ema II Crcutos eléctrcos en corrente contnúa Indce Introduccón a los crcutos resstvos Ley de Ohm Leyes de Krchhoff Ley de correntes (LCK) Ley de voltajes (LVK) Defncones adconales Subcrcutos equvalentes Equvalentes en Sere Equvalentes en Paralelo Equvalentes de hevenn y orton eorema de la máxma transferenca de potenca Métodos de análss en crcutos eléctrcos CC Prncpo de proporconaldad Prncpo de Superposcón Método de Mallas Método de odos
Introduccón a los crcutos resstvos Consderaremos que una resstenca es cualquer dspostvo que posee una resstenca eléctrca, es decr, mpde o dfculta en mayor o menor medda el movmento de electrones a través del materal. La undad básca de la resstenca es el ohmo ( Ω). Para propóstos del análss de crcutos, un crcuto eléctrco se descrbe con base en dos característcas específcas: los elementos que contene y como se nterconectan. Para determnar el voltaje y la corrente resultantes no se requere nada más. Un crcuto consste en dos o más elementos que se conectan medante conductores perfectos. Los conductores perfectos son cables o alambres que permten el flujo de corrente con resstenca cero. En cuanto a la energía, sólo puede consderarse como acumulada o concentrada en cada elemento del crcuto. Descrpcón de partes del crcuto eléctrco ama Seccón que une a un elemento a nodos. odo Un punto de conexón de dos o más elementos de crcuto se denomna nodo junto con todo el cable o alambre de los elementos. Malla Conjunto de ramas que descrben una trayectora cerrada. Ley de Ohm La ley de Ohm postula que el voltaje a través de una resstenca es drectamente proporconal a la corrente que pasa por la resstenca. La constante de proporconaldad es el valor de la resstenca en ohmos (Ω = V / A). v=
donde 0. Puesto que es una constante, al representar gráfcamente voltaje frente a corrente, obtendremos una curva lneal y dremos que la resstenca es lneal. Exsten otros tpos de resstencas cuya representacón voltaje-ntensdad no es lneal y por tanto la resstenca obtenda no es lneal y dfculta en gran medda el análss del crcuto. Aunque en realdad, todas las resstencas práctcas son no lneales debdo a dversos factores como temperatura, ntensdad. Muchos materales se aproxman a resstencas lneales en un rango lmtado de correntes y condcones ambentales y por tanto nos centraremos exclusvamente en este tpo de materales. Leyes de Krchhoff Ley de corrente de Krchhoff (LCK) La suma algebraca de las correntes que entran por cualquer nodo son cero. n n= = 0 I I I3 = 0 ambén se les conoce por materales óhmcos s verfcan la ley de Ohm o ben materales no-óhmcos para aquellos que no la verfcan.
Ley de voltajes de Krchhoff (LVK) cero. La suma algebraca de los voltajes a lo largo de cualquer trayectora cerrada es n= v n = 0 Defncones adconales Potenca nstantánea: Conductanca: v p= v = = G = (Semens o Ω ) Corto crcuto: Es una resstenca de cero ohmos, en otras palabras, es un conductor perfecto capaz de llevar cualquer cantdad de corrente sn sufrr una caída de voltaje por donde pasa. Dos puntos pueden ser cortocrcutados juntándolos con un cable. Crcuto aberto: Es una resstenca de conductanca cero semens, en otras palabras es un perfecto aslante capaza de soportar cualquer voltaje sn permtr que fluya corrente a través de él. Es decr, una resstenca nfnta o un cable roto. Subcrcutos equvalentes Una estratega general que vamos a utlzar en el análss de crcutos eléctrcos es la smplfcacón sempre que sea posble. Un subcrcuto es una parte de un crcuto. Un subcrcuto contene un número de elementos nterconectados, pero sólo dos termnales accesbles, por lo que es llamado subcrcuto de dos termnales. El voltaje que pasa a través y la corrente que entra en esas termnales son llamados voltaje termnal y corrente termnal del subcrcuto.
Equvalentes en Sere Dos elementos contguos se dcen que están conectados en sere s en su parte de nodo común no tene otras correntes que entren en él. esstencas De forma generalzada, s tenemos resstencas conectadas en sere tenemos eq = = Fuentes de voltaje Una cadena de fuentes de voltaje son equvalentes a una smple fuente de voltaje donde la funcón fuente es la suma algebraca de las funcones fuentes en sere. ξ eq = ξ Fuentes de ntensdad En este caso todas las fuentes de corrente deben ser de gual corrente de modo que = = =... = s Equvalentes en Paralelo Dos elementos están conectados en paralelo s forman una malla sn contener otros elementos. Es decr, elementos en paralelo tenen el msmo voltaje que pasa por ellos. esstencas Para un conjunto de resstencas conectadas en paralelo, es equvalente a una resstenca smple en donde su conductanca es la suma de las conductancas paralelas. G eq = G = eq = =
Fuentes de voltaje En este caso todas las fuentes de voltaje en paralelo deben ser todas ellas guales y además deben conectarse con gual polardad: todos los termnales postvos y todos los termnales negatvos. ξ = ξ = ξ =... = ξ s Fuentes de ntensdad Una sere de fuentes de corrente en paralelo son equvalentes a una fuente de corrente smple donde su funcón fuente es la suma de las funcones en paralelo. = s s Equvalentes de hevenn y orton Los equvalentes sere y paralelos descrtos hasta el momento son lmtacones de elementos del msmo tpo. En esta seccón vamos a desarrollar un par de equvalentes denomnados de hevenn y orton de gran utldad en la smplfcacón de cualquer análss de problemas de crcutos. eorema de hevenn Una red lneal actva con resstencas que contenga una o más fuentes de voltaje o corrente puede reemplazarse por una únca fuente de voltaje y una resstenca en sere. eorema orton Una red lneal actva con resstencas que contenga una o más fuentes de voltaje o corrente puede reemplazarse por una únca fuente de corrente con una resstenca en paralelo.
La forma de hevenn con una fuente de voltaje es equvalente a la forma de orton con una fuente de corrente paralelo, s a) = b) v = v y una resstenca en sere y una resstenca en Para encontrar la resstenca común = de los sstemas hevenn y orton sólo basta suprmr las fuentes nternas ndependentes (cortocrcutar las fuentes) y calcular la resstenca equvalente del sstema. Para determnar el valor entre los termnales del sstema en crcuto aberto. Y para a partr del equvalente hevenn. v sólo necestamos determnar el voltaje exstente podemos obtener su valor eorema de la máxma transferenca de potenca En muchas ocasones nos nteresa saber cuáles son las mejores condcones que deben reunr el dspostvo que sumnstra potenca y el que la recbe para que se transfera la máxma potenca del generador al receptor. Supongamos que tenemos un equvalente hevenn representante de un crcuto eléctrco ( V, ) y unmos a los bordes de este dspostvo una resstenca de carga a los termnales correspondentes. enemos que V P= VabI = I = = V + ( + ) Para obtener la expresón para que se transfera la máxma potenca debemos dervar la expresón anteror con respecto a (nuestra varable) e gualar a cero. dp = V = 0 ( + ) d = Métodos de análss en crcutos eléctrcos CC En este apartado nos centraremos en el análss de crcutos medante métodos sstemátcos que nos permtan resolver completamente cualquer crcuto lneal. Consderaremos dos métodos generales; el prmero se basa en la ley de voltajes de Krchhoff (LVK) denomnado resolucón por mallas, y el segundo se basa en la ley de corrente de Krchhoff (LCK) conocdo por el nombre de resolucón por nodos. Un crcuto es lneal cuando sólo contene elementos lneales y fuentes ndependentes.
Pero prmeramente veremos como pueden usarse los prncpos de proporconaldad y superposcón para dvdr un problema de crcutos lneales que nvolucran varas fuentes, en problemas de componentes, donde cada uno nvolucra una sola varable, o una sola fuente. Para una completa formacón es necesaro ejerctar con numerosos ejemplos los conocmentos expuestos en el presente capítulo. Prncpo de Proporconaldad Cualquer crcuto lneal verfca el prncpo de proporconaldad. Esto es, s x e y son varables de crcuto asocadas con un elemento de dos termnales, entonces dremos que el elemento es lneal s multplcar x por una varable K es gual a la multplcacón de y por la msma constante K. Este prncpo sólo es aplcable en crcutos lneales. Prncpo de Superposcón La respuesta general de un crcuto lneal que contene varas fuentes ndependentes es la suma de las respuestas a cada fuente ndvdual, elmnando las otras fuentes. En general, este prncpo sólo es váldo para crcutos lneales. Las fuentes de corrente se elmnan o son fjadas en cero, es decr, se reemplazan por crcutos abertos, mentras que las fuentes de voltaje se reemplazaran por corto-crcutos. Método de Mallas El análss de malla consste en escrbr las ecuacones LVK alrededor de cada malla en el crcuto, utlzando como ncógnta las correntes de malla. Las n ecuacones smultáneas de un crcuto con n mallas pueden ser escrtas en forma de matrz. La ecuacón de matrz resultante puede resolverse por varas técncas. Una de ellas es el método de determnantes o regla de Cramer 3. Los elementos de las matrces pueden ndcarse en forma general de la sguente manera: 3 I V 3 I V 3 3 33 3 I 3 = V 3 3 I V 3 Consultar una bblografía adecuada
representa la suma de todas las resstencas a través de las cuales pasa la corrente I de malla, o dcho de otra manera, la suma de todas las resstencas que pertenecen a la malla. representa la suma de todas las resstencas a través de las cuales pasan las j correntes de malla I e I j. El sgno de j es + s las correntes están en la msma dreccón a través de cada resstenca, y el sgno de j es s están en dreccones opuestas. Debemos hacer hncapé en que la matrz de resstencas es smétrca, es decr =. j j La matrz o vector de corrente no requere explcacón. Estas son las ncógntas en el método que se está descrbendo. La matrz o vector de voltajes tenemos que V es la suma algebraca de todas las fuentes que pertenecen a la malla usando el crtero de la señal pasva. Método de odos Es un método general de análss de crcutos en donde los voltajes son las ncógntas que deben obtenerse. En general, una eleccón convenente para el voltaje es el conjunto de voltajes de nodo. Puesto que un voltaje se defne como el exstente entre dos nodos, es convenente selecconar el nodo en la red que sea nodo de referenca, y luego asocar un voltaje a cada uno de los demás nodos. Comúnmente se elge como nodo de referenca al nodo al que se conecta la mayor cantdad de ramas. Las ecuacones del análss nodal se obtenen aplcando LCK en los nodos salvo el de referenca. De forma matrcal podemos plantear el sstema de ecuacones de la sguente manera: G G G V χ G G G V χ = G G G V χ G contene la recíproca de todas las resstencas conectadas al nodo. G representa la recíproca (o nversa) de todas las resstencas de las ramas que unen al j nodo y al nodo j. La matrz o vector de voltajes de nodo no requere explcacón. Estas son las ncógntas en el método que se está descrbendo. Los elementos χ del vector de la derecha representan las correntes de mpulsón. Es decr, χ será la suma algebraca de las correntes mpulsoras que estén relaconadas con el nodo. Las correntes mpulsoras son aquellas ramas que presenten fuentes de ntensdad o ben ramas con fuentes de voltaje y resstenca asocada a dcha rama ( I = V / ) de forma que tomaremos valor postvo s la corrente llega al nodo correspondente y daremos un valor negatvo en caso contraro.