Indice. 1. Interpretación geométrica de la derivada. 2. Tasas de variación. 3. Derivabilidad de una unción en punto. 4. Funciones no derivables. 5. Función derivada. 6. Ecuación de la recta tangente. 7. Asíntotas. 8. Monotonía de una unción. Extremos relativos. 9. Extremos Absolutos. 10. Curvatura de una unción. Punto de inlexión. 11. Estudio de una unción.
Antes de comenzar. Qué es la pendiente de una recta? Cómo se calcula? Qué entendemos por secante y por tangente de una recta a una curva?
1. Interpretación geométrica de la derivada. Deinición: La derivada de una unción en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en dico punto. Sea una unción, tomemos un punto cualquiera «a» y su imagen,(a). Si añadimos una cantidad positiva,, tendríamos otro punto llamado a+ y su imagen correspondiente, (a+). Pues bien, después de tener estos dos puntos de, podemos considerar la recta que orma esos dos puntos y tomar la pendiente que correspondiente a dica recta. Veamos la siguiente representación:
-Si tomamos un >o, pero cada vez más pequeño tendríamos esta interpretación: Por tanto, si uese muy pequeñito, o dico de una manera más correcta, si tendiéramos a 0. Cómo se cortaría la recta con la unción? En deinitiva que la expresión resultante de la pendiente de una recta tangente a una unción sería m lim 0 ( a ) ( a) (a)
2. Tasas de variación. Derivada de una unción en punto. 2.1 Tasa de variación Media. Sea una unción y A(a, (a)) y B(b, (b)) dos puntos de la unción. Llamamos tasa de variación media de un intervalo [a,b] a: TVM ( b) b ( a) a 2.2 Tasa de variación Instantánea. Llamamos tasa de variación instantánea en un punto «a» (y observar su entorno): TVI lim 0 ( a ) ( a) (a) Conclusión: que la Tasa de variación instantánea es misma la deinición que la derivada de una unción en un punto.
2. Tasas de variación. Derivada de una unción en punto. 2.1 TVM. Ejemplo: Calcula la tasa de variación media de la unción en (x)=2x 2 +3 En el intervalo [-2,4]. 2.2 TVI. Ejemplo: Calcula la tasa de variación instantánea de la unción (x)=2x 2 +3 en el punto x=1. o 5 3 ) 2(1 lim 2 4 2) lim 2( 2) ( 2 lim o o TVM o (1) ) (1 lim o 5 3 2 4 2 lim 2 0 0 2 4 lim 2 o 2) ( 4 2) ( (4) a b a b TVM ) ( ) ( 4 6 11 35 (1)
3. Derivabilidad de una unción en un punto. Derivadas laterales: Derivada por la izquierda: deinimos derivada lateral por la izquierda de una unción en un punto por el valor del límite: ( a) lim 0 ( a ) ( a) Derivada por la dereca: deinimos derivada lateral por la dereca de una unción en un punto por el valor del límite: ( a) lim Teorema: 0 ( a ) ( a) es derivable en x=a + (a) - (a) Observación: El contrario no es cierto, necesita más requisitos. y + (a) = - (a)
3. Derivabilidad de una unción en un punto. Teorema: si es derivable en x=a es continua en x=a Observaciones: a) Lo contrario no es cierto, es decir que si es continua puede que no sea derivable en x=a. b) Si no es continua en x=a entonces ya no es derivable en x=a Teorema: Sea es una unción: ( a), ( a) ( a) cont en x a ( a) es derivable en x a
3. Derivabilidad de una unción en un punto. ESTUDIO DE LA DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO: Para realizar el estudio de la derivabilidad de una unción en un punto, debemos seguir los siguientes pasos: 1. Comprobar que ese punto pertenezca al dominio de la unción. 2. Estudiar la continuidad de la unción en ese punto, por el teorema de continuidad en un punto. 3. Una vez que sea continua, procedemos a estudiar su derivabilidad según la deinición. Si la unción es a trozos, y, para este punto depende de dos unciones, estudiamos las derivadas laterales de la unción.
3. Derivabilidad de una unción en un punto. Ejemplo: Calcula si (x) es derivable en x=2, 1) En x=2 la unción esta bien deinida (existe dominio) 2) Veamos la continuidad en x=2 (2)=8 lim x2 lim x2 x 6 8 2x 2 8 es continua en x=2 Luego la unción es derivable en x=2? Pues no se sabe debemos calcular la derivabilidad que es una condición mas restrictiva que la continuidad.
3) Veamos la derivabilidad en x=2,estudiando las derivadas laterales Calculemos la derivada de (2) por la izquierda: (Se toma el primer trozo de la unción (x+6), ya que al ser el cero negativo sale un valor menor que dos) Vemos como a pesar de ser la unción continua en x=2, las derivadas laterales no coinciden, por lo que la unción no es derivable en x=2
4. Función no derivables. no es derivable en x=3. es continua en x=3, veamos si es derivable (3 + ) = (3 - ) = (3 ) (3) 3 3 0 lim lim 1 o (3 ) (3) o (3 ) 0 lim lim 1 o o Se percibe un cambio brusco de la pendiente de la recta tg en x=3. En x=3 ay un Punto anguloso. (LOS PICOS NO SON DERIVABLES EN UNA FUNCION)
5. Función derivada. Entendemos que la unción es derivable, y,por tanto, podemos calcular la unción derivada. Notación: La unción derivada tiene distintas ormas de ser nombrada, algunas son: 1ª derivada: d dx (x) D(x) y 2ª derivada: (x) y Derivadas sucesivas: ( x), IV ) ( x), V ) ( x),, n) (x) Derivada n-ésima
Tabla las unciones principales (simple y compuesta) y sus derivadas respectivas. (oja anexo).
5. Función derivada. Álgebra de derivadas (otocopia anexo)
6. Ecuación de la recta tangente La recta tangente de una unción (x) tiene como ecuación: Ecuación explícita: y= mx+n Ecuación punto-pendiente: y-y 0 = m(x-x 0 ) P(x 0,y 0 ) punto de tangencia Para calcular la recta tangente de una unción en un punto x 0 dado, debemos calcular m e, y 0 1)Sustituyendo x 0 en la unción (x), obtengo así y 0 = (x 0 ) (la imagen de x 0 ). 2) La m es la pendiente de la recta tangente, que por deinición, es igual a la derivada de la unción en el punto donde se trace dica recta. (x 0 )=m Después sustituyo en la ecuación de la recta pto- pendiente: y-y 0 = m(x-x 0 )
Ejemplo: Dada (x) = x 2-4. Calcula la recta tangente a dica unción en x=5 1) Sustituyendo en la unción principal, obtengo así la y 0. Después sustituyo la ecuación de la recta pto- pendiente para así calcularla. x 0 = 5 (5) = 21=y 0 2) Calculo la derivada de la unción en el punto de tangencia P(5,(5)): (x) = 2x y 21 = 10 ( x 5) (5) = 10 = m (pendiente) y = 10x 29 (recta tangente) Para calcular la recta tangente a unción en un punto, pueden darnos dierentes datos, pero siempre emos de tener en cuenta que ay un punto que veriica ambas ecuaciones, la unción y la de la recta tangente, y ese punto es el de tangencia P(x 0, y 0 ).
7. Asíntotas Las asíntotas son rectas a las cuales la unción se va acercando indeinidamente. Hay tres tipos de asíntotas, en este curso trabajaremos dos: 4.1 Asíntota vertical (paralelas al eje OY). Los valores de la unción que no tengan dominio, son los candidatos a ser A.V o los extremos del los intervalos donde ay dominio. x = a es una asíntota vertical de una unción si: o 4.2 Asíntotas orizontales (paralelas al eje OX) Si existe el límite: y = b es una asíntota orizontal (b inito). Obs: -Debemos estudiar por separados los limites más y menos ininito. -Puede que la unción tengan en el ininito asíntota orizontal distinta que en menos ininito, o no tener.
Ejemplos : Si Asíntota orizontal: No tiene asíntotas verticales (porque Dom es R ni oblicuas porque tiene A.H.). Si ( x) ln( x 2) Dom = (-2,+ ), entonces estudiamos AV en x=-2 Si No tiene asíntotas verticales ni oblicuas (porque Dom es R ni oblicuas porque tiene A.H.). Asíntota orizontal y = L : L H Asíntota orizontal acia + en y = 0
8. Monotonía y extremos relativos Deinición. Se dice que una unción es creciente (decreciente) en un punto x=a si existe un entorno en dico punto (a ε,a+ ε ) en el que es creciente (decreciente). Teorema 1(monotonía de una unción): Sea una unción derivable x 0. Luego: o Si (x 0 )>0 entonces es creciente en x 0. o Si (x 0 )<0 entonces es decreciente en x 0. análogamente se puede llevar a cabo este Teorema para un intervalo. Sea una unción derivable para todo x 0 є(a,b). Luego: o Si (x 0 )>0 para todo x 0 є(a,b) entonces es creciente en (a,b). o Si (x 0 )<0 para todo x 0 є(a,b) entonces es decreciente en (a,b). A partir de este terorema, el estudio de la monotonía de una unción derivable en un dominio se puede realizar estudiando el signo de su unción derivada en dico dominio.
8. Monotonía y extremos relativos. Extremos relativos. Deinición. Una unción alcanza un mínimo (máx) relativo en un punto P(a, (a)) si existe un entorno (a -e,a +e ) del punto x = a tal que (x ) > (a ) ( (x ) < (a )) para todo (a e, a +e )-{a}. Teorema 2 ( condición necesaria): Sea una unción derivable en x 0 Є (a,b). Si tiene un extremo relativo en x 0. entonces (x 0 )= 0 Observación: lo contrario no es cierto. Que (x 0 )=0 no signiica que aya un extremo relativo, me ace alta una condición más.
8.Monotonía y extremos relativos. Para calcular los extremos relativos de una unción sería estudiando el signo de la : Sea una unción derivable en x 0 Є (a,b) y (x 0 )= 0. -Si antes de x 0 la unción es creciente y después de x 0 la unción es decreciente entonces existe un máximo relativo en P(x 0, (x 0 )). -Si antes de x 0 la unción es decreciente y después de x 0 la unción es creciente entonces existe un mínimo relativo en P(x 0, (x 0 )). Observación: Existen unciones (a trozos ) que tienen extremos relativos y esos valores no son continuos o no derivables
Ejemplo: Estudia la monotonía y los extremos relativos de: Importante: Los extremos relativos son puntos y ay que representarlos como tal, y la recta real representar el dominio, por lo que tendrán que aparecer aquellos valores en los que no ay dominio.
9 Extremos absolutos. TEOREMA (TEOREMA DE LOS VALORES EXTREMOS) Toda unción continua en un intervalo cerrado tiene extremos absolutos (mínimo absoluto y máximo absoluto). Una regla práctica que se usa para determinar los extremos absolutos de una unción continua en un intervalo cerrado [a, b] es la siguiente: 1.Se determinan los puntos críticos c 1, c 2, c 3,...,c n ( (c)=0). 2. Calcula (a) y (b). (imágenes de los valores extremos). 3. Máximo absoluto de. =máx { }. (viendo las imágenes quedándonos con el mayor). Mín. abs. de.=mín { }.
10. Curvatura y puntos de inlexión. Deinición. Se dice que una unción es cóncava (convexa) en un punto x=a si existe un entorno en dico punto (a ε,a+ ε ) en el que es cóncava (convexa). Teorema 1 (curvatura de una unción): Sea una unción es dos veces derivable en x 0. Luego: o Si (x 0 )>0 entonces es convexa en x 0. o Si (x 0 )<0 entonces es cóncava en x 0. análogamente se puede llevar a cabo este Teorema para un intervalo. Sea una unción dos veces derivable para todo x 0 є(a,b). Luego: o Si (x 0 )>0 para todo x 0 є(a,b) entonces es convexa en (a,b). o Si (x 0 )<0 para todo x 0 є(a,b) entonces es cóncava en (a,b). A partir de este terorema, el estudio de la curvatura de una unción derivable en un dominio se puede realizar estudiando el signo de su unción derivada en dico dominio.
10.1 Concavidad y convexidad Sea una unción dos veces derivable Si implica que es convexa en (a,b). Si implica que es cóncava en (a,b)
10.2 Punto de inlexión Punto de inlexión. Teorema 1 ( condición necesaria): Sea una unción es dos veces derivable en x 0 Є (a,b). Si tiene un punto de inlexión en x 0 entonces (x 0 )= 0 Observación: lo contrario no es cierto. Que (x 0 )=0 no signiica que aya un punto de inlexión, me ace alta una condición más. Para calcular los puntos de inlexión de una unción sería estudiando el signo de la : Sea una unción es dos veces derivable en x 0 Є (a,b) y (x 0 )= 0. -Si antes de x 0 la unción es convexa (cóncava) después de x 0 la unción es cóncava (convexa) entonces existe un punto de inlexión en P(x 0, (x 0 )).
10 Curvatura de unciones/puntos de inlexión Para calcular la concavidad y convexidad de una unción seguiremos los siguientes pasos: 1. Calcular el dominio de la unción. 2. Hallamos y calculamos sus raíces. 3. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada segunda y los puntos de no dominio (si los ubiese). 4. Tomamos un valor de cada intervalo, y allamos el signo que tiene en la derivada segunda. Si ''(x) < 0 es cóncava. Si ''(x) > 0 es convexa. Un punto de inlexión es un punto donde la unción pasa de ser cóncava a convexa o viceversa. Por lo que ''(x) = 0. Puedes encontrarte unciones en las que no alla puntos de inlexión.
Ejemplos: Si Convexa: Cóncava: Si Convexa en todo su dominio
11.Representación de una unción Para representar una unción nos bastará con estudiar: o Dominio. o Asíntotas. o Monotonía / Extremos relativos (absolutos). o Curvatura / Puntos de inlexión. Con estos aspectos undamentales podemos realizar un esbozo de la unción. Todo lo demás como la simetría, los puntos de corte con los ejes, la periodicidad, tabla de valores etc, servirá para tener más inormación.
Ejemplo: Representa la siguiente unción: 1) Dominio de. Dom()=R (porque el numerador es siempre positivo y nunca se anula) 2.) Asíntotas A.V. No tiene asíntotas verticales porque su dom() =R A.H. x lim 1 x x x lim 1 x x 2 2 0 0 A. H. en y = 0 x ±
Ejemplo: 3) Monotonía y extremos relativos a)realiza la. b)busco los valores que anula a ( (x)=0). c)estudio el signo de con los valores anteriores y teniendo en cuenta el dominio de. (-5)<0 (0)>0 (10)<0-1 1 decrece en x (-, -1) U(1, ) crece en x (-1,1) Extremos relativos: P(-1,-1/2) mínimo relativo Q( 1,1/2) máximo relativo
Ejemplo: 4) Curvatura/ Puntos de inlexión Estudio del signo de la segunda derivada
Ejemplo: Representación de Empiezo por el orden que emos trabajado 1. Dominio. 2. Asíntotas. 3. Monotonia / Extremos relativos. 4. Curvatura/Puntos de inlexión. 5. Simetría, pto de corte o tabla de valores (si uese necesario)