El número real y complejo

El número real y complejo Dpto. Matemática Aplicada Universidad de Málaga

Sistema de números reales Números naturales N = {0,1,2,3,...} Números enteros Z = {..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...} { } p Números racionales Q = : p,q Z, con q 0 q Números irracionales R Q

Operaciones en R (R,+) es un grupo abeliano 1 Asociativa: a+(b +c) = (a+b)+c para cualesquiera a,b,c R 2 Elemento neutro: existe un elemento 0 R tal que 0+x = x = x +0 para todo x R. 3 Elemento opuesto: para cada x R existe x R tal que x +( x) = ( x)+x = 0. 4 Conmutativa: a+b = b +a para cualesquiera a,b R

Operaciones en R (R, ) es un grupo abeliano 1 Asociativa: a(bc) = (ab)c para cualesquiera a, b, c R 2 Elemento neutro: existe 1 R tal que 1x = x = x1 para todo x R. 3 Existencia de inverso: para cada 0 x R existe x 1 R tal que xx 1 = 1 = x 1 x. 4 Conmutativa: ab = ba para cualesquiera a,b R Propiedad distributiva: a(b +c) = ab +ac para cualesquiera a,b,c R (R,+, ) es un cuerpo. university-logo

R es un cuerpo totalmente ordenado Dados dos números reales cualesquiera a,b R, se verifica uno y sólo uno de los casos siguientes: a < b b < a a = b Propiedades: Si a < b entonces a+c < b +c para todo c R. Si a < b y c > 0, entonces ac < bc. Si a < b y c < 0, entonces ac > bc. Si a < b y c < d, entonces a+c < b +d.

Intervalos Dados dos números reales a,b con a b se definen Intervalo abierto de extremos a y b: (a,b) = {x R : a < x < b} Intervalo cerrado de extremos a y b: [a,b] = {x R : a x b} Intervalo semiabierto o semicerrado de extremos a y b: (a,b] = {x R : a < x b} [a,b) = {x R : a x < b} Semirrectas abiertas: (a,+ ) = {x R : a < x} (,b) = {x R : x < b} Semirrectas cerradas: [a,+ ) = {x R : a x} (,b] = {x R : x b}

Valor absoluto de un número real Dado un número real x se define el valor absoluto de x como el máximo de {x, x} y se le designa por x. Es decir, { x si x 0 x = x si x < 0 Propiedades: x 0 para todo x R. x = 0 si y sólo si x = 0. x = x para todo x R. x x x para todo x R. x ε si y sólo si ε x ε. x +y x + y (desigualdad triangular) para cualesquiera x,y R. xy = x y para cualesquiera x,y R. x y x y para cualesquiera x,y R. university-logo

Motivación para la definición de los complejos La idea de la construcción de los números complejos es ampliar el cuerpo R de los números reales a un conjunto que verifique las dos propiedades siguientes: 1 Contiene a R 2 existe un elemento,i, que cumple que i 2 es igual al número real 1, es decir, la ecuación x 2 +1 = 0 tiene solución.

Construcción de los números complejos Una vez definida la unidad imaginaria i como el elemento que cumple i 2 = 1 o abreviadamente i = 1, se construye el conjunto siguiente C = {a+bi : a,b R} en el que se definen las operaciones suma (a+bi)+(c +di) = (a+c)+(b +d)i y producto (a+bi)(c +di) = (ac bd)+(ad +bc)i

Parte real e imaginaria Dado un número complejo z = a+bi C, se dice que a es la parte real de z y b es la parte imaginaria de z. Los números reales están contenidos en los complejos pues se identifican con los números complejos cuya parte imaginaria es cero; Un número complejo cuya parte real es cero se llama imaginario puro.

Forma binómica de un número complejo Producto de un número real por un complejo λ(a+bi) = λa+λbi Es posible establecer una correspondencia biunívoca entre los números complejos y los puntos del plano. Más concretamente, a+bi (a,b)

Conjugado de un número complejo Dado un número complejo z = a+bi, se define el conjugado de z como el número complejo z = a bi Propiedades z = z z +w = z +w z w = z w z +z = 2Re(z) z z = 2i Im(z)

División de números complejos Inverso de un número complejo Dado z = a+bi, se verifica que z z = a 2 +b 2 por tanto, se define el inverso de z como 1 z = z a 2 +b 2 División de números complejos Dados z = a+bi,w = c +di se define z del siguiente modo: w z w = z w w w ac bd +bc = c 2 +iad +d2 c 2 +d 2

Forma polar de un número complejo El módulo de un número complejo z = a+bi es la distancia del punto del plano P = (a,b) al origen de coordenadas O, es decir z = a 2 +b 2 El argumento de z es el ángulo α que forma el vector OP con el eje de abcisas. arctg(b/a) si a > 0 ±π/2 si a = 0 α = arctg(b/a)+π si a < 0,b 0 arctg(b/a) π si a < 0,b < 0 Forma polar: z = z (cosα+isenα), abreviadamente, z α.

Forma exponencial de un número complejo Fórmula de Euler e iα = cosα+isenα Forma exponencial de un número complejo z = z e iα La forma exponencial permite simplificar las operaciones producto y cociente de números complejos, pues se deducen de las propiedades de las potencias.

Raíces de números complejos Se dice que w es raís n-ésima de z si w n = z. Usando la forma exponencial, se deduce w = z 1/n = z 1/n e i α n Debido a la periodicidad de las razones trigonométricas, cada número complejo tiene n raíces n-ésimas: { ( ( ) ( )) } z 1 α+2kπ α+2kπ n cos +isen : k = 0,...,n 1 n n

Polinomios. Raíces Un polinomio de grado n con coeficientes en C es una expresión del tipo P n (x) = a n x n +a n 1 x n 1 + a 1 x +a 0 donde a i C Las raíces de un polinomio P n (x) son las soluciones de la ecuación P n (x) = 0. Si a es raíz del polinomio P n (x), entonces P n (x) es divisible por (x a). Luego P n (x) = (x a)p n 1 (x). donde P n 1 (x) tiene grado n 1. Si P n (x) es divisible por (x a) k, pero no es divisible por (x a) k+1, se dice que a tiene multiplicidad k como raíz de P n (x). Una raíz simple es la que tiene multiplicidad uno y una raíz múltiple la que tiene multiplicidad mayor que uno. university-logo

Teorema fundamental del Álgebra Teorema (fundamental del Álgebra) Todo polinomio con coeficientes reales o complejos de grado n tiene n raíces reales o complejas, donde cada raíz múltiple se cuenta según su multiplicidad. Factorización de un polinomio Dado un polinomio P n (x) de raíces z 1,z 2,...,z k con multiplicidades m 1,m 2,...,m k, respectivamente, se tiene que P n (x) = a n (x z 1 ) m1 (x z 2 ) m2 (x z k ) m k

Ecuaciones con coeficientes reales Sea P n (x) = a n x n +a n 1 x n 1 + a 1 x +a 0 un polinomio con coeficientes reales, es decir, a i R. Entonces, si z es raíz de P n (x), el conjugado z también es raíz y además tienen la misma multiplicidad. Como (x z) (x z) = x 2 +px +q para p = 2Re(z) y q = z, el polinomio admite una descomposición con factores reales P n (x) = a n (x a 1 ) m1 (x a l ) ml (x 2 +p 1 x+q 1 ) r1 (x 2 +p s x+q s ) rs donde a 1,a 2,...,a l son las raíces reales del polinomio y p i,q i R.