sería ua curva co todos sus putos coectados). 400 300 200 00 t() 52 205 CPM Educatioal Program. All rights reserved. Core Coectios e español, Álgebra 2

Apédice A Ejemplo 3 Aaliza las siguietes progresioes: A: 8, 5, 2,, B: 256, 28, 64, a. Estas progresioes so aritméticas, geométricas, o de otro tipo? Cómo lo sabes? Explícalo completamete. b. Cuál es el térmio cero y el geerador de cada progresió? c. Escribe ua ecuació que represete cada progresió. d. Es 378 u térmio de la progresió A? Justifica tu respuesta. e. Es 4 u térmio de la progresió B? Justifica tu respuesta. Para determiar el tipo de progresió e los casos A y B, debemos observar cómo crece cada progresió. A: 8, 5, 2,, \ / \ / \ / +3 +3 +3 La progresió A es creada (geerada) sumado tres a cada térmio para obteer el siguiete. Cuado cada térmio tiee ua diferecia comú (e este caso, +3 ) la progresió es aritmética. Si embargo, la progresió B es distita. Los térmios o tiee ua diferecia comú. B: 256, 28, 64, \ / \ / 28 64 Estos térmios tiee ua razó comú (multiplicador). Ua progresió co ua razó comú es ua progresió geométrica. B: 256, 28, 64, \ / \ / 2 2 El primer térmio de la progresió A es 8, y la progresió tiee u geerador o diferecia comú de +3. Por lo tato, el térmio cero es (porque + 3 = 8). Ua progresió aritmética tiee ua ecuació de forma t ( ) = m+ b(o a = m+ a0), dode m es la diferecia comú y b el valor iicial. La ecuació de la progresió A es t ( ) = 3, para =, 2, 3, El ejemplo cotiúa e la págia siguiete Guía para padres co práctica adicioal 205 CPM Educatioal Program. All rights reserved. 53

Cotiuació del ejemplo de la págia aterior. El primer térmio de la progresió B es 256, y la progresió tiee u geerador o razó comú de 2. Por lo tato, el térmio cero es 52, porque 52 = 256. La ecuació geeral de ua 2 progresió geométrica es t ( ) = ab, dode a es el térmio cero y b es la razó comú (multiplicador). La ecuació de la progresió B es t ( ) = 52 ( 2 ) para =, 2, 3, Para saber si 378 es u térmio de la progresió A, podemos crear ua lista de los térmios de la progresió lo suficietemete larga para verificarlo, pero eso requeriría mucho tiempo. E cambio, veremos si existe u etero que resuelva t ( ) = 3 = 378. 3 = 378 3 = 389 = 389 3 = 29 2 3 Cuado resolvemos, o es u úmero etero, por lo que 378 o puede ser u térmio de la progresió. De igual forma, para saber si es u térmio de la progresió B, teemos que resolver 4 t ( ) = 52 ( 2) =, y buscar ua solució que sea u úmero etero. 4 52 2 52 52 2 ( ) = 4 ( ) = ( 2 ) = ( ) = 2 52 4 2048 2 2 = 2 = Si bie es probable que los alumos uca haya resuelto ua ecuació como esta, puede resolver este problema realizado deduccioes y comprobádolas. Tambié puede ver fácilmete la solució si escribe ambos lados como ua potecia de 2. Ya que la solució es u úmero etero, 4 es u térmio de la progresió B. Es decir, cuado =, t ( ) =. 4 Ejemplos de progresioes aritméticas Mecioa los cico primeros térmios de cada ua de las siguietes progresioes aritméticas. Ejemplo 4 (ua fórmula explícita) t() = 5 + 2 t() = 5() + 2 = 7 t(2) = 5(2) + 2 = 2 t(3) = 5(3) + 2 = 7 t(4) = 5(4) + 2 = 22 t(5) = 5(5) + 2 = 27 La progresió es: 7, 2, 7, 22, 27, Ejemplo 5 (ua fórmula de recurrecia) t() = 3, t( +) = t() 5 t() = 3 t(2) = t() 5 = 3 5 = 2 t(3) = t(2) 5 = 2 5 = 7 t(4) = t(3) 5 = 7 5 = 2 t(5) = t(4) 5 = 2 5 = 7 La progresió es: 3, 2, 7, 2, 7, 54 205 CPM Educatioal Program. All rights reserved. Core Coectios e español, Álgebra 2

Apédice A Ejemplo 6 Halla ua fórmula explícita y ua fórmula de recurrecia para la progresió: 2,, 4, 7, Explícita: m = 3, b = 5 así que la ecuació es: t() = m + b = 3 5 De recurrecia: t() = 2, t( +) = t() + 3 Ejemplos de progresioes geométricas Mecioa los cico primeros térmios de cada ua de las siguietes progresioes geométricas. Ejemplo 7 (ua fórmula explícita) t() = 3 2 t() = 3 2 = 3 2 0 = 3 t(2) = 3 2 2 = 3 2 = 6 t(3) = 3 2 3 = 3 2 2 = 2 t(4) = 3 2 4 = 3 2 3 = 24 t(5) = 3 2 5 = 3 2 4 = 48 La progresió es: 3, 6, 2, 24, 48, Ejemplo 8 (ua fórmula de recurrecia) t() = 8, t( +) = t() 2 t() = 8 t(2) = t() 2 = 8 2 = 4 t(3) = t(2) 2 = 4 2 = 2 t(4) = t(3) 2 = 2 2 = t(5) = t(4) 2 = 2 = 2 La progresió es: 8, 4, 2,, 2, Ejemplo 9 Halla ua fórmula explícita y ua fórmula de recurrecia para la progresió: 8, 27, 9, 3, Explícita: a = 8, b = 3 así que a 0 (el térmio cero) es hallado por a = 8 = 243 y la ecuació es: a 243 a b ( ) 0 3 = =, o tambié t ( ) = 243 De recurrecia: t() = 8, t( + ) = t( ) 3 3 0 3 Guía para padres co práctica adicioal 205 CPM Educatioal Program. All rights reserved. 55

Problemas Cada ua de las fucioes a cotiuació defie ua progresió. Mecioa los cico primeros térmios de cada progresió y defie si es aritmética, geométrica, ambas, o igua.. t() = 5 + 2 2. s = 3 8 3. u() = 9 2 4. t() = ( 4) 5. s() = ( 4 ) 6. u() = ( + ) 7. t() = 8 8. s = 4 3 + Idica si cada ua de las progresioes a cotiuació es aritmética o geométrica. Luego escribe la ecuació que permite obteer los térmios de la progresió. 9. 48, 24, 2, 6, 3, 0. 4, 3, 0, 7, 24,. 43, 39, 35, 3, 27, 2. 2 3, 2, 8 3, 9 32, 28 27, 3. 5, 5, 5, 5, 5, 4. 0,, 0., 0.0, 0.00, Grafica las siguietes progresioes e el mismo grupo de ejes. 5. t() = 6 + 20 6., 4, 6, 64, 7. Las dos progresioes de los últimos dos problemas tiee algú térmio e comú? Explica cómo lo sabes. 8. Cada año desde 548, la altura promedio de u hombre ha aumetado ligeramete. La ueva altura es 00.05% la altura del año aterior. Si la altura promedio de u hombre e 548 era de 54 pulgadas, cuál era la altura promedio de u hombre e 2008? 9. Davis tiee $5.40 e su cueta bacaria e su cuarto cumpleaños. Si sus padres añade $0.40 a esta cueta todas las semaas, cuádo tedrá suficiete diero para comprar el uevo auto de carreras Smoki Derby que tiee u valor de $24.99? 20. Describe completamete el gráfico de la progresió t ( ) = 4+ 8. Progresioes aritméticas Mecioa los cico primeros térmios de cada ua de las siguietes progresioes aritméticas. 2. t() = 5 2 22. t() = 3 + 5 23. t() = 5 + 2 24. t() = 5 + 3( ) 25. t() = 5, t( +) = t() + 3 26. t() = 5, t( +) = t() 3 27. t() = 3, t( +) = t() + 6 28. t() = 3, t(a +) = t() + 2 56 205 CPM Educatioal Program. All rights reserved. Core Coectios e español, Álgebra 2

Apédice A Halla el 30 térmio de cada ua de las siguietes progresioes aritméticas. 29. t() = 5 2 30. t() = 5 + 2 3. t(3) = 53, d = 5 32. t() = 25, t( +) = t() 3 Halla ua fórmula explícita y ua fórmula de recurrecia para cada ua de las siguietes progresioes aritméticas. 33. 4, 8, 2, 6, 20, 34. 2, 5, 2, 9, 26, 35. 27, 5, 3, 9, 2, 36. 3, 3 3, 3 2 3, 4, 4 3,... Las progresioes se grafica usado putos de la forma: (úmero de térmio, valor de térmio). Por ejemplo, la progresió 4, 9, 6, 25, 36, se grafica marcado los putos (, 4), (2, 9), (3, 6), (4, 25), (5, 36),. Las progresioes se grafica como putos o coectados. 37. Grafica las progresioes de los problemas y 2, y halla la pediete de cada recta. 38. Cómo se relacioa la pediete de la recta hallada e el problema aterior co la progresió? Progresioes geométricas Mecioa los cico primeros térmios de cada ua de las siguietes progresioes geométricas. 39. t() = 5 2 40. t() = 3 3 4. t() = 40 ( 2 ) 42. t() = 6 ( 2 ) 43. t() = 5, t( +) = t() 3 44. t() = 00, t( +) = t() 2 45. t() = 3, t( +) = t() ( 2) 46. t() = 3, t( +) = t() 2 Halla el 5 térmio de cada ua de las siguietes progresioes geométricas. 47. t(4) = 232, r = 2 48. t(6) = 32, r = 2 49. t(4) = 9, r = 2 3 50. t(6) = 9, r = 2 3 Halla ua fórmula explícita y ua fórmula de recurrecia para cada ua de las siguietes progresioes geométricas. 5. 2, 0, 50, 250, 250, 52. 6, 4,, 4, 6,... 53. 5, 5, 45, 35, 405, 54. 3, 6, 2, 24, 48, 55. Grafica las progresioes de los problemas y 2. Recuerda la ota icluida ates del problema 37 sobre la forma e que se grafica las progresioes. 56. E qué se diferecias los gráficos de progresioes geométricas de los gráficos de progresioes aritméticas? Guía para padres co práctica adicioal 205 CPM Educatioal Program. All rights reserved. 57

Respuestas. 7, 2, 7, 22, 27, aritmética, la diferecia comú es 5. 2. 5, 3, 2, 29, 37, aritmética, la diferecia comú es 8. 3. 8, 4, 8, 20, 20, igua 4. 4, 6, 64, 256, 024, geométrica, la razó comú es 4. 5.,,,,, geométrica, la razó comú es 4 6 64 256 024 4. 6. 2, 6, 2, 20, 30, igua. 7. 8, 8, 8, 8, 8, ambas, la diferecia comú es 0, la razó comú es. 8. 7 5 3 9 4 2 4 4,,,4,, aritmética, la diferecia comú es 3 4. 9. geométrica, ( ) 96 ( ). aritmética, t ( ) 4 47 3. geométrica, ( ) 5( ) 2 t = 0. aritmética, t ( ) = 7 = + 2. geométrica, t ( ) = 8 3 ( ) ( ) 9 4 t = 4. geométrica, t ( ) = 00 ( ) 0 5. Ver los putos del gráfico. 6. Ver los círculos del gráfico. t() 7. No, o lo tiee. El gráfico es discreto, o solo putos que so los térmios de cada progresió. Ya que o comparte igú puto comú, o tiee igú térmio e comú. 8. E 2008, 54(.0005) 460 67.96pulgadas. 9. t ( ) = 0.4+ 5.4, así que resuelve 0.4 + 5.4 24.99. = 48.975. E 49 semaas tedrá $25. Si debe pagar impuestos, ecesitará otras tres o cuatro semaas. 20. Esta es ua fució que represeta ua progresió aritmética, el gráfico es discreto pero los putos so lieales. El puto de corte co el eje y es (0, 8), o hay igú puto de corte co el eje x. El domiio so los úmeros aturales (, 2, 3, ), el rago es la progresió misma: 4, 0, 6, 2, 2, No hay asítotas. 58 205 CPM Educatioal Program. All rights reserved. Core Coectios e español, Álgebra 2

Apédice A 2. 3, 8, 3, 8, 23 22. 2,, 4, 7, 0 23. 4 2, 4, 3 2, 3, 2 2 24. 5, 8,, 4, 7 25. 5, 8,, 4, 7 26. 5, 2,, 4, 7 27. 3, 3, 9, 5, 2 28. 3, 5 6, 3, 5 6, 2 3 29. 48 30. 0 3. 48 32. 62 33. t() = 4 ; t() = 4, t( +) = t() + 4 34. t() = 7 9 ; t() = 2, t( + ) = t() + 7 35. t() = 39 2; t() = 27, t( + ) = t() 2 36. a = 3 + 2 2 3 ; a = 3, a + = a + 3 37. Gráfico (): putos lieales (, 3), (2, 8), (3, 3), (4, 8), (5, 23) pediete = 5 Gráfico (2): putos lieales (, 2), (2, ), (3, 4), (4, 7), (5, 0) pediete = 3 38. La pediete de la recta que cotiee los putos es igual a la diferecia comú de la progresió. 39. 0, 20, 40, 80, 60 40. 9, 27, 8, 243, 729 4. 40, 20, 0, 5, 5 2 42. 6, 3, 3 2, 3 4, 3 8 43. 5, 5, 45, 35, 405 44. 00, 50, 25, 25, 25 2 4 45. 3. 6, 2, 24, 48 46. 3, 6, 2, 24, 48 47. 464 48. 6 49. 6 50. 27 2 5. t() = 2 5 5 ; t() = 2, t( +) = t() 5 52. t() = 64 ( 4 ) ; t() = 6, t( + ) = t() 4 53. t() = 5 3 3 ; t() = 5, t( +) = t() 3 54. t() = 3 2 ( 2) ; t() = 3, t( + ) = t() ( 2) 55. Gráfico (39): Putos e la curva que atraviesa (, 0), (2, 20), (3, 40), (4, 80), y (5, 60). Gráfico (52): Putos e la curva que atraviesa (, 6), (2, 4), (3, ), (4, 4 ), y (5, 6 ). 56. Las progresioes aritméticas so lieales y las progresioes geométricas so curvas (expoeciales). Guía para padres co práctica adicioal 205 CPM Educatioal Program. All rights reserved. 59

PATRONES DE CRECIMIENTO EN TABLAS Y GRÁFICOS A.3. Para determiar si ua fució es lieal, expoecial o igua, observa las diferecias de los valores y para valores de x que sea eteros cosecutivos. Si la diferecia es costate, el gráfico es lieal. Si la diferecia o es costate, observa el patró de los valores de y. Si puedes usar u multiplicador costate para pasar de u valor de y al siguiete, la fució es expoecial (observa que puedes usar el mismo multiplicador para pasar de diferecia a diferecia e ua fució expoecial). Ejemplos Idetifica la forma del gráfico e fució de cada tabla. Ejemplo y y 3 5 2 2 2 2 2 2 x La diferecia etre valores de y es siempre dos, ua costate. El gráfico es lieal y puede verse a la derecha. y Ejemplo 2 y 9 4 0 4 9 3 5 x La primera diferecia etre valores de y o es costate, y o hay u multiplicador costate que permita pasar de u valor de y al siguiete. La fució o es i lieal i expoecial. Ejemplo 3 y y 2 4 8 2 4 Los valores de y tiee u multiplicador costate de 2 (y la diferecia etre los valores de y tiee u multiplicador costate de 2.) El gráfico es expoecial y puede verse a la derecha. x 60 205 CPM Educatioal Program. All rights reserved. Core Coectios e español, Álgebra 2

Apédice A Problemas E fució del crecimieto (la diferecia etre valores de y) mostrado e las tablas a cotiuació, idetifica si el gráfico correspodiete es lieal, expoecial o iguo de los dos.. 2. y 4 0 6 2 2 6-0 y 2 4 8 6 32 3. 4. y 2 2 5 0 3 4 3 y 6 3 0 7 4 2 5. 6. y 4 9 4 6 6 y 8 6 2 0 2 6 8 7. 8. y 4 8 6 32 64 28 256 9. 0. y 30 20 2 6 2 0 0 y 3 9 27 y 9 7 5 3. 2. y 3 9 27 8 3. 4. y 0 5 8 9 8 5 0 y 27 9 3 0 3 9 27 y 3 0 0 3 8 5 5. 6. y 0 2 0 y 9 8 36 72 Guía para padres co práctica adicioal 205 CPM Educatioal Program. All rights reserved. 6

Respuestas. lieal 2. expoecial 3. iguo 4. lieal 5. lieal 6. iguo 7. expoecial 8. expoecial 9. iguo 0. lieal. expoecial 2. iguo 3. iguo 4. iguo 5. iguo 6. expoecial 62 205 CPM Educatioal Program. All rights reserved. Core Coectios e español, Álgebra 2